高中数学人教版 直线与方程
人教版必修二：直线与方程复习讲义及巩固练习
直线与方程知识梳理：1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. 4．斜率与倾斜角的对应关系α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°5.直线的斜率公式已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).6.两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2.则对应关系如下：7.8.直线方程的五种形式(1)直线的点斜式方程: y －y 0＝k(x －x 0). 由直线上一定点P 0(x 0，y 0)及斜率k 确定. (2)直线的斜截式方程：y ＝kx ＋b. 由直线的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定. (3)直线的两点式方程:y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 由直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)确定. (4)直线的截距式方程：x a ＋yb＝1 . 由直线分别在x ，y 轴上的截距a ，b 确定.(5)直线的一般式方程: Ax ＋By ＋C ＝0. 当B≠0时，其斜率是－A B ，在y 轴上的截距是－CB 当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴. 9.两条直线的位置关系已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2.(1) l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2. (2) l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 10.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P(x ，y)是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.11.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两直线相交，交点坐标为(x 0，y 0).12.两点间的距离公式(1)已知平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则它们的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离|OP|＝x 2＋y 2. ②当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ③当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 13.点到直线的距离公式点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2. 14.两条平行直线间的距离公式两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.巩固练习：1．如图，直线l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为__________.3．已知A(2,3)、B(－1,4)，则直线AB的斜率是________．4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为_______．5．已知直线l1∥l2，直线l1的斜率k1＝2，则直线l2的斜率k2＝________.6.已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．7．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y ＝________.8．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则( )A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α1－α2|＝90° D．α1＋α2＝180°9．直线l过点A(－1,2)，斜率为3，则直线l的方程为___________________.10．已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y 轴上的截距为________．11.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5的直线方程为____________________；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2的直线方程为_____________________；12．(1)经过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程为_____________________；(2)经过点(－1,1)且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程为_________________．13．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是_________________.14．直线2x＋3y＋1＝0的斜率为________；在x轴上的截距为________；在y轴上的截距为________．15．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝516．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<017．在下列各种情况下，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的系数A，B，C之间各有什么关系：(1)直线与x轴平行时：_____________； (2)直线与y轴平行时：_________________；(3)直线过原点时：_________________； (4)直线过点(1，－1)时：_______________.18．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是______________.19．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|=_____________. 20．直线x －2y ＋1＝0与2x ＋y －1＝0的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．重合 21．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为___________.22．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________________. 23．若点(1，a)到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 为___________.24．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是_________. 25.当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2 (1)平行; (2)垂直26．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．。
最新人教版高中数学必修二第三章直线与方程第二节第2课时直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程1.直线的两点式方程(1)条件：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2. (2)图形：(3)方程：y －y 1y 2－y 1 ＝x －x 1x 2－x 1．(1)什么样的直线的方程不能用两点式表示？ 提示：与x 轴、y 轴平行的直线，x 轴，y 轴．(2)过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示．2．直线的截距式方程(1)条件：在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0. (2)图形：(3)方程：x a ＋yb＝1．方程x 2 －y 3 ＝1和x 2 ＋y3＝－1都是直线的截距式方程吗？提示：都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”连接，二是等号右边为1.3．两点的中点坐标公式点P(x ，y)是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x ＝x 1＋x 22 ，y ＝y 1＋y 22.如果已知点P(a ，b)是线段P 1P 2的中点，其中P 1(x 1，y 1)，那么点P 2的坐标是什么？ 提示：设点P 2(x 2，y 2)，由中点坐标公式：a ＝x 1＋x 22 ，b ＝y 1＋y 22，所以x 2＝2a －x 1，y 2＝2b －y 1，则点P 2(2a －x 1，2b －y 1).1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1 ＝x －x 1x 2－x 1表示．( × ) 提示：当x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线不能用方程y －y 1y 2－y 1 ＝x －x 1x 2－x 1表示． (2)在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋yb＝1.( × )提示：当a ＝0或b ＝0时，在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线不能用方程x a ＋yb ＝1表示．(3)任何一条直线都有在x 轴，y 轴上的截距．( × ) 提示：例如与x 轴平行的直线只有在y 轴上的截距．2．(教材习题改编)过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是( ) A ．y －5x －6 ＝y ＋1x －2B ．y －62－6 ＝x －5－1－5 C ．2－6y －6 ＝－1－5x －5D ．x －62－6 ＝y －5－1－5【解析】选B.根据直线的两点式方程得y －62－6 ＝x －5－1－5.3．已知M(－1，2)，N(3，－4)，线段MN 的中点坐标为(a ，b)，则a ＝__________，b ＝__________． 【解析】由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋32，b ＝2－42，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1. 答案：1 －1类型一 直线的两点式方程(数学抽象、数学运算)1．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 【解析】选C.由两点式方程，得直线MN 的方程为y －（－1）4－（－1） ＝x －2－3－2 ，化简，得x ＋y －1＝0.又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0， 解得m ＝－2.2．光线从A(－3，4)点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，6)，则BC 所在直线的方程为( ) A ．5x －2y ＋7＝0 B ．2x －5y ＋7＝0 C ．5x ＋2y －7＝0 D ．2x ＋5y －7＝0【解析】选A.点A(－3，4)关于x 轴的对称点A ′(－3，－4)在反射光线所在的直线上，所以所求直线为x －（－3）1－（－3） ＝y －（－4）6－（－4），即5x －2y ＋7＝0.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点(－1，0)，(1，4)，则直线l 的两点式方程是________．【解析】根据两点式方程可得y －04－0 ＝x ＋11＋1. 答案：y －04－0 ＝x ＋11＋14．已知在△ABC 中，点A(－1，0)，B(0， 3 )，C(1，－2)，则AB 边中线所在直线的两点式方程为________．【解析】点A(－1，0)，B(0， 3 )，中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 ，所以AB 边中线所在直线的方程为y ＋232＋2 ＝x －1－12－1 .答案：y ＋232＋2 ＝x －1－12－1求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)差的顺序性：常会将x ，y 或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．提醒：已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程．【补偿训练】1.经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 【解析】选D.由两点式得直线方程为y －65－6 ＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0.令y ＝0，得x ＝27. 2．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B ．－23 C ．25D ．2【解析】选A.直线方程为y－91－9＝x－3－1－3，令y＝0，得x＝－32，则在x轴上的截距为－32.3．已知△ABC三顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的两点式方程为________．【解析】由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为y－42－4＝x－23－2.答案：y－42－4＝x－23－2类型二直线的截距式方程(数学抽象、数学运算)1．直线xa2－yb2＝1在y轴上的截距是( )A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b【解析】选B.令x＝0，得y＝－b2.2．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为( )A．x－y＋1＝0或3x－2y＝0B．x＋y－5＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0【解析】选A.过点P(2，3)，且在两坐标轴上的截距互为相反数，当横截距a＝0时，纵截距b＝0，直线过点P(2，3)，(0，0)，所以直线方程为yx＝32，即3x－2y＝0.当横截距a≠0时，纵截距b＝－a，直线方程为xa＋y－a＝1，代入(2，3)解得a＝－1，所以直线方程为－x＋y＝1，即x－y＋1＝0.综上，所求直线方程为x－y＋1＝0或3x－2y＝0. 3．过点M(1，2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．【解析】①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x＋y＝a，把(1，2)代入所设的方程得：a＝3，则所求直线的方程为x＋y＝3即x＋y－3＝0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，把(1，2)代入所设的方程得：k＝2，则所求直线的方程为y＝2x即2x－y＝0.综上，所求直线的方程为：2x－y＝0或x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0或2x－y＝04．直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若l的两截距之和为6，求直线l的方程．【解析】设直线l的横截距为a，则纵截距为6－a，l的方程为xa＋y6－a＝1，因为点(1，2)在直线l上，所以1a＋26－a＝1，即a2－5a＋6＝0.解得a1＝2，a2＝3.当a＝2时，直线的方程为x2＋y4＝1，当a＝3时，直线的方程为x3＋y3＝1，直线l都经过第一、二、四象限，符合题意，综上知，直线l的方程为x2＋y4＝1或x3＋y3＝1.直线的截距式方程在解题中的应用(1)在解决直线与坐标轴围成的三角形面积、周长的问题中，常设直线的截距式方程．(2)当直线与x轴、y轴平行，过原点时不能设截距式方程，可以利用点斜式等形式解题．【补偿训练】求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．【解析】设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1.则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或a＝1，则直线方程是x2＋1＋y2＝1或x1＋1＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.类型三直线方程的简单应用(数学运算、逻辑推理) 角度1 图象辨析【典例】两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1(a≠b，且a＋b≠0)在同一直角坐标系中的图象可以是( )【思路导引】根据图形中l 1，l 2的位置，确定截距的关系、符号，判断是否符合． 【解析】选A.由截距式方程可得直线l 1的横、纵截距分别为a ，－b ，直线l 2的横、纵截距分别为b ，－a ，选项A ，由l 1的图象可得a ＜0，b ＞0，可得直线l 2的截距均为正数，故正确；选项B ，因为a ≠b ，且a ＋b ≠0，所以l 1与l 2不平行，故错误；选项C ，只有当a ＝b 时，才有直线的纵截距相等，故错误；选项D ，由l 1的图象可得a ＞0，b ＞0，可得直线l 2的横截距为正数，纵截距为负数，图象不对应，故错误．若将本例中的条件变为“直线x a ＋yb ＝1的图象如图所示”，则关于截距a ，b 的关系中一定正确的是________．①|a|＞|b|；②－a ＞ b ；③(b －a)(b ＋a)＜0；④1a ＞1b.【解析】由题图可知，a ＜0，b ＞0，且|a|＞|b|，①正确；－a ＞b ＞0，所以－a ＞ b ，②正确；b －a ＞0，b ＋a ＜0，所以(b －a)(b ＋a)＜0，③正确；1a ＜0＜1b ，④错误．答案：①②③角度2 在图形中的综合应用 【典例】已知直线l ：x m ＋y4－m ＝1.(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值．(2)若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．【思路导引】(1)可在直线上取两个点，利用两点的坐标与直线的斜率求m的值；(2)△AOB 为直角三角形，该直线在两坐标轴上的截距即为OA，OB的长．【解析】(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则k＝4－m－m＝2，则m＝－4.(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，则S＝m（4－m）2＝－（m－2）2＋42，易知当m＝2时，S有最大值2，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.求直线方程时方程形式的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程．(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y轴上的截距．(3)已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程．(4)已知直线上两点时，通常选用两点式方程．1．如图所示，直线l的截距式方程是xa＋yb＝1，则有( )A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【解析】选B.很明显M(a，0)，N(0，b)，由图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，则a＞0，b＜0.2．已知△ABC 的三个顶点A(－2，4)，B(－3，－1)，C(1，3). (1)求BC 边上高AD(D 为垂足)所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线AE (E 为BC 的中点)所在直线方程． 【解析】(1)因为k BC ＝3－()－11－()－3 ＝1，直线BC 垂直于直线AD ，所以k AD ＝－1，所以AD 所在直线的方程为y －4＝－1()x ＋2 ，整理得x ＋y －2＝0， 所以BC 边上高AD(D 为垂足)所在直线的方程为x ＋y －2＝0； (2)由中点坐标公式得E ()－1，1 ，所以根据两点式方程得中线AE 的方程为：y －4x ＋2 ＝1－4－1－（－2） ，整理得3x ＋y ＋2＝0.所以BC 边上的中线AE (E 为BC 的中点)所在直线方程为3x ＋y ＋2＝0.【补偿训练】1.已知点M(1，－2)，N(m ，2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2 ＋y ＝1，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1【解析】选C.由中点坐标公式，得线段MN 的中点是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0 . 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0 在线段MN 的垂直平分线上，所以1＋m 4 ＋0＝1，所以m ＝3.2．已知在△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0).求：(1)在△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程． (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．【解析】(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 ， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2 ＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x136＋y－138＝1.(2)因为BC边上的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为y＋43＋4＝x－12－1，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为x117＋y－11＝1.3．已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x.(1)求直线BC的方程．(2)求直线AB的方程．【解析】(1)因为∠B，∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，所以AB与BC关于x＝0对称，AC 与BC关于y＝x对称．A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，A关于y ＝x的对称点A″(－1，3)也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程：y＝2x＋5.(2)因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，所以直线AB与BC的斜率互为相反数，由(1)知直线BC的斜率为2，所以直线AB的斜率为－2，又因为点A的坐标为(3，－1)，所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，即2x＋y－5＝0.。
高中数学 3223直线的方程课件 新人教版A必修2
∴M52，－3， 又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－－－33， 即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
规律方法 ①首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式 的要求，对字母则需分类讨论；②注意问题叙述的异同，本题 中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是 直线．
2．线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设 P(x，y)是线段
P1P2
的中点，则x＝ y＝
x1＋x2 2
，
y1＋2 y2.
试一试：若已知 A(x1，y1)及 AB 中点(x0，y0)，如何求 B 点的坐 标？
提示
设 B(x，y)，则由xy11＋ ＋22 xy＝ ＝xy00， ，
【变式 1】 (2012·绍兴一中高一检测)已知△ABC 三个顶点坐标 A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
解 ∵A(2，－1)，B(2,2)， A、B 两点横坐标相同， ∴直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 AC 的方程为 －y－1－11＝2x－－44， 即 x－y－3＝0. ∵B(2,2)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 BC 的方程为2y－－11＝2x－－44， 即 x＋2y－6＝0.
【变式 4】 (2012·菏泽一中高一检测)已知直线 l 的方程为 3x＋ 4y－12＝0，求直线 l′的方程，l′满足 (1)过点(－1,3)，且与 l 平行； (2)过点(－1,3)，且与 l 垂直．
解 法一 由题设 l 的方程可化为：y＝－34x＋3， ∴l 的斜率为－34， (1)由 l′与 l 平行， ∴l′的斜率为－34. 又∵l′过(－1,3)， 由点斜式知方程为 y－3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0.
最新人教版高中数学必修2第三章《直线与方程》本章小结
整合提升知识网络知识回顾1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角:取x 轴为基准,x 轴的正方向与直线l 向上方向之间所夹角α,叫做直线l 的倾斜角,其范围为［0°,180°）.(2)斜率:①直线的斜率是直线倾斜角的正切值,即k=tanα.任何一条直线都有倾斜角,但并不是任何一条直线都有斜率,当其倾斜角等于90°时,其斜率不存在,∴k=⎩⎨⎧︒≠︒=90,tan 90k ，αα不存在. ②斜率的范围与倾斜角的范围有关:当0°≤θ＜90°时,k ＞0;当θ=90°时,k 不存在;当90°＜θ＜180°时,k ＜0.在通过斜率范围求倾斜角范围时,应特别注意,否则容易出错误.③用两点坐标求直线斜率时,必须要注意分类讨论.当两点横坐标相同时,其斜率不存在.当两点横坐标不相同时,可用两点坐标求其斜率.即k=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--.,,21211212x ，x x x x x y y 不存在 2.直线方程的确定(1)确定直线方程时,要注意各种形式的适用范围.如点斜式和斜截式都适用于斜率存在时;两点式方程适用于直线不垂直于两条坐标轴的情况;截距式方程则适用于不过原点及不与坐标轴垂直的直线.(2)直线的斜率是求直线的关键,若不能断定直线有斜率,必须分两种情况讨论.(3)在直线的斜截式与截距式中,要注意其“截距”不等于“距离”.3.判断两直线的位置关系(1)若l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,则l 1∥l 2⇔k 1=k 2.(2)若l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1.上述判断平行与垂直的两个等价条件都是在两直线斜率都存在的前提下才成立,但实际做题过程中要考虑两条直线中一条无斜率或都无斜率的情况.4.两直线的交点两直线的交点坐标即为两直线方程组成的二元一次方程组的解.若方程组有唯一解,则两直线相交;若方程组无解,则两直线平行;若方程组有无数组解,则两直线重合.5.距离(1)两点间距离:若P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-.(2)点到直线的距离:若点P(x 0,y 0),l:Ax+By+C=0,则点P 到直线l 的距离d=2200||B A C By Ax +++.要注意将直线方程化为一般式.(3)两平行直线间的距离:若l 1:Ax+By+C 1=0,l 2:Ax+By+C 2=0,则两平行直线间的距离d=2221||B A C C +-要注意将两直线方程中x,y 项对应项的系数化为相同.6.对称问题对称问题分为两类:点对称和轴对称.(1)点对称:其中包括点关于点的对称点和直线关于点的对称直线,解决这类问题主要借助中点坐标公式.(2)轴对称:其中包括点关于直线的对称点和直线关于直线的对称直线,解决这类问题的关键是抓住两点:①对称点的连线被对称轴平分;②对称点的连线和对称轴垂直.典例精讲【例1】 一光线经过点M(-3,2)反射到x 轴上点P 处,经x 轴反射后又射到y 轴上的点Q 处,再经过y 轴反射后,光线恰好经过点N(-1,6),求P,Q 两点坐标及直线MP,PQ,NQ 的方程.解：如图所示，由光学性质可知，M 点关于x 轴的对称点M′(-3,-2)必在PQ 上，同理，N 点关于y 轴的对称点N′(1，6)也必在直线PQ 上，故直线PQ 的方程可由M′、N′两点确定. ∴43)2(6)2(+=----x y ,即2x-y+4=0. 令y=0,则x=-2,∴P(-2,0).令x=0,则y=4,∴Q(0,4).由题可知，k PM =k QN =-k PQ =-2.∴直线PM 、QN 的方程分别为y=-2x-4和y=-2x+4,即2x+y+4=0和2x+y-4=0;直线PQ 的方程为y=2(x+2),即2x-y+4=0.【例2】 某供电局计划年底解决本地区最后一个村庄的用电问题,经过测量,若按部门内部设计好的坐标图(即以供电局为原点，正东方向为x 轴的正半轴,正北方向为y 轴的正半轴,长度单位千米),得到这个村庄的坐标是(15,20),离它最近的一条线路所在直线的方程为3x-4y-10=0.问要完成任务,至少需要多长的电线?思路分析：本题实质是考查点到直线的距离问题.解：根据题意可知点（15，20）到直线3x-4y-10=0的距离即为所求.∴d=545169|10204315|=+-⨯-⨯=9(千米). ∴至少需9千米长的电线.【例3】 已知点A(-3,5),B(2,15),试在直线l:x-y=0上找一点P,使|PA|+|PB|最小,并求出最小值. 思路分析：画出草图，通过数形结合加以分析，会使问题简单化.解：如右图所示，A 点关于直线x-y=0对称的点的坐标为A′(5,-3).由图可知，|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|.当且仅当B 、P 、A′三点共线时“=”成立.所以|PA|+|PB|的最小值 d=333)153()25(22=--+-.直线A′B 的方程为6x+y-27=0,与x-y=0联立得⎩⎨⎧=-=-+.0,0276y x y x . 解之，得P （727,727）. 所以|PA|+|PB|的最小值为333，此时P 点坐标为（727,727）.。
人教课标版高中数学必修2直线的方程的综合应用
直线的方程的综合应用一.直线方程的五种形式直线方程常见有点斜式、斜截式、截距式、两点式和一般式五种形式，除了一般式每一种形式既有它的优越性又有局限性（比如点斜式、斜截式、截距式、两点式不能表示斜率不存在的直线，两点式也不能表示斜率为0的直线，截距式同时还不能表示过原点和斜率为0的直线等），故应在不同的题设下灵活的运用不同的形式，同时要特别注意不能遗漏。
下面举例说明：例1.当直线l 经过点)2,3(P 且与y x ,轴正半轴交于A 、B 两点，当OAB ∆面积最小时求直线l 的方程.解法一：设直线l 的方程为2(3)y k x -=-令0,23x y k ==-得 又令20,3y x k ==-得，由已知显然0k < ()11223322AOB S OA OB k k ⎛⎫∴==-- ⎪⎝⎭ ()141412912922k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122⎛≥+ ⎝ 12=（当且仅当429,3k k k -=-=-即时取等号） 所以所求直线方程为22(3)3y x -=--即01232=-+y x 解法二：设直线l 的方程为)0,0(1>>=+b a by a x ， 直线l 过)2,3(P ， 02,03,0,0.123>>∴>>=+∴b a b a b a . 由均值不等式得,41223232=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⨯b a b a 当且仅当2123==b a ，即4,6==b a 时，OAB ∆的面积ab S 21=最小. ∴所求直线的方程为146=+y x ，即01232=-+y x .点评：解法一是注意到直线过一点因此设直线方程的点斜式求解；解法二是注意到直线与两坐标轴的截距，因此设为截距式.例2 求 经过点(-5,2)且横、纵截距相等的直线方程.解：当直线过原点时可设y kx =，将点(-5,2)代入解得直线为：y=52-x . 当直线不过原点时可设直线方程为：1x y a a+=，将点代入解得直线为：03=++y x 综上，所求直线的方程为y=52-x 或03=++y x . 二.直线系方程 具有某种共同特征的一系列直线合在一起组成直线系，常见的直线系有如下三类：① 平行直线系以斜率为0k （常数）的直线系：b x k y +=0（b 为参数）；平行于已知直线00000,(0B A C y B x A =++是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A (C 为参数)。
《直线与方程》复习课件(17张ppt)
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
平行
5、3种距离
（1).两点距离公式 | AB | (x1 x2)2 ( y1 y2)2
(2)点线距离公式 设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
a=1或-3
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； 2x-y+5=0
.
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
直线的交点个数与直线位置的关系
6
D.
π
6
B
3、直线的5种方程
名 称 已知条件
标准方程 适用范围
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k和y轴上的截距 y kx b 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 截距式 在x轴上的截距a
在y轴上的截距b
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
点（1,3）到直线3x 4 y 4 0的距离为
中点坐标公式
x0
y0
(人教版,必修二)高中数学：第三章 直线与方程(配套讲
课堂讲义
跟踪演练2 求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截 距的2倍的直线l的方程． 解 由题意知，当直线 l 在坐标轴上的截距均为零时， 直线 l 的方程为 y＝25x； 当直线 l 在坐标轴上的截距不为零时， 设 l 的方程为2xa＋ay＝1，
课堂讲义
将点(5,2)代入方程得25a＋a2＝1， 解得 a＝92， 所以直线 l 的方程为 x＋2y－9＝0. 综上知，所求直线 l 的方程为 y＝25x，或 x＋2y－9＝0.
课堂讲义
要点一 直线的两点式方程 例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解 (1)∵BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)， ∴由两点式得－y－2－－－44＝0x－－55， 即 2x＋5y＋10＝0. 故 BC 边的方程为 2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
的二元一次方程都表示_一__条__直__线___．方程_A_x_＋__B_y_＋__C_＝__0_(_其_ ___中__A_、__B_不__同__时__为__0_)________叫做直线方程的一般式．
预习导学
(2)对于直线 Ax＋By＋C＝0，当 B≠0 时，其斜率为__－__AB___， 在 y 轴上的截距为__－__CB____；当 B＝0 时，在 x 轴上的截距 为_____－__CA________；当 AB≠0 时，在两轴上的截距分别为 __－__CA___，__－__CB____.
课堂讲义
②当 a＝b＝0 时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为 3x＋4y＝0. 综上知，所求直线 l 的方程为 x＋y－1＝0 或 x－y－7＝0 或 3x＋4y＝0. 法二 显然直线 l 的斜率存在且不为 0. 设直线 l 的方程为 y＋3＝k(x－4)，k≠0. 令 x＝0，得 y＝－4k－3；
人教版高一数学必修二第三章 直线与方程教案
教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。
定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。
②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。
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[0, )
辨一辨:你认为下列说法对吗？ 1、在平面直角坐标系内，每一条直线都有
一个确定的倾斜角与它对应。 对
2、在平面直角坐标系内，每一个倾斜角都对
应于唯一的一条直线。
错
结论:在平面直角坐标系内，
一点+倾斜角 确定一条直线
倾斜程度 倾斜角 (形)
生活中有关倾斜程度的问题
飞机起飞 炮 弹 射 击
斜率为0 倾斜角为0 .
变式2：点B的坐标改为（3，1），此时直线AB的 斜率和倾斜角分别是多少？
斜率不存在 倾斜角为 .
2
学以致用
已知 a、b、m 都是正实数，并且 a b，
a 求证：b
m m
a b
.
y
证明 : 如图，在平面直角坐标系内，
设点 A m,m, 点 Bb, a ，
由m>0和0<a<b知点A在
P
P1(x1, y1)
根据正切函数的定义：
o
x
y y
tan 2 1
锐角
x2 x1
y
OP P1P2 (x2 x1, y2 y1)
P2 (x2, y2 )
根据正切函数的定义：
P
o
钝角
P1(x1, y1)
x
k tan y2 y1
x2 x1
思考：当 p1 p2 的位置对调时，k 值又如何 呢？
第三章 直线与方程
❖ 1、自学课件； ❖ 2、可脱离课本，达到最好的教学效果； ❖ 3、祝各位同学练就融会贯通的能力！
3.1直线的倾斜角与斜率
3.1.1直线的倾斜角和斜率
开场白
论数形结合:
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数缺形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘, 几何代数统一体, 永远联系, 切莫分离.
华罗庚
玩玩看
小游戏：黄金矿工
想想看
游戏成功过关的秘诀是什么？
提提问问12：：在那平么面过直一角点坐可标以系画内多，少如条何直确线定？一条 直线呢？
y
l
Q P
o
x
提提问问43：：过这一些点直再线加有什何么异条同件点就？可以确定直线？
直线倾斜角的定义：
当当直直线线l l与与xx轴轴相相交交时时，，我我们们取取xx轴轴作作为为
P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式：
和谐 k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
倾斜角 联姻 斜率
(形)
(数)
学以致用，举一反三
例1 、如图，已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？
基基准准，，xx轴轴正正向向的与单直位线向l量向与上直方线向l之向间上所方成向的
的角单位叫向做量直之线间的所倾成斜的角角. 叫做直线的倾斜角.
y
倾斜l 角的向量法定义
oP
x
标出下列直线的倾斜角
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
l
y
p
l
o
x
规定：当直线和x轴平行Байду номын сангаас重合时，它的倾斜角为0.
看图说话:直线倾斜角的范围
斜拉桥 楼 梯
仁
皇
坡
度阁 效
果
图
在生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”
表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
D
C升
高
量
A 前进量
B
升高量
坡度= 前进量
设直线的倾斜程度为 k
kAC
BC AB
tan
kAD
BD AB
tan
直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角 a 的正切值叫做
这条直线的斜率. 常用小写字母 k 表示,即
y
P1(x1, y1)
y P1(x1, y1)
P2(x2, y2 )
o
x
(3)
P2 (x2, y2 )
o (4)
x
k tan y1 y2 y2 y1 x1 x2 x2 x1
想一想?
1、当直线平行于x轴，上述公式还适用吗？
y
P1(x1, y1)
P2 (x2, y2 )
x1 o x2 x
l1 设直线上另一点A1(1,y)
A3 A1
O A2
lA44 l2
则：k y 0 1 y 1
1 0
x 所以过原点和A1 (1,1) 画直线即可
说明：也可设其它特殊点
反思小结，画龙点睛
同学们这节课有何收获？
联 倾斜角与斜率 姻 关 系 形与数的联姻
结束语：
华罗庚论数形结合:
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数数缺缺形形时时少少直直觉觉, , 形形少少数数时时难难入入微微;; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘, 几何代数统一体, 永远联系, 切莫分离.
a
0,
2
2
,
=0 k =0
0
＜
＜
2
k>0
递增
2
k不存在
2 k<0 递增
探究二 斜率公式
已知直线上两点：P1（x1，y1）， P2（x2，y2），
如何求斜率k tan, (其中x1 x2 ) ？
y
P1P2 (x2 x1, y2 y1)
OP P2(x2, y2) P1P2 (x2 x1, y2 y1)
解：
直线AB的斜率k AB
2 1 3 (4)
1 7
直线BC的斜率
kBC
1 (1) 40
1 2
直线CA的斜率
kCA
1 2 03
1
数 形 kAB 0 ∴直线AB的倾斜角为锐角，
∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角，
∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角。
例1 、如图，已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求直 线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线的倾斜角 是什么角？ 变式1：点B的坐标改为（- 4，2），此时直线AB的 斜率和倾斜角分别是多少？
k y2 y1 x2 x1
答：成立，因为分子为0，分母不为0，所 以K=0 .
想一想?
2、当直线垂直于x轴，上述公式还适用吗？
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
答：不成立，因为分母为0.
直线的斜率公式
综上所述，我们得到经过两点P1(x1, y1),
0
y=x在第三象限的图像上，
点B在 y=x在第一象限的
图像的下方，于是可得斜率 A(-m,-m)
yx
B(b,a) x
k AB kOB
即证 a m a .
bm b
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且
斜率分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
解：（待定系数法）
k tan
思考：（1）是否所有的直线都有倾斜角？
（2）是否所有的直线都有斜率？
k
倾斜角为 的直线,斜率不存在.
2
o
a
探究一 倾斜角与斜率的关系
完成下表，并描点.
0
6
4
3
2
23
3 5
46
k
0
3 3
1
3
不存
在 3
1
3 3
k
k tan
0,
2
2
,
0
2
a
倾斜角与斜率的关系
k
k tan
0
/2