高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修1_1

3.函数在点x=b处的情况呢? 提示:函数在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0,右侧f′(x)<0.
结论:极大(小)值的概念 (1)函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近
f′(a)=0 在点x=a附近的左其他点的函数值都小,且_________,
x f′(x)= 1 ln , 2 x
x
令f′(x)=0,得x=e,
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:
x f′(x) f(x)
(0,e) + 单调递增↗
e 0
1 e
(e,+∞) 单调递减↘
故当x=e时,函数取得极大值f(e)= 1 ,无极小值.
e
【方法总结】求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)定区间求导:确定函数的定义区间,求导数f′(x). (2)解方程:求方程f′(x)=0的根.
(3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区
间分成若干个小开区间,并列成表格.
(4)检测判断:检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符
号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左
减函数,所以x=2为函数f(x)的极小值点.
3.如图是导函数y=f′(x)的图象,函数y=f(x)的极大值
点是________,极小值点是________.
【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方,导数为正,
在点x2右侧附近导数图象在x轴下方,导数为负,故点x2 为极大值点,
因为在点x4左侧导数图象在x轴下方,导数为负,在点x4
3.3.2
函数的极值与导数
主题
函数极值的概念及求法
观察图象回答下面问题
1.函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系? 提示:函数在点x=a的函数值比它在点x=a附近的其他点的函数值都小.
2.f′(a)等于多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有什么规律? 提示:f′(a)=0,在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
【解析】选D.函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
2 1 x2 2 2 . 当x=2时,f′(x)=0;当x>2时,f′(x)>0, x x x
函数f(x)为增函数;当0<x<2时,f′(x)<0,函数f(x)为
C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
【解析】选D.由导数y′与函数值的变化情况以及极值
之间的关系,可知选项D正确.
2.(2016·陕西高考)设函数f(x)= 2 +lnx,则(
x
)
A.x= 1 为f(x)的极大值点
2 B.x= 1 为f(x)的极小值点 2
右侧附近导数图象在x轴上方,导数为正,故点x4为极小值点.
答案:x2 x4
4.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.(仿照教材P94例4的
解析过程) 【解析】f′(x)=3x2-6x-9.
解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
(0,2) 单调递减
2 (2,+∞) 0 + 单调递 8 增
由表知:当x=-2时,y极大值=-8;
当x=2时,y极小值=8.
2.设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f′(x),且f′(2)=
15.(1)求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.
【解析】(1)因为f′(x)=3x2+2ax-9,
3.函数的极大值一定大于极小值吗?
提示:不一定,极值刻画的是函数的局部性质,反映了函数在某一点附近的大小情况,极大值可能比极小值还小.
【预习自测】
1.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为 ( )
A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
f′(x)<0 右侧_________, f′(x)>0 则a叫做极小值点,f(a) 侧_________, 叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近 f′(b)=0 在点x=b附近的左其他点的函数值都大,且_________,
f′(x)>0 右侧_________, f′(x)<0 则b叫做极大值点,f(b) 侧_________,
叫做函数y=f(x)的极大值.
【微思考】 1.函数的极值可以在区间端点处取得吗? 提示:不可以,因为在端点处不能反映两侧的函数值的变化情况,况且端点处的导数不一定为0.
2.当f′(x0)=0时,x=x0是否一定为y=f(x)的极值点?
提示:不一定,只有同时满足x0左右导数符号不一致时才称x0为极值点.
因为f′(2)=15,所以12+4a-9=15, 所以a=3.所以f(x)=x3+3x2-9x,
所以f′(x)=3x2+6x-9,
所以f(0)=0,f′(0)=-9, 所以函数在x=0处的切线方程为y=-9x.
(2)令f′(x)=0,得x=-3或x=1.当x变化时,f(x)与f′(x)
的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-3) + 单调递增 -3 0 27 (-3,1) 单调递减 1 0 -5 (1,+∞) + 单调递增
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f′(x) + 0 0 + f(x) ↗ 10 ↘ -22 ↗ 由表可知:当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=10. 当x=3时,f(x)有极小值f(3)=-22.
类型一
求函数的极值
ln x 的极值. x
【典例1】求函数f(x)=
【解析】函数f(x)= ln x 的定义域为(0,+∞),且
右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
【巩固训练】1.求函数y=2x+ 8 的极值.
x
【解析】函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). y′=2- 82 ,令y′=0,得x=〒2.
x
当x变化时,y′,y的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 y′ + 0 单调递 y -8 增
(-2,0) 单调递减

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高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数

4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减－16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0，故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增．因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.

高中数学 3.3.2 函数的极值与导数课件新人教A版选修1

易错易误辨析
当堂双基达标
课时作业
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教学教法分析
教学方案设计
课前自主导学
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教
学
易
教
错
法分析
易
1．函数在
x＝a
点的函数值与这点附近的函数值有什么大
误辨
析
教小关系？
学
当
方案
【提示】
函数在点 x＝a 的函数值比它在点的函数值都小 .
达
标
课
前
2．f′(a)为多少？在点 x＝a 附近，函数的导数的符号有什
课时
导
作
学的形式给予检查和纠正．
业
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教
学
易
教
错
法
易
分析
误
本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点” 辨
析
教学
的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，
当
方
堂
案设
让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对
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教
学
易
教
错
法

(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》

其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义
域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小开区间的符号．求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极
小值之间无确定的大小关系．
f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，
当－1＜x＜2时，f(x)＜0
∴ 当 x ＝－ 1 时 f(x) 有极大值， f(x) 极大值＝ f( － 1) ＝ 5 ，无极小值．故应选C.
[例2] [分析]
求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然后将f(x)的各
值与最小值．极值与 f( －1) ， f(2) 比较，其中最大的一个是最大值，最小
[点评] 恒成立转化为最值，即用导数求最值．
函数的极值、最值常与单调性，不等式结合出解答题，
是历年考试的重点，一般分为二至三问，要注意它们之间的内在联系，另外解此类问题要注意极值，最值的注意事项．
[例5]
[ 误解 ] 6ax＋b.
已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，
1 1 解得 x1＝，x2＝－ . 3 3 当 x 变化时，y′和 y 的变化情况如下表：
1 11 因此，当 x＝－3时，y 有极大值，并且 y 极大值＝ 9 . 1 7 而当 x＝3时，y 有极小值，并且 y 极小值＝9.
[点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用
求函数极值的一般步骤求解．
[ 例 4]
已知函数 f(x) ＝ ax4lnx ＋ bx4 － c(x>0) 在 x ＝ 1 处取
得极值－3－c，其中a、b、c为常数．

高中数学第3章导数及其应用函数的极值与导数课件新人教A版选修1-1

，x＝3是函数
f(x)的极小值点，且f(x)极小值＝－6.
(2)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－x32＋3x＝3xx－2 3，ຫໍສະໝຸດ 令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0
＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
1．判断正误 (1)导数值为0的点一定是函数的极值点． (2)极大值一定比极小值大． (3)函数f(x)＝1x有极值． (4)函数的极值点一定是其导函数的变号零点．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
() () () ()
2．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝
熟练地求函数的极值．(重点)
2．借助极值的求法，提
3．会根据函数的极值求参数的值．(难升逻辑推理与数学运算的
点)
素养.
自主预习探新知
1．极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值如图，函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a) 叫做函数 y ＝f(x)的极小值．
(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线 f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－ 2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x 轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．

2021_2021学年高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修1_1

◎变式训练
1．求下列函数的极值． (1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝1＋2xx2－2. 解析 (1)函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
(－∞，
x
－2 (－2，2)
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
单调递增极大值单调递极小值单调递增
f(x)
14 减 3
－6
故当 x＝－1 时，函数取得极大值，且极大值为 f(－1)
＝134；当 x＝3 时，函数取得极小值，且极小值为 f(3)＝－6.
(2)函数 f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝
(2)函数y＝f(x)在[－2，5]上有没有极值点，假设有，请指出极值点．
提示在x＝－1的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，故x＝－1是f(x)的极小值点；在x＝2的左侧f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，故x＝2是f(x)的极大值点，在x＝4的左侧 f′(x)<0，右侧f′(x)>0，故x＝4是f(x)的极小值点．
探究2：根据函数极值的概念，答复以下问题： (1)函数的极值点是否只能有一个？区间的端点能不能成为函数的极值点？提示函数在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有；极值点是函数定义域中的点，因而端点不可能是极值点． (2)函数的极值点与函数的单调区间有什么关系？提示极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点，极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点．

2019秋高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修1_1

答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.函数 y＝f(x)的定义域为(a，b)，
y＝f′(x)的图象如图，则函数 y＝f(x)在
开区间(a，b)内取得极小值的点有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：当满足 f′(x)＝0 的点，左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)
＞0 时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．
[迁移探究 1] (变换条件)若本例(2)中“有三个不同的实根”改为“有两个不同的实根”，求实数 a 的范围．
解：a＝5－4 2或 a＝5＋4 2时 y＝a 与 y＝f(x)的图象有两个不同的交点，即方程 f(x)＝a 有两个不同实根．
[迁移探究 2] (变换条件)若本例(2)中“有三个不同的实根”改为“有一个实根”，求实数 a 的范围．
第一步：利用导数判断函数 y＝f(x)的单调性及极值情况，综合各种信息画出函数 y＝f(x)的大致图象．
第二步：研究函数 y＝f(x)与 y＝a 的图象的交点个数．第三步：根据交点个数写出方程根的情况．
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
解：当 a＞5＋4 2或 a＜5－4 2时，y＝a 与 y＝f(x) 的图象有一个交点，即方程 f(x)＝a 有一个实根．
归纳升华 1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系． 2．对于方程 f(x)＝a 的根的个数问题，可转化为函数 y ＝f(x)与函数 y＝a 的图象的交点个数问题．其操作方法是：
(2)极大值点与极大值．如图，函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x ＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点 x＝b 的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则把点 b 叫做函数 y＝f(x) 的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

人教课标版高中数学选修1-1《函数的极值与导数》名师课件

2．理解极值概念的注意点（1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右
两侧附近的点而言的．（2）极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的
端点绝不是函数的极值点．（3）若函数f（x）在[a,b]内有极值，那么函数f（x）在[a,b]
内绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值．（4）极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
知识梳理数学知识： (1)函数极值的概念以及极值的判定方法． (2)求解函数y=f（x）极值的步骤: ①)确定函数的定义域，求导数f′(x)（养成研究函数的性质从定义域出发的习惯）； ②求方程f′(x) =0的根； ③检查f′(x)在方程 f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点.(最好通过列表法) ④求出极值．
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测知识梳理
注意点： ⑴ f′(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件. ⑵要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f′(x0)=0 左右侧导数的符号.
数学思想：数形结合、分类讨论和函数与方程等思想．
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
重难点突破
（1）求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点．（2）求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后依据极值的定义求解，另外，还要在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，这两类点就是函数在定义域内可能取到极值的全部点．（3）由于导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此在已知函数极值的问题中，应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验，检验每一组解对应的函数在该点处是否能取到极值，从而进行取舍．

高中数学 3.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修1-1

2．已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
精选ppt
7
题型三函数极值的应用
例 3 当 a 为何值时，方程 x3－3x2－a＝0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根？有没有可能无实根？
精选ppt
5
题型二已知函数的极值求参数的
值
例 2 已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 处取得极值，且 f(1)＝－1. (1)试求常数 a、b、c 的值； (2)试判断 x＝±1 是函数的极大值还是极小值，并说明理由．
解析：(1)易得 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∵x＝±1 是函数的极值点，
3．3.2 函数的极值与导数
精选ppt
1
精选ppt
2
题型一求函数的极值
例 1 求函数 f(x)＝x3－12x 的极值．
解析：易知函数的定义域为 R，且 f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令 f′(x)＝0，得 x＝－2 或 x＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
－23ba＝0，
由根与系数的关系知：
3ca＝－1，
又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
联立上述三式，解得，a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得，f′(x)＝32x2－32＝32(x＋1)(x－1)，
当 x＜－1 或 x＞1 时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1 时，f′(x)＜0.

秋人教A版高二数学选修1-1课件：第三章 3.3.2函数的极值与导数 (共88张PPT)

择决定命运，环境造就人生！

明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选

高中数学第三章导数及其应用3.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修1_1

高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数

高中数学 3.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修1

(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》

高中数学 第3章 导数及其应用 函数的极值与导数课件 新人教A版选修1-1