二次函数的图像专项练习题集
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一21．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿yax＿，图像有最＿＿＿点，x＿＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。
12222．关于，yx，y3x的图像，下列说法中不正确的是（）yx3A．顶点相同B．对称轴相同C．图像形状相同D．最低点相同223．两条抛物线yx与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）yxA．顶点相同B．对称轴相同C．开口方向相反D．都有最小值24．在抛物线上，当y＜0时，x的取值范围应为（）yxA．x＞0B．x＜0C．x≠0D．x≥0225．对于抛物线yx与yx下列命题中错误的是（）xA．两条抛物线关于轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线各自关于y轴对称D．两条抛物线没有公共点26．抛物线y=－bx＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
127．抛物线y=－(x2)－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x＿2＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。
28．抛物线y2(x1)3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，3）C．（1，3）D．（1，3）为（）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过达式（1，10），则这条抛物线的表22A．y=3(x1)－2B．y=3(x1)＋222C．y=3－2D．y=－3－2(x1)(x1)210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达yax式为（）22A．y=a＋3B．y=a－3(x2)(x2)22C．y=a(x2)＋3D．y=a(x2)－324411．抛物线的顶点坐标是（）yxxA．（2，0）B．（2，-2）C．（2，-8）D．（-2，-8）2212．对抛物线y=2(x2)－3与y=－2(x2)＋4的说法不正确的是（）A．抛物线的形状相同B．抛物线的顶点相同C．抛物线对称轴相同D．抛物线的开口方向相反213．函数y=a＋c与y=ax＋c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（）x243243214．化yxx为y=xx为ya(x h)k的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
二次函数的图像专项练习题
九年级第十三周材料二次函数基础定义知识点一：二次函数的定义形如yax2bxc(a0)【注意：二次项的系数a0；x的最高次幂为2】a1x例题：若ya1x3二次函数，则a的值为.2m1【变式训练】若ym1x2x1二次函数，则m的值为.知识点二：“一般式”化“顶点式”例题：yx24x52xx2x22x2x22x2 方法一：4522225(222)25(2)1yx22b4acbb4acb2x22方法二：1，(2)12,yx4x5(x)2a4a2a4a【变式训练】把下列二次函数化成顶点式2x2x2x①23yx；②yx121；③y2x47知识点三：开口方向，对称轴，顶点坐标，最大（小）值，增减性【温馨提示】形状相同，则二次项的系数a相等yax 2开口bxc方向对称轴顶点坐标最大（小）值y随x增大y随x增大而增大而减小a>0 a<0 向上最小值b2b4acbx24)a(,2aa向下最大值4ac4a4ac4a2b2bxxbbx2a2abbx2a2a【变式训练】完成下列表格函数开口方向对称轴顶点坐标y随x增大而增大时，x的取值范围最大（小）值y 2xx642y5(x1)1知识点四：二次函数与x轴交点的个数及交点的坐标，与y轴的交点坐标2，当△=b24ac>0，图像与x轴有两个交点；当△【温馨提示】1.对于二次函数yaxbxc2 =b4ac2=0，图像与x轴有一个交点；当△=b4ac <0，图像与x轴没有交点。
2.求二次函数y2ax bx c 与x轴的交点坐标就是令y=0，求出x1，x2，则交点坐标为（x1，0），2（x2，0）；二次函数yaxbxc与y轴的交点坐标就是令x=0，求出y，则交点坐标为（0，y）；【变式训练】完成下列表格1九年级第十三周材料函数与x轴交点个数与x轴交点坐标与y轴交点坐标5y 2xx61y 2xx2知识点五：二次函数图像的平移【温馨提示】二次函数图像的平移其实就是顶点的平移2x2x例题：二次函数yx61的图像经过怎样平移能够变成yx452x2x【分析】yx61的顶点坐标为（－3，－8），yx45的顶点坐标为（2，1）.点（－3，2x－8）向右平移5个单位，再向上平移9个单位变成（2，1），所以yx61向右平移5个单位，再2x向上平移9个单位变成yx45【变式训练】完成下列表格平移前函数平移方式平移后函数22y(x3)4先向平移个单位，再向平移单位y(x2)32x2xyx21先向平移个单位，再向平移单位yx45知识点六：待定系数法求二次函数的解析式【温馨提示】一般知道三个点的坐标，设二次函数的解析式为yax2bxc，然后将三个点的坐标代2，得到一个三元一次方程组；如果知道两个点的坐标，其中一个点为顶点(m,n)，则入yaxbxc22设二次函数的解析式为ya(xm)n，再把另一个点的坐标代入ya(xm)n 求出a的值；若知道三个点的坐标，其中有两个点（x1，0），（x2，0）在x轴上，则可设()()yaxx1xx，再把另2一个点的坐标代入()()yaxx1xx，求出a的值。
二次函数图像与性质运用练习题
二次函数图像与性质运用练习题1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a +c ＜2b ；③3b +2c ＜0；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠﹣1），其中正确结论的是 。
2、已知一元二次方程230x bx +-=的一根为3-，在二次函数23y x bx =+-的图象上有三点14 5,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、25 4,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31 6,y ⎛⎫⎪⎝⎭，1y 、2y 、3y 的大小关系是 。
3、若是方程（x －a ）（x －b ）= 1（a ＜b ）的两个根，则实数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为( ) A ．x 1＜x 2＜a ＜b B ．x 1＜a ＜x 2＜b C ．x 1＜a ＜b ＜x 2 D ．a ＜x 1＜b ＜x 2 4、若二次函数c x x y +-=62的图象经过A （－1，y 1）、B （2，y 2）、C （23+，y 3）三点，则关于y 1、y 2、y 3大小关系是 。
4、已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣m =0没有实数根，有下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2．其中，正确结论的是 。
5、抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a +b +c ＜0；③c ﹣a =2；④方程ax 2+bx +c ﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为 。
6、“如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ． m ＜a ＜b ＜nB ． a ＜m ＜n ＜bC ． a ＜m ＜b ＜nD ． m ＜a ＜n ＜b7、二次函数的图象如图，对称轴为1=x ．若关于x 的一元二次方程02=-+t bx x （为实数）在41<<-x 的范围内有解，则t 的取值范围是 。
二次函数图像性质练习题(附答案)
二次函数图像性质练习题1、函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 。
2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）。
4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式。
5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积。
6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6。
求：（1）求出此函数关系式。
（2）说明函数值y 随x 值的变化情况。
7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值。
1、请写出一个以（2， 3）为顶点，且开口向上的二次函数： 。
2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。
3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。
4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到。
5、已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y 。
（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）当x= 时，抛物线有最 值，是 。
（3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。
二次函数的图像和性质练习题
二次函数的图像和性质练习题1. 画出二次函数 \(y = 2x^2 - 4x + 3\) 的图像，并标出顶点坐标。
2. 给定二次函数 \(y = -3x^2 + 6x - 2\)，求出它的顶点坐标和对称轴。
3. 判断下列函数是否为二次函数，并说明理由：- \(y = x^2 + 2x + 1\)- \(y = x^3 - 4x\)- \(y = 5\)4. 已知二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图像经过点 (1, 2) 和(2, 5)，求 a、b、c 的值。
5. 给定二次函数 \(y = 4x^2 - 12x + 9\)，求出它的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标。
6. 已知二次函数 \(y = 2x^2 - 4x + 1\) 的图像与x轴相交于点 A和 B，求 A 和 B 的坐标。
7. 判断二次函数 \(y = -x^2 + 4x - 3\) 的图像是否在x轴上方，解释原因。
8. 给定二次函数 \(y = 3x^2 - 6x + 2\)，求出它在x轴下方的区间。
9. 已知二次函数 \(y = x^2 - 6x + 8\) 的图像与y轴相交于点 C，求 C 的坐标。
10. 给定二次函数 \(y = -2x^2 + 4x + 1\)，求出它的顶点坐标和对称轴，并判断其开口方向。
11. 判断二次函数 \(y = x^2 - 2x - 3\) 的图像是否经过原点，说明理由。
12. 给定二次函数 \(y = 5x^2 - 10x + 1\)，求出它的图像与x轴的交点坐标。
13. 已知二次函数 \(y = -3x^2 + 12x - 8\) 的图像与x轴相交于点D 和 E，求 D 和E 的坐标。
14. 给定二次函数 \(y = 2x^2 + 4x + 1\)，求出它的图像与y轴的交点坐标。
15. 判断二次函数 \(y = -x^2 + 6x - 8\) 的图像是否经过第一象限，解释原因。
二次函数--图像专题及答案解析
二次函数经典题一、选择题61．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1,则正确的结论是（ ）A ．abc>0B ．3a +c ＜0C ．4a+2b+c ＜0D ．b 2 -4ac ＜062．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的是（ ）~A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④63．如图，半圆D 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是 （ ）A ．21y x x 4B ．2y x xC ．21y x x 4D ．21y x x 4 64．如右图，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象过A （－3，0），对称轴为直线x=－1，下列结论：①b 2>4ac ；②2a ＋b=0；③a －b ＋c=0；④5a<b ；⑤a －b>m(am ＋b)(m ≠－1)其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个?65．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．2b a>1 D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a 66．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴的交点在(0,2)的下方，与x 轴的交点为（x 1，0）和（2，0），且-2＜x 1＜-1，则下列结论正确的是（ ）A 、0abc >B 、0a b c -+<C 、210a b ++>D 、0a b +>67．给出下列命题及函数y x =，2y x =和1y x =的图象 ：①如果21a a a>>，那么0a 1<<； ②如果21a a a>>，那么a 1>； ③如果21a a a>>，那么1a 0-<<； ④如果21a a a>>时，那么a 1<-. 则（ ）A. 正确的命题是①④B. 错误．．的命题是②③④ C. 正确的命题是①② D. 错误．．的命题只有③ -68．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，有下列结论：①a<0，②b<0，③c<0，④4a-2b+c<0，⑤b+2a=0其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个69．二次函数)0(2≠++=a c bx x a y 图像如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +=，③930a b c ++>，④方程20ax bx c ++=的解是-2和4，⑤不等式20ax bx c ++>的解集是24x -<<，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个<70．小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32ab ． 你认为其中正确信息的个数有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个71．已知二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）A ．图象关于直线1x =对称B ．函数2y ax bx c =++(0)a ≠的最小值是-4C ．当1x <时，y 随x 的增大而增大…D ．-1和3是方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根72．给出下列四个命题：（1）将一个n （n≥4）边形的纸片剪去一个角，则剩下的纸片是n+1或n-1边形；（2）若31x x --=，则x=1或x=3；（3）若函数32(23)k y k x x-=-+是关于x 的反比例函数，则32k =；（4）已知二次函数2y ax bx c =++，且a ＞0，a-b+c ＜0,则240b ac -≤。
二次函数图像题-专题练习
类型一二次函数系数与图像的关系1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0 ②a ＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的序号数是（）2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（），下列2A．1B．2C．3D．4（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）3．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）4已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中正确的结论有_________．类型二：二次函数与一次函数、反比例函数在同一图像问题1、在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（）2 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（）3.已知二次函数y=(x-a)(x-b)（其中a>b）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是ayx=y bx=xA B第3题图类型三：用图像解决二次函数与一元二次方程关系的有关问题二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图 根据图像解答下列问题：（1） 写出方程02=++c bx ax 的两根 (2)写出不等式02>++c bx ax 的解集 （2） 写出y 随x 的增大而增大的自变量x 的取值范围（3） 如方程k c bx ax =++2有两个不相等的实数根，求k 的取值范围（5）如方程无实数根，求k 的取值范围自我检测：1．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①b ＜0；②4a+2b+c ＜0；③a ﹣b+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2．其中正确的结论是（ ）2．如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象的顶点在第一象限且过点（0，1） 和（﹣1，0）下列结论：①ab ＜0，②b 2＞4a ，③0＜a+b+c ＜2，④0＜b ＜1，⑤当x ＞﹣1时，y ＞0，其中正确结论是（ ）（1题图） （2题图） （4题图）4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc ＜0②b ＞2a ；③a+b+c=0④ax 2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；⑤8a+c ＞0．其中正确的命题是 _______________5．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc ＜0；④4ac ﹣b 2＜0；⑤当x ≠2时，总有4a+2b ＞ax 2+bx 其中正确的有 _________ （填写正确结论的序号）．（5题图） （6题图） （7题图）6 如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1，下列结论：①abc ＞0；②4a ﹣2b+c ＜0；③2a ﹣b ＞0；④b 2+8a ＞4ac ，正确的结论是 _________ ．7．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （x 1，0），﹣3＜x 1＜﹣2，对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③b 2＞4ac ；④a ﹣b ＞m （ma+b ）（m ≠﹣1的实数）；⑤3b+2c ＞0．其中正确的结论有（ ）8设a、b为常数，并且b＜0，抛物线的图象为图中的四个图象之一．则a=_________．课后延伸：1．（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息有（）2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a＞0，b＞0；②c ＜0，△＜0；③c﹣4b＞0；④4a﹣2b+c=16a+4b+c．其中正确结论的是（）3已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四个结论：①abc＞0；②3a+b＞0；③＞﹣3；④2c＞3b，其中结论正确的为（）4．（2013•德州）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）（4题图）（5题图）（6题图）5．如图，开口向下的抛物线y=ax2+hx+c交y轴的正半轴于点A，对称轴是直线x=1，则abc＞0；（3）8a+c＞0；（4）6a+3b+c＞0，其中正确的结论的个数是（）7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c ＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的是（）．。
九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练.docx
九年级数学二次函数的图像解答题10道题专题训练学校: ____________ 姓名：_____________ 班级： ____________ 考号：_____________一、解答题1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A （-1, 0）、B （4, 0）、C（0, -4）三点，点P是直线BC下方抛物线上的一动点.（2）是否存在点P,使APOC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标; 若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，四边形PBOC面积最大？求出此时点P坐标和四边形PBOC的最大面积.2.如图，二次函数y^-x^+bx + c的图像经过M（0,3）, N（—2,—5）两点.（1）求该函数的解析式；（2）若该二次函数图像与x轴交于A、B两点，求的面积；（3）若点P在二次函数图像的对称轴上，当AMNP周长最短时，求点P的坐标.3.已知二次函数y = "（X - D（x-3）（ a〉0）的图像与x轴交于A、B两点（A左B右）, 与y轴交于C点(0, 3) .P为x轴下方二次函数y = a(x - 1)(尢-3) (a > 0)图像上一点，P点横坐标为加.(1)求a的值；(2)若P为二次函数y = a(x —l)(x —3) (a > 0)图像的顶点，求证：ZAC0=ZPCB;(3)Q ("7 + ",)'o)为二次函数歹=a(x - 1)0-3) (a > 0)图像上一点，且ZAC0 = ZQCB,求n的取值范围.4.如图，已知二次函数yi=ax2+bx + c的图像经过点4(—1,0), C(0,3),且对称轴为直线x = -2, 一次函数y2 =mx + n的图像经过4』两点.(2)若点5C关于抛物线的对称轴对称，根据图像直接写出满足^>y2时x的取值范围.5.已知如图，二次函数y="ax2"+bx+c的图像过A、B、C三点观察图像写出A、B、C三点的坐标求出二次函数的解析式6.已知二次函数y = -x2 +(m-2)x + 3(m + l)的图像如图所示.(1)当mM -4时，说明这个二次函数的图像与x轴必有两个交点;(2)如图情况下，若OAOB = 6,求点C的坐标.(1)求这个二次函数的解析式；(2)观察图像，直接写出：何时y随x的增大而增大？何时y<0?&已知二次函数的图像如图所示.(1)求这个二次函数的表达式；(2)观察图像，当-2<x< 1时，写出y的取值范围.9.如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图像经过点A (1, 0) , B (—2, 3).(1)求该二次函数的表达式；(2)求该二次函数的最大值；(3)结合图像，解答问题：当y>3时，x的取值范围是___________ .与y轴交于C点.(1)求A、8两点的坐标：(2)若P(m,-2)为二次函数y = x2-x-2图像上一点，求加的值.参考答案1. (1) y1=x2-3x-4； (2)存在满足条件的P点，其坐标为(3上価、_2)； (3) 16.2【解析】【分析】(1)由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；(3)过P作PE丄x轴，交x轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示出PF的长, 则可表示出四边形PBOC的面积，利用二次函数的性质可求得四边形PBOC面积的最大值及P点的坐标【详解】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,把A、B、C三点坐标代入可得a-b+c=O< 16a + 4b + c = 0 ,c = —4a = 1解得b = —3,c =-4抛物线解析式为y=x2-3x-4；(2)作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,如图2,,-.PO=PC,此时P点即为满足条件的点,VC (0, -4),.•.D (0,-2),•°.P点纵坐标为-2,代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2,解得x上也(小于0,舍去)或x= 土位，2 2•••存在满足条件的P点，其坐标为(土戸，-2).2(3)•.•点P在抛物线上，可设P (t, t2-3t-4),过P作PE丄x轴于点E,交直线BC于点F,如图1,VB (4, 0), C (0, -4),直线BC解析式为y=x-4,.•.F (t, t-4),.•.PF= (t-4) - (t2-3t-4) =-t2+4t,• • S四边形PBOC = BCO = S pre + S PFB + S BCO=—PF«OE+ — PF«BE+ — xOC«BO= — PF(OE+BE)+ — x4x42 2 2 2 2 =丄PF9B+8 =丄(屮+盘)x4+8=-2 (t-2) 2+16,2 2.•.当t=2时，S㈣边形FBOC最大值为16,此时t2-3t-4=-6,.•.当P点坐标为(2,-6)时，四边形PBOC的最大面积为16.【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中确定出P点的位置是解题的关键，在(3)中用P点坐标表示出四边形PBOC的面积是解题的关键.2. (1) y = -x2 +2x + 3 ； (2) 6； (3) P(l,l)【解析】【分析】(1)将M,N两点代入y = -.X2 + bx + c求出be值，即可确定表达式；(2)令y=0求x的值，即可确定A、B两点的坐标，求线段AB长，由三角形面积公式求解.(3)求出抛物线的对称轴，确定M关于对称轴的对称点G的坐标，直线NG与对称轴的交点即为所求P点，利用一次函数求出P点坐标.【详解】解：将点M(0,3)> N(-2,-5)代入y--x2+bx+c中得,1 = 3_4 - 2b + c = -5，b = 2解得，°，c = 3Ay与x之间的函数关系式为y = -x2 + 2x + 3；(2)如图，当y=0时，一干+2兀+ 3 = 0，.*.X1=3,X2= -1,・・・A(・l,0),B(3,0),・・・AB=4,1 o AS A ABM=— X4X3 = 6 .2即AAW 的面积是6.答案第3页，总11页(3)如图，抛物线的对称轴为直线% = - —= = 1 ,2a -2点M(0,3)关于直线x=l的对称点坐标为G(2, 3),.•.PM=PG,连MG交抛物线对称轴于点P,此时NP+PM=NP+PG最小，即AMNP周长最短.设直线NG的表达式为y=mx+n,将N(-2,-5),G(2,3)代入得，—2m+n = —52m+n=3m = 2解得，\ ° ,n = -ly=2m-l,・・・P点坐标为(1,1).【点睛】本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.如图，二次函数y=-x2 +bx+c的图像经过M(0,3), N(-2,-5炳点.3.(1) 1； (2)证明见解析；(3) -1<77<1 ^|<n< |【解析】试题分析：⑴把点C (0, 3)代Ay = a(x - l)(x - 3) (a > 0)即可求出a=l;(2)求出点P的坐标，再求出CP=2苗，BP=<2, CB=3近,判断出ABCP为直角三角形, 通过解直角三角形，得出tanZACO=tanZPCB,从而证出：ZACO=,PCB；(3)通过分类讨论，即可得出-l<n<l< n < |试题解析：(1)把点C (0, 3)代Ay = a(x - 1)(% - 3) (a > 0)得：3=3a•I a= 1即a的值为1(2) V a=l抛物线的解析式为：y = (% - 1)(% - 3) = %2 - 4x + 3 = (x — 2尸—1:.P (2, -1)•:B (3, 0) , C (0, 3):.CP=2 忑,BP^y/2, CB=3 近:.BP2 + BC2 = 20, CP? = (2A/5)2 = 20:.BP2 + BC2 = CP2.\ZCBP=90otanZPCB辔= ^ = | 连接AC•/tanZAOC=—=-OC 3tan ZPCB= tanZAOC・•・ ZAOC=ZPCB(3) ( i )当点0在BC左侧的抛物线上时由(2)可知Q (2, -1)m+n=2P为兀轴下方二次函数尸1 )(兀-3)(°>0)图像上一点l<m<3l<2-n<3 /.-l<n<l(ii)当点。
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二次函数基础定义知识点一:二次函数得定义形如)0(2≠++=a c bx ax y 【注意:二次项得系数0≠a ;x 得最高次幂为2】例题:若()311+++=-x xa y a 二次函数,则a 得值为 、【变式训练】若()12112+-+=+x x m y m二次函数,则m 得值为 、知识点二:“一般式”化“顶点式”例题:542++=x x y方法一:1)2(52)222(522225422222222++=+-+⋅⋅+=+-+⋅⋅+=++=x x x x x x x y方法二:144,222=--=-a b ac a b ,1)2(44)2(542222++=-++=++=x ab ac a b x x x y 【变式训练】把下列二次函数化成顶点式①322+-=x x y ; ②1122+-=x x y ; ③7422++=x x y知识点三:开口方向,对称轴,顶点坐标,最大(小)值,增减性 【温馨提示】形状相同,则二次项得系数a 相等【温馨提示】1、对于二次函数c bx ax y ++=2,当△=ac b 42->0,图像与x 轴有两个交点;当△=ac b 42-=0,图像与x 轴有一个交点;当△=ac b 42-<0,图像与x 轴没有交点。
2、求二次函数c bx ax y ++=2与x 轴得交点坐标就就是令y =0,求出x 1,x 2,则交点坐标为(x 1,0),(x 2,0);二次函数c bx ax y ++=2与y 轴得交点坐标就就是令x =0,求出y ,则交点坐标为(0,y );【变式训练】完成下列表格知识点五:二次函数图像得平移【温馨提示】二次函数图像得平移其实就就是顶点得平移例题:二次函数162++=x x y 得图像经过怎样平移能够变成542+-=x x y【分析】162++=x x y 得顶点坐标为(－3,－8),542+-=x x y 得顶点坐标为(2,1)、点(－3,－8)向右平移5个单位,再向上平移9个单位变成(2,1),所以162++=x x y 向右平移5个单位,再向上平移9个单位变成542+-=x x y【变式训练】完成下列表格 知识点六:待定系数法求二次函数得解析式【温馨提示】一般知道三个点得坐标,设二次函数得解析式为c bx ax y ++=2,然后将三个点得坐标代入c bx ax y ++=2,得到一个三元一次方程组;如果知道两个点得坐标,其中一个点为顶点),(n m ,则设二次函数得解析式为n m x a y +-=2)(,再把另一个点得坐标代入n m x a y +-=2)(求出a 得值;若知道三个点得坐标,其中有两个点(x 1,0),(x 2,0)在x 轴上,则可设))((21x x x x a y --=,再把另一个点得坐标代入))((21x x x x a y --=,求出a 得值。
【变式训练】1、已知抛物线c bx ax y ++=2经过(－1,2)、(1,－1)、(0,3)三点,求抛物线得函数关系式。
2、已知二次函数得顶点坐标就是(1,－2),且图像经过(3,5)三点,求二次函数得解析式。
二次函数图像基础练习题1、二次函数c bx x y ++=2得图象上有两点(3,－8)与(－5,－8),此拋物线得对称轴就是( )A.x ＝4 B 、 x ＝3 C 、 x ＝－5 D 、 x ＝－12、已知a －b ＋c=0 ,9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 得图像得顶点可能在( )A 、第一或第二象限B 、第三或第四象限C 、第一或第四象限D 、第二或第三象限3、已知M,N 两点关于y 轴对称,且点M 在双曲线y x=12上,点N 在直线y x =+3上,设点M 得坐标为(a ,b ),则二次函数y abx a b x =-++2()( )。
A 、 有最小值92 B 、 有最大值-92 C 、 有最大值92 D 、 有最小值-924、抛物线1822-+-=x x y 得顶点坐标为( ) (A)(-2,7) (B)(-2,-25) (C)(2,7) (D)(2,-9)5.在平面直角坐标系中,先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换,再将所得得抛物线关于y 轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得得新抛物线得解析式为( )A.22y x x =--+B.22y x x =-+-C.22y x x =-++D.22y x x =++ 6.二次函数2365y x x =--+得图象得顶点坐标就是( ) A.(18)-， B.(18)，C.(12)-，D.(14)-，7、抛物线y=x 2一3x+2与y 轴交点得坐标就是( ) A.(0,2) B.(1,O) C.(0,一3) D.(0,O) 8、如图所示就是二次函数2y ax bx c =++图象得一部分, 图象过A 点(3,0),二次函数图象对称轴为1x =,给出四个结论:①24b ac >;②0bc <;③20a b +=;④0a b c ++=,其中正确结论就是( ) A.②④B.①③C.②③D.①④9、二次函数2(1)2y x =--得图象上最低点得坐标就是Oyx1x =(30)A ，第8题图A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)10、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 得图象如图.则下列5个代数式:ac, a+b+c,4a －2b+c, 2a+b,2a －b 中,其值大于0得个数为( ) A.2B 3C 、4D 、511、二次函数y=(x+1)2 +2得最小值就是( )A B C D 2、 2 、1 、-3 、 312、已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)得图象如图3所示,下列结论:①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ,其中正确结论得个数为( ) A 、0个 B 、3个 C 、2个 D 、112题13题 15题13、小强从如图所示得二次函数2y ax bx c =++得图象中,观察得出了下面五条信息:(1)0a <;(2)1c >;(3)0b >;(4)0a b c ++>;(5)0a b c -+>. 您认为其中正确信息得个数有( )A.2个B.3个C.4个D.5个14、已知0≠a ,在同一直角坐标系中,函数ax y =与2ax y =得图象有可能就是( ) 15、二次函数c bx ax y ++=得图象如图6所示,则下列关系式不正确得就是a abc ＞0 C 、cb a ++＞0 D 、ac b 416、在平面直角坐标系中,将二次函数22x y =得图象向上平移2个单位,所得图象得解析式为( )A.222-=x yB.222+=x yC.2)2(2-=x yD.2)2(2+=x yx1y 2 －11Ｏ－1Oyx1-1A. xyO 1-1B. xy O1-1xyO1-11O y17、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠得对称轴就是直线( ) A.1x =B.1x =-C.3x =-D.3x =18、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)得图象如图所示, 有下列四个结论:20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<, 其中正确得个数有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个19、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠得图象如图所示, 对称轴就是直线1x =,则下列四个结论错误．．得就是( ) A.0c > B.20a b += C.240b ac -> D.0a b c -+>20、将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到得抛物线得解析式就是( ) A.y ＝2x 2＋3 B.y ＝2x 2－3 C.y ＝2(x ＋3)2D.y ＝2(x －3)221、将抛物线22y x =向左平移1个单位,得到得抛物线就是( ) A.22(1)y x =+B.22(1)y x =-C.221y x =+D.221y x =-22、图6(1)就是一个横断面为抛物线形状得拱桥,当水面在l 时,拱顶(拱桥洞得最高点)离水面2m,水面宽4m.如图6(2)建立平面直角坐标系,则抛物线得关系式就是( ) A.22y x =- B.22y x =C.212y x =-D.212y x =23、如图9, 已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A (－4,0) 与B (1,0)两点,与y 轴交于C 点. (1)求此抛物线得解析式;(2)设E 就是线段AB 上得动点,作EF //AC 交BC 于F ,连接CE ,当△CEF 得面积就是△BEF 面积得2倍时,求E 点得坐标;1O xy3111-O xy(19题图)图6(1) 图6(2)xyOC A24、已知:如图,抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ,点B ,与直线34y x b =-+相交于点B ,点C ,直线34y x b =-+与y 轴交于点E .(1)写出直线BC 得解析式. (2)求ABC △得面积.(3)若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度得速度从A 向B 运动(不与A B ，重合),同时,点N 在射线BC 以每秒2个单位长度得速度从B 向C 运动.设运动时间为t 秒,请写出MNB △得面积S 与t 得函数关系式,并求出点M 运动多少时间时,MNB △得面积最大,最大面积就是多少？2(2010湖南常德)如图9, 已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A (－4,0) 与B (1,0)两点,与y轴交于C 点. (1)求此抛物线得解析式;(2)设E 就是线段AB 上得动点,作EF //AC 交BC 于F ,连接CE ,当△CEF 得面积就是△BEF 面积得2倍时,求E 点得坐标;3(2010广东东莞)已知二次函数c bx x y ++-=2得图象如图所示,它与x 轴得一个交点坐标为(－1,0),与y 轴得交点坐标为(0,3)⑴求出b ,c 得值,并写出此时二次函数得解析式;⑵根据图象,写出函数值y 为正数时,自变量x 得取值范围.6、如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它得顶点为A ,连接AB,把AB 所得直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 就是直线l 上一动点、(1) 求点A 得坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点得四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形得顶点P 得坐标;xy 3－1 O xyO BC A例2、已知抛物线y=x 2+(1-2a)x+a 2 (a ≠0)与x 轴交于两点A(x 1,0),B(x 2,0) , (x 1≠x 2)(1)求a 得取值范围,并证明A 、B 两点都在原点得左侧; (2)若抛物线与y 轴交于点C,且OA+OB=OC-2,求a得值。