江苏省沭阳县2020届高三下学期联考数学试题
江苏省宿迁市沭阳县高级中学2020年高三数学文期末试卷含解析
江苏省宿迁市沭阳县高级中学2020年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在R上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0，且0≤x≤2，则x﹣b的取值范围是（）A．[﹣2，0] B．[﹣2，2] C．[0，2] D．[0，4]参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），可得f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．由于不等式f（x2﹣2x）+f（2b ﹣b2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）=f（b2﹣2b），再利用函数y=f（x）为定义在R上的减函数，可得x2﹣2x≥b2﹣2b，可画出可行域，进而得出答案．【解答】解：设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y），∴f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．∴不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）=f（b2﹣2b），∵函数y=f（x）为定义在R上的减函数，∴x2﹣2x≥b2﹣2b，化为（x﹣1）2≥（b﹣1）2，∵0≤x≤2，∴或．画出可行域．设x﹣b=z，则b=x﹣z，由图可知：当直线b=x﹣z经过点（0，2）时，z取得最小值﹣2．当直线b=x﹣z经过点（2，0）时，z取得最大值2．综上可得：x﹣b的取值范围是[﹣2，2]．故选B．【点评】本题综合考查了函数的对称性、单调性、线性规划的可行域及其最值、直线的平移等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．2. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（）(A) [－x] ＝－[x] (B) [2x] ＝ 2[x](C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D)[x－y]≤[x]－[y]参考答案：B略3. 已知全集U=R,集合，集合，则等于A. B. C. D.参考答案：C略4. 将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变，得到的图象，则的可能取值为（）A．B． C.D．参考答案：A函数的解析式：，逐一考查所给的选项：A.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，符合题意；B.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，不合题意；C.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，不合题意；D.，向左平移个单位,得到函数的解析式，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的解析式，即，不合题意；本题选择A选项. 5. 函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则t的取值范围为（）A.（0，1）B.C.D.（0，）参考答案：D略6. 已知实数满足,且.若为方程的两个实数根,则的取值范围为（）A． B． C．D．参考答案：B略7. 过点且与直线平行的直线方程是（）A. B. C. D.参考答案：A略8. 函数y=的反函数（）。
江苏省百校2020届高三下学期第四次联考数学试题 Word版含解析
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{2,5},{3,5}A B ==，则A B =____________.【答案】{}2,3,5 【解析】 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】由集合的并集，知A B ={}2,3,5.故答案为：{}2,3,5【点睛】本题考查集合的并集运算，属于容易题. 2.已知复数z 满足12ii z+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案. 【详解】21222i i z i i i+-===-，所以复数z 的实部为2. 故答案为：2【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.3.A B C ，，三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________. 【答案】100 【解析】 【分析】某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【详解】设抽取的样本容量为x，由已知，30240160240400x=⨯++，解得100x=.故答案为：100【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.4.根据如图所示的伪代码，若输入的x的值为2，则输出的y的值为____________.【答案】1【解析】【分析】满足条件执行34y x←-，否则执行22xy-←.【详解】本题实质是求分段函数234,22,2xx xyx-->⎧=⎨≤⎩在2x=处的函数值，当2x=时，1y=. 故答案为：1【点睛】本题考查条件语句的应用，此类题要做到读懂算法语句，本题是一道容易题.5.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________. 【答案】14【解析】【分析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为14.故答案：14【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.6.已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为____________. 【答案】116【解析】 【分析】易得1113n n a a +-=，所以1{}na 是等差数列，再利用等差数列的通项公式计算即可. 【详解】由已知，0n a ≠，因1130n n n n a a a a +++-=，所以1113n n a a +-=，所以数列1{}na 是以 111a 为首项，3为公差的等差数列，故611(61)316a =+-⨯=，所以6a =116. 故答案为：116【点睛】本题考查由递推数列求数列中的某项，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 7.已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()0f 的值为____________.【答案】3-【解析】 【分析】由图可得()f x 的周期、振幅，即可得,A ω，再将5(,2)12π代入可解得ϕ，进一步求得解析式及()0f .【详解】由图可得2A =，353()41234T πππ=--=，所以2T ππω==，即2ω=， 又5()212f π=，即52sin(2)212πϕ⨯+=，52,62k k Z ππϕπ+=+∈，又||2ϕπ<，故3πϕ=-，所以()sin()f x x π=-223，(0)2sin()3f π=-=故答案为：【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，若过右焦点且与x轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为2c ，则双曲线的离心率为____________.【解析】 【分析】 利用221||||2AOB S F O AB c ∆=⨯=即可建立关于,,a b c 的方程. 【详解】设双曲线右焦点为2F ，过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线分别交于A B 、两点， 则(,)bc A c a ，(,)bc B c a -，由已知，221||||2AOB S F O AB c ∆=⨯=，即2bcc c a⋅=，所以a b =，离心率e ==【点睛】本题考查求双曲线的离心率，做此类题的关键是建立,,a b c 的方程或不等式，是一道容易题.9.已知m n ，为正实数，且m n mn +=，则2m n +的最小值为____________.【答案】3+ 【解析】 【分析】m n mn +=⇒111m n +=，所以有2m n +=(2)m n +112()3m n m n n m +=++，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由已知，111m n +=，所以2m n +=(2)m n +112()3322m n m n n m+=++≥+， 当且仅当2m n m n mn ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即2221,2m n +=+=时，等号成立.故答案为：322+【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题.10.已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为____________. 【答案】()()1,17,-⋃+∞【解析】 【分析】224,4()4,4x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，(3)3f =，分类讨论即可.【详解】由已知，224,4()44,4x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，(3)3f =，若(2)(3)3f a f +>=，则224(2)4(2)3a a a +≥⎧⎨+-+>⎩或2(2)4(2)4(2)3a a a +<⎧⎨-+++>⎩解得7a >或11a -<<，所以不等式(2)(3)f a f +>的解集为()()1,17,-⋃+∞.故答案为：()()1,17,-⋃+∞【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题.11.如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为____________.【答案】32 【解析】 【分析】由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为r ，体积为V ，半球的体积为1V ，水（小圆锥）的体积为2V ，如图则,1,2,OA r OC OB BE h ====，所以2rh ED =，2241r r ⨯=+⨯，解得243r =， 所以218239V r ππ=⨯=，123V π=，23211()329rh V h h ππ=⨯⨯=，由12V V V =+，得3821939h πππ=+，解得32h =.故答案为：32【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.12.如图,在梯形ABCD 中，AD ∥24BC AB BC AD ===，，，E F ，分别是BC CD ，的中点，若1AE DE ⋅=-，则AF CD ⋅的值为___________.【答案】2【解析】 【分析】建系，设设A θ∠=，由1AE DE ⋅=-可得3πθ=，进一步得到C F 、的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】以A 为坐标原点，AD 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，设A θ∠=，则(4,0),(2cos ,2sin ),(12cos ,2sin ),(22cos ,2sin )D B E C θθθθθθ++，所以AE =(12cos ,2sin )θθ+，DE =(2cos 3,2sin )θθ-，由1AE DE ⋅=-，得2(12cos )(2cos 3)4sin 1θθθ+-+=-，即1cos 2θ=，又[0,]θπ∈，所以 3πθ=，故73(3,3),(,)22C F ,73(1,3),(,)2CD AF =-=, 所以73322AF CD =-⋅⨯=.故答案为：2【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.13.函数()f x 满足()()4f x f x =-，当[)2,2x ∈-时，3223,2()1,2x x a x af x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩，若函数()f x 在[)0,2020上有1515个零点，则实数a 的范围为___________. 【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由已知，()f x 在[2,2)-上有3个根，分21a >≥，01a <<，10a -<≤，21a -<≤-四种情况讨论()f x 的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知，()f x 的周期为4，且至多在[2,2)-上有4个根，而[)0,2020含505个周期，所以()f x 在[2,2)-上有3个根，设32()23g x x x a =++，'2()66g x x x =+，易知()g x 在(1,0)-上单调递减，在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递增，又(2)40g a -=-<，(1)50g a =+>.若21a >≥时，()f x 在(,2)a 上无根，()f x 在[2,]a -必有3个根，则(1)0(0)0f f ->⎧⎨<⎩，即100a a +>⎧⎨<⎩，此时a ∈∅；若01a <<时，()f x 在(,2)a 上有1个根，注意到(0)0f a =>，此时()f x 在[2,]a -不可能有2个根，故不满足；若10a -<≤时，要使()f x 在[2,]a -有2个根，只需(1)0()0f f a ->⎧⎨≤⎩，解得102a -≤≤；若21a -<≤-时，()f x 在[2,]a -上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意； 综上，实数a 的范围为102a -≤≤. 故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.14.已知圆22 : 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若2240AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为___________.【答案】【解析】 【分析】取PQ 的中点为M ，由2240AP AQ +=可得2216AM OM -=，可得M 在20x y ++=上，当OM 最小时，弦PQ 的长才最大. 【详解】设M为PQ 的中点，()22222(2)AP AQ AM PQ +=+，即222222AP AQ AM MQ +=+，即()2224022AM OQ OM=+-，22204AMOM =+-，2216AM OM -=.设(),M x y ，则()2222(2)(2)16x y x y-+--+=，得20x y ++=.所以min 222OM ==，max 22PQ =.故答案为：22【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，E F G ，，分别为AC PA PB ，，的中点，且2AC BE =.（1）求证：PB BC ⊥；（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）要做证明PB BC ⊥，只需证明BC ⊥平面PAB 即可；（2）易得PC ∥平面EFG ，PC ⊂平面PBC ，利用线面平行的性质定理即可得到GH ∥PC ，从而获得证明【详解】证明：（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥.因为2AC BE =，所以BA BC ⊥.又因为BA PA A ⋂=，BA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB .又因为PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥. （2）因平面EFG 与BC 交于点H ，所以GH ⊂平面PBC .因为E F ，分别为AC PA ，的中点， 所以EF ∥PC .又因为PC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ， 所以PC ∥平面EFG .又因为PC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFG GH =，所以GH ∥PC ， 又因为G 是PB 的中点， 所以H 为BC 的中点.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是 一道容易题.16.在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若(,)m a b c =-，()sin sin ,sin sin n A B B C =-+，(1,2)p =，且m n ⊥.（1）求角C 的值； （2）求n p ⋅的最大值.【答案】（1）3π；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得222a b c ab +-=，再用余弦定理即可得到角C ；（2）n p ⋅6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【详解】（1）因为m n ⊥，所以(sin sin )()(sin sin )0a A B b c B C -+-+=. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==， 所以()()()0a a b b c b c -+-+=，即222a b c ab +-=.在ABC ∆中，由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以3C π=.（2）由（1）得3C π=，在ABC ∆中，A B C π++=，所以1(sin sin )2(sin sin )n p A B B C ⋅=⨯-++ 2sin sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1sin sin 2A A A =++3sin 2A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以当62A ππ+=，即3A π=时，sin 6y A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有最大值1，所以n p ⋅的最大值为【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左、右顶点重合），且12PF F △的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q，直线2,AP QF交于点M.（1）求椭圆方程；（2）若直线2PF与椭圆交于另一点N，且224AF M AF NS S=△△，求点P的坐标.【答案】（1）22143x y+=；（2）135,24⎛⎝⎭或135,24⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据12PF F△的周长为22a c+，结合离心率，求出,a c，即可求出方程；（2）设(,)P m n，则(,)Q m n--，求出直线AM方程，若2QF斜率不存在，求出,,M P N坐标，直接验证是否满足题意，若2QF斜率存在，求出其方程，与直线AM方程联立，求出点M坐标，根据224AF M AF NS S=△△和2,,P F N三点共线，将点N坐标用,m n表示，,P N坐标代入椭圆方程，即可求解.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，12PF F△的周长为6，设椭圆的焦距为2c，则222226,1,2,a ccab c a+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得2a=，1c=，3b=所以椭圆方程为22143x y+=.（2）设(,)P m n，则22143m n+=，且(,)Q m n--，所以AP的方程为(2)2ny xm=++①.若1m =-，则2QF 的方程为1x =②，由对称性不妨令点P 在x 轴上方，则31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立①，②解得1,9,2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即91,2M ⎛⎫⎪⎝⎭.2PF 的方程为3(1)4y x =--，代入椭圆方程得2293(1)124x x +-=，整理得276130x x --=，1x =-或137x =，139,714N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 222219|227419|21||4AF MAF NAF S S AF ⨯⨯==≠⨯⨯△△，不符合条件. 若1m ≠-，则2QF 的方程为(1)1ny x m -=---， 即(1)1ny x m =-+③. 联立①，③可解得34,3,x m y n =+⎧⎨=⎩所以(34,3)M m n +.因为224AF M AF N S S =△△，设(,)N N N x y所以2211|42|||2M N AF y AF y ⨯⨯=⨯⨯⨯，即4M N y y =. 又因为,M N 位于x 轴异侧，所以34N n y =-. 因为2,,P F N 三点共线，即2F P 应与2F N 共线，223(1,),(1,)4N n F P m n F N x =-=--所以()31(1)4N n n x m -=--，即734N m x -=， 所以2273344143m n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，又22143m n +=， 所以2272839m m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得12m =，所以n =±所以点P 的坐标为135,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或135,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及应用、直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于较难题.18.管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为Lcm 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）.（1）请用角θ表示清洁棒的长L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 【答案】（1）278,0,sin cos 2πθθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）1313cm . 【解析】 【分析】（1）过A 作PC 的垂线，垂足为C ，易得27,sin AP θ=8cos BP θ=，进一步可得L ； （2）利用导数求278(),0,sin cos 2L πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭得最大值即可. 【详解】（1）如图，过A 作PC 的垂线，垂足为C ，在直角APC △中，APC θ∠=， 27AC cm =，所以27cm sin AP θ=，同理8cm cos BP θ=， 278,0,sin cos 2L πθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭.（2）设278(),0,sin cos 2L πθθθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 则33'222227cos 8sin 8sin 27cos ()sin cos sin cos L θθθθθθθθθ-=-+=， 令()'0L θ=，则327tan 8θ=，即3tan 2θ=. 设00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且03tan 2θ=，则当()00,θθ∈时，'3tan ,()02L θθ<<，所以()L θ单调递减； 当0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'3tan ,()02L θθ>>，所以()L θ单调递增， 所以当0θθ=时，()L θ取得极小值， 所以()min 0()L L θθ=. 因为03tan 2θ=，所以003sin cos 2θθ=，又2200sin cos 1θθ+=， 所以204cos 13θ=，又00,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0cos 13θ=0sin 13θ=， 所以()0002781313()sin cos L cm θθθ=+=， 所以能通过此钢管的铁棒最大长度为1313cm .【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 19.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且1122b a ==，232254,11b S a T =+=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++；（3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）121,23n n n a n b -=-=⋅；（2）2(1)32n n M n =-⋅+；（3）存在，1. 【解析】 【分析】（1）利用基本量法直接计算即可； （2）利用错位相减法计算；（3）21*121313m mm m m m S T m N S T m +++-+=∈+-+，令21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+可得()2(1)1(3)3m L m L --=-，13L <，讨论即可.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 因为11232222,54,11b a b S a T ===+=，所以2(33)5412211q d d q +=⎧⎨+++=⎩，即(1)928q d d q +=⎧⎨+=⎩，解得32q d =⎧⎨=⎩，或325q d ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去）.所以121,23n n n a n b -=-=⋅. （2）()21112233123235232123n n n n M a b a b a b a b n -=++++=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+-⨯⨯，213123323(23)23(21)23n n n M n n -=⨯⨯+⨯⨯++-⨯⨯+-⨯⨯，所以()21224333(21)23n n n M n --=++++--⨯⨯，13(13)24(42)34(44)313n n n n n --=+⨯--⨯=---⋅-所以2(1)32n n M n =-⋅+.（3）由（1）可得2n S n =，31=-n n T ，所以21121313m m mm m m S T m S T m +++-+=+-+.因为1m m m m S T S T +++是数列{}n a 或{}n b 中的一项，所以21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+， 所以()2(1)1(3)3mL m L --=-，因为210,30m m ->，所以13L <，又*L N ∈，则2L =或3L =. 当2L =时，有()213mm -=，即()2113mm -=，令21()3m m f m -=.则22211(1)11223(1)()333m m m m m m m f m f m +++----+-=-=-. 当1m =时，(1)(2)f f <；当2m ≥时，()()10f m f m +-<， 即(1)(2)(3)(4)f f f f <>>>⋅⋅⋅.由1(1)0,(2)3f f ==，知()2113mm -=无整数解. 当3L =时,有210m -=，即存在1m =使得21213313m mm m +-+=-+是数列{}n a 中的第2项， 故存在正整数1m =，使得1m m m mS T S T +++是数列{}n a 中的项.【点睛】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n 项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.20.已知函数4()1,()1()xa f x e g x a R x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数， 2.718e ≈⋅⋅⋅）.（1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程； （2）若函数()()f x yg x =在区间[]4,5上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点()1212,x x x x <，且()1h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）. 【答案】（1）4y ex e =-；（2）(5,)+∞；（3）4-. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）2'2(4)340()xx a x a ey a x ⎡⎤--+++⎣⎦=≥-在[]4,5上恒成立，只需2(4)340xa x a -+++，注意到[4,5]a ∉；（3）()2440x x x e a -+-=在(0,)+∞上有两根，令()2()44xm x x x e a =-+-，求导可得()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以(0)40(2)0m a m a =->⎧⎨=-<⎩且()12111(0,2),44x x x x e a ∈-+=，2(2,3)x ∈，()()11131x h x x e =--，求出()1h x 的范围即可.【详解】（1）因为4()1x f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以'244()1x f x e x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当1x =时，'(1)3,(1)f e f e =-=，所以切线方程为(3)(1)y e e x --=-，即4y ex e =-. （2）()(4)()xf x x e yg x a x -==-，2'2(4)34()x x a x a e y a x ⎡⎤--+++⎣⎦=-.因为函数()()f x yg x =在区间[]4,5上单调递增，所以[4,5]a ∉，且'0y ≥恒成立， 即2(4)340x a x a -+++，所以224(4)43405(4)5340a a a a ⎧-+⨯++≤⎨-+⨯++≤⎩，即492a a ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，又(,4)(5,)a ∈-∞+∞，故5a >，所以实数a 的取值范围是(5,)+∞.（3）()2'244(4)()()()(),()x x x x e a x e a x h x f x g x h x x x -+--+-=+==. 因函数()()()h x f x g x =+在区间(0,)+∞上有两个极值点，所以方程()'0h x =在(0,)+∞上有两不等实根，即()2440xx x e a -+-=. 令()2()44x m x x x e a =-+-，则()'2()2xm x x x e =-，由()0m x '>，得2x >，所以()m x 在()0,2上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以(0)40(2)0m a m a =->⎧⎨=-<⎩，解得04a <<且()12111(0,2),44x x x x e a ∈-+=.又由33(3)280m e a a a =->-=->，所以2(2,3)x ∈， 且当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()()0h x h x '>，单调递增，当()12,x x x ∈时，()()'0h x h x <，单调递减，12,x x 是极值点，此时()()()()()111121111111111444431xx xx x e x x e x x e a x h x x e x x -+-+--+-===--令()(3)1((0,2))x n x x e x =--∈，则'()(2)0x n x x e =-<， 所以()n x 在()0,2上单调递减，所以()1(0)4h x h <=-. 因为()1h x m <恒成立，所以4m ≥-. 若124m -<<-，取114mx =--，则14 4m x =--， 所以()()1111343xh x m x e x -=-++.令()(3)43(0)x H x x e x x =-++>，则'()(2)4x H x x e =-+，''()(1)x H x x e =-. 当(0,1)x ∈时，()''0Hx <；当(1,)x ∈+∞时，()''0H x >.所以''min ()(1)40H x H e ==-+>，所以()(-3)43x H x x e x =++在(0,)+∞上单调递增，所以()()00H x H >=， 即存在114mx =--使得()1h x m >，不合题意. 满足条件的m 的最小值为-4.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值点，不等式恒成立等知识，是一道难题.第Ⅱ卷（附加题，共40分）选做题:请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.选修4-2：矩阵与变换21.已知矩阵1(,R)4a M a b b -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量11a ⎡==⎤⎢⎥⎣⎦，求a b ，的值.【答案】41a b =⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】由M 不存在逆矩阵，可得4ab =-，再利用特征多项式求出特征值3，0，3M αα=，利用矩阵乘法运算即可.【详解】因为M 不存在逆矩阵，1det()04aM b -==，所以4ab =-. 矩阵M 的特征多项式为221()3434af ab b λλλλλλλ+-==---=---， 令()0f λ=，则3λ=或0λ=， 所以3M αα=，即113413a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1343a b -+=⎧⎨+=⎩，所以41a b =⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.选修4-4：坐标系与参数方程22.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线1C :sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2cos 2:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），求曲线12C C ，交点的直角坐标. 【答案】()1,1-- 【解析】 【分析】利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 2ρθρθ+=-， 所以曲线1C 的直角坐标方程为20x y ++=.由cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，得212sin sin x y θθ⎧=-⎨=⎩，所以曲线2C 的普通方程为212,[ 1.1]x y y =-∈-.由22012x y x y++=⎧⎨=-⎩，得2230y y --=， 所以1231,2y y =-=（舍）， 所以11x =-，所以曲线12C C ，的交点坐标为()1,1--.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题. 选修4-5：不等式选讲 23.已知凸n 边形123n A A A A 的面积为1，边长1(1,2,,1)i i i A A a i n +==-，1n n A A a =，其内部一点P 到边1(1,2,,1)i i i A A a i n +==-的距离分别为123,,,,n d d d d .求证：2121212222()nn n na a a n a a a d d d +++≥.【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 由已知，易得11222n n a d a d a d ++⋅⋅⋅+=，所以121212122222n n n n a a a a a a d d d d d d ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()12112212n n n n a a aa d a d a d d d d ⎛⎫=++++++⎪⎝⎭利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【详解】因为凸n 边形的面积为1，所以11222n n a d a d a d ++⋅⋅⋅+=， 所以121212122222n n n n a a a a a a d d d d d d ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ ()12112212n n n n a a aa d a d a d d d d ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭211(n na a d a d d +（由柯西不等式得）()212n a a a =++⋅⋅⋅+212()n n n a a a （由均值不等式得）【点睛】本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.必做题：第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形且AD ∥22BC AB BC AB BC AD ⊥===，，，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD .（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小； （2）若(01)CQ CP λλ=，且直线BQ 与平面PDC 所成角为3π，求λ的值. 【答案】（1）4π；（233±.【解析】 【分析】（1）分别取AB CD ，的中点为O E ，，易得OP OE OB ，，两两垂直，以OE OB OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，易得(1,0,0)AD =为平面PAB 的法向量，只需求出平面PDC 的法向量为n ，再利用||cos |cos |||||n AD n AD n AD θ⋅=<⋅>=计算即可；（2）求出BQ ，利用|cos ,|sin 3n BQ π<>=计算即可.【详解】（1）分别取AB CD ，的中点为O E ，，连结PO EO ，. 因为AD ∥BC ，所以OE ∥BC . 因为AB BC ⊥，所以AB OE ⊥. 因为侧面PAB 为等边三角形，所以AB OP ⊥又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，OP ⊂平面PAB ， 所以OP ⊥平面ABCD ， 所以OP OE OB ，，两两垂直.以O 为空间坐标系的原点，分别以OE OB OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为 2 2AB BC AD ===，则(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(1,1,0),(0,0,3)O A B C D P --，()1,2,0DC =，(2,1,3)PC =-.设平面PDC 的法向量为(, , )n x y z =，则00n DC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20230x y x y z +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩.取1y =，则2,3x z =-=-，所以(2,1,3)n =--.又(1,0,0)AD =为平面PAB 的法向量，设平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为θ，则222||2cos |cos |2||||(2)1(3)n AD n AD n AD θ⋅=<⋅>===-++-， 所以平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为4π.（2）由（1）得，平面PDC 的法向量为(2,1,3),(2,1,3)n PC =--=-， 所以成(22,3)(01)BQ BC CP λλλλλ=+=-+-.又直线BQ 与平面PDC 所成角为3π， 所以|cos ,|sin 3n BQ π<>=，即||3||||n BQ n BQ ⋅=，即2222223(2)1(3)(22)()(3)λλλ=-++-⨯-++-+， 化简得26610λλ-+=，所以33λ±=，符合题意. 【点睛】本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角，涉及到面面垂直的性质定理的应用，做好此类题的关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.25.如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，~A I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A I ，处的红绿灯），出发时的两条路线（I F I H →→，）等可能选择，且总是走最近路线.（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？ 【答案】（1）6种；（2）1164；（3）I F C B A →→→→. 【解析】 【分析】（1）从4条街中选择2条横街即可；（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线，即I H E D A →→→→，I H E B A →→→→，I F E D A →→→→，I F E B A →→→→，分别对4条路线进行分析计算概率；（3）分别对小明上学的6条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.【详解】（1）路途中可以看成必须走过2条横街和2条竖街，即从4条街中选择2条横街即可,所以路线总数为246C =条.（2）小明途中恰好经过E 处，共有4条路线： ①当走I H E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率11313124432p =⨯⨯⨯=；②当走I H E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率2131132444128p =⨯⨯⨯=；③当走I F E D A →→→→时，全程不等红绿灯的概率31111124432p =⨯⨯⨯=；④当走I F E B A →→→→时，全程不等红绿灯的概率4113132444128p =⨯⨯⨯=.所以途中恰好经过E 处,且全程不等信号灯的概率 1234331311321283212864p p p p p =+++=+++=. （3）设以下第i 条的路线等信号灯的次数为变量i X ，则①第一条：13,~1,4I H E D A X B ⎛⎫→→→→ ⎪⎝⎭，则()134E X =；②第二条：23,~3,4I F C B A X B ⎛⎫→→→→ ⎪⎝⎭，则()239344E X =⨯=；③另外四条路线：;I H G D A I H E B A →→→→→→→→；I F E D A →→→→； 3,~2,(3,4,5,6)4i I F E B A X B i ⎛⎫→→→→= ⎪⎝⎭，则()332(3,4,5,6)42i E X i =⨯==综上，小明上学的最佳路线为I H E D A →→→→；应尽量避开I F C B A →→→→.【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.。
【21套模拟试卷合集】2020届江苏宿迁 沭阳县联考中考数学模拟试卷含解析
2020届江苏宿迁沭阳县联考中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()A．tantanαβB．sinsinβαC．sinsinαβD．coscosβα2．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（）A．CDBCB．ACABC．ADACD．CDAC3．如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD交AB于点E，则∠CEB的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°4．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A ．3cmB ．6 cmC ．2.5cmD ．5 cm5．如图，△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，则图中阴影部分的面积等于( )A ．2﹣2B ．1C ．2D ．2﹣l6．在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45° B ．60°C ．75°D ．105° 7．一元二次方程210x x --=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断8．如图，能判定EB ∥AC 的条件是( )A ．∠C=∠ABEB ．∠A=∠EBDC ．∠A=∠ABED ．∠C=∠ABC9．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( )A ．k<4B ．k≤4C ．k<4且k≠3D ．k≤4且k≠310．如图，有一张三角形纸片ABC ，已知∠B ＝∠C ＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( )A ．B ．C ．D ．11．已知关于x，y的二元一次方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩，则a﹣2b的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣312．将2001×1999变形正确的是（）A．20002﹣1 B．20002+1 C．20002+2×2000+1 D．20002﹣2×2000+1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是_____．14．中国古代的数学专著《九章算术》有方程组问题“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，则根据题意，可得方程组为___．15．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则2112x xx x+的值为_____．16．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根，则m的取值范围是．17．如图，已知Oe的半径为2，ABC∆内接于Oe，135ACB∠=o，则AB=__________．18．方程1223x x=+的解为__________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.第一批饮料进货单价多少元？若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？20．（6分）解分式方程：28124x x x -=-- 21．（6分）某市扶贫办在精准扶贫工作中，组织30辆汽车装运花椒、核桃、甘蓝向外地销售．按计划30辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题： 产品名称核桃 花椒 甘蓝 每辆汽车运载量（吨）10 6 4 每吨土特产利润（万元） 0.7 0.8 0.5若装运核桃的汽车为x 辆，装运甘蓝的车辆数是装运核桃车辆数的2倍多1，假设30辆车装运的三种产品的总利润为y 万元．求y 与x 之间的函数关系式；若装花椒的汽车不超过8辆，求总利润最大时，装运各种产品的车辆数及总利润最大值．22．（8分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D ．求证：BE ＝CF ；当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．23．（8分）已知A （﹣4，2）、B （n ，﹣4）两点是一次函数y=kx+b 和反比例函数y=m x图象的两个交点．求一次函数和反比例函数的解析式；求△AOB 的面积；观察图象，直接写出不等式kx+b ﹣m x ＞0的解集．24．（10分）如图，在Rt △ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连结AD ．已知∠CAD=∠B ．求证：AD 是⊙O 的切线．若BC=8，tanB=12，求⊙O 的半径．25．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；商场的营销部结合上述情况，提出了A 、B 两种营销方案方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B ：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线212y x bx c =-++经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．()1求此抛物线的解析式．()2求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．27．（12分）某学校2017年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元；求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；2018年这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2910元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=AC sinα，在Rt△ACD中，AD=AC sinβ，∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinsinβα，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．2．D【解析】【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B=α，A、在Rt△BCD中，sinα=CDBC，故A正确，不符合题意；B、在Rt△ABC中，sinα=ACAB，故B正确，不符合题意；C、在Rt△ACD中，si nα=ADAC，故C正确，不符合题意；D、在Rt△ACD中，cosα=CDAC，故D错误，符合题意，故选D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．D【解析】【详解】解：连接OD∵∠AOD=60°，∴ACD=30°.∵∠CEB是△ACE的外角，∴△CEB＝∠ACD+∠CAO=30°+45°=75°故选：D4．D【解析】分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．详解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=1cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=1．在Rt△EBC中，22224845BE EC+=+=∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴OF OCBE BC=，即445OF=解得：5故选D．点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．5．D【解析】∵△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，AC′=AC=2，∴AD ⊥BC ，B′C′⊥AB ，∴AD=12BC=1，AF=FC′=22AC′=1， ∴DC′=AC′-AD=2-1，∴图中阴影部分的面积等于：S △AFC′-S △DEC′=12×1×1-12×（2 -1）2=2-1， 故选D.【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出AD ，AF ，DC′的长是解题关键．6．C【解析】【分析】根据非负数的性质可得出cosA 及tanB 的值，继而可得出A 和B 的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C 的度数．【详解】由题意，得 cosA=12，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C ．7．A【解析】【分析】把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-，然后计算∆，最后根据计算结果判断方程根的情况.【详解】21,1,14145a b c b ac ==-=-∴∆-=+=Q∴方程有两个不相等的实数根.故选A.【点睛】本题考查根的判别式，把a=1,b=-1,c=-1,代入24b ac ∆=-计算是解题的突破口.8．C【解析】【分析】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．【详解】A 、∠C=∠ABE 不能判断出EB ∥AC ，故本选项错误；B 、∠A=∠EBD 不能判断出EB ∥AC ，故本选项错误；C 、∠A=∠ABE ，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB ∥AC ，故本选项正确；D 、∠C=∠ABC 只能判断出AB=AC ，不能判断出EB ∥AC ，故本选项错误．故选C ．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．9．B【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点.10．C【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、由全等三角形的判定定理SAS 证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B 、由全等三角形的判定定理SAS 证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．11．B【解析】【详解】把11xy=⎧⎨=-⎩代入方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩得：231a ba b-=⎧⎨+=⎩，解得：4313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以a−2b=43−2×(13-)=2. 故选B.12．A【解析】【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得出答案．【详解】解：原式=(2000+1)×(2000-1)=20002-1， 故选A ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2:1【解析】先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：1，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：1．故答案为2：1.点睛：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．14．561645x y x y y x+=⎧⎨+=+⎩ 【解析】设每只雀、燕的重量各为x 两，y 两，由题意得：5616{45x y x y y x+++＝＝ 故答案是：5616{45x y x y y x +++＝＝或5616{34x y x y+== ． 15．1．【解析】试题分析：∵1x ，2x 是方程的两实数根，∴由韦达定理，知126x x +=-，123x x =，∴2112x xx x +=2121212()2x x x x x x +-=2(6)233--⨯=1，即2112x x x x +的值是1．故答案为1． 考点：根与系数的关系．16．m≤1．【解析】试题分析：由题意知，△=4﹣4m≥0，∴m≤1．故答案为m≤1．考点：根的判别式．17．22【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB 的长．详解：连接AD 、AE 、OA 、OB ，∵⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴2，故答案为：2．点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．18．1x =【解析】【分析】两边同时乘2(3)x x +，得到整式方程，解整式方程后进行检验即可.【详解】解：两边同时乘2(3)x x +，得34x x +=，解得1x =，检验：当1x =时，2(3)x x +≠0，所以x=1是原分式方程的根，故答案为：x=1.【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）第一批饮料进货单价为8元.(2) 销售单价至少为11元.【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x 元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；（2）设销售单价为m 元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得.【详解】（1）设第一批饮料进货单价为x 元，则：1600600032x x ⨯=+ 解得：8x =经检验：8x =是分式方程的解答：第一批饮料进货单价为8元.（2）设销售单价为m 元，则： ()()8200106001200m m -⋅+-⋅≥，化简得：()()2861012m m -+-≥，解得：11m ≥，答：销售单价至少为11元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键.20．无解【解析】【分析】首先进行去分母，将分式方程转化为整式方程，然后按照整式方程的求解方法进行求解，最后对所求的解进行检验，看是否能使分母为零．【详解】解：两边同乘以（x+2）（x －2）得：x （x+2）－（x+2）（x －2）=8去括号，得：2x +2x －2x +4=8移项、合并同类项得：2x=4解得：x=2经检验，x=2是方程的增根∴方程无解【点睛】本题考查解分式方程，注意分式方程结果要检验．21． (1)y=﹣3.4x+141.1；(1)当装运核桃的汽车为2辆、装运甘蓝的汽车为12辆、装运花椒的汽车为1辆时，总利润最大，最大利润为117.4万元．【解析】【分析】（1）根据题意可以得装运甘蓝的汽车为（1x+1）辆，装运花椒的汽车为30﹣x ﹣（1x+1）=（12﹣3x ）辆，从而可以得到y 与x 的函数关系式；（1）根据装花椒的汽车不超过8辆，可以求得x 的取值范围，从而可以得到y 的最大值，从而可以得到总利润最大时，装运各种产品的车辆数．【详解】(1)若装运核桃的汽车为x 辆，则装运甘蓝的汽车为（1x+1）辆，装运花椒的汽车为30﹣x ﹣（1x+1）=（12﹣3x ）辆，根据题意得：y=10×0.7x+4×0.5（1x+1）+6×0.8（12﹣3x ）=﹣3.4x+141.1． (1)根据题意得：()29382130x x x -≤⎧⎨++≤⎩， 解得：7≤x≤293， ∵x 为整数，∴7≤x≤2．∵10.6＞0，∴y 随x 增大而减小，∴当x=7时，y 取最大值，最大值=﹣3.4×7+141.1=117.4，此时：1x+1=12，12﹣3x=1．答：当装运核桃的汽车为2辆、装运甘蓝的汽车为12辆、装运花椒的汽车为1辆时，总利润最大，最大利润为117.4万元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数的应用.22．（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=2AC=2，于是利用BD=BE﹣DE求解．【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，AC ABCAF BAEAF AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=2AC=2，∴BD=BE﹣DE=21-．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．23．（1）反比例函数解析式为y=﹣8x，一次函数的解析式为y=﹣x﹣1；（1）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜1．【解析】试题分析：（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=1，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（1）先求出直线y=﹣x﹣1与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜1时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．试题解析：（1）把A（﹣4，1）代入，得m=1×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为，把B （n ，﹣4）代入，得﹣4n=﹣8，解得n=1，把A （﹣4，1）和B （1，﹣4）代入y=kx+b ，得：，解得：，所以一次函数的解析式为y=﹣x ﹣1；（1）y=﹣x ﹣1中，令y=0，则x=﹣1，即直线y=﹣x ﹣1与x 轴交于点C （﹣1，0），∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =×1×1+×1×4=6； （3）由图可得，不等式的解集为：x ＜﹣4或0＜x ＜1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式．24．（1）证明见解析；（2）352r =. 【解析】【分析】（1）连接OD ，由OD=OB ，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；（2）设圆的半径为r ，利用锐角三角函数定义求出AB 的长，再利用勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】（1）证明：连接OD ，OB OD =Q ，3B ∴∠=∠，1B ∠=∠Q ，13∴∠=∠，在Rt ACD ∆中，1290∠+∠=︒，()41802390∴∠=︒-∠+∠=︒，OD AD ∴⊥，则AD 为圆O 的切线；（2）设圆O 的半径为r ，在Rt ABC ∆中，tan 4AC BC B ==，根据勾股定理得：AB ==OA r ∴=，在Rt ACD ∆中，1tan 1tan 2B ∠==， tan 12CD AC ∴=∠=，根据勾股定理得：22216420AD AC CD =+=+=，在Rt ADO ∆中，222OA OD AD =+，即()2220rr =+，解得：r =【点睛】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 25． (1) w ＝－10x 2＋700x －10000;(2) 即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大;(3) A 方案利润更高.【解析】【分析】试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可.（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值.（3）分别求出方案A 、B 中x 的取值范围，然后分别求出A 、B 方案的最大利润，然后进行比较.【详解】解：（1）w ＝（x －20）（250－10x ＋250）＝－10x 2＋700x －10000.（2）∵w ＝－10x 2＋700x －10000＝－10（x －35）2＋2250∴当x ＝35时，w 有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大.（3）A 方案利润高,理由如下：A 方案中：20＜x≤30，函数w ＝－10（x －35）2＋2250随x 的增大而增大，∴当x=30时，w 有最大值，此时，最大值为2000元.B 方案中：10x 50010x 2025-+≥⎧⎨-≥⎩，解得x 的取值范围为：45≤x≤49. ∵45≤x≤49时，函数w ＝－10（x －35）2＋2250随x 的增大而减小，∴当x=45时，w 有最大值，此时，最大值为1250元.∵2000＞1250，∴A 方案利润更高26．()1 21242y x x =-++；()212． 【解析】【分析】（1）由正方形的性质可求得B 、C 的坐标，代入抛物线解析式可求得b 、c 的值，则可求得抛物线的解析式；（2）把抛物线解析式化为顶点式可求得D 点坐标，再由S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD 可求得四边形ABDC 的面积．【详解】 ()1由已知得：()0,4C ，()4,4B ，把B 与C 坐标代入212y x bx c =-++得： 4124b c c +=⎧⎨=⎩， 解得：2b =，4c =， 则解析式为21242y x x =-++； ()2∵221124(2)622y x x x =-++=--+， ∴抛物线顶点坐标为()2,6， 则114442841222ABC BCD ABDC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+=V V 四边形． 【点睛】二次函数的综合应用．解题的关键是：在（1）中确定出B 、C 的坐标是解题的关键，在（2）中把四边形转化成两个三角形．27．（1）购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要1元（2）这所学校最多可购买2个乙种足球【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元； （2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得这所学校最多可购买多少个乙种足球．【详解】（1）设购买一个甲种足球需要x 元，则购买一个乙种篮球需要（x+2）元，根据题意得：20001400220x x=⨯+，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴x+2＝1．答：购买一个甲种足球需要50元，购买一个乙种篮球需要1元．（2）设可购买m个乙种足球，则购买（50﹣m）个甲种足球，根据题意得：50×（1+10%）（50﹣m）+1×（1﹣10%）m≤2910，解得：m≤2．答：这所学校最多可购买2个乙种足球．【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式，注意分式方程要检验，问题（2）要与实际相联系．2020届安徽省和县联考中考数学模拟试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x 2＋23x 的顶点为A 点，且与x 轴的正半轴交于点B ，P 点为该抛物线对称轴上一点，则OP ＋12AP 的最小值为（ ）.A ．3B ．23C ．32214+D ．3232+ 2．如图直线y ＝mx 与双曲线y=k x交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．4的平方根是( )A ．2B ．2C ．±2D ．±25．如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O e ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒6．如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD 交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（）A．DE=EB B．2DE=EB C．3DE=DO D．DE=OB7．下列命题是假命题的是（）A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形B．等边三角形有3条对称轴C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等8．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．9．在平面直角坐标系中，点(2，3)所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．2-的相反数是A．2-B．2 C．12D．12-二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．若代数式33x-有意义，则x的取值范围是__．12．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为_____个．13．计算：12466⎛⎫+⨯=⎪⎪⎝⎭______．14．如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为_____m．15．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长为x厘米，则依题意列方程为_________.16．已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____．17．若23ab=，则a bb+＝_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C，对称轴为直线x=1，且经过点A（3，-1），与y轴交于点B．求抛物线的解析式；判断△ABC的形状，并说明理由；经过点A的直线交抛物线于点P，交x轴于点Q，若S△OPA=2S△OQA，试求出点P的坐标．19．（5分）如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数kyx=（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．求a ，b 的值及反比例函数的解析式；若点P 在直线y ＝﹣x+2上，且S △ACP ＝S △BDP ，请求出此时点P 的坐标；在x 轴正半轴上是否存在点M ，使得△MAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，说明理由．20．（8分）如果a 2+2a-1=0，求代数式24()2a a a a -⋅-的值. 21．（10分）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．若前四局双方战成2：2，那么甲队最终获胜的概率是__________；现甲队在前两局比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？22．（10分）用你发现的规律解答下列问题．111122=-⨯ 1112323=-⨯ 1113434=-⨯ ┅┅计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ．探究1111......122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯+ ．（用含有n 的式子表示）若1111......133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-+的值为1735，求n 的值． 23．（12分）如图，已知O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．以0点为位似中心在y 轴的左侧将△OBC 放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；分别写出B 、C 两点的对应点B′、C′的坐标；如果△OBC 内部一点M 的坐标为（x ，y ），写出M 的对应点M′的坐标．24．（14分）一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12．求口袋中黄球的个数；甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．A【解析】【分析】连接AO,AB,PB,作PH⊥OA于H,BC⊥AO于C,解方程得到－x2＋23x=0得到点B,再利用配方法得到点A，得到OA的长度，判断△AOB为等边三角形，然后利用∠OAP=30°得到PH= 12AP,利用抛物线的性质得到PO=PB,再根据两点之间线段最短求解.【详解】连接AO,AB,PB,作PH⊥OA于H,BC⊥AO于C,如图当y=0时－x2＋3，得x1=0,x23,所以B （3），由于y=－x2＋33)2+3,所以A3）,所以3,AO=AB=OB，所以三角形AOB为等边三角形，∠OAP=30°得到PH= 12AP,因为AP垂直平分OB,所以PO=PB，所以OP＋1 2AP=PB+PH，所以当H,P,B共线时，PB+PH最短，而BC=32AB=3，所以最小值为3.故选A.【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质和最短途径的解决方法是解题的关键. 2．B【解析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM=1S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【详解】根据双曲线的对称性可得：OA=OB,则S△ABM＝1S△AOM＝1，S△AOM＝12|k|＝1，则k＝±1．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝1．故选B．【点睛】本题主要考查了反比例函数y＝kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．3．B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，逐一进行判断.【详解】A、C是中心对称图形，但不是轴对称图形；B是轴对称图形；D不是对称图形.故选B.【点睛】本题考查的是轴对称图形的定义.4．D【解析】【分析】，然后再根据平方根的定义求解即可．【详解】，2的平方根是，故选D．【点睛】正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．5．C【解析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC 、CD=CB ，根据等腰三角形的性质求出∠CBD ，计算即可．【详解】∵五边形ABCDE 为正五边形 ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒ ∵CD CB =∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒ ∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．6．D【解析】【详解】解：连接EO.∴∠B=∠OEB ，∵∠OEB=∠D+∠DOE ，∠AOB=3∠D ，∴∠B+∠D=3∠D ，∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D ，∴∠DOE=∠D ，∴ED=EO=OB ，故选D.7．C【解析】解：A ． 外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A 选项正确；B ． 等边三角形有3条对称轴，故B 选项正确；C ．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS 来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项错误；D ．利用SSS ．可以判定三角形全等．故D 选项正确；故选C ．8．B【解析】A 选项中，由图可知：在2y ax =，0a >；在y ax b =-+，0a ->，∴0a <，所以A 错误；B 选项中，由图可知：在2y ax =，0a >；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以B 正确；C 选项中，由图可知：在2y ax =，0a <；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以C 错误；D 选项中，由图可知：在2y ax =，0a <；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以D 错误．故选B ．点睛：在函数2y ax =与y ax b =-+中，相同的系数是“a ”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“a ”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b”的取值无关.9．A【解析】【分析】根据点所在象限的点的横纵坐标的符号特点，就可得出已知点所在的象限.【详解】解：点（2,3）所在的象限是第一象限.故答案为：A【点睛】考核知识点：点的坐标与象限的关系.10．B【解析】【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B ．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .。
江苏省沭阳县修远中学2020届高三数学9月月考试题理(含解析)
江苏省沭阳县修远中学2020届高三数学9月月考试题 理（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1.已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I _____. 【答案】{1,6}. 【解析】 【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 【详解】由题知，{1,6}A B =I .【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.2.命题“0x R ∃∈，20010x x ++<”的否定是__________．【答案】x R ∀∈，210x x ++≥ 【解析】 【分析】根据特征命题的否定为全称命题，求得结果.【详解】命题“0x R ∃∈，20010x x ++<”是特称命题，所以其否定命题：2,210x R x x ∀∈-+≥ 故答案为：2,210x R x x ∀∈-+≥【点睛】本题考查了命题的否定，特征命题的否定是全称命题，属于基础题.3.已知向量a r =（－4，3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r，则m =__________.【答案】8. 【解析】 【分析】利用a b ⊥r r转化得到0a b •=r r 加以计算，得到m .【详解】向量4,36,a b m a b =-=⊥r r r r（），（），，则•046308a b m m =-⨯+==r r，，.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.4.若函数()22,11),1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()0f f ⎡⎤=⎣⎦________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据题中所给的函数解析式，对()0f f ⎡⎤⎣⎦从内向外求，先求出(0)3f =，再求(3)2f =，从而求得结果.【详解】根据题中所给的函数解析式可得0(0)223f =+=，(3)1)2f =-=，所以()0(3)2f f f ⎡⎤==⎣⎦， 故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有分段函数求函数值，多层函数值的求解，属于简单题目.5.函数y =_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】 【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．6.若1x >，则41x x +-的最小值为__________． 【答案】5 【解析】【详解】由已知得：1x >，10x ->4411141511x x x x ∴+=-++≥=+=-- 当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立，故41x x +-的最小值为5 点睛：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，在利用基本不等式时要注意一正，二定，三相等的原则，根据1x >，推断出10x ->，然后把41x x +-整理成4111x x -++-，进而利用基本不等式求得最小值.7.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos 3cos a B c b A =-，则cos A ＝____． 【答案】13【解析】∵()cos 3cos a B c b A =-，∴由正弦定理，可得sin cos 3sin cos sin cos A B C A B A =-，∴sin cos sin cos 3sin cos A B B A C A +=，即()sin 3sin cos A B C A +=，∴1cos 3A =，故答案为13. 点睛：正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，一般的利用公式2sin a R A =（R 为三角形外接圆半径）可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，往往用到三角形内角和定理和两角和与差的正、余弦公式等.8.已知1sin()63x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-的值是________. 【答案】59【解析】 【分析】由条件利用诱导公式，同角三角的基本关系，化简要求的式子可得结果. 【详解】因为1sin()63x π+=， 则225sin()sin ()sin()cos ()6366x x x x ππππ-+-=-+++ 2115sin()1sin ()166399x x ππ=-++-+=-+-=，故答案是：59.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，同角三角函数关系式，属于简单题目.9.已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 【答案】2 【解析】【详解】由函数的解析式可得函数在()0,∞+上是增函数，且()2ln 2240f =+-<，()3ln3340f =+->，故有()()230f f <，根据函数零点存在性可得函数在区间()2,3上存在零点，结合所给的条件可得，故2k =，故答案为2.10.在ABC ∆中，2,AB AC BC ===，点D 满足2DC BD =u u u v u u u v，则AD DC ⋅u u u r u u u r 的值为_______. 【答案】43- 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，画出对应的三角形，利用余弦定理可求得23BAC π∠=，根据2DC BD=u u u v u u u v，可得D 是BC 的三等分点，之后将AD DC ⋅u u u r u u u r 转化为,AB AC u u u r u u u r 的式子，之后应用平面向量数量积的定义式求得结果. 【详解】根据题意画出图形，如图所示：因为2,23AB AC BC ===，利用余弦定理可求得23BAC π∠=， 根据题意可得：22212224()()333999AD DC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+⋅-=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22144422()499293=⨯+⨯⨯⨯--⨯=-， 故答案是：43-. 【点睛】该题考查的是有关向量的数量积的问题，涉及到的知识点有余弦定理解三角形，平面向量基本定理，平面向量数量积的定义式，属于简单题目.11.已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，，则不等式()()f x f x >-的解集为____．【答案】(20)(2)-+∞U ，， 【解析】 【分析】由题可得：函数()f x 为奇函数，即可将不等式()()f x f x >-转化为：()0f x >，对x 分类解不等式即可。
江苏省宿迁市沭阳中学2020届高三下学期百日冲刺模拟考试数学试题含附加题(含解析)word
2020年高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份）一、填空题1．已知全集U＝{﹣1，0，1}，集合A＝{0，|x|}，则∁U A＝．2．若，i为虚数单位，则正实数a的值为．3．若一组样本数据7，9，x，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．5．已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为．6．三个小朋友之间准备送礼物，约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为．7．函数的极大值为．8．已知等比数列{a n}满足a2+2a1＝4，a32＝a5，则该数列的前5项和为．9．若函数，则的值为．10．如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为．11．圆心在曲线上的圆中，存在与直线2x+y+1＝0相切且面积为5π的圆，则当k取最大值时，该圆的标准方程为．12．函数（ω＞0）的最大值与最小正周期相同，则f（x）在[﹣1，1]上的单调递增区间为．13．在边长为2的正三角形ABC中，，则的取值范围为．14．已知函数f（x）＝对于∀θ∈R，∃x∈R，使得cosθ﹣m2＜f（x）＜sin2θ+m+1成立，则实数m的取值范围是．二、解答题：共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平面直角坐标系xOy中，设向量，，θ∈R．（1）若，求tan2θ的值；（2）若∥，且，求θ的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中．（1）若AD⊥平面PAB，PB⊥PD，求证：平面PBD⊥平面PAD；（2）若AD∥BC，E为PA的中点，当BE∥平面PCD时，求的值．17．如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为1公里，小岛中心O到岸边AM 的最近距离OA为2公里．该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上某点B处新建一个浴场，在海岸上某点C处新建一家五星级酒店，在A处新建一个码头，且使得AB与AC满足垂直且相等，为方便游客，再建一条跨海高速通道OC连接酒店和小岛，设∠AOB＝α（0＜α＜π）．（1）设∠BAO＝β，试将sinβ表示成α的函数；（2）若OC越长，景区的辐射功能越强，问当α为何值时OC最长，并求出该最大值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，过点B（m，0）（m＜﹣2或m＞2）作一条直线交椭圆C于E、F（不与A1，A2重合）两点，直线A1E，A2F交于点G，记直线A1E，A2F，GB的斜率分别为k1，k2，k3．①对于给定的m，求的值；②是否存在一个定值k使得k1+k2＝kk3恒成立，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）＝x3﹣（a﹣1）x2+3（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）函数f（x）在[0，a]上的最大值为g（a），①求g（a）的值；②若过点（m，）可作出y＝g（x）的三条切线，求m的取值范围．20．设等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和为T n，满足a1＝3b1，且∀n∈N*，．若实数，则称m 具有性质P k．（1）请判断b1是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，c n＝S n﹣2λa n，且c n＜c n+1（n∈N*）恒成立．求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，每题满分0分，计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵A＝，A的两个特征值为λ1＝2，λ2＝3．（1）求a，b的值；（2）求属于λ2的一个特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以直角坐标系xOy 的O点为极点，Ox为极轴，且取相同的长度单位，建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的倾斜角；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，求实数a的值．[必做题]第22、23题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．23．从编号为1，2，3，4，…，10的10个大小、形状相同的小球中，任取5个球．如果某两个球的编号相邻，则称这两个球为一组“好球”．（1）求任取的5个球中至少有一组“好球”的概率；（2）在任取的5个球中，记“好球”的组数为X，求随机变量X的概率分布列和均值E （X）．24．已知f n（x）＝（x+1）n﹣（2x+）n＝a0+a1x+a2x2+……+a n x n，其中n是给定的正整数，且n≥2，a0，a1，a2，…，a n为常数，设P n＝min{|a0|，|a1|，|a2|，…，|a n|}（|a0|，|a1|，|a2|，……，|a n|中的最小值）．（1）求P3、P4的值；（2）求P n的通项公式．参考答案一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．已知全集U＝{﹣1，0，1}，集合A＝{0，|x|}，则∁U A＝{﹣1}．【分析】根据题意可得出A＝{0，1}，然后进行补集的运算即可．解：根据题意知，|x|＝1，∴A＝{0，1}，U＝{﹣1，0，1}，∴∁U A＝{﹣1}．故答案为：{﹣1}．2．若，i为虚数单位，则正实数a的值为．【分析】利用复数模的运算性质即可得出．解：由已知可得：＝2，a＞0，解得a＝．故答案为：．3．若一组样本数据7，9，x，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为2．【分析】根据题意，由平均数公式可得＝9，解可得x的值，进而由方差公式计算可得答案．解：根据题意，数据7，9，x，8，10的平均数为9，则有＝9，解可得：x ＝11；则其方差S2＝[（7﹣9）2+（9﹣9）2+（11﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2]＝2；故答案为：2．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是124．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，n＝1不满足条件n＞4，执行循环体，S＝1，n＝2不满足条件n＞4，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件n＞4，执行循环体，S＝27，n＝4不满足条件n＞4，执行循环体，S＝124，n＝5此时满足条件n＞4，退出循环，输出S的值为124．故答案为：124．5．已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为4．【分析】由双曲线的渐近线x＝＝1，＝以及a2+b2＝c2求得c的值即可．解：由于双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，所以x＝＝1，即c＝a2①，把代入y＝x，得＝，即b＝a②又a2+b2＝c2③联立①②③，得c＝2．所以2c＝4．故答案是：4．6．三个小朋友之间准备送礼物，约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），则三人都收到礼物的概率为．【分析】基本事件总数n＝23＝8，三人都收到礼物包含的基本事件个数m＝2×2×1＝4．由此能求出三人都收到礼物的概率．解：三个小朋友之间准备送礼物，约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人（送给两个人的可能性相同），基本事件总数n＝23＝8，三人都收到礼物包含的基本事件个数m＝2×2×1＝4．则三人都收到礼物的概率p＝＝．故答案为：．7．函数的极大值为．【分析】利用导数得到函数f（x）的单调性，即可求出函数f（x）的极大值．解：∵函数，x∈（0，+∞），∴f'（x）＝＝，令f'（x）＝0得，x＝e2，∴当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（e2，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴当x＝e2时，函数f（x）取到极大值，极大值为f（e2）＝，故答案为：．8．已知等比数列{a n}满足a2+2a1＝4，a32＝a5，则该数列的前5项和为31．【分析】由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+2a1＝4，，∴a1（q+2）＝4，a12q4＝a1q4，联立解得a1＝1，q＝2，∴数列的前5项的和为＝31故答案为：31．9．若函数，则的值为﹣．【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（log4）的值，进而计算可得答案．解：根据题意，函数，则f（log4）＝f（﹣log43）＝f（﹣log2）＝，则＝f（）＝log3＝﹣；故答案为：﹣10．如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为27．【分析】由题意得正三棱柱底面边长6，高为，由此能求出所得正三棱柱的体积．解：如图，作AO⊥BC，交BC于O，AO＝＝6，由题意得正三棱柱底面边长EF＝6，高为h＝，∴所得正三棱柱的体积为：V＝S△DEF•h＝＝27．故答案为：27．11．圆心在曲线上的圆中，存在与直线2x+y+1＝0相切且面积为5π的圆，则当k取最大值时，该圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．【分析】由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可得k的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程．解：设圆的半径为r，由题意可得πr2＝5π，所以r＝，由题意设圆心C（a，）由题意可得a＞0，由直线与圆相切可得＝r＝，所以|2a++1|＝5而k＞0，a＞0，所以5＝2a++1+1，即2，解得k≤2，所以k的最大值为2，这时当且仅当2a＝＝时取等号，可得a＝1，所以圆心坐标为：（1，2），半径为，即圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．12．函数（ω＞0）的最大值与最小正周期相同，则f（x）在[﹣1，1]上的单调递增区间为[﹣，]．【分析】利用三角函数的辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：f（x）＝4cosωx（sinωx﹣cosωx）+＝2sinωx cosωx﹣2cos2ωx+＝sin2ωx﹣cos2ωx＝2sin（2ωx﹣），则函数的最大值为2，周期T＝＝，∵f（x）的最大值与最小正周期相同，∴＝2，得ω＝，则f（x）＝2sin（πx），当﹣1≤x≤1时，﹣≤πx≤，则当﹣≤πx≤时，得﹣≤x≤，即函数f（x）在[﹣1，1]上的单调递增区间为[﹣，]，故答案为：[﹣，]13．在边长为2的正三角形ABC中，，则的取值范围为．【分析】建系，依题意可求得＝2xy+2x+2y﹣4，而x＞0，y＞0，x+y＝1，故可得y＝1﹣x，且x∈（0，1），由此构造函数f（x）＝﹣2x2+2x﹣2，0＜x＜1，利用二次函数的性质即可求得取值范围．解：：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（0，），设D（x1，0），E（x2，y2），根据，即（x1﹣1，0）＝x（﹣2，0），则x1＝1﹣2x，，即（x2，y2﹣）＝y（﹣1，﹣），则x2＝﹣y，y2＝﹣y+，所以＝（x1，﹣）（x2﹣1，y2）＝x1（x2﹣1）﹣y2＝（1﹣2x）（﹣y﹣1）﹣3（﹣y+1）＝2xy+2x+2y﹣4，∵x＞0，y＞0，x+y＝1，∴y＝1﹣x，且x∈（0，1），故，设f（x）＝﹣2x2+2x﹣2，0＜x＜1，易知二次函数f（x）的对称轴为，故函数f（x）在[0，1]上的最大值为，最小值为f（0）＝f（1）＝﹣2，故的取值范围为．故答案为：．14．已知函数f（x）＝对于∀θ∈R，∃x∈R，使得cosθ﹣m2＜f（x）＜sin2θ+m+1成立，则实数m的取值范围是（﹣，﹣）∪（，+∞）．【分析】需先求函数f（x）的值域，再分两步对所要求的条件进行转化．要使cosθ﹣m2＜f（x）＜sin2θ+m+1对于∀θ∈R，∃x∈R时成立，只要（cosθ﹣m2）最大值＜f（x）最大值，而且f（x）最小值＜（sin2θ+m+1）最小值以及cosθ﹣m2＜sin2θ+m+1对任意θ恒成立解：∵f（x）＝＝﹣+，由2x+1＞1，得0＜＜1，∴﹣＜f（x）＜，即f（x）的值域是（﹣，）．对于∀θ∈R，∃x∈R，使得cosθ﹣m2＜f（x），转化为只要（cosθ﹣m2）最大值＜f（x）最大值，∴1﹣m2＜，∴m2＞．对于∀θ∈R，∃x∈R，f（x）＜sin2θ+m+1，转化为只要f（x）最小值＜（sin2θ+m+1）最小值，∴m＞﹣，解不等式组，得﹣＜m＜﹣或m，由cosθ﹣m2＜sin2θ+m+1对于∀θ∈R恒成立，得m＞0或＜﹣1故m的取值范围是（﹣，﹣1）∪（，+∞）二、解答题：共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在平面直角坐标系xOy中，设向量，，θ∈R．（1）若，求tan2θ的值；（2）若∥，且，求θ的值．【分析】（1）利用向量垂直的坐标关系，建立方程，结合正切的倍角公式进行计算即可．（2）根据向量平行的坐标公式，建立方程进行求解．解：（1）若，则sin（θ+）+2sinθ＝0，即sinθ+cosθ+2sinθ＝0，即sinθ＝cosθ，则tanθ＝﹣，则tan2θ＝＝﹣＝﹣＝﹣．（2）若∥，则2sinθsin（θ+）﹣1＝0，即（sinθ+cosθ）•2sinθ﹣1＝0，得sin2θ+cosθsinθ﹣1＝0，即cosθsinθ﹣cos2θ＝0，即cosθ（sinθ﹣cosθ）＝0，∵，∴cosθ≠0，则sinθ﹣cosθ＝0，则sinθ＝cosθ，即tanθ＝，即θ＝．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中．（1）若AD⊥平面PAB，PB⊥PD，求证：平面PBD⊥平面PAD；（2）若AD∥BC，E为PA的中点，当BE∥平面PCD时，求的值．【分析】（1）由AD⊥平面PAB，得PB⊥AD，由PB⊥PD，得PB⊥平面PAD，由此能证明平面PBD⊥平面PAD．（2）取PD中点F，连结EF，CF，由EF∥AD，且EF＝AD，由AD∥BC，得EF ∥BC，从而BE∥CF，进而四边形EFCB是平行四边形，由此能求出．解：（1）证明：∵AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴PB⊥AD，∵PB⊥PD，AD∩PD＝D，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAD．（2）取PD中点F，连结EF，CF，∵E为PA的中点，∴EF∥AD，且EF＝AD，∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴四边形EFCB是平面图形，∵BE∥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥CF，∴四边形EFCB是平行四边形，∴EF＝BC，∴＝2．17．如图，某市管辖的海域内有一圆形离岸小岛，半径为1公里，小岛中心O到岸边AM 的最近距离OA为2公里．该市规划开发小岛为旅游景区，拟在圆形小岛区域边界上某点B处新建一个浴场，在海岸上某点C处新建一家五星级酒店，在A处新建一个码头，且使得AB与AC满足垂直且相等，为方便游客，再建一条跨海高速通道OC连接酒店和小岛，设∠AOB＝α（0＜α＜π）．（1）设∠BAO＝β，试将sinβ表示成α的函数；（2）若OC越长，景区的辐射功能越强，问当α为何值时OC最长，并求出该最大值．【分析】（1）由正弦定理可得sinβ与α的三角函数的关系；（2）由（1）得，AB的值，又有AB＝AC，所以由余弦定理可得OC的表达式，再由三角函数的请选择范围求出OC的最大值．解：（1）在三角形AOB中，由正弦定理：＝，即＝，而OA＝2，OB＝1，所以AB＝，由题意可得由余弦定理可得AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB cosα＝4+1﹣2×2×1cosα＝5﹣4cosα，所以AB＝，所以＝，所以sinβ＝；（2）AB＝AC，OC2＝OA2+AC2﹣2OA•AC•cos（90°+β）＝4+5﹣4cosα+2וsinβ＝9﹣4cosα+4sinα＝9+4sin（），所以OC的最大值为＝2．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，过点B（m，0）（m＜﹣2或m＞2）作一条直线交椭圆C于E、F（不与A1，A2重合）两点，直线A1E，A2F交于点G，记直线A1E，A2F，GB的斜率分别为k1，k2，k3．①对于给定的m，求的值；②是否存在一个定值k使得k1+k2＝kk3恒成立，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合点在椭圆上和椭圆的离心率可解得a＝2，b＝1，进而写出椭圆的标准方程；（2）①利用点斜式写出直线A1E和A2F的方程分别为y＝k1（x+2）和y＝k2（x﹣2），再分别与椭圆联立，结合韦达定理，可求得E（），F （），然后利用B、E、F三点共线时，任意两点构成的直线斜率相等来构造等式即可得解，需要注意的是验证不符合题意；②联立直线A1E和A2F的方程可解得点G（），再利用B、G两点的坐标表示出直线BG的斜率k3，然后结合①中得到的结论，计算化简可得到k ＝2，进而得解．解：（1）根据题意，离心率，解得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程；（2）①因为椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，所以A1（﹣2，0），A2（2，0），因为直线A1E，A2F的斜率分别为k1，k2，所以直线A1E和A2F的方程分别为y＝k1（x+2）和y＝k2（x﹣2），设E，F的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立得，，则即，解得，，所以E（）．同理可得，点F的坐标为（）．因为B、E、F三点共线，所以k BE＝k BF，即，化简得[（m+2）k1+（m﹣2）k2]（1+4k1k2）＝0．所以（m+2）k1+（m﹣2）k2＝0或1+4k1k2＝0，即或．当时，此时点G位于椭圆的上或下顶点，即E、F分别与A1，A2重合，与题干矛盾，故舍去．综上，对于给定的m，．②由①知直线A1E和A2F的方程分别为y＝k1（x+2）和y＝k2（x﹣2），联立可解得点G的坐标为（），因为点B（m，0），所以，化简得4k1k2＝[（m+2）k1﹣（m﹣2）k2]k3，由①的结论可知，所以，将其代入上式，化简整理后可得，k1+k2＝2k3，故存在定值k使得k1+k2＝kk3恒成立，且k＝2．19．已知函数f（x）＝x3﹣（a﹣1）x2+3（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）函数f（x）在[0，a]上的最大值为g（a），①求g（a）的值；②若过点（m，）可作出y＝g（x）的三条切线，求m的取值范围．【分析】（1）求f′（x）＝x2﹣（a﹣2）x，令f′（x）＝0便得到x＝0，或a﹣2，所以讨论a和2的关系，即判断a﹣2和0的关系：分a＞2，a＝2，a＜2三种情况，判断每种情况下的f′（x）的符号，从而判断f（x）的单调性；（2）①对应（1）中的三种情况：a＞2，a＝2，a＜2，判断在每种情况下f（x）在[0，a]上的单调性，根据单调性求函数f（x）在[0，a]上的最大值g（a），并求得g（a）＝；②要作y＝g（x）的三条切线，则g（x）图象应是曲线，所以y＝g（x）＝，x＜6，求g′（x），设切点为，求出切线斜率，所以求得切线方程为：＝，切线过点（m，），将该点带入切线方程并整理得：，则这个关于x0的方程有三个不同的实数根，设h（x）＝，则该函数有三个零点，这需要h（x）的极小值小于0，极大值大于0，所以用m表示出f（x）的极值，并解关于m的不等式即可求得m的取值范围．解：（1）f′（x）＝x2﹣（a﹣2）x，令f′（x）＝0得，x＝0，或a﹣2；若a＞2，a﹣2＞0，∴x＜0，或x＞a﹣2时，f′（x）＞0；0＜x＜a﹣2时，f′（x）＜0；∴f（x）在（﹣∞，0），（a﹣2，+∞）上单调递增，在[0，a﹣2]上单调递减；若a＝2，a﹣2＝0，∴f′（x）≥0，∴函数f（x）在R上单调递增；若a＜2，a﹣2＜0，∴x＜a﹣2，或x＞0时，f′（x）＞0；a﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0；∴f（x）在（﹣∞，a﹣2），（0，+∞）上单调递增，在（a﹣2，0）单调递减；（2）①由（1）知，1）当a＞2时，f（x）在[0，a﹣2]单调递减，在（a﹣2，a]单调递增；∴对于此时的f（x）的最大值比较f（0），f（a）即可；f（a）﹣f（0）＝；∴a≥6时，f（a）＜f（0），∴g（a）＝f（0）＝3；2＜a＜6时，f（a）＞f（0），∴g（a）＝f（a）；2）当a＝2时，f（x）在[0，a]上单调递增，∴g（a）＝f（a）；3）当a＜2时，f（x）在[0，a]上单调递增，∴g（a）＝f（a）；∴g（a）＝；②根据题意，y＝g（x）＝，y′＝，所以设过点所作切线的切点为，x0＜6，斜率为；∴切线方程为：＝；点（m，）在切线上，所以＝；将上式整理成：，则关于x0的方程有三个不同的实数根，且x0＜6；令h（x）＝，则h（x）应有三个不同的零点，h′（x）＝x2﹣（m+2）x+2m，令h′（x）＝0，则：x＝2，或m，∴h（2），h（m）中一个是极大值，一个是极小值；1）m＜2时，h（2）是极小值，h（m）是极大值，∴；解2m得m；令，，令u′（x）＝0，得，x＝0，或4；∴u（x）在（﹣∞，0），（4，+∞）上单调递减，在[0，4]上单调递增；可求得u（﹣2）＝u（4）＝0，∴x＜﹣2，时，u（x）＞0，x＞﹣2，且x≠4时，u（x）＜0；∴h（m）＞0的解是m＜﹣2，∴m＜﹣2；2）m＞2时，h（2）是极大值，h（m）是极小值，∴；解2m得，m；而由上面知h（m）＜0的解是m＞﹣2，且m≠4，∴m＞，且m≠4；综上得m的取值范围是{m|m＜﹣2，或m＞，且m≠4}．20．设等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和为T n，满足a1＝3b1，且∀n∈N*，．若实数，则称m 具有性质P k．（1）请判断b1是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，c n＝S n﹣2λa n，且c n＜c n+1（n∈N*）恒成立．求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，求所有满足条件的k的值．【分析】（1）求得n＝1，2，3，4，5，6，7时，数列{b n}的前7项，可得d和首项a1，得到等差数列{a n}的通项，即可判断b1、b2是否具有性质P6；（2）由题意可得S n+1﹣2λa n+1≥S n﹣2λa n，代入等差数列{a n}的通项公式和求和公式，化简整理可得λ≤﹣1，结合集合中元素的特点，即可得证；（3）求得n＝1，2，3，4，H2n﹣1的特点，结合k＝3，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值．解：（1）解：设等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和为T n，满足a1＝3b1，且∀n∈N*，．（n∈N*），可得n＝1时，T1+＝﹣b1＝﹣T1，解得b1＝﹣，T2+＝b2＝﹣+b2+＝b2，T3+＝﹣b3＝﹣+b2+b3+，即b2+2b3＝，T4+＝b4＝﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3＝，解得b2＝，b3＝﹣，同理可得b4＝，b5＝﹣，b6＝，b7＝﹣，…，b2n﹣1＝﹣，∵a1＝3b1，∴a1＝﹣，d＝，a n＝，P6＝{x|a4＜x＜a9}（k∈N*，k≥3）＝{x|0＜x＜}，则b1不具有性质P6，b2具有性质P6；（2）证明：设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，可得S n+1﹣2λa n+1≥S n﹣2λa n，即为≥，化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立，即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），且a1＝﹣，d＞0，可得P k中的元素大于﹣1，则对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k．（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1＝T1＝b1＝﹣，H3＝T1+T2+T3＝﹣，H5＝T1+T2+T3+T4+T5＝﹣，H7＝﹣+0﹣＝﹣，…，H2n﹣1＝H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k＝3时，P3＝{x|a1＜x＜a6}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝4时，P4＝{x|a2＜x＜a7}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝5时，P5＝{x|a3＜x＜a8}＝{x|﹣＜x＜1}，当k＝6时，P3＝{x|a4＜x＜a9}＝{x|0＜x＜}，显然k＝5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，每题满分0分，计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵A＝，A的两个特征值为λ1＝2，λ2＝3．（1）求a，b的值；（2）求属于λ2的一个特征向量．【分析】（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a，b的值；（2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．解：（1）令f（λ）＝＝（λ﹣a）（λ﹣4）+b＝λ2﹣（a+4）λ+4a+b＝0，于是λ1+λ2＝a+4，λ1λ2＝4a+b．解得a＝1，b＝2…5分（2）设＝，则A＝＝＝3＝，故解得x＝y．于是＝…10分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以直角坐标系xOy 的O点为极点，Ox为极轴，且取相同的长度单位，建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的倾斜角；（2）若直线l与圆C交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，求实数a的值．【分析】（1）由代入法可得直线l的普通方程，再由直线的斜率公式可得所求倾斜角；（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2，可得圆C的直角坐标方程，求得圆心和半径，运用三角形的面积公式可得△ABC的面积为|AC|•|BC|•sin∠ACB，结合正弦函数的最值，可得∠ACB＝90°，求得圆心C到直线的距离为1，运用点到直线的距离公式，解方程可得所求值．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去t可得直线l的普通方程为x﹣y﹣a＝0，可得直线的斜率为k＝，即tanα＝（α为倾斜角），则倾斜角为；（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2+y2，可得圆C的极坐标方程即为x2+y2＝2x+2y，即为圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，且圆心C（1，1），半径r＝，△ABC的面积为|AC|•|BC|•sin∠ACB＝××sin∠ACB＝sin∠ACB，当sin∠ACB＝1，即∠ACB＝90°，即△ABC为等腰直角三角形，可得|AB|＝r＝2，即圆心C到直线l的距离为1，可得＝1，解得a＝1+或1﹣．[必做题]第22、23题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．23．从编号为1，2，3，4，…，10的10个大小、形状相同的小球中，任取5个球．如果某两个球的编号相邻，则称这两个球为一组“好球”．（1）求任取的5个球中至少有一组“好球”的概率；（2）在任取的5个球中，记“好球”的组数为X，求随机变量X的概率分布列和均值E （X）．【分析】（1）从10个球中任取5个球共有种取法，设事件A表示“至少有一组好球”，则表示“5个球不相邻”，推导出P（）＝＝，由此能求出任取的5个球中至少有一组“好球”的概率．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望EX．解：（1）从10个球中任取5个球共有种取法，设事件A表示“至少有一组好球”，则表示“5个球不相邻”，P（）＝＝，∴任取的5个球中至少有一组“好球”的概率为P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝+＝，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝＝，∴X的分布列为：X01234PEX＝＝2．24．已知f n（x）＝（x+1）n﹣（2x+）n＝a0+a1x+a2x2+……+a n x n，其中n是给定的正整数，且n≥2，a0，a1，a2，…，a n为常数，设P n＝min{|a0|，|a1|，|a2|，…，|a n|}（|a0|，|a1|，|a2|，……，|a n|中的最小值）．（1）求P3、P4的值；（2）求P n的通项公式．【分析】（1）n＝3时，（x+1）3﹣＝a0+a1x+a2x2+a3x3．通项公式T k+1＝x k ﹣（2x）k＝（1﹣22k﹣3）x k．令k＝0，1，2，3，可得：a0，a1，a2，a3．可得P3＝，同理可得P4．（2）由（1）可得：通项公式T k+1＝（1﹣22k﹣n）x k．即可得出P n．解：（1）n＝3时，（x+1）3﹣＝a0+a1x+a2x2+a3x3．通项公式T k+1＝x k﹣（2x）k＝（1﹣22k﹣3）x k．令k＝0，1，2，3，可得：a0＝，a1＝，a2＝﹣3，a3＝﹣7．∴P3＝，同理可得P4＝．（2）由（1）可得：通项公式T k+1＝（1﹣22k﹣n）x k．P n＝．。
江苏省苏州市三校2020届高三下学期5月联考数学试题 Word版含解析
【答案】17
【解析】
试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17
考点：循环结构流程图
5.如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为___________.
(2)∵ ， 是 的中点，∴ ．又∵在直三棱柱 中，底面 ⊥侧面 ，交线为 ， 平面 ，∴ 平面 ．∵ 平面 ，∴ .∵ ，∴ ．而 ，∴ ，从而 ，∴ ，∴ .又∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
17.植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：
方案① 多边形为直角三角形 （ ），如图1所示，其中 ；
(1)求证：BC1∥平面A1CD;
(2)若点P在线段BB1上，且BP＝ BB1，求证：AP⊥平面A1CD.
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
（1）连接 ，与 交于点 ，连结 ，可以证明 ，根据线面平行的判定可以可证明 平面 ．（2）中易证 ，只要证明 就可以证明 平面 ，它可以由 得到．
【详解】(1)连接 ，与 交于点 ，连结 ，∵四边形 是矩形，∴ 是 的中点．在 中， 分别是 的中点，∴ ，又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
【答案】
【解析】
【分析】
由茎叶图知，最高分为94，最低分为86，去掉这两个数后，剩下的5个数利用平均数的计算公式计算即可.
【详解】由茎叶图知，最高分为94，最低分为86，由题意，剩下5个数分别为 ，
2020届高三下学期春季联考数学试题(原卷版)
2020届高三春季联考数学Ⅰ注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3. 作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.如需作图，须用2B 铅笔绘图、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上. 1.设全集U =R ，集合{}1,0,1,2,3A =-，{}|2B x x =≥，则U A C B =I __．2.复数1i i-的虚部是____________． 3.某校为了解同三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图），则这100名同学中学习时间在6到8小时内的人数为 人．4.如图是一个算法的流程图，若输入的x 的值为1，则输出的S 的值为______.5.某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为______.6.已知正四棱锥的底面边长是25，则该正四棱锥的体积为______.7.若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为______.8.已知{}n a 为等差数列，其公差为2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 前n 项和，则10S 的值为______. 9.若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与圆C ：()2211x y -+=相交于A ，B 两点且90ACB ∠=︒，则此双曲线的离心率为______.10.函数234()x x f x --+=__________． 11.已知,x y R ∈，且1x >，若()()121x y --=，则66xy x y +++的最小值为______.12.在ABC V 中，若120BAC ∠=︒，2BA =，3BC =，1132BM BC BA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MA MC ⋅=u u u r u u u u r ______. 13.已知圆22 : 4O x y +=，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，()2,2A ，若2240AP AQ +=，则弦PQ 的长度的最大值为___________.14.函数()f x 满足()()4f x f x =-，当[)2,2x ∈-时，3223,2()1,2x x a x a f x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩，若函数()f x 在[)0,2020上有1515个零点，则实数a 的范围为___________. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量()cos ,sin m x x =u r ，()3sin ,sinn x x =r ，函数()f x m n =⋅u r r .（1）求函数()f x 的最小正周期.（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，13210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin α的值. 16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，M 是棱1CC 上的一点.（1）求证：BC AM ⊥；（2）若M ，N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 平面1AMB .17.如图，某居民区内有一直角梯形区域ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，6AB =百米，4CD =百米.该区域内原有道路AC ，现新修一条直道DP （宽度忽略不计），点P 在道路AC 上（异于A ，C 两点），6BAC π∠=，DPA θ∠=.（1）用θ表示直道DP 长度；（2）计划在ADP △区域内修建健身广场，在CDP V 区域内种植花草.已知修建健身广场的成本为每平方百米4万元，种植花草的成本为每平方百米2万元，新建道路DP 的成本为每百米4万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()0,1，椭圆C 的离心率为32e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，设直线l 与圆()22212x y r r +=<<相切与点A ，与椭圆C 相切于点B ，当r 为何值时，线段AB 长度最大？并求出最大值.19.已知函数()ln f x x x a =+和函数()ln g x x ax =-.（1）若曲线()f x 在1x =处的切线过点()2,2A -，求实数a 的值；（2）求函数()()2h x g x x =+的单调区间； （3）若不等式()()0f x g x +>对于任意的1x >恒成立，求实数a 的最大值.20.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且1122b a ==，232254,11b S a T =+=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++L ；（3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由. 2020届高三春季联考数学Ⅱ（附加题）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1. 本试卷共2页，均为非选择题（第21题~第23题）.本卷满分为40分.考试时间为30分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3. 作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.21.【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .【选修4-2：矩阵与变换】21.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值是1λ=-所对应的一个特征向量113e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u r . （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线'C 的方程为1xy =，求曲线C 的方程.B .【选修4-4：坐标系与参数方程】22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆C ：2213x y +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值.C .【选修4-5：不等式选讲】23.已知实数,,x y z 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.已知()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：()220x py p =>上不同两点.（1）若抛物线C 的焦点为F ，()00,D x y 为AB 的中点，且042AF BF y +=+，求抛物线C 的方程；（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交点Q ，且2124p y y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 25.已知数集{}12,,,n A a a a =L ，其中120n a a a ≤<<<L ，且3n ≥，若对(),1i j i j n ∀≤<≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P . （1）分别判断数集{}0,1,3与数集{}0,2,4,6是否具有性质P ，说明理由；（2）已知数集{}128,,,A a a a =L 具有性质P ，判断数列1a ，2a ，…，8a 是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由.。
江苏省沭阳县修远中学2020届高三数学9月月考试题理
理月月考试题江苏省沭阳县修远中学2020届高三数学9分．不需写出解答过程，请把答案写在答70一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计题卡的指定位置上．?BA}?Rx?0,xA?{?1,0,1,6}B?{x| .▲．已知集合，，则 120?R,x?x?1?x? .▲”的否定为 2.命题“000?????m,?6a?,mb,?4,3a,b? .▲且．已知向量则3x?1?2,x2?????????ff0?fx .，则▲ 4．若函数?)1(x?log??22x6x?y?7? . 5.▲函数的定义域是4?x1?x . ▲，则的最小值为 6．已知1?x??Abacs?oocsB3?c?Aosc .则，若▲，B7.在△ABC中，角A，，C的对边分别为a，b，c???152??)sin(x)x()?sin?sin(x? . ，则▲8.已知的值是3636????，klnxf?x4?x?k?1k的零点在区间的值为 9.内，则正整数已知函数 .▲→→→→DDCBDBCADDCABCABAC的值为_____▲·＝中，2＝．＝2，，则＝23，点 10．在△满足则不等式的解集为▲11. .已知函数1????23a0,2xxax??x?f的取值范围是在区间上是单调增函数，则实数12.已知函数3 . ▲?x?1,x?0?f(x)?x,x,x,xaf(x)?，的方程有四个不同的解 ,若关于、13设函数x?4132 logx,x?0??41?)?x(xxxx??x?x的取值范围是▲且，则 . 23141232xx432??2ax?2a,xx?1a?Rx?R?)f(x0x)?(f x在，的不等式设函数若关于．14已知，?x?alnx,x?1?a的取值范围为▲ . 上恒成立，则- 1 -分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，小题，计90二、解答题：本大题共6 请??，m?xcosxsin，把答案写在答题卡的指定区域内． 14分）15.（本题满分??π13??x?0?，n??已知．，，设向量????322????π3??sinx???nm，求的值．的值；（1）若∥，求（2）若xm??n125??16.（本题满分14分）??2??33,?2xOy C4?1??yx M.，点的坐标为在平面直角坐标系中，已知圆的方程为C M相切的直线方程；）求过点且与圆（1x CCl AM轴正半轴于点交，，且圆（2）过点任作一条直线，求与圆交于不同两点PB PAPB 的斜率之和为定值. 与证：直线17．（本小题满分14分）- 2 -3AbB?cos2acos?cosA CBAABCabc．，，分别为角在△中，，，所对边的长，，3a?6ABCB的面积．，求△的值；（2）若（1）求角分）18.（本题满分161xx2?a?93)alg((fx)?axx??qpR对一切正；命题：函数设命题：不等式的定义域为16x均成立．实数a p的取值范围；是真命题，求实数（1）如果aqpq?p?的取值范围．”为真命题，且““）如果命题（2 ”为假命题，求实数- 3 -19、（本题满分16分）某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中OCDDO，CADBDCD段建设架空木栈道，与点，其中（点，，轴线上设计一个观景台不重合）AB?2y km．已知km，设建设的架空木栈道的总长为???y(rad)??DAO的取值范围；，将（1）设的函数关系式，并写出表示成（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．分）20. （本小题满分161?xg(x)?ln(fx)?x,．已知函数x k x?(x)lnf1kxy??,求实数）①、若直线1（的图像相切与的值；- 4 -h(x)?f(x)?|g(x)|h(x)(a?0)]a1,a?[上的最大值．②、令函数在区间，求函数k)??(?1,x)(?xf2()kgx的取值范围．）已知不等式2（恒成立，求实数对任意的- 5 -一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．{1,6}． 12?R,x?xx?1?0? 2. 0003．【答案】84．答案：2[?1,7]5.6． 51【答案】7.35 8.99.【答案】24 ．－10311.【答案】12a≥1【答案】,7??-1，?、13?2??x?1f(1)?1?2a?2a?1?0恒成立时，14．【解析】当2x2x?1?a?2?)xa?2ax?2?0f(x时，当恒成立1?x2222?2(1?x))x?1)(1?x?1?x(1x?(gx????)??令x1?xx?1x1??1- 6 -110?2()(1?x??2)?(2??x1?1?x0)?a?g(x2∴max0a?∴x1?x?ax?0?f(x)?x?aln当恒成立时，xln1?lnx?x1?lnx x x???h)(x?)h(x令，则22)(lnx(lnx)xln?ex?0?(xh))xh(时，，递增当?e?x?10x)h?()h(x当，时，递减ex?ee)?h()(xh∴时，取得最小值e)?a?h(x∴min??a e0,综上的取值范围是??e0,【答案】分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，小题，计90二、解答题：本大题共6 请把答案写在答题卡的指定区域内．15.π2?x?）；）（1（2【答案】310【解析】π??xx，x?0nm）利用数的值；（）通过试题分析：（1，得到∥，得到关于的方程，结合2??3??πππ3ππ????????ixsin?nxsin??s??????x?x故，，令，则量积的定义可得?????? 4256166??????.可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果- 7 -?331??xcosm?sinx，，n?nm???cosxx??sin，试题解析：（1）因为，且∥，所以，??2222??3x?tan 4即分，………………………ππ??，x?0?x6，??sin?cosxx，m?，所以分又．………………………??33????133331n?nm?????cosxsinx）因为（，2，且，所以，??225522??π3????sinx，………………………即9分??65??πππππ3??????，x?0，?????x?sin?x?，则令，且，因为，所以，故????623566????243??2???1?sin?cos??1，………………………11分??55??ππππππ??????????sin?sincos??sincos??sinx?sin??所以?????? 12612444??????32422??????………………………14分．52521016.5x?12y?21?03?x（）2）详见解析或【答案】（1【解析】【分析】x?3ll的斜率存在时，设切线方程为满足题意，当直线的斜率不存在时，直线（1）当直线??m3m?xy?3?，即可得到切线方程；圆心到直线的距离等于半径，，列式子求解即可求出??3k?xy?3?CkAB的一元二次方程，设：，代入圆的方程，可得到关于（2）设直线yy??????21?k?k?3P,A,xyBx,y0PBPA，，与直线，的斜率之和为，且PBPA2112x?3x?321代入根与系数关系整理可得到所求定值。
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2019～2020学年度第二学期高三年级5月联考数学参考答案参考公式：1.方差公式：2211()ni i s x x n ==-∑； 2.球的体积公式：343V R =π，R 是球的半径． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． {}1,2 2． 52 3． 6 4． 514 5． 65 6．7． 4- 8． 2 9． 94 10． 31 11．(12．13． 22(2)(1)5x y -+-= 14．[1]二、解答题：本大题共6小题，15-17题每题14分，18-20题每题16分，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．证明：（1）因为AD BC P ,2BC AD =，E 为BC 的中点.，所以AD BE P ，所以四边形ADEB 是平行四边形，所以AB DE P …………3分又因为AB ⊄平面DEF ,DE ⊂平面DEF所以AB P 平面DEF . …………6分（2）因为平面PAB ⊥平面ABCD平面PAB I 平面ABCD AB =AB BC ⊥ ,BC ⊂平面ABCD所以BC ⊥平面PAB . …………8分因为PB ⊂平面PAB .所以BC PB ⊥ …………10分因为,E F 分别为,BC PC 的中点，所以EF PB P ， 所以BC EF ⊥因为AB DE P ，BC AB ⊥所以BC DE ⊥ …………12分因为DE ⊂平面DEF ,EF ⊂平面DEF ,DE EF E =I所以BC ⊥平面DEF . …………14分16．解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理得41222)6(222cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∠CD AD AC CD AD ADC …………2分 所以415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠-=∠ADC ADC …………4分 因为46cos =∠BCD ，BCD ∠是三角形BCD 的内角， 所以410461cos 1sin 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠-=∠BCD BCD …………6分 所以)sin(sin BCD ADC B ∠-∠=∠BCD ADC BCD ADC ∠∠-∠∠=sin cos cos sin4104146415⨯-⨯=810= …………8分 （2）在BCD ∆中，由正弦定理得BDCBC B CD BCD BD ∠=∠=∠sin sin sin …………10分 48104102sin sin =⨯=∠∠=B BCD CD BD 628104152sin sin =⨯=∠∠=B BDC CD BC …………12分 所以2153********sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆B BC AB S ABC ． …………14分 注：其它方法酌情给分！17．解：（1）由题意知(0,]4π∈θ， …………2分 8sin EF =θ，8cos EH =+θ， …………4分则()8sin (8cos S EF EH =⨯=+θθθ，即()32sin (2cos S =θθθ，(0,]4π∈θ． …………6分 （2）()32[cos (2cos sin (2sin )]S '=+-θθθθθ2232(2cos 2sin )=-+θθθ232(4cos 2)=-θθ …………8分 因为(0,]4π∈θ，所以224cos 42<<θθ≤，1，所以24cos 20->θθ， …………10分 故当(0,]4π∈θ时，()0S '>θ恒成立， 所以()S θ在(0,]4π上单调递增， …………12分 故当4π=θ时，max ()()32sin (2cos 64444S S πππ===θ． 答：当θ为4π时，矩形EFGH 的面积最大，最大值为64． …………14分 18． 解：（1）由题设可知2,c a e a ===c =，故1b =，因此2, 1.a b == 所以椭圆C 的方程为22 1.4x y += …………3分 （2）设()()()()1122,022,,,,P m m A x y B x y -≤≤①若1k =，则直线l 的方程为.y x m =-联立直线l 与椭圆C 的方程，即2214y x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y ，化简得2252104x mx m -+-=， …………5分 所以()21212418,.55m m x x x x -+== 又12|||AB x x -=7分 点O到直线l 的距离d =所以()225122|||| 1.2552OAB m m S AB d m ∆+-=⨯⨯=⨯= 当且仅当252m =，即m =时，OAB S △取得最大值1. …………9分 ②设直线l 的方程为()y k x m =-.将直线与椭圆的方程联立，即()2214y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，化简得()()22222148410,k x mk x k m +-+-= …………11分 所以()222121222418,1414k m mk x x x x k k -+==++. 所以()()()222222*********||||4PA PB x m y x m y x x +=-++-+=+-()212222m x x m +++ =()()()()2422222862148814m k k k k k --+++++， …………14分因为22||||PA PB +的值与点P 的位置无关，即上式取值与m 无关，故有428620k k --+=，解得12k =±． …………16分 19．解：（1）当0a =时，ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x -'=， 在1x =处的切点为(1,0)，切线斜率为(1)1f '=，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-. …………3分（2）因为ln 21()()22x x a f x a a R x x+=+-+∈. 所以()f x 的定义域为(0,)+∞； 222ln 23()x x a f x x -++'=， 又因为函数()f x 在定义域上为单递增函数， 所以222ln 23()0x x a f x x -++'=≥在0x >时恒成立， 即22ln 230x x a -++≥在0x >时恒成立， …………6分设2()2ln 23(0)g x x x a x =-++>， 则222()x g x x -'=，当01x <<时，()0g x '<，则()g x 在(]0,1上为减函数，当1x >时，()0g x '>，则()g x 在[)1,+∞上为增函数， …………8分 22ln 230x x a -++≥在0x >时恒成立min ()(1)420g x g a ⇔==+≥，所以2a ≥-. …………9分（3）因为222ln 23()x x a f x x -++'=，所以223()02a aae f e e +'=>，则()0f x '<不可能对0x >恒成立，即()f x 在定义域上不可能始终都为减函数， …………10分 由（2）知函数()f x 为增函数2a ⇔≥-，所以若函数()f x 在定义域上不是单调函数2a ⇔<- 又因为(1)0f =，所以1x =是函数()0f x =一个零点, 令()0f x =，得22ln 2210x x ax a ++--=设2()2ln 221h x x x ax a =++--，则()f x 与()h x 有相同的零点，令22(1)()0x ax h x x++'==，得210x ax ++=，因为2a <-，所以240a ∆=->，所以210x ax ++=有两个不相等实数解12,x x ，因为12121,2x x x x a ⋅=+=->，所以不妨设1201x x <<<， …………12分 当1(0,)x x ∈时，()0h x '>，()h x 在1(0,)x 为增函数 当12(,)x x x ∈时，()0h x '<，()h x 在1(0,)x 为减函数 当1(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在1(0,)x 为增函数则12()(1)0,()(1)0h x h h x h >><< ………14分 又因为2a <-时，01a e <<，24a ->22()120a a a h e e ae =-+<，2(2)2ln(2)4610h a a a a -=-+-->， 又因为()f x 在(0,1)图象不间断，所以()f x 在(0,1)有唯一一个零点 又因为()f x 在(1,)+∞图象不间断，所以()f x 在(1,)+∞有唯一一个零点 又因为1x =是函数()0f x =一个零点,综上函数()f x 必有三个不同零点. …………16分20．解:（1）因为a n ＝12n ，所以S n ＝12×1－(12)n1－12＝1－(12)n， ………………2分所以a n ＋1－S n ＝(12)n ＋1－1＋(12)n ＝32(12)n －1≤32×12－1＝－14＜0，所以a n ＋1＜S n ，即{a n }∈M ． ………………4分 （2）设{a n }的公差为d ，因为{a n ＋n }∈M ，所以a n ＋1＋n ＋1≤(a 1＋1)＋(a 2＋2)＋…＋(a n ＋n ) （*） 特别的当n ＝1时，a 2＋2≤a 1＋1，即d ≤－1， 由（*）得a 1＋nd ＋n ＋1≤na 1＋n (n －1)2d ＋n (n ＋1)2， ………………6分整理得d ＋12n 2＋(a 1－32d －12)n －a 1－1≥0，因为上述不等式对一切n ∈N *恒成立，所以必有d ＋12≥0，解得d ≥－1， 又d ≤－1，所以d ＝－1， ………………8分 于是(a 1＋1)n －a 1－1≥0，即(a 1＋1)(n －1)≥0，所以a 1＋1≥0，即a 1≥－1， ………………10分 （3）由a n ＋1≤S n 得S n ＋1－S n ≤S n ，所以S n ＋1≤2S n ，即S n ＋1S n≤2，所以S n ＋1S 1＝S 2S 1×S 3S 2×…×S n ＋1S n ≤2n ，从而有S n ＋1≤S 1×2n ＝a 1×2n ，又a n ＋1≤S n ，所以a n ＋2≤S n ＋1≤a 1×2n ，即a n ≤a 1×2n －2(n ≥3)， 又a 2≤S 1＝a 1×22－2，a 1＜a 1×21－2，所以有a n ≤a 1×2n －2(n ∈N *)，所以4n a n ≥4a 1×2n， ………………12分假设数列{4na n }中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn ＋b (b 为常数)，则存在m ∈N ，m ≥n ，使得dn ＋b ＝4m a m ≥4a 1×2m ≥4a 1×2n ，即da 1n ＋ba 1≥2n ＋2，设f (n )＝n 22n ＋2，n ∈N *，n ≥3， 则f (n ＋1)－f (n )＝(n ＋1)22n ＋3－n 22n ＋2＝2－(n －1)22n ＋3＜0， 即f (n ＋1)＜f (n )≤f (3)＝932＜1， ………………14分 于是当n ≥3时，2n ＋2＞n 2，从而有：当n ≥3时da 1n ＋ba 1＞n 2，即n 2－da 1n －ba 1＜0， 于是当n ≥3时，关于n 的不等式n 2－da 1n －ba 1＜0有无穷多个解，显然不成立，因此数列{4na n }中是不存在无穷多项依次成等差数列． ………………16分附加题21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．解：（1）由条件3004⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，得-1103104⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A . …………4分 （2）设变换后新曲线上任一点(),P x y ，变换前对应点(),P x y '''，则 103104x x y y ⎡⎤⎢⎥'⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，即1314x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ …………6分 34x x y y '=⎧⎨'=⎩，代入22144x y +=得：221169x y += 所以曲线22144x y +=在1-A 的作用下的新曲线的方程为22 1.169x y += …………10分B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：由12cos 32sin x y =-+⎧⎨=+⎩θθθ（为参数）消去参数得圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，圆心坐标为(1,3)-， ………5分过圆心且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为1x =-，化为极坐标方程为cos 1ρθ=- ……10分 C ．[选修4-5：不等式选讲]解：|1||2||(1)(2)|3x x x x T ++-≥+--==Q ………………………………5分 2223a b c ∴++=2a b c ++≤= ………………8分 当且仅当121a b c==即22a b c ===时2a b c ++取最大值 …10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.解：如图，以点D 为原点O ，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则)11,0(),3,0,1(),0,1,1(),0,0,0(1P A B D ．………… 1分 （1）所以)1,1,0()0,1,1(),2,1,1(1==--=DP DB P A ，，设平面PDB 一个法向量为),,(1z y x n =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n DP n 得⎩⎨⎧=+=+00y x z y ，取)1,-1,1(1=n ………… 4分设直线P A 1与平面PDB 所成角为θ， 所以32236211,cos sin 11=---=><=n A θ 所以直线P A 1与平面PDB 所成角的正弦值为322． ………… 6分 （2）由（1）知平面PDB 一个法向量为)1,1,1(1-=n取平面ABD 一个法向量)1,0,0(2=n ………… 7分3331,cos 21==<n n ………… 9分 由图知二面角A BD P --的余弦值为33………… 10分 23．解：由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a aba aba b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥. ………… 4分 （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆.由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . ………… 6分 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x y b a ，而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . ………… 9分当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y . ………… 10分。