初三数学一元二次方程复习课件
2 2 4 4 2 4
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
一元二次方程的解法主要有四种：①直接
例 题 · 典 例 导 练
开平方法，②配方法，③公式法，④因式
考 点 · 知 识 清 单
分解法.若没有特别说明，解法选择的一 般顺序为:直接开平方法→因式分解法→
资 源 · 备 课 参 考
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
1.判断一个方程是否是一元二次方程，应先化成一般形式再
例 题 · 典 例 导 练
判断.
2.用公式法解一元二次方程时，一定要注意b2-4ac≥0这个
考 点 · 知 识 清 单
条件；在一元二次方程的定义中，要特别注意二次项系数不 能等于零这一条件，它是定义的一部分.
一元二次方程是初中数学的重要内容，一元二
次方程的求解中直接开平方法、配方法、公式法、
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
因式分解法是解一元二次方程的基本方法.而因式分
解法体现方程“降次求解”的基本思想，公式法更
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
具有一般性.复习时重点加强对一元二次方程根的概
策 略 · 专 家 指 导
九年级数学上册
一元二次方程复习总结
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
(B)x=0
(D)x1=0,x2=-2
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
【解析】选C.x2=2x可变形为x2-2x=0,x(x-2)=0,所以 x1=0,x2=2.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
2.(2011·滨州中考)若x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个 根，则a的值为______.
策 略 · 专 家 指 导
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
例 题 · 典 例 导 练
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
b2-4ac和一元二次方程根的关系 【例3】(2011·江津中考)已知关于x的一元二次方程 (a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ( )
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
(A)Байду номын сангаас<2
(B)a>2
(C)a<2 且a≠1
(D)a<-2
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
【思路点拨】
策 略 · 专 家 指 导
【自主解答】选C.由题意得， 得a<2且a≠1.
4 4 a 1 0 a 1 0
例 题 · 典 例 导 练
,
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
知 能 综 合 检 测
公式法→配方法.
策 略 · 专 家 指 导
3.(2011²南充中考)方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( (A)2 (B)3 (C)-1，2 (D)-1，3
)
例 题 · 典 例 导 练
【解析】选D.(x+1)(x-2)=x+1,
考 点 · 知 识 清 单
移项得，(x+1)(x-2)-(x+1)=0, ∴(x+1)(x-2-1)=0,即(x+1)(x-3)=0, ∴x+1=0或x-3=0.∴x1=-1,x2=3.
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
原方程，可以使方程成立，从而得到一个 新的方程，通过解这个方程，可以求出含 某些字母的代数式的值.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
1.(2011·泰州中考)一元二次方程x2=2x的根是(
)
(A)x=2
(C)x1=0,x2=2
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
先代入，再求解，最后要检验b24ac≥0及是否满足二次项系数a≠0.
策 略 · 专 家 指 导
一元二次方程的解法 【例2】(2010·武汉中考)解方程:x2+x-2=0. 【思路点拨】本例可用因式分解法解，也可用公式法、配方
例 题 · 典 例 导 练
的值.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
【自主解答】选A.把x=-a代入x2+bx+a=0得(-a)2+b〓
(-a)+a=0,a(a-b+1)=0,∵a≠0,∴a-b+1=0,∴a-b=-1.
策 略 · 专 家 指 导
已知一元二次方程的根，求某些含未知系 数的代数式的值的步骤：把方程的解代入
a a
例 题 · 典 例 导 练
根据上述材料填空：
考 点 · 知 识 清 单
已知x1、x2
是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则
1 1 ____. x1 x 2
【解析】由根与方程系数的关系得x1+x2=－4，x1x2=2，
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
∴ 1 1 x 2 x1 4 2.
2 ∴x b b 4ac 1 9 1 3 . x 2, x 1. 1 2
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
2a
2 1
2
方法三：配方法 移项，得x2+x=2,配方，得 x 2 x 1 2 1 ,即(x 1 ) 2 9 . ∴ x 1 3 , x1 2, x 2 1.
念、根的情况的强调，加强对一元二次方程的解法 的教学，加强训练.
策 略 · 专 家 指 导
易错点：(1)在解二次项系数含有
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
字母的一元二次方程时，易漏二次项
系数不为0这一条件. (2)忽视b2-4ac≥0这一条件.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
(2)已知两根，可写出这个二次方程.
(3)求已知二次方程的根的判别式. (4)与根的判别式结合起来，可不解方程判断两根的性质和正 负号.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
6.(2010·益阳中考)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个
不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是(
根，∴b2-4ac=(2m+1)2+4(1-m2)<0，解得m< 5 .
4
考 点 · 知 识 清 单
答案：m< 5
4
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
9.(2010·娄底中考)阅读材料：
策 略 · 专 家 指 导
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1、x2，则两 根与方程系数之间有如下关系：x1+x2= － b ，x1x2= c .
结合近几年的中考试题分析，一元二次
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
方程的解法是中考的热点之一，一元二次
方程根的概念、根的情况，常以选择题、 填空题的形式进行考查，一元二次方程的
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
解法常以解答题的形式进行考查.
策 略 · 专 家 指 导
考 点 · 知 识 清 单
法解，解题时要注意方法步骤.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
【自主解答】方法一：因式分解法：
策 略 · 专 家 指 导
(x+2)(x-1)=0,x+2=0或x-1=0,∴x1=-2,x2=1.
方法二：公式法：这里a=1,b=1,c=-2,
∵b2-4ac=1-4〓1〓(-2)=9>0,
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
一元二次方程的根
策 略 · 专 家 指 导
【例1】(2011·济宁中考)已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个 根是-a(a≠0),则a-b的值为( (A)-1 (B)0 (C)1 ) (D)2
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
【思路点拨】把x=-a代入方程x2+bx+a=0,因式分解整理得a-b
(A)b2-4ac=0 (C)b2-4ac<0 (B)b2-4ac>0 (D)b2-4ac≥0
)
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
【解析】选B.本题主要考查一元二次方程根的情况与 b2-4ac 的关系，当b2-4ac>0时方程有两个不相等的实数根，当b24ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac<0时方程没有实 数根.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
一元二次方程的解法主要有四种：①直接
例 题 · 典 例 导 练
开平方法，②配方法，③公式法，④因式
考 点 · 知 识 清 单
分解法.若没有特别说明，解法选择的一 般顺序为:直接开平方法→因式分解法→
资 源 · 备 课 参 考
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
1.判断一个方程是否是一元二次方程，应先化成一般形式再
例 题 · 典 例 导 练
判断.
2.用公式法解一元二次方程时，一定要注意b2-4ac≥0这个
考 点 · 知 识 清 单
条件；在一元二次方程的定义中，要特别注意二次项系数不 能等于零这一条件，它是定义的一部分.
一元二次方程是初中数学的重要内容，一元二
次方程的求解中直接开平方法、配方法、公式法、
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
因式分解法是解一元二次方程的基本方法.而因式分
解法体现方程“降次求解”的基本思想，公式法更
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
具有一般性.复习时重点加强对一元二次方程根的概
策 略 · 专 家 指 导
九年级数学上册
一元二次方程复习总结
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
(B)x=0
(D)x1=0,x2=-2
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
【解析】选C.x2=2x可变形为x2-2x=0,x(x-2)=0,所以 x1=0,x2=2.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
2.(2011·滨州中考)若x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个 根，则a的值为______.
策 略 · 专 家 指 导
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
例 题 · 典 例 导 练
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
b2-4ac和一元二次方程根的关系 【例3】(2011·江津中考)已知关于x的一元二次方程 (a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ( )
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
(A)Байду номын сангаас<2
(B)a>2
(C)a<2 且a≠1
(D)a<-2
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
【思路点拨】
策 略 · 专 家 指 导
【自主解答】选C.由题意得， 得a<2且a≠1.
4 4 a 1 0 a 1 0
例 题 · 典 例 导 练
,
考 点 · 知 识 清 单
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
知 能 综 合 检 测
公式法→配方法.
策 略 · 专 家 指 导
3.(2011²南充中考)方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( (A)2 (B)3 (C)-1，2 (D)-1，3
)
例 题 · 典 例 导 练
【解析】选D.(x+1)(x-2)=x+1,
考 点 · 知 识 清 单
移项得，(x+1)(x-2)-(x+1)=0, ∴(x+1)(x-2-1)=0,即(x+1)(x-3)=0, ∴x+1=0或x-3=0.∴x1=-1,x2=3.
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
原方程，可以使方程成立，从而得到一个 新的方程，通过解这个方程，可以求出含 某些字母的代数式的值.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
1.(2011·泰州中考)一元二次方程x2=2x的根是(
)
(A)x=2
(C)x1=0,x2=2
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
先代入，再求解，最后要检验b24ac≥0及是否满足二次项系数a≠0.
策 略 · 专 家 指 导
一元二次方程的解法 【例2】(2010·武汉中考)解方程:x2+x-2=0. 【思路点拨】本例可用因式分解法解，也可用公式法、配方
例 题 · 典 例 导 练
的值.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
【自主解答】选A.把x=-a代入x2+bx+a=0得(-a)2+b〓
(-a)+a=0,a(a-b+1)=0,∵a≠0,∴a-b+1=0,∴a-b=-1.
策 略 · 专 家 指 导
已知一元二次方程的根，求某些含未知系 数的代数式的值的步骤：把方程的解代入
a a
例 题 · 典 例 导 练
根据上述材料填空：
考 点 · 知 识 清 单
已知x1、x2
是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则
1 1 ____. x1 x 2
【解析】由根与方程系数的关系得x1+x2=－4，x1x2=2，
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
∴ 1 1 x 2 x1 4 2.
2 ∴x b b 4ac 1 9 1 3 . x 2, x 1. 1 2
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
2a
2 1
2
方法三：配方法 移项，得x2+x=2,配方，得 x 2 x 1 2 1 ,即(x 1 ) 2 9 . ∴ x 1 3 , x1 2, x 2 1.
念、根的情况的强调，加强对一元二次方程的解法 的教学，加强训练.
策 略 · 专 家 指 导
易错点：(1)在解二次项系数含有
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
字母的一元二次方程时，易漏二次项
系数不为0这一条件. (2)忽视b2-4ac≥0这一条件.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
(2)已知两根，可写出这个二次方程.
(3)求已知二次方程的根的判别式. (4)与根的判别式结合起来，可不解方程判断两根的性质和正 负号.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
策 略 · 专 家 指 导
6.(2010·益阳中考)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个
不相等的实数根，则b2-4ac满足的条件是(
根，∴b2-4ac=(2m+1)2+4(1-m2)<0，解得m< 5 .
4
考 点 · 知 识 清 单
答案：m< 5
4
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
9.(2010·娄底中考)阅读材料：
策 略 · 专 家 指 导
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1、x2，则两 根与方程系数之间有如下关系：x1+x2= － b ，x1x2= c .
结合近几年的中考试题分析，一元二次
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
方程的解法是中考的热点之一，一元二次
方程根的概念、根的情况，常以选择题、 填空题的形式进行考查，一元二次方程的
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
解法常以解答题的形式进行考查.
策 略 · 专 家 指 导
考 点 · 知 识 清 单
法解，解题时要注意方法步骤.
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
【自主解答】方法一：因式分解法：
策 略 · 专 家 指 导
(x+2)(x-1)=0,x+2=0或x-1=0,∴x1=-2,x2=1.
方法二：公式法：这里a=1,b=1,c=-2,
∵b2-4ac=1-4〓1〓(-2)=9>0,
资 源 · 备 课 参 考
知 能 综 合 检 测
一元二次方程的根
策 略 · 专 家 指 导
【例1】(2011·济宁中考)已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个 根是-a(a≠0),则a-b的值为( (A)-1 (B)0 (C)1 ) (D)2
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
【思路点拨】把x=-a代入方程x2+bx+a=0,因式分解整理得a-b
(A)b2-4ac=0 (C)b2-4ac<0 (B)b2-4ac>0 (D)b2-4ac≥0
)
例 题 · 典 例 导 练
考 点 · 知 识 清 单
【解析】选B.本题主要考查一元二次方程根的情况与 b2-4ac 的关系，当b2-4ac>0时方程有两个不相等的实数根，当b24ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac<0时方程没有实 数根.
合集下载
北师大版九年级上册数学《用因式分解法解一元二次方程》一元二次方程说课教学课件复习
小颖是这样解的 :
小明是这样解的 :
解 : x2 3x 0. x 3 9. 2
这个数是0或3.
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
心动 不如行动 你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
x2 6x 9 (x 3)2; x2 5x 6 (x 2)(x 3);
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢?
4x2 12x 9 ?. 3x2 7x 4 ?.
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x2 7x 6 0得x1 1, x2 6; 而x2 7x 6 (x 1)(x 6);
树状图
第一枚硬币 第二枚硬币
所有可能出 现的结果
正
正
(正，正)
开始
反
(正，反)
先分组进行试验，然后累计各组的试验数据，分别 计算这三个事件发生的频数与频率，并由此估计这 三个事件发生的概率.
课时1 用树状图或表格求概率
思考
你认为这个游戏公平吗？ 连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”，“两枚 “一枚正面朝上、一枚反面朝上”，这三个事件发生的概
通过大量重复试验我们发现， 在一般情况下，“一枚正面朝上、一枚反面朝上”发生的 两个事件发生的概率. 所以，这个游戏不公平. 它对小凡比较有利.
课时1 用树状图或表格求概率 新课引入 问题 2. 如何计算等可能概型的概率？
一般的，如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 种结果，那么事件 A 发生的概率为：
P A =m. n
人教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
【跟踪训练】
3．把方程 x(2x－1)＝1 化成 ax2＋bx＋c＝0 的形式，则 a，
b，c 的一组值是( A )
A．2，－1，－1
B．2，－1,1
C．2,1，－1
D．2,1,1
4．把下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式，并指出其 二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－1； (2)a(x2－x)＝bx＋c(a≠0)． 解：(1)一般形式为 3x2－5x＋1＝0，二次项系数为 3，一次 项系数为－5，常数项为 1. (2)一般形式为 ax2－(a＋b)x－c＝0，二次项系数为 a，一次 项系数为－(a＋b)，常数项为－c.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话， 另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一2022/4/112022/4/112022/4/11 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/112022/4/112022/4/114/11/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/112022/4/11April 11, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．一元二次方程的概念 只含有__一__个___未知数，并且未知数的最高次数是___2____ 的___整__式___方程，叫做一元二次方程． 注意：一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数； (2)未知数的最高次数是 2；(3)是整式方程．
初三数学 人教版九年级上册(新) 第21章 一元二次方程 复习课 课件(14张)
▪ 2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
右边开平方 后，根号前 取“±”。
两边加上相等项“1”。
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0
先变为一般 形式，代入 时注意符号
a=3 b=-4 c=-7
。
∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
x 4 100
②移常数项到右边；
③两边加上一次项系数一半的平方；
④化直接开平方形式;
⑤解方程。
▪公式法步骤：
① 先化为一般形式；
②确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x
若b2-4ac＜0,方程没有实数根。
▪分解因式法步骤:
①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解。
( 公式 法）
▪ 6、 x２＋６x-1=0
( 配方 法）
▪ 7、 ３x２ -８x-３=０
(分解因式法）
▪ 8、 y2- 2 y-1=0
( 公式 法）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
把握住：一个未知数，最高次数是2 一元二次方程的定义 ， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
2 5∴
6
3
4 ∴x1=
x238 =
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）把y+2看作一个
=0
未知数，变成 (ax+b)(cx+d)=
(y+2)(y+2-3)=0
右边开平方 后，根号前 取“±”。
两边加上相等项“1”。
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0
先变为一般 形式，代入 时注意符号
a=3 b=-4 c=-7
。
∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
x 4 100
②移常数项到右边；
③两边加上一次项系数一半的平方；
④化直接开平方形式;
⑤解方程。
▪公式法步骤：
① 先化为一般形式；
②确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x
若b2-4ac＜0,方程没有实数根。
▪分解因式法步骤:
①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解。
( 公式 法）
▪ 6、 x２＋６x-1=0
( 配方 法）
▪ 7、 ３x２ -８x-３=０
(分解因式法）
▪ 8、 y2- 2 y-1=0
( 公式 法）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
把握住：一个未知数，最高次数是2 一元二次方程的定义 ， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
2 5∴
6
3
4 ∴x1=
x238 =
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）把y+2看作一个
=0
未知数，变成 (ax+b)(cx+d)=
(y+2)(y+2-3)=0
中考数学专题《一元二次方程》复习课件(共18张PPT)
一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2
2
b 4ac
2
bx c 0a 0根的判别式是: ax bx c 0a 0
定理与逆定理
一元二次方程
判别式的情况
根的情况
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
a, b, c能构成等腰三角形。
综上所述，m 4或3。
活动五 相信我 我是最棒的
若a为方程
的解，则 x x 5 0 2 3a 3a 5 的值为（ 20 ）
2
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
m 3
且把m 3代入方程，
且把m 4代入方程， 得x 2 4 x 4 0
16 4m 0, m 4
得x 2 4x 3 0，x1 3, x2 1。
三边分别为3、3、1
x1 x2 2
即b cb, c能构成等腰三角形。
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
例2、已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程
(m 2) x (2m 3) x m 2 0
2
有两个实数根，求m的值。
解：∵方程有两个实数根 2
∴
[ ( 2 m 3 )] 4 ( m 2 )( m 2 ) 0
√ ×
1 3、x2+ ＝１ x
一元二次方程复习课件
初三数学第21章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，•并且未知数的最高次数是2，•这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c ．例1．求方程2x 2+3=22x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．例2．若关于x 的方程（m+3）27m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．例3．若关于x 的方程（k 2-4）x 2+1k -x+5=0是一元二次方程，求k 的取值范围．例4．若α是方程x 2-5x+1=0的一个根，求α2+21α的值．1．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ） Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 3．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）二、一元二次方程的一般解法 基本方法有：（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。
联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x 2 +8x+12=02、3x 23x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=02、2x23、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，1．△=b2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；2．△=b2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；3．△=b2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-（2、x2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a 的值为例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，•则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求4)2(222-+-baab的值例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1x2x1 + x 2= -bax 1 x2=ca例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）=例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；（2）•求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:①审②设③列④解⑤答应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。
一元二次方程-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
典例精讲
一元二次方程的解法
知识点二
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是_x_1_=_0_,_x_2=_1__.
(2)已知等腰三角形的三边分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程
x2-12x+m+2=0的两个根,则m的值为( A )
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
(1)x(x-1)=0,
一元二次方程的解法
解方程：
(1)2(x-3)=3x(x-3). x1=3，x2=2/3
(2)2x2-4x-1＝0.
x1
2 2
6 ，x2
2 2
6
(3)x2-4x+1=0(用配方法求解)； (4)x2-6x+9=(5-2x)2.
x1 2 3，x2 2 3
x1=2，x2=8/3
查漏补缺
当堂训练
根的判别式
b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
步骤
①将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②计算Δ；
③若Δ≥0,利用求根公式解方程；若Δ＜0,则原方程无解.
理论 若ab=0,则_a_=_0_或__b_=_0_. 因式分 ①利用因式分解把方程化为两个一次式的乘积等于0；
解法 步骤②使这两个一次式分别等于0,得两个一元一次方程； ③求出两个一元一次方程的解,即一元二次方程的解.
(2)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则 D ()
A.x1+x2＜0 B.x1x2＜0 C.x1x2＞-1 D.x1x2＜1 (3)关于x的7一/4元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5, 则m的值是_____.
人教版初三数学一元二次方程全章复习课件PPT
配方法 公式法 x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 8、若9am2-4m+4与5a9是同类项，则m= ___
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》复习参考课件 (共25张ppt)
（2）
2
2) 6 0
2
9x 6x 1 0
2016/11/16
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程 的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
,
x1x2=
c a
.
2016/11/16
回顾与复习 5 • 列方程解应用题的一般步骤是:
解应用题
• 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
• 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
• 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系.
2 b b 4 ac 2 2016/11/16 x . b 4 ac 0 . 2a
4.因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为因 式分解法. 老师提示: 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
2
2) 6 0
2
9x 6x 1 0
2016/11/16
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程 的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
,
x1x2=
c a
.
2016/11/16
回顾与复习 5 • 列方程解应用题的一般步骤是:
解应用题
• 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?
• 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
• 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系.
2 b b 4 ac 2 2016/11/16 x . b 4 ac 0 . 2a
4.因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为因 式分解法. 老师提示: 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程