2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5.1.2 弧度制
反思 感悟
对弧度制定义的三点说明
(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无
关的定值.
(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如2 rad可简写
为2.
(3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不
同的.
跟踪训练1 下列各说法中，错误的是 A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
√40π A. 3
20π B. 3
200π C. 3
解析 由于 r＝10，α＝43π，所以弧长 l＝r·α＝403π.
400π D. 3
12345
9 5.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为____2____. 解析 由题意可知2l＝r＋r，l＝9， 所以lr＝＝33，， 所以 S＝12lr＝92.
l＋2R＝10，
①
依题意有12lR＝4.
②
①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4. 当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去. 当 R＝4 时，l＝2，此时，θ＝24＝12(rad). 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12 rad.
延伸探究 1.已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.
2 题型列说法正确的是
√A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角
解析 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A 正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误； 对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误.
√D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半 径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，其他A，B，C正确.
二、角度制与弧度制的互化
例2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°； 解 72°＝72×1π80＝25π； (2)－300°；
A.第一象限
√C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
12345
3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为
14 A. 3 π
√B.－134π
7 C.18 π
D.－178π
解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里， 顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－134π.
12345
4.在半径为 10 的圆中，43π的圆心角所对弧长为
反思 感悟
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝
1 2
lR＝
1 2
αR2(其中l是扇形的弧
长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，
关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇
知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝ αR . (2)扇形面积公式：S＝12lR＝12αR2.
思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？
答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形可看作是一曲边三角 形，弧是底，半径是底上的高.
跟踪训练 2 已知 α＝15°，β＝1π0，γ＝1，θ＝105°，φ＝71π2，试比较 α，β，γ，θ，φ 的 大小. 解 α<β<γ<θ＝φ.
三、与扇形的弧长、面积有关的计算
例3 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
跟踪训练3 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.
解 已知扇形的圆心角 α＝60°＝π3，半径 r＝10 cm， 则弧长 l＝α·r＝π3×10＝103π(cm)， 于是面积 S＝12lr＝12×103π×10＝503π(cm2).
3 随堂演练
解 －300°＝－300×1π80＝－53π；
(3)2； 解 2＝2×1π80°＝3π60°； (4)－29π. 解 －29π＝－29π×1π80°＝－40°.
反思
感悟 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以
得到： 度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数.
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
π 1.18°＝___1_0____ rad.
2.130π＝___5_4_°___.
3.若 α＝π4，则 α 是第____一____象限角.
4.圆心角为π3弧度，半径为 6 的扇形的面积为___6_π____. 解析 扇形的面积为12×62×π3＝6π.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)弧度制的概念. (2)弧度与角度的相互转化. (3)扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳：消元法解方程组. 3.常见误区：弧度与角度混用.
本课结束
解 设扇形弧长为l，因为圆心角 72°＝72×1π80＝25π rad， 所以扇形弧长 l＝|α|·r＝25π×20＝8π， 于是，扇形的面积 S＝12l·r＝12×8π×20＝80π.
2.已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值 是多少？
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， 则 l＋2r＝4，所以 l＝4－2r1＋2 π<r<2， 所以 S＝12l·r＝12×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1， 所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1， 因此，θ＝rl＝4－21×1＝2(rad).
答案 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小 无关.
知识点三 角度与弧度的互化
角度化弧度
360°＝ 2π rad
180°＝ π rad
1°＝
π 180
rad≈0.017
45
rad
度数× π ＝弧度数 180
弧度化角度 2π rad＝_3_6_0_°_ π rad＝_1_8_0_°_ 1 rad＝1π80°≈57.30° 弧度数× 1π80°＝度数
PART THREE
1.下列说法中，错误的是 A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
√D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误.
12345
2.若α＝－2 rad，则α的终边在
知识点一 度量角的两种单位制
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制.
(2)1度的角：周角的
1 360
.
2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制.
(2)1弧度的角：长度等于 半径长 的圆弧所对的圆心角.
知识点二 弧度数的计算
正 负 0
l r
思考
比值
l r
与所取的圆的半径大小是否有关？
第五章 5.1 任意角和弧度制
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系. 2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面 积公式，熟悉特殊角的弧度数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
合集下载
5.1.2 弧度制-(新教材人教版必修第一册)(41张PPT)
心角
任意角的弧度 正角的弧度数是一个_正__数__，负角的弧度数是一
数与实数的对 个_负__数__，零角的弧度数是__0_
应关系
计算公式
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l， l
那么，角 α 的弧度数的绝对值是|α|＝__r_
2．角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的换算
(2)一些特殊角与弧度制的对应关系
集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z
中的角所表示的范围(阴影部
分)是( C )
类型三：弧长公式与扇形面积公式的应用
典例示范
探究题 1 若扇形的中心角为 120°，半径为 3，则此扇形的面 积是多少？
解：因为 120°＝23π，所以由扇形的面积公式可得此扇形的面积 是 S＝12αR2＝12×23π×3＝π.
数学（人教版）
必修第一册
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
第一 阶段
பைடு நூலகம்课前自学质疑
必备知识 深化预习
1．弧度制的定义
角度制
①定义：用_度__作为单位来度量角的单位制． 1
②1 度的角：周角的__3_6_0___作为一个单位
①定义：以_弧__度__作为单位来度量角的单位制．
弧度制 ②1 弧度的角：长度等于_半__径__长__的圆弧所对的圆
课堂检测 基础达标
1．已知扇形的周长为 4，面积为 1，则该扇形的圆心角是( )
A．1
B．2
C．π2
D．π
B 解析：设扇形的半径为 r，弧长为 l，则 l＋2r＝4，①
S＝21lr＝1，即 lr＝2，②
得 r＝1，l＝2，则扇形圆心角的弧度数为rl＝21＝2.故选 B.
高中数学新课程必修第一册《5.1.2弧度制》(含微课)课件
小结
1.1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作
1弧度的角， “弧度”用符号rad表示。可以省略不写
2.角度与弧度的互化
1rad 180
57.3
=180
1
rad 0.01745rad
180
练习1：填写下表：
角度 弧度 角度 弧度 角度 弧度
0°
0
135°
3
4
270° 3
2
30°
6
150°
5
6
300° 5 3
45°
4
180°
π
315°
7
4
60°
3
210°
7
6
330°
11
6
90°
2
225°
5
4
360°
2π
120° 2
3
240°
4
3
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
r
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的
弧所对的圆心角是 rad。
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的 弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
a的正负由角a的始边的旋转方向决定。
2、正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数
正角 负角 零角 任意角的集合
正数 负数 零
正数 负数 0
实数集R
思考 角度制与弧度制如何换算？
的 AB 的长为l．
新课引入
如果α=1°，AB
的长度等于周角所对弧长2πr的 1
第5章-5.1.2-弧度制高中数学必修第一册湘教版
−135∘ 角的终边，化为弧度，即−
π
3
3π
，60∘
4
角
图5.1.2-3
的终边即 的终边,所以终边落在阴影部分内
（不包括边界）的角的集合为{|2π −
3π
4
π
3
< < 2π + , ∈ }.
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
π
6
π
2
π
6
π
2
{|2π + < < 2π + , ∈ } ∪ {|2π + π + < < 2π + π + ,
工制作零件，零件的截面如图5.1.2-6所示.为圆孔及轮廓
圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，
是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，
3
5
⊥ ，垂足为，tan ∠ = ,//, = 12 cm,
图5.1.2-6
= 2 cm,到直线和的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面
π
，则−
4
+ 2π <
π+
2
< 2π , ∈
π+
，
的终边
∵ 扇形面积 =
1
2
= 1，∴ =
∴ 周长 = + 2 =
2
+
2
，
2 ≥ 4，当且仅当 = 1时取等号.
∴ 当 = 1时，周长最小.
【学会了吗丨变式题】
2.已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积的最大值为( B
A.100 cm2
π
3
3π
，60∘
4
角
图5.1.2-3
的终边即 的终边,所以终边落在阴影部分内
（不包括边界）的角的集合为{|2π −
3π
4
π
3
< < 2π + , ∈ }.
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
π
6
π
2
π
6
π
2
{|2π + < < 2π + , ∈ } ∪ {|2π + π + < < 2π + π + ,
工制作零件，零件的截面如图5.1.2-6所示.为圆孔及轮廓
圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，
是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，
3
5
⊥ ，垂足为，tan ∠ = ,//, = 12 cm,
图5.1.2-6
= 2 cm,到直线和的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面
π
，则−
4
+ 2π <
π+
2
< 2π , ∈
π+
，
的终边
∵ 扇形面积 =
1
2
= 1，∴ =
∴ 周长 = + 2 =
2
+
2
，
2 ≥ 4，当且仅当 = 1时取等号.
∴ 当 = 1时，周长最小.
【学会了吗丨变式题】
2.已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积的最大值为( B
A.100 cm2
高中数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制(教学课件)
当 r
4
时，S
有最大值
16，此时 l
16 2r
8
，
l r
2
，
当 2 时，扇形的面积最大，最大面积是 16.
本节课学习了弧度制的概念， 角度与弧度的互化，扇形的弧长及 面积公式.
感谢观看
（1）若 60 ， r 3 ，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为 16，当 为多少弧度时，该扇形面积最大？
并求出最大面积.
解析：（1）设扇形的半径为 r，弧长为 l.
60
3
，
r
3 ，l
|
|
r
3
3
.
（2）由题设条件知，l 2r 16 ，l 16 2r(0 r 8) ，
因此扇形的面积 S 1 lr 1 (16 2r)r r2 8r (r 4)2 16 ， 22
2π
5π 6
，
2
750
750π 180
25π 6
2
2π
π 6
，
故1
19π 6
，2
25π 6
，1
的终边在第二象限，2
的终边在第一象限.
（2） 1
3π 5
3 180 5
108
， 2
π 3
1 180 3
60
.
设1 108 k1 360k1 Z ，2 60 k2 360k2 Z ，
令 720 1 180 ， 720 2 180 ，
即 720 108 k1 360 180k1 Z ， 720 60 k2 360 180k2 Z ，
得 k1 2或 k1 1， k2 1 .
故在[720, 180) 内，与 1 终边相同的角是 612 和 252 ，
【新教材】5.1.2 弧度制 课件-人教A版高中数学必修第一册(共31张PPT)
→
求扇形面积
→
转化为二次 函数求最值
解析： 设扇形的圆心角为 α，半径为 r，弧长为 l，则 l＝αr， 依题意 l＋2r＝20，即 αr＋2r＝20，∴α＝20－r 2r. 由 l＝20－2r>0 及 r>0 得 0<r<10， ∴S 扇形＝12αr2＝12·20－r 2r·r2＝(10－r)r ＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．
角度制与弧度制换算的要点：
提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．
[跟踪训练一]
1．将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. 解析： (1)20°＝2108π0 rad＝9π rad.
(2)－15°＝－1158π0 rad＝－1π2 rad.
2．(1)75π化为角度是________． (2)105°的弧度数是________．
解析：(1)75π＝75π×18π0°＝252°； (2)105°＝105×18π0 rad＝172π rad.
3．半径为 2，圆心角为π6的扇形的面积是________． 解析：由已知得 S 扇＝12×6π×22＝π3.
解析： 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，
(1)θ－π6＋2kπ<θ<152π＋2kπ，k∈Z
.
(2)θ－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z
.
(3)θπ6＋kπ<θ<π2＋kπ，k∈Z
.
解题方法（表示角的集合注意事项）
.
(2)如题图②，以 OA 为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；以 OB 为终边的角
高中数学必修一(人教版)《5.1.2 弧度制》课件
≤ 2
2α00·α4＋4＝25，当且仅当 α＝α4，即 α＝2 时取等号，此时 r＝22＋02＝5.
故当半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时，扇形面积最大，其最大值为 25 cm2.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在平面直角坐标系中，集合 S＝αα＝2k3π，k∈Z
的元素所表示的角的终
2.弧度数：
[微思考] 比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半 径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算：
4．角度制与弧度制的比较：
用度作为单位来度 单位“°”不能 角的正负与
角度制
量角的单位制 省略
方向有关
六十进制
用弧度作为单位来 单位“rad”可以 角的正负与
【对点练清】
1．终边落在坐标轴上的角的集合是
A．{α|α＝2kπ，k∈Z }
B．αα＝12kπ，k∈Z
()
C．αα＝kπ＋π2，k∈Z
D．αα＝12kπ，k∈N
解析：终边落在坐标轴上的角用“角度”表示为{α|α＝90°·k，k∈Z }，化成
弧度为αα＝12kπ，k∈Z
.
答案：B
2. 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)， 并判断2 012°是不是这个集合的元素． 解：因为 150°＝56π， 所以终边在阴影区域内角的集合为
() B．－130π 化成度是－600° D．1π2化成度是 15°
解析：对于 A,60°＝60×1π80＝π3；对于 B，－103π＝－130×180°＝－600°；对于 C， －150°＝－150×1π80＝－56π；对于 D，1π2＝112×180°＝15°.故 C 项错误． 答案：C
高数数学必修一《5.1.2弧度制》教学课件
12
π
π
解析：(1)20°＝20×180＝ 9 ；
π
π
(2)－15°＝－15×180＝－12；
7π
7π
180°
＝105°；
π
11π
11π
180°
(4)－ 5 ＝－ 5 × π ＝－396°.
(3) 12 ＝ 12 ×
5
学霸笔记：角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180 °是关键，由
4
解析：时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的弧度为－2π rad，则时针经过四个小时，转过了12·(－2π) rad
2π
＝－ 3 rad.故选B.
3．若角α＝3 rad，则角α是(
)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
π
2
解析：因为 <3<π，所以3 rad是第二象限角．故选B.
(3)一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少
弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
1
提示：(1)周角的360为1度的角
(2)能
π
180
(3)360°
2π 度数×180＝弧度，弧度数×( π )°＝度数
例1 将下列角度与弧度进行互化．
7π
11π
(1)20°；(2)－15°；(3) ；(4)－ .
3
3
(2) 若 扇 形 圆 心 角 为 135° ， 扇 形 面 积 为 3π ， 则 扇 形 半 径 为
2 2
________．
3π
4
1
2
解析：依题意可知，圆心角的弧度数为 ，设扇形半径为r，则S＝ ×
π
π
解析：(1)20°＝20×180＝ 9 ；
π
π
(2)－15°＝－15×180＝－12；
7π
7π
180°
＝105°；
π
11π
11π
180°
(4)－ 5 ＝－ 5 × π ＝－396°.
(3) 12 ＝ 12 ×
5
学霸笔记：角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180 °是关键，由
4
解析：时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的弧度为－2π rad，则时针经过四个小时，转过了12·(－2π) rad
2π
＝－ 3 rad.故选B.
3．若角α＝3 rad，则角α是(
)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
π
2
解析：因为 <3<π，所以3 rad是第二象限角．故选B.
(3)一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少
弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？
1
提示：(1)周角的360为1度的角
(2)能
π
180
(3)360°
2π 度数×180＝弧度，弧度数×( π )°＝度数
例1 将下列角度与弧度进行互化．
7π
11π
(1)20°；(2)－15°；(3) ；(4)－ .
3
3
(2) 若 扇 形 圆 心 角 为 135° ， 扇 形 面 积 为 3π ， 则 扇 形 半 径 为
2 2
________．
3π
4
1
2
解析：依题意可知，圆心角的弧度数为 ，设扇形半径为r，则S＝ ×
2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.2弧度制课件新人教A版必修第一册
将①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r＝1 或 r＝4. 当 r＝1 时，l＝8，此时 θ＝8 rad>2π rad，舍去； 当 r＝4 时，l＝2，此时 θ＝24＝21(rad)．∴θ＝12 rad. (2)设扇形的圆心角为 α，弧长为 l cm，半径为 R cm，面积为 S cm2. ∵72°＝72×1π80＝25π(rad)，∴l＝αR＝25π×20＝8π(cm)． ∴S＝12lR＝12×8π×20＝80π(cm2)．
状元随笔 在求解的过程中要注意：①看清角的度量制，选用相 应的公式；②扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面 积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题．
方法归纳
弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转 化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得 到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形 中研究的角，其范围是(0,2π)；②利用 α，l，R，S 四个量“知二求二” 代入公式．
∴角 α 与4316π终边相同，是第三象限的角． (2)与 α 终边相同的角为 2kπ＋4316π(k∈Z)， 由－5π≤2kπ＋4316π<0，k∈Z 知 k＝－1，－2，－3. ∴在[－5π，0)内与 α 终边相同的角是－3316π，－10336π，－17356π.
状元随笔 (1)用弧度数表示与角 α 终边相同的角连同角 α 在内的
要点三 角度制与弧度制的换算
角度化弧度 360°＝__2_π_r_a_d__ 180°＝__π_r_a_d___ 1°＝_1_π8_0__r_a_d_≈0.017 45 rad 度数×1π80＝弧度数
弧度化角度 2π rad＝__3_6_0_°___ π rad＝__1_8_0_°___
状元随笔 在求解的过程中要注意：①看清角的度量制，选用相 应的公式；②扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面 积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题．
方法归纳
弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转 化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得 到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形 中研究的角，其范围是(0,2π)；②利用 α，l，R，S 四个量“知二求二” 代入公式．
∴角 α 与4316π终边相同，是第三象限的角． (2)与 α 终边相同的角为 2kπ＋4316π(k∈Z)， 由－5π≤2kπ＋4316π<0，k∈Z 知 k＝－1，－2，－3. ∴在[－5π，0)内与 α 终边相同的角是－3316π，－10336π，－17356π.
状元随笔 (1)用弧度数表示与角 α 终边相同的角连同角 α 在内的
要点三 角度制与弧度制的换算
角度化弧度 360°＝__2_π_r_a_d__ 180°＝__π_r_a_d___ 1°＝_1_π8_0__r_a_d_≈0.017 45 rad 度数×1π80＝弧度数
弧度化角度 2π rad＝__3_6_0_°___ π rad＝__1_8_0_°___
5.1.2弧度制课件高一数学(人教A版必修第一册)
弧长之比 = 所对圆心角之比
⇒=
=
(为圆心角度数)
r=4
=
探究：角度与弧长的关系
结果: 若 = °, 则 = .
若 = °, 则 = .
°的弧度数为
°的弧度数为
可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)
23
；
6
【解析】（1）
(2)−1680 ∘ ；
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
（4）755 ∘ = 35 ∘
18π
；
7
+ 2π，是第四象限角；
（2）−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
【解析】（1）设扇形的弧长为 l．
因为 = 150°，即 =
5π
6
× 10 =
25
3
5π
6
, = 10，所以 = =
π．
（2）由题设条件，知 + 2 = 24，
则 = 24 − 2 (0 < < 12)，
所以扇形的面积
=
1
2
=
1
2
24 − 2
= − 2 + 12 = − − 6
小有关.也就是说，这个比值随的确定而唯一确定.这就启
发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.
高一数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件
第五章 三角函数
5.1.2弧度制
课程标准
了解任意角的概念和弧度制，能够进行弧度与
角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
复习回顾
回顾1 角的定义是什么?
角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所形成的图形．
回顾2 角的相等、相加和相减是如何进行运算？
1.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称 = .
的进制是什么？
角度制：度、分、秒
六十进制 1度=60分 1分=60秒
追问：角的度量是否也能用不同的单位制？能否用十进制的实数来
度量角？
角度(°)
换算?
实数
接下来，我们来介绍另一种度量角的单位制--弧度制
新知讲授ห้องสมุดไป่ตู้
问题2 如图，角度与弧长
= 有怎样的数量关系？
射线绕端点旋转到形成角.在旋转过程中,
67°30′
=
135
2
×
(2) 67°30′ ≈ 1.178 .
180
=
3
8
;
例题讲授
例5 将3.14 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
解：由于 =
° ≈ . °
所以. ≈ . °.
新知讲授
问题5 一些特殊角弧度与角度的转换分别是多少？请大家填写下
或小于−的角. 这样就可以得到弧度为任意大小的角.
所以，角度制、弧度制都是
角的度量制，它们之间应该
可以换算，如何换算呢？
新知探究
探究二：角度与弧度的换算
新知讲授
角度制、弧度制都是角的度量制.对于度量零角，除了单位不同，
5.1.2弧度制
课程标准
了解任意角的概念和弧度制，能够进行弧度与
角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
复习回顾
回顾1 角的定义是什么?
角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所形成的图形．
回顾2 角的相等、相加和相减是如何进行运算？
1.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称 = .
的进制是什么？
角度制：度、分、秒
六十进制 1度=60分 1分=60秒
追问：角的度量是否也能用不同的单位制？能否用十进制的实数来
度量角？
角度(°)
换算?
实数
接下来，我们来介绍另一种度量角的单位制--弧度制
新知讲授ห้องสมุดไป่ตู้
问题2 如图，角度与弧长
= 有怎样的数量关系？
射线绕端点旋转到形成角.在旋转过程中,
67°30′
=
135
2
×
(2) 67°30′ ≈ 1.178 .
180
=
3
8
;
例题讲授
例5 将3.14 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
解：由于 =
° ≈ . °
所以. ≈ . °.
新知讲授
问题5 一些特殊角弧度与角度的转换分别是多少？请大家填写下
或小于−的角. 这样就可以得到弧度为任意大小的角.
所以，角度制、弧度制都是
角的度量制，它们之间应该
可以换算，如何换算呢？
新知探究
探究二：角度与弧度的换算
新知讲授
角度制、弧度制都是角的度量制.对于度量零角，除了单位不同，