2020秋高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题达标检测含解析新人教A版必修5
高中数学第一章解三角形1.2.1解三角形的实际应用举例_距离问题学案5
1。
2 应用举例第1课时解三角形的实际应用举例—-距离问题必备知识·自主学习1.基线（1）定义和选取原则.(2）本质:解三角形必须知道三角形的一条边长，这恰是基线的意义所在。
（3)作用：基线的选择决定了测量方案的设计.2。
方位角和方向角（1）方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角.如图（1)目标A的方位角为135°.(2）方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角。
如图(2),北偏东30°，南偏东45°。
方位角与方向角有什么共同点?提示：方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系。
1.辨析记忆（对的打“√”,错的打“×").(1)基线选择不同,同一个量的测量结果可能不同。
(）（2)东偏北45°的方向就是东北方向。
（) (3）两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解. （)（4)如图所示，为了测量隧道AB的长度,可测量数据a,b，γ进行计算. （)提示:(1）√.（2)√.由方向角的定义可知。
（3）√.可由正弦定理解三角形求解.（4）√。
由余弦定理可求出AB。
2。
某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A。
北偏西35° B.北偏东55°C.南偏西35°D。
南偏西55°【解析】选D。
根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示α=55°，则β=α=55°。
所以B在A的南偏西55°。
3。
（教材二次开发:习题改编）如图所示，已知两座灯塔A和B 与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为（)A.a kmB. a kmC. a km D。
2a km【解析】选B。
由题意得∠ACB=120°，AB2=a2+a2-2a2cos 120°=3a2,所以AB=a。
数学必修Ⅴ人教新课标A版1-2-1解三角形的实际应用举例——距离问题(28张)
2.什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三 角形？ （1）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于 其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍，即
a2 =b2 c2 2bc cos A； b2 =a2 c2 2ac cos B； c2 =a2 + b2 - 2abcosC.
（2）余弦定理能解决的三角形类型： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
sin 180 ( )
a sin( ) sin( )
D
C
BC
a sin
a sin
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在ΔABC中，应用余弦定 理计算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
【规律总结】 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找
思考：你还能找出生活中这样的例子吗？
【变式训练】
为了测定河对岸两点A，B间的距离,在岸边选定1千 米长的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o， ∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A，B两点的距离.
B D
A C
【解析】AD = CD = 2 3 ； sin60° 3
BD =
CDsin60°
今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学
实践中的重要应用，首先研究如何测量距离.
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测 量相关术语.(重点、难点) 2.激发学生学习数学的兴趣, 培养学生运用图形、 数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题 的能力.
探究点1 关于测量从一个可到达的点到一个不可到 达的点之间的距离的问题
2020_2021学年高中数学第一章解三角形1.2.1解三角形的实际应用举例_距离问题同步课件新人教
【解题指南】结合条件,利用正弦定理求解.
【解析】∠ABC=180°-75°-45°=60°,
所以由正弦定理得, AB AC ,
sin C sin B
所以AB=A C s in C 6 0 s in 4 5 2 06 m .
s in B s in 6 0
即A,B两点间的距离为20 6 m.
【解析】在△BCD中,BC=31 km,
BD=20 km,CD=21 km,
由余弦定理得cos∠BDC=B D 2 C D 2 B C 2 2 0 2 2 1 2 3 1 2 1 ,
2 B D C D 2 2 0 2 1 7
所以cos∠ADC=1 ,
7
所以sin∠ADC= 1cos2ADC4 3.
2
所以AC=27 km; 即两山顶A,C之间的距离为2 7 km.
类型三 航行中的距离问题 【典例3】如图,A,B是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3 )海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°, B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于 B点南偏西60°且与B点相距20 3 海里的C点的救援
sinDAB sinADB
所以DB=ABsinDAB
sinADB 5(3 3)sin45
sin105 5(33)sin45
sin45cos60cos45sin60
5(3
3)225
3(
31)10
3 海里，
2 6
31
44
2
又因为∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°, BC=203 海里,
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB
=800+3 200-2×202
(部编版)2020年高中数学第一章解三角形1.2应用举例新人教A版必修
1.2 应用举例第一课时 解三角形的实际应用举例[新知初探]实际测量中的有关名称、术语[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边( ) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得( ) (3)方位角和方向角是一样的( )解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．(2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．(3)错误．方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)．答案：(1)× (2)× (3)×2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B 如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°， 而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.故选B.3．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )A ．α＞βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°解析：选B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.4.已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为1 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A ，B 两船的距离为________km.解析：由题意得∠ACB ＝(90°－25°)＋85°＝150°， 又AC ＝1，BC ＝3，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 150°＝7，∴AB ＝7.答案：7[典例] 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两点C 与D .现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .[解] 在△BCD 中， ∠CBD ＝π－(α＋β)．由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD .∴BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βα＋β.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·sin βtan θα＋β.[活学活用]1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A 向北偏东30°方向前进100 m 到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 如图，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.2.如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________m.解析：因为∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°， 所以∠ASB ＝180°－∠SAB －∠SBA ＝135°.在△ABS 中，AB ＝AS ·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002，所以BC ＝AB ·sin 45°＝1 0002×22＝1 000(m)． 答案：1 000[典例] 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？[解] 由题意，知AB ＝5(3＋3) n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB ，即BD ＝AB sin ∠DABsin ∠ADB ＝＋3sin 105°＝＋3sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， ∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ，则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h.[活学活用]在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝AC BC·sin∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，BC 与正北方向成90°角．∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题点一：两点间不可通又不可视1.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长． 解：在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m. 题点二：两点间可视但有一点不可到达2.如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60 m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m. 解析：∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°， 所以由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m. 答案：20 6题点三：两点都不可到达3.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离． 解：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝32. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)． ∴A ，B 两点间的距离为64km.层级一 学业水平达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 m解析：选D 由题意知，∠A ＝∠B ＝30°， 所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B， 即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3.2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h 解析：选A 如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1762 n mile/h.3.如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点仰角分别是β，α(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( )A.a sin α·sin ββ－αB.a sin α·sin βα－βC.asin α·cos ββ－αD.a cos α·sin βα－β解析：选A 设AB ＝x ，则在Rt △ABC 中，CB ＝x tan β，所以BD ＝a ＋x tan β，又因为在Rt △ABD 中，BD ＝xtan α，所以BD ＝a ＋x tan β＝x tan α，从中求得x ＝a1tan α－1tan β＝a tan αtan βtan β－tan α＝a sin αsin βsin βcos α－sin αcos β＝a sin αsin ββ－α，故选A.4．设甲、乙两幢楼相距20 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两幢楼的高分别是( )A ．20 3 m ，4033 mB ．10 3 m,20 3 mC ．10(3－2)m,20 3 mD.1532 m ，2033m解析：选A 由题意，知h 甲＝20tan 60°＝203(m)，h 乙＝20tan 60°－20tan 30°＝4033(m)． 5．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时乙船自岛B 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )A.1507min B.157 hC ．21.5 minD ．2.15 h解析：选A 由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t 小时后，甲船位于C 点，乙船位于D 点，如图．则BC ＝10－4t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝120°，此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠CBD ＝(10－4t )2＋36t 2＋6t (10－4t )＝28t 2－20t ＋100，所以当t ＝514时，CD 2取得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是1507min ，故选A. 6．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°. 由余弦定理，得AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地的距离为7 km. 答案：77．坡度为45°的斜坡长为100 m ，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长________m. 解析：如图，BD ＝100，∠BDA ＝45°，∠BCA ＝30°， 设CD ＝x ，所以(x ＋DA )·tan 30°＝DA ·tan 45°， 又DA ＝BD ·cos 45°＝100×22＝502， 所以x ＝DA ·tan 45°tan 30°－DA ＝502×133－50 2＝50(6－2)m. 答案：50(6－2)8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________cm.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063(cm)．答案：10639.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船此时两船相距102海航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，里，求乙船航行的速度．A 1A 2＝302×13＝解：如图，连接A 1B 2，在△A 1A 2B 2中，易知∠A 1A 2B 2＝60°，又易求得102＝A 2B 2，∴△A 1A 2B 2为正三角形， ∴A 1B 2＝10 2.在△A 1B 1B 2中，易知∠B 1A 1B 2＝45°， ∴(B 1B 2)2＝400＋200－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝102，∴乙船每小时航行302海里．10．如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 千米，AC ＝3 千米．假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2 千米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B 点出发到达C 点)．解：由∠ADC ＝150°知∠ADB ＝30°，由正弦定理得1sin 30°＝ADsin 120°，所以AD ＝ 3. 在△ADC 中，由余弦定理得：AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos 150°，即32＝(3)2＋DC 2－2·3·DC cos 150°，即DC 2＋3·DC －6＝0，解得DC ＝－3＋332≈1.372 (千米)，∴BC ≈2.372 (千米)，由于2.372<2.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰.层级二 应试能力达标1.如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C 由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BACsin ∠ABC ＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．索AB ＝519 m ，起吊2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532 mC ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC＝152＋102－1922×15×10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin∠ACD ＝15×32＝1532m. 3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 m解析：选D 设AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x .在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x .在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2×500x cos 120°，解得x ＝500 m.与观测站A 距离202海4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为( )A ．485 海里/小时B ．385 海里/小时C ．27 海里/小时D ．4 6 海里/小时解析：选A 因为cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝(202)2＋102－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为28512＝485海里/小时． 5.如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)解析：如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ，连接AO ，则∠PAO ＝θ.设CO ＝x ，则OP ＝33x . 在Rt △ABC 中，AB ＝15，AC ＝25，所以BC ＝20. 所以cos ∠BCA ＝45.所以AO ＝625＋x 2－2×25x ×45＝x 2－40x ＋625.故tan θ＝33x x 2－40x ＋625＝331－40x ＋625x2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －452＋925 .当25x ＝45，即x ＝1254时，tan θ取得最大值为3335＝539.答案：5396．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a n mile ，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile.解析：如图所示，设在C 处甲船追上乙船，乙船到C 处用的时间为t ，乙船的速度为v ，则BC ＝tv ，AC ＝3tv ，又B ＝120°，则由正弦定理BC sin ∠CAB ＝ACsin B ，得1sin ∠CAB＝3sin 120°，∴sin ∠CAB ＝12，∴∠CAB ＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB ＝180°－120°－30°＝30°，∴BC ＝AB ＝a n mile ，∴AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a (n mile)答案：北偏东30°3a7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为45°，往正前方走4 m 后，在点B 处发现桃树顶端点C 的仰角大小为75°.(1)求BC 的长；确到0.01 m ，其中3(2)若小明身高为1.70 m ，求这棵桃树顶端点C 离地面的高度(精≈1.732)．解：(1)在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠DBC ＝75°， 则∠ACB ＝75°－45°＝30°，AB ＝4，由正弦定理得BC sin 45°＝4sin 30°，解得BC ＝42(m)．即BC 的长为4 2 m. (2)在△CBD 中，∠CDB ＝90°，BC ＝42， 所以DC ＝42sin 75°.因为sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24， 则DC ＝2＋2 3.所以CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464 ≈7.16(m)．即这棵桃树顶端点C 离地面的高度为7.16 m.8.如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解：(1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－x －22x ·20＝3x ＋325x，同理在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x.∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x， 解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421千米．故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．第二课时 三角形中的几何计算[新知初探] 三角形的面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B.[点睛] 三角形的面积公式S ＝12ab sin C 与原来的面积公式S ＝12a ·h (h 为a 边上的高)的关系为：h ＝b sin C ，实质上b sin C 就是△ABC 中a 边上的高．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)公式S ＝12ab sin C 适合求任意三角形的面积( )(2)三角形中已知三边无法求其面积( )(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积( )解析：(1)正确，S ＝12ab sin C 适合求任意三角形的面积．(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得其他边和角，再求面积． 答案：(1)√ (2)× (3)√2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则S △ABC ＝( ) A.32B.332C. 3D ．3解析：选B S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝332.3．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则A 的大小为( )A ．60°或120°B ．60°C ．120°D ．30°或150°解析：选A 由S △ABC ＝12bc sin A 得32＝12×2×3×sin A ， 所以sin A ＝32， 故A ＝60°或120°，故选A.4．若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________.解析：由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A＝1，解得sin 2A ＋⎝⎛⎭⎪⎫1－sin A 42＝1，sin A ＝817. 答案：817[典例] 已知△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． [解] 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝23sin 30°2＝32. ∵AB >AC ，∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝ 3.故△ABC 的面积为23或 3.[活学活用]△ABC 中，若a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且2A ＝B ＋C ，a ＝3，△ABC 的面积S △ABC ＝32，求边b 的长和B 的大小．解：∵A ＋B ＋C ＝180°，又2A ＝B ＋C ，∴A ＝60°. ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32，sin A ＝32，∴bc ＝2.①又由余弦定理得3＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×2×12，即b 2＋c 2＝5.② 解①②可得b ＝1或2.由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝b2. 当b ＝1时，sin B ＝12，B ＝30°；当b ＝2时，sin B ＝1，B ＝90°.[典例] 在△ABC 中，求证：b －c cos A ＝sin A.证明：[法一 化角为边]左边＝a －c a 2＋c 2－b 22ac b －c b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2－c 2＋b 22a ·2bb 2－c 2＋a 2 ＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A＝右边， 其中R 为△ABC 外接圆的半径． ∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.[法二 化边为角] 左边＝sin A －sin C cos B sin B －sin C cos A ＝B ＋C －sin C cos BA ＋C －sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边(cos C ≠0)，∴a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.[活学活用]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .求证：cos B cos C ＝c －b cos Ab －c cos A .证明：法一：由正弦定理，得c －b cos Ab －c cos A＝2R sin C －2R sin B cos A2R sin B －2R sin C cos A＝A ＋B －sin B cos A A ＋C －sin C cos A ＝sin A cos B sin A cos C ＝cos Bcos C.法二：由余弦定理，得c －b cos Ab －c cos A ＝c －b 2＋c 2－a 22c b －b 2＋c 2－a 22b＝a 2＋c 2－b 22c b 2＋a 2－c 22b ＝a 2＋c 2－b22ac b 2＋a 2－c 22ab＝cos B cos C.题点一：与三角形面积有关的综合问题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a cos B －c ＝b2.(1)求角A 的大小；(2)若b －c ＝6，a ＝3＋3，求BC 边上的高． 解：(1)由a cos B －c ＝b2及正弦定理可得，sin A cos B －sin C ＝sin B2，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin B 2＋cos A sin B ＝0.因为sin B ≠0，所以cos A ＝－12，因为0<A <π，所以A ＝2π3.(2)由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ， 所以(3＋3)2＝b 2＋c 2＋bc ＝(b －c )2＋3bc ＝6＋3bc ， 解得bc ＝2＋2 3.设BC 边上的高为h ，由S △ABC ＝12bc sin A ＝12ah ，得12(2＋23)sin 2π3＝12(3＋3)h, 解得h ＝1. 题点二：三角形中的范围问题2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B －b cos A ＝0. (1)求角B 的大小；(2)求3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的取值范围．解：(1)由正弦定理得：(2sin C －sin A )cos B －sin B cos A ＝0，即sin C (2cos B －1)＝0，∵sin C ≠0，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由(1)知B ＝π3，∴C ＝2π3－A ，∴3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝3sin A ＋cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈(1,2]， ∴3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的取值范围是(1,2]．题点三：三角形中的最值问题3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知A －B A ＋B ＝b ＋cc. (1)求角A 的大小；(2)当a ＝6时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积最大时△ABC 的形状． 解：(1)由A －B A ＋B ＝b ＋cc， 得A －B A ＋B ＝sin B ＋sinC sin C. 又sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin C ， ∴sin(A －B )＝sin B ＋sin(A ＋B )．∴sin A cos B －cos A sin B ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin B ＋2 cos A sin B ＝0， 又sin B ≠0，∴cos A ＝－12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)S ＝12bc sin A ＝34bc ＝34×2R sin B ·2R sin C＝3R 2sin B ·sin C＝3R 2sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B＝32R 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6－34R 2，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3. 由正弦定理2R ＝a sin A＝6sin2π3＝43，∴R ＝2 3.当2B ＋π6＝π2，即B ＝C ＝π6时，S max ＝33，∴△ABC 面积的最大值为33，此时△ABC 为等腰钝角三角形． 题点四：多边形面积问题4．已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S . 解：如图，连接BD ，则S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°，∴sin A ＝sin C ， ∴S ＝12sin A (AB ·AD ＋BC ·CD )＝16sin A .在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ，在△CDB 中，由余弦定理得BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝52－48cos C ，∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12，∴A ＝120°，∴S ＝16sin A ＝8 3.层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( )A.12B.32 C.3 D ．2 3 解析：选B S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78 B.78 C ．－87 D.87解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78. 3．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选B ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，由余弦定理得：sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1.又0°<C <180°，∴C ＝45°.4．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×14＝4a 2，所以b ＝c ＝2a .因为B∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b 2×b ×154＝154，所以b ＝2，选C. 5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( ) A ．40 3 B ．20 3 C ．40 2 D ．20 2 解析：选A 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 故两边长分别为16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 37.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314. 在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314×2×7＝562.答案：5628．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．解析：不妨设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝9，∴a ＝3. 又∵sin A ＝ 1－cos 2A ＝223， ∴外接圆半径为R ＝a2sin A ＝32·223＝928.答案：9289．在△ABC 中，求证：b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.证明：左边＝b 2(1－2sin 2A )－a 2(1－2sin 2B )＝b 2－a 2－2(b 2sin 2A －a 2sin 2B )， 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得b sin A ＝a sin B ， ∴b 2sin 2A －a 2sin 2B ＝0，∴左边＝b 2－a 2＝右边， ∴b 2cos 2A －a 2cos 2B ＝b 2－a 2.10.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，解：在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，由正弦定理，得∴sin ∠ABC ＝AC ·sin∠BCA AB ＝9×sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922，故BD 的长为922.层级二 应试能力达标1．△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解析：选C 如图，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40，∴a ＝7.2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15 C ．2 D ．3 解析：选A 因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c . 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.3．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°，∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，∴R ＝2.4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫152，＋∞B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，403解析：选D ∵csin C ＝a sin A ＝403， ∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.5．已知△ABC 的面积S ＝3，A ＝π3，则AB ·AC ＝________.解析：S △ABC ＝12·|AB |·|AC |·si n A ，即3＝12·|AB |·|AC |·32，所以|AB |·|AC |＝4，于是AB ·AC ＝|AB |·|AC |·cos A ＝4×12＝2.答案：26．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________. 解析：∵b a ＋a b＝6cos C ，∴a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab，∴2a 2＋2b 2－2c 2＝c 2， 又tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A sin A cos C ＋sin C cos Bsin B cos C ＝sin CB cos A ＋cos B sin Asin A sin B cos C＝sin C B ＋A sin A sin B cos C ＝sin 2C sin A sin B cos C＝c 2ab cos C ＝c 2aba 2＋b 2－c 22ab＝2c2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案：47．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知sin A sin B ＝sin C tan C .(1)求a 2＋b2c 2的值； (2)若a ＝22c ，且△ABC 的面积为4，求c 的值． 解：(1)由已知sin A sin B ＝sin C tan C 得cos C ＝c 2ab .又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，故a 2＋b 2＝3c 2，故a 2＋b 2c2的值为3.(2)由a ＝22c, a 2＋b 2＝3c 2得b ＝102c . 由余弦定理得cos C ＝255，故sin C ＝55.所以12×22c ×102c ×55＝4，解得c ＝4.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2,2cos 2B ＋C2＋sin A ＝45. (1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值. 解：2cos2B ＋C 2＋sin A ＝45⇒1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45⇒sin A －cos A ＝－15. 又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝35，cos A ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，则b 的取值范围为(0,2]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫103.(2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋asin A(sin B ＋sin C ) ＝2＋103[sin B ＋sin(A ＋B )]＝2＋103[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ]＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，其中θ为锐角，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1010，cos θ＝31010，l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝31010时取到．此时b ＝asin A sin B ＝10.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a ＝k ，b ＝3k (k ＞0)，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选A 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝62＞1，即sin B ＞1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形． 2．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6解析：选C 由BCsin A ＝AB sin C ，得sin C ＝22. ∵BC ＝3，AB ＝6，∴A >C ，则C 为锐角，故C ＝π4.3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝20，A ＝30°，则cos B ＝( ) A ．±53 B.23 C ．－53D.53解析：选A 因为a sin A ＝b sin B ，所以15sin 30°＝20sin B ，解得sin B ＝23.因为b >a ，所以B >A ，故B 有两解，所以cos B ＝±53. 4．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6解析：选B ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k .∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A 2＝c －b 2c，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由已知可得1－cos A 2＝12－b2c ，即cos A ＝bc，b ＝c cos A .法一：由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2＝a 2＋b 2，由此知△ABC 为直角三角形． 法二：由正弦定理，得sin B ＝sin C cos A ．在△ABC 中，sin B ＝sin(A ＋C )， 从而有sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A ， 即sin A cos C ＝0.在△ABC 中，sin A ≠0，所以cos C ＝0.由此得C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( ) A ．2 2 B ．8 2 C. 2 D.22解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.7．在△ABC 中，三边长分别为a －2，a ，a ＋2，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为( ) A.154 B.1534C.2134D.3534解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a ＋2，∵sin α＝32，∴α＝120°.由余弦定理得(a ＋2)2＝(a －2)2＋a 2＋a (a －2)，即a 2＝5a ，故a ＝5，故三边长为3,5,7，S △ABC ＝12×3×5×sin 120°＝1534.8.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36 C.63D.66 解析：选D 设BD ＝a ，则BC ＝2a ，AB ＝AD ＝32a . 在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD22AB ·AD＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a22×32a ·32a＝13.又∵A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝223.在△ABC 中，由正弦定理得，BCsin A ＝ABsin C.∴sin C ＝AB BC ·sin A ＝32a 2a ·223＝66.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上) 9．在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则这个三角形的形状是________．解析：由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C 得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C ，三角形ABC 为等边三角形．答案：等边三角形10．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则A ＝________，a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－B －C ＝30°，由正弦定理得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ， 即a ∶b ∶c ＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶ 3. 答案：30° 1∶1∶ 311．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则B ＝________，△ABC 的面积等于________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案：π3 3412．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________，三角形的形状为________．解析：∵b ＝2a ，由正弦定理，得sin B ＝2sin A ，又B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即12sin A ＋32cos A ＝2sin A ，∴tan A ＝33.又0°＜A ＜180°，∴A ＝30°，B ＝90°. 答案：30° 直角三角形13．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC的最大值是________．解析：由题意得， 12bc sin A ＝12a 2⇒bc sin A ＝a 2，因此AC AB ＋AB AC ＋BC 2AB ·AC ＝b c ＋c b ＋a 2bc ＝b 2＋c 2＋a 2bc＝a 2＋2bc cos A ＋a 2bc ＝2cos A ＋2sin A ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤22，从而所求最大值是2 2.答案：2 214．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则sin C ＝________，c ＝________.解析：在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴c ＝b sin Csin B ＝3×56651213＝145.答案：5665 14515．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.解析：如图，∠CAB ＝15°， ∠CBA ＝180°－75°＝105°， ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1(km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)．设C 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝BC ·sin 75°＝6－223×6＋24＝36(km)． 答案：36三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(14分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，。
2020_2021学年高中数学第一章解三角形1.2.1解三角形的实际应用举例_距离问题同步作业含解析
解三角形的实际应用举例——距离问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则14时两船之间的距离是( ) A.50nmileB.70nmileC.90nmileD.110nmile【解析】选B. 到14时,轮船A和轮船B分别走了50nmile,30nmile,由余弦定理得两船之间的距离为l=错误!未找到引用源。
=70nmile.2.海洋中有A,B,C三座灯塔,其中A,B之间距离为a,在A处观察B,其方向是南偏东40°,观察C,其方向是南偏东70°,在B处观察C,其方向是北偏东65°,B,C之的距离是( )A.aB.错误!未找到引用源。
aC.错误!未找到引用源。
aD.错误!未找到引用源。
a【解析】选D.如图所示,由题意可知AB=a,∠BAC=70°-40°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,所以∠C=45°,在△ABC中,由正弦定理得错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,即BC=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
a.3.一艘海轮从A处出发,在A处观察灯塔C,其方向是南偏东85°.海轮以每小时60海里的速度沿南偏东40°方向直线航行,20分钟后到达B处.在B处观察灯塔C,其方向是北偏东65°.则B,C 之间的距离是( )A.10错误!未找到引用源。
海里B.20错误!未找到引用源。
海里C.20错误!未找到引用源。
海里D.10错误!未找到引用源。
海里【解析】选C.A,B,C的位置如图所示:因为C在A的南偏东85°的位置,故∠EAC=85°,因为B在A的南偏东40°的位置,故∠EAB=40°,所以∠CAB=45°.因C在B的北偏东65°的位置,故∠DBC=65°,因∠DBA=40°,故∠ABC=105°,即∠ACB=30°,在△ABC中,错误!未找到引用源。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题练习(含解析)新人教A版必修5(最新整理)
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第一章解三角形1。
2 应用举例第1课时距离问题A级基础巩固一、选择题1．有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为（）A．1 B．2sin 10°C．2cos 10°D．cos 20°解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．答案：C2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5错误! m，起吊的货物与岸的距离AD为( ）A．30 m B.错误!错误! mC．15 3 m D．45 m解析：在△ABC中，cos ∠ABC＝错误!＝错误!，∠ABC∈（0°，180°），所以sin∠ABC＝错误!＝错误!,所以在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABC＝519×错误!＝错误!错误! (m)．答案：B3．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( ）A．6 km B．3 3 km C．3 2 km D．3 km解析：由题意知，AB＝24×错误!＝6 （km），∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°。
高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例——距离问题课件 新
5(km)．
答：A、B 之间的距离为 5 km.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
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『规律总结』 (1)当两点A、B不相通，又不可视时，选取第三点C，测 出AC、BC、∠ACB，用余弦定理求解；
(2)当两点A、B间可视，但有一点B不可到达时，选取点C，测出∠CAB、 ∠ACB和AC，用正弦定理解决．
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(2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了(100＋50t) m， 乙距离A处130t m，所以由余弦定理，得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t × (100＋50t)×1123＝200(37t2－70t＋50)．由于0≤t≤1103400，即0≤t≤8，
(1)求索道AB的长； (2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
[分析] (1)利用正弦定理求出AB的长．(2)先设再建立时间t与甲、乙间距 离d的函数关系式，利用关系式求最值．
[解析] (1)在△ABC中，∵cosA＝1123，cosC＝35，∴sinA＝153，∴sinC＝45， ∴sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC ＝153×35＋1123×45＝6635. 由正弦定理，得sAinBC＝sAinCB， ∴AB＝sAinCB·sinC＝1 62360×45＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040m.
故当t＝3357时，乙在缆车上与甲的距离最短．
互动探究学案
命题方向1 ⇨两点间有一(两)点不可到达点测量距离问题
例题 1 要测量河对岸两个建筑物 A、B 之间的距离，选取相距 3 km 的 C、D 两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°， 求 A、B 之间的距离．
高中数学第一章解三角形1.2.1解三角形的实际应用举例_距离问题素养评价检测含解析5
解三角形的实际应用举例--距离问题15分钟30分)1.（2020·大庆高一检测）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向N处,则该船航行的速度是() A.海里/时 B.34海里/时C.海里/时D。
34海里/时【解析】选A.由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°,在△PMN中,由正弦定理,得=,所以MN==34，又由M到N所用时间为14—10=4(小时），所以船的航行速度v==(海里/时）2。
（2020·成都高一检测）随着“一带一路”倡议的实施，交通运输发展的外部环境和内在要求面临深层次的调整和变化.内河水运作为现代综合交通运输体系的重要组成部分,迎来了新的历史机遇。
为做好航道升级的前期工作，成都市组织相关人员到府河现场进行勘察。
现要测量府河岸边A,B两地间的距离。
如图，在B的正东方向选取一点C,测得CB=2 km,A位于C西北方向，A位于B北偏东15°，则A，B两地间的距离为()A。
km B.2kmC。
km D。
2km【解析】选C.在△ABC中，依题意知∠ABC=90°—15°=75°,∠ACB=45°，那么A=180°—∠ABC-∠ACB=60°，由正弦定理得=，又因为CB=2 km，所以AB===km.3。
某人从A处出发,沿北偏东60°行走3km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为。
【解析】如图所示,由题意可知AB=3，BC=2,∠ABC=150°，由余弦定理得AC2=27+4-2×3×2×cos 150°=49,所以AC=7,所以A，C两地的距离为7 km。
答案:7 km4.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x=cm。
(新人教A版)高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题练习必修5
A 级 基础巩固一、选择题1．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( D )A ．10 kmB ． 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km[解析] 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107 km ．2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( D )A ．γ，c ，αB ．b ，c ，αC ．c ，α，βD ．b ，α，γ[解析] 本题中a 、c 、β这三个量不易直接测量，故选D ．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )A ．5 n mlieB ．5 3 n mlieC ．10 n mlieD ．10 3 n mlie[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300 m 和500 m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为( C )A ．500 mB ．600 mC ．700 mD ．800 m[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120 m 由此可得河宽为(精确到1m)( C )A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝406．设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin75°≈95(m)．6．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船的距离是( B )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13 km ．二、填空题7．在相距2km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是__6__km ．[解析] 如图所示，由题意易知C ＝45°，由正弦定理得AC sin60°＝2sin45°，从而AC ＝222·32＝6(km)．8．一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝__1063__cm ．[解析] 如图，由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°.∠B ＝60°， 由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin B ，∴x ＝10sin ∠ACB sin B ＝10×sin45°sin60°＝1063．三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°， AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°．在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°.由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7.06(n mile)．∵h >6.5 n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行．B 级 素养提升一、选择题1．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A 、B 两船的距离为( D )A ．2 3 kmB ．3 2 kmC ．15 kmD ．13 km[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13．2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( A )A ．1762 n mile/hB ．34 6 n mile/hC ．1722n mile/hD ．34 2 n mile/h[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．3．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12 h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是( B )A ．10 kmB ．10 2 kmC ．15 kmD ．15 2 km[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20( km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102( km)．二、填空题4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站107 n mile ，20 min 后测得海盗船距观测站20 n mlie ，再过__403__min ，海盗船到达商船．[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20 min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12．∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．5．如图，一艘船上午8∶00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距4 2 n mile ，则此船的航行速度是__16__n mile/h ．[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°，∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB ，∴AB ＝BS ·sin ∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午8∶00在A 地，8∶30在B 地， ∴航行0.5小时的路程为8 n mile ， ∴此船的航速为16 n mile/h ． 三、解答题6．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29 800， EF 2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665．C 级 能力拔高1．为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图)．能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．[解析] 方案一：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算AM ，由正弦定理，得AM ＝d sin α2sin α1＋α2；第二步：计算AN ，由正弦定理，得AN ＝d sin β2sin β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos α1－β1．方案二：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算BM ，由正弦定理，得BM ＝d sin α1sin α1＋α2；第二步：计算BN ，由正弦定理，得BN ＝d sin β1sin β2－β1；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos β2＋α2．2．已知海岛B 在海岛A 的北偏东45°方向上，A 、B 相距10 n mile ，小船甲从海岛B 以2 n mile/h的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船乙从海岛A 出发沿北偏西15°方向也以2 n mile/h 的速度移动．(1)经过1 h 后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．[解析] 经过1 h 后，甲船到达M 点，乙船到达N 点， AM ＝10－2＝8，AN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos60°＝64＋4－2×8×2×12＝52．所以MN ＝213．所以经过1 h 后，甲、乙两小船相距213海里．(2)设经过t (0<t <5)h 小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A 距离为AE ＝(10－2t )n mile ，乙船与A 距离为AF ＝2t n mile ，∠EAF ＝60°，∠EF A ＝75°，则由正弦定理，得AF sin45°＝AE sin75°，即2tsin45°＝10－2t sin75°，则t ＝10sin45°2sin75°＋2sin45°＝103＋3＝53－33<5．答：经过53－33小时小船甲处于小船乙的正东方向．。
高中数学第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题优化练习新人教A版必修0
第1课时 距离问题[课时作业][A 组 基础巩固]1．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都等于a (km)，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在C 南偏东60°，则A ，B 之间距离为( ) A.2a km B.3a km C ．a km D ．2a km解析：△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝90°，AB ＝2a .答案：A2.如图，一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．C 处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东60°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里解析：由题目条件，知AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝45°.由正弦定理，得20sin 45°＝BC sin 30°，所以BC ＝102海里，故选A. 答案：A3．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 3解析：如图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°，在△ABB ′中，利用正弦定理可求得BB ′的长度．在△ABB ′中，∠B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10 m ，由正弦定理，得BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝102(m)． ∴坡底延伸10 2 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案：C4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( ) A.1762海里/小时 B ．346海里/小时 C.1722海里/小时 D ．342海里/小时解析：如图所示，在△PMN 中，PMsin 45°＝MNsin 120°，∵MN ＝68×32＝346， ∴v ＝MN 4＝1762(海里/小时)． 答案：A5.如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A ．1.1 kmB ．2.2 kmC ．2.9 kmD ．3.5 km解析：∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°.在△BCD 中，由正弦定理，得BD ＝CD sin 75°sin 60°＝6＋22. 在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos 105°＝3＋6＋224＋2×3×6＋22×6－24＝5＋2 3. ∴AB ＝5＋23≈2.9(km)．∴炮兵阵地与目标的距离约是2.9 km.答案：C6．在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米． 解析：∠C ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理2sin 45°＝AC sin 60°， ∴AC ＝ 6. 答案： 67．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地距离为________km.解析：如图所示，由题意可知AB ＝33，BC ＝2，∠ABC ＝150°，由余弦定理，得 AC 2＝27＋4－2×33×2×cos 150°＝49，AC ＝7.则A ，C 两地距离为7 km.答案：78．一艘船以每小时15 km 的速度向东行驶，船在A 处看到一灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km. 解析：如图所示，AC ＝15×4＝60，∠BAC ＝30°，∠B ＝45°， 在△ABC 中由正弦定理得60sin 45°＝BC sin 30°， ∴BC ＝30 2.答案：30 29.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120米，求河的宽度．解析：在△ABC 中，∵∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝60°.由正弦定理，可得AC ＝AB ·sin∠CBA sin ∠ACB ＝120sin 75°sin 60°＝20(32＋6)，设C 到AB 的距离为CD ，则CD ＝AC sin ∠CAB ＝22AC ＝20 (3＋3)． ∴河的宽度为20(3＋3)米．10．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解析：如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1千米．在△ABC 中，AB ＝3≈1.732，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1，在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1，∴BC12×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．[B 组 能力提升]1．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是________．解析：设行驶x 小时后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°.∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120°＝28x 2－20x ＋100＝28(x 2－57x )＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5142－257＋100 ∴当x ＝514(小时)＝1507(分钟)时，y 2有最小值．∴y 最小． 答案：1507分钟 2．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30 n mile 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.解析：如图所示，B 是灯塔，A 是船的初始位置，C 是船航行后的位置，则BC ⊥AD ，∠DAB ＝30°，∠DAC ＝60°，则在Rt △ACD 中， DC ＝AC sin ∠DAC ＝30sin 60°＝15 3 n mile ，AD ＝AC cos ∠DAC ＝30cos 60°＝15 n mile ，则在Rt △ADB 中，DB ＝AD tan ∠DAB ＝15tan 30°＝5 3 n mile ，则BC ＝DC －DB ＝153－53＝10 3 n mile.答案：10 33．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回到它的出发点，那么x ＝________.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin∠ABO sin ∠AOB＝10×sin 45°sin 60°＝1063(cm)． 即x 的值为1063cm. 答案：10634．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．解析：由题意在三角形ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理BC ＝AB sin ∠ACB ·sin∠BAC ＝30sin 15°·sin 30°＝156－24＝15(6＋2)． 在Rt△BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)＞38. 答案：无5.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，求起吊的货物与岸的距离AD .解析：在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝152＋102－1922×15×10＝－12. ∴∠ACB ＝120°.∴∠ACD ＝180°－120°＝60°.∴AD ＝AC ·sin 60°＝1532(m)． 即起吊的货物与岸的距离为1532m. 6.如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1百米．求A ，B 之间的距离．解析：由题干图，连接AB (图略)，依题意知，在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan∠ADC ＝1×tan 60°＝ 3.在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理BC sin ∠CEB ＝CE sin ∠CBE ， 得BC ＝CEsin ∠CBE·sin∠CEB＝1sin 30°×sin 45°＝ 2. cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°·cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12×22＋32×22＝6＋24， 在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ， 可得AB 2＝(3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3，∴AB ＝ 2－3百米．即A ，B 之间的距离为2－3百米．。
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距离问题A 级 基础巩固一、选择题1．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC 的长度为4米，A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12米B ．8米C ．33米D ．43米解析：△ABC 为等腰三角形，A ＝30°， 所以B ＝30°，C ＝120°，所以由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋42－2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝48，所以AB ＝4 3. 答案：D2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 mB ．1532 mC ．15 3 mD ．45 m解析：在△ABC 中，cos ∠ABC ＝102＋（519）2－1522×10×519＝7219，∠ABC ∈(0°，180°)， 所以sin ∠ABC ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫72192＝33219， 所以在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin∠ABC ＝519×33219＝1532(m)．答案：B3．甲骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．6 kmB ．3 3 kmC ．3 2 kmD ．3 km解析：由题意知，AB ＝24×14＝6 (km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°. 由正弦定理得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB ＝6sin 30°sin 45°＝3 2 (km)．答案：C4．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 2 海里D ．20 3 海里解析：如图，由已知可得，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，AB ＝20，从而∠ACB ＝45°.在△ABC 中，由正弦定理，得BC ＝ABsin 45°×sin 30°＝10 2.答案：A5.如图，海中有一小岛C ，一小船从A 地出发由西向东航行，望见小岛C 在北偏东60°，航行8海里到达B 处，望见小岛C 在北偏东15°，若此小船不改变航行的方向继续前行2(3－1)海里，则离小岛C 的距离为( )A ．8(3＋2)海里B ．2(3－1)海里C ．2(3＋1)海里D ．4(3＋1)海里解析：BC ＝AB ·sin30°sin 45°＝8×1222＝42，所以离小岛C 的距离为[2（3－1）]2＋（42）2－2×2（3－1）×42×cos 75°＝ [2（3－1）]2＋（42）2－2×2（3－1）×42×6－24＝2(3＋1)，选C. 答案：C 二、填空题6．一艘海轮以20 n mile/h 的速度向正东方向航行，它在A 点测得灯塔P 在船的北偏东60°方向上，2 h 后船到达B 点时，测得灯塔P 在船的北偏东45°方向上，则B 点到灯塔P 的距离为________n mile.解析：由题可知，在△ABP 中，AB ＝40，∠PAB ＝30°，∠ABP ＝135°，所以∠BPA ＝15°，由正弦定理得AB sin 15°＝BPsin 30°，所以BP ＝AB ·sin 30°si n 15°＝40×126－24＝20(6＋2)． 答案：20(6＋2)7．已知A ，B ，C 三地，其中A ，C 两地被一个湖隔开，测得AB ＝3 km ，B ＝45°，C ＝30°，则A 、C 两地的距离为______km.解析：根据题意，由正弦定理可得AB sin C ＝ACsin B ，代入数值得3sin 30°＝ACsin 45°，解得AC ＝3 2.答案：3 28.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题，2018年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示)，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后(没有完全断开)，树干与地面成75°角，折断部分与地面成45°角，树干底部与树尖着地处相距10米，则大树原来的高度是________米(结果保留根号)．解析：如图所示，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠AOB ＝75°，∠ABO ＝45°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝AB sin 75°＝10sin 60°，所以OA ＝1063，AB ＝152＋563，所以OA ＋AB ＝52＋5 6. 答案：52＋5 6 三、解答题9．要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离．解：如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，所以AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°， 所以BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22( km)．在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝5(km)．所以A 、B 之间的距离为 5 km.10.如图所示，某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向，从城A 出发有一条走向为南偏东40°的公路，在C 处观测到距离C 处31 km 的公路上的B 处有一辆汽车正沿公路向A 城驶去，行驶了20 km 后到达D 处，测得C ，D 两处的距离为21 km ，这时此车距离A 城多少千米？解：在△BCD 中，BC ＝31 km ，BD ＝20 km ，CD ＝21 km ， 由余弦定理得cos ∠BDC ＝BD 2＋CD 2－BC 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17.所以cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝437.在△ACD 中，由条件知CD ＝21 km ， ∠BAC ＝20°＋40°＝60°， 所以sin ∠ACD ＝sin(60°＋∠ADC )＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理得AD sin ∠ACD ＝CDsin ∠BAC ，所以AD ＝2132×5314＝15(km)． 故这时此车距离A 城15 km.B 级 能力提升1．如图所示，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A —C —B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC ＝10 km ，∠A ＝30°，∠B ＝45°，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走(结果精确到0.1 km ；参考数据：2≈1.41，3≈1.73)( )A ．3.4 kmB ．2.3 kmC ．5 kmD ．3.2 km解析：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D . 在Rt △CAD 中，∠A ＝30°，AC ＝10(km)，CD ＝12AC ＝5(km)，AD ＝AC ·cos 30°＝53(km)．在Rt △BCD 中，∠B ＝45°，BD ＝CD ＝5(km)，BC ＝CDsin 45°＝52(km)．AB ＝AD ＋BD ＝(53＋5)(km)，AC ＋BC －AB ＝10＋52－(53＋5)＝5＋52－53≈5＋5×1.41－5×1.73≈3.4(km)．答案：A2．我舰在岛A 南偏西50°相距12海里的B 处发现敌舰正从岛A 沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________海里/时．解析：由题可得下图．不妨设我舰追上敌舰时在C 点． 则AC ＝20，∠BAC ＝120°，AB ＝12，所以BC 2＝122＋202－2·12·20·cos 120°＝282，所以BC ＝28， 所以速度v ＝282＝14(海里/时)．答案：143．如图所示，港口B 在港口O 正东方向120海里处，小岛C 在港口O 北偏东60°方向，且在港口B 北偏西30°方向上．一艘科学家考察船从港口O 出发，沿北偏东30°的OA 方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B 出发，以60海里/时的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去．现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B 后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？解：设快艇驶离港口B 后，经过x 小时，在OA 上的点D 处与考察船相遇． 如图所示，连接CD ，则快艇沿线段BC ，CD 航行．在△OBC 中，由题意易得∠BOC ＝30°，∠CBO ＝60°， 因为BO ＝120，所以BC ＝60，OC ＝60 3.故快艇从港口B 到小岛C 需要1小时，所以x >1. 在△OCD 中，由题意易得∠COD ＝30°，OD ＝20x ，CD ＝60(x －2)．由余弦定理，得CD 2＝OD 2＋OC 2－2OD ·OC cos ∠COD ，所以602(x －2)2＝(20x )2＋(603)2－2×20x ×603×cos 30°.解得x ＝3或x ＝38，因为x >1，所以x ＝3.所以快艇驶离港口B 后，至少要经过3小时才能和考察船相遇．。