传递排序

传递排序
摘要：本文描述了传递排序的基本思想，并且对传递排序理论上可行性进行了证明，并给出了此算法在数组与单链表上的c语言的代码实现，分析了其时间复杂度和空间复杂度。

关键词：排序数据结构算法
中图分类号：tp311.1 文献标识码：a 文章编号：1007-9416（2013）01-0120-01
1 基本思想
设有n个数据，首先，数据位置序号模2相等的数进行排序，其次，数据位置序号各加1再模2相等的数进行排序，如此反复，直到n次比较排序完成。

定理1数据元素{a1，a2，a3……，an}经过n次传递排序后，其大小有序。

证明：（1）显然a1和an最多只需n-1次移动就能有序。

（2）an-1最多与an向前交换一次，所以an-1最多移动n次就能有序。

a2最多与a1向后交换一次，所以a2最多移动n次就能有序。

（3）{a1，a2}数组最多经过1次交换，{a1，a2，a3}数组最多经过3次交换，{a1，a2，a3，a4}最多经过4次交换。

（4）设ak现在在位置i上，{a1，a2，……，an-1}最多经过n-1次就能有序，sk为总移动次数，⑴当k+i≥n时，由于大于ak 的数据元素最多为n-k个，①.k≥i，如果ak向前移动，移动次数
为最大n-k，同时移动n-k次后比ak大的元素都在其后，再经过（n-k）+（k-i）次移动，到达位置k，其后元素已经有序，因为（n-k）+（k-i）=n-i≥n-k调用前面假设可以推出ak后元素有序。

并且sk=2（n-k）+（k-i）=2n-i-k，也就是最多n次就能有序②.k≥i，如果ak向前移动j次（0≤j<n-k），向后移动2j+k-i≤n次就到达k位置，比ak大的后面有j到n-k个，根据前面假设ak后面元素是有序的，ak与比它大的元素完成最后一次交换，所以ak总移动次数最多也为n次。

③.k≤i，能往后移肯定是大于ak的元素，所以sk=2（n-i）+（i-k）=2n-i-k≤n，并且最多n次移动后，后面元素也有序，也就是最多移动n次就能有序。

⑵当k+i≤n时，由于小于ak的数据元素最多为k个，①.k≤i，如果ak向后移动，移动次数为最大k，同时移动k次后比ak小的元素都在其前，再经过k+（i-k）次移动，到达位置k，其前元素已经有序，因为k+（i-k）=k调用前面假设可以推出ak前元素有序。

并且sk=2k+（i-k）=i+k，也就是最多n次有序。

②.k≤i，如果ak向后移动j次（0≤j<k），向前移动2j+i-k≤n次就到k位置，比ak小的前面j到k个，根据前面假设ak前面元素是有序的，ak与比它小的元素完成最后一次交换，所以ak总移动次数最多也为n次。

③.k≥i，能往前移肯定是小于ak的元素，所以sk=2k+（i-k）=k+i≤n，并且最多移动n次后，前面元素也有序，也就是最多移动n次就能有序。

综上所述，最多经过n次传递排序，数组大小有序。

2 示例
初始关键字[49 38 65 97 76 27 20 11]第一趟排序后[38 49][65 97] [27 76][11 20]第二趟排序后38 [49 65][27 97][11 76] 20第三趟排序后[38 49][27 65][11 97][20 76]第四趟排序后38[27 49][11 65][20 97]76第五趟排序后[27 38][11 49][20 65][76 97]第六趟排序后27[11 38][20 49][65 76 ]97第七趟排序后[11 27][20 38 ][49 65][76 97]最后一趟排序后11 [20 27][38 49][65 76]97。

3 算法实现
3.1 数组传递排序代码（如图1）
3.2 单链表传递排序代码（如图2）
4 算法分析
传递排序算法的时间复杂度分为最好、最坏和随机三种情况，以数组排序为例。

最好情况是原始数据元素集合已全部排好序。

这时，算法中内层if语句执行次数为0，比较次数为1，内层for循环执行次数为log2n，外层for循环执行次数为n。

因此整个排序过程中比较次数为nlog2n。

所以传递排序算法最好情况下的时间复杂度为o
（nlog2n）。

最坏情况是原始数据元素集合反序排列。

这时，算法中内层if 语句比较次数为1，数据元素赋值语句执次数为3。

内层for循环执行次数为log2n，外层for循环执行次数为n。

因此整个排序过程中比较次数为nlog2n，赋值语句执次数为3nlog2n。

总的执行次
数为4nlog2n。

所以传递排序算法最坏情况下的时间复杂度也为o （nlog2n）。

如果原始数据元素集合中大小排列是随机的，则数据元素的比较次数为nlog2n，期望移动次数约为（3/2）（nlog2n），所以传递排序算法期望时间复杂度也为o（nlog2n）。

传递排序算法的空间复杂度为o（1）。

显然，传递排序是一种稳定的排序算法。

5 结语
显然传递排序是一种在数组和单链表中都能排序的算法，而且速度比较快，时间复杂度仅为o（nlog2n）。

参考文献
[1]朱战立.数据结构——使用c语言[m].第4版.电子工业出版社，2009年01月01日.。