新版【冀教版适用】初三数学上册《【学案】建立一元二次方程解计数等问题》
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》是本册教材的重要内容，它主要包括一元二次方程的解法、根的判别式以及根与系数的关系。
这部分内容是学生继八年级学习一元一次方程、一元一次不等式后，对方程学习的进一步拓展。
通过学习解一元二次方程，使学生能更好地理解数学中的实际问题，提高他们解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程、一元一次不等式的解法有一定的了解。
但一元二次方程相较于一元一次方程，增加了二次项和判别式，对学生来说是一个较大的挑战。
因此，在教学过程中，需要注重对学生基础知识的巩固，以及解题方法的引导。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.学会使用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
3.掌握根与系数的关系，能运用一元二次方程解决实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法、根的判别式以及根与系数的关系。
2.教学难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和公式法的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一元二次方程的解法。
2.使用案例分析法，让学生通过具体例子理解根的判别式和根与系数的关系。
3.利用小组合作学习，培养学生团队合作精神，提高解决问题能力。
六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程案例，用于课堂分析和练习。
2.设计好课堂练习题，巩固学生对知识点的掌握。
3.准备PPT，用于展示和解说一元二次方程的相关概念和解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用PPT，展示一元二次方程的定义、标准形式以及解法。
引导学生理解一元二次方程的特点，以及如何运用解法求解。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的案例，运用一元二次方程的解法求解。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
教案上册【冀教数学学九年级(河北)一元二次方程
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程【教学目标】知识与技能探索一元二次方程及其相关概念,能够辨别各项系数;能够从实际问题中抽象出方程知识.过程与方法在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型,体会方程与实际生活的联系.情感态度与价值观通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.【重点难点】重点:一元二次方程的定义、各项系数的辨别,根的作用.难点:根的作用的理解.【教学过程】一、创设情境问题1如图,有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm.在它的四个角分别切去一个正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是 3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?学生通过分析设出合适的未知数,列出方程.问题1考虑从不同角度列方程,角度一:等量关系是底面的长×宽等于底面积,设切去的正方形的边长是x cm,则有方程(100-2x)(50-2x)=3 600;角度二:等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积,再减去四个长方形的面积,同样设正方形的长是x cm,则有方程100×50-4x2-2x(50-2x)-2x(100-2x)=3 600,通过整理得到方程:x2-75x+350=0.问题2 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应该邀请多少个队参赛?分析:全部比赛共28场,若设邀请x个队参赛,每个队要与其他(x-1)个队各赛一场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共x(x-1)场,于是得到方程x(x-1)=28,经过整理得到方程x2-x-56=0.教师应注意:(1)学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚;(2)学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题.说明:由实际问题入手,设置情境问题,激发学生的兴趣,让学生初步感受一元二次方程,同时让学生体会方程这一刻画现实世界的数学模型.二、探索归纳观察下列得到的方程:(1)x2-75x+350=0.(2)x2-x-56=0.(3)x(x-1)=28.学生活动:请口答下面问题.(1)上面几个方程整理后含有几个未知数?(2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次?(3)有等号吗?或与以前多项式一样只有式子?结论:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次的;(3)都有等号,是方程.归纳定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.思考:为什么规定a≠0?强调:一元二次方程定义中的三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2,三个条件缺一不可.三、新知应用例1:将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并指出各项系数.解:去括号得3x2-3x=5x+10,移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.学生活动:学生自主解决问题,通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式,然后指出各项系数.教师活动:在学生指出各项系数的环节中,分析可能出现的问题(比如系数的符号问题).说明:进一步巩固一元二次方程的基本概念.例2:猜测方程x2-x-56=0的解是什么?学生活动:学生可以采取多种方法得到方程的解,比如可以用尝试的方法取x=1、2、3、4、5等,发现x=8时等号成立,于是x=8是方程的一个解,如此等等.教师活动:教师引导学生自主探索,多种途径寻找方程的解,在此基础上让学生进行总结:使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(又叫作一元二次方程的根).四、检测反馈课本P4练习1,2补充习题:将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项.五、课堂小结1.一元二次方程的概念.一元二次方程的定义要求的三个条件.要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围.2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念.六、板书设计21.1 一元二次方程【教学反思】学生对项和系数的区分存在模糊认识.。
最新冀教版九年级数学上册【学案】24.4一元二次方程的应用
24.4一元二次方程的应用学习目标1.经历一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识方程模型的重要性.2.能根据实际问题正确列出方程并求解，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.学前准备1.解一元二次方程的方法有______________、_____________、_____________、______________.2.用适当的方法解下列方程：（1）3x2-2x=0；（2）3 x 2－2 x－1＝0；（3）20（1+x）2=2420.3.一间会议室，它的地板长为20m，宽为15m，现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯，要求四周未铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，那么未铺地毯的部分宽度应该是多少？x，则地毯的长为__________m，宽为__________m，分析：（1）未铺地毯的部分宽为m地毯的面积是_________________m2；（2）会议室地板的面积是_____________m2；（3）根据“地毯的面积是会议室地板面积的一半”，得出等量关系“地毯面积＝会议室面积的一半”，所以列方程_________________________.4.列一元一次方程或二元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）找_______________；（3）设____________；（4）列___________；（5）______方程；（6）写出答案.自主学习用一元二次方程解决实际问题：“学数学，用数学”是新课程标准提出的一项重要任务，即会把实际问题转化为数学问题，通过恰当的数学模型达到解决问题的目的.学习了一元二次方程就可以利用一元二次方程解决相关的实际问题．一般步骤为：（1）审——认真审题，理解题意，弄清问题中的已知量和未知量；（2）找——找出题中的相等关系；（3）设——设出未知数，根据需要可以直接设未知数，也可以间接设未知数；（4）列——根据找出的等量关系列出一元二次方程；（5）解——解这个一元二次方程；（6）验——把方程的解进行检验，根据实际问题进行取舍；（7）答——写出答案.探究活动：用一元二次方程解决实际问题1.探索：将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500件.已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少件？分析：如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5000元.为了赚得8000元，则需涨价.（1）其中的等量关系是“每个商品的利润×销售量=8000（元）”；（2）若设每件商品涨价x元，则商品的单价是__________元，每件商品的利润为______________元，销售量是____________件；（3）根据相等关系列方程，得____________________________；（4）解方程，x1=10，x2=30；（5）两个解都符合题意，所以单价定为60元或_____元，进货量为400件或______件.2.如图1，某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144平方米，求甬路的宽度?分析：如果根据“三条甬路的面积＋草坪的面积－两处重叠面积=矩形的面积”列方程，就要考虑三条甬路的两个交叉处的面积，解决起来较麻烦，利用平移将问题转化为矩形面积问题，轻而易举列方程.即整体考虑，把三条路平移到靠边，如图2，不难看出相等关系是“________________=6块草坪的总面积”，若设甬路的路宽为x米，图2中，草坪的长为(40-2x)米，草坪的宽为(26-x)米，它的面积为________________，平方米.由此可列出方程.解答过程如下：图1 图2解:设甬路宽为x米，根据题意，得_____________________整理得____________________解得x1=____，x2=44(44>40，路比场地还宽，不合题意，舍去).所以甬路的宽为_____米.总结：利用一元二次方程解决相关的实际问题．首先要认真审题，理解题意，并找出找出题中的_________关系；接下来根据相等关系设出未知数，便可列出_____________；然后用合适的方法解这个一元二次方程；解后必须进行检验，根据________进行取舍；最后写出答案.课堂检测1.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数为（）A．25 B．36 C．25或36 D．-25 或-362.在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为 .3.“便民”水泥代销点销售某种水泥，每吨进价为250元．如果每吨销售价定为290元时，平均每天可售出16吨．（1）若代销点采取降低促销的方式，试建立每吨的销售利润y（元）与每吨降低x（元）之间的函数关系式．（2）若每吨售价每降低5元，则平均每天能多售出4吨．问：每吨水泥的实际售价定为多少元时，每天的销售利润平均可达720元．答案1.C ；2.x 2+40x －75=0；3.解：（1）依题意，得29025040y x x =--=-（2）依题意，得4(40)167205x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭解得1210x x == 29010280-=答：每吨水泥的实际售价应定为280元时，每天的销售利润平均可达720元．。
九年级数学上册 24 一元二次方程教学案 (新版)冀教版
第二十四章一元二次方程1.经历从实际问题出发建立一元二次方程的过程,体会方程是刻画现实世界中数量关系的重要模型,进一步发展符号感.2.了解一元二次方程及方程的解的概念,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.3.会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况.4.了解一元二次方程的根与系数之间的关系.5.在了解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想.6.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程并求得结果,能根据具体的问题的实际意义检验结果的合理性.1.通过一元二次方程概念的学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性.2.通过对一元二次方程解法的探究,培养学生数学推理的严密性及严谨性,同时培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识.3.通过列一元二次方程解应用题,进一步培养学生建立数学模型的能力,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.1.通过学习一元二次方程的概念,体会类比思想在数学中的应用.2.通过学习配方法、因式分解法解一元二次方程,向学生渗透转化思想在研究数学问题中的应用,同时体验知识之间的联系,激发学生爱数学、学数学的兴趣.3.通过对求根公式的推导,向学生渗透数学中的分类思想.4.体会数学来源于生活,又应用到生活,由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法,培养学生应用数学解决问题的意识.方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,它是初中数学中的基础内容,在初中数学中占有重要地位,一元二次方程是在学习了一元一次方程、二元一次方程(组)、不等式知识的后继学习,它和学习一元一次方程、二元一次方程组一样,也可以表达许多实际问题中的数量关系,是分析和解决许多实际问题的重要的数学模型之一.本章在初中代数中起着承前启后的作用,一方面对以前学过的一些内容进行综合应用,如探究解方程的方法时开平方、一元一次方程、完全平方公式、因式分解等知识都有应用,另一方面,一元二次方程又是前边所学知识的继续和发展,是学好二次函数不可缺少的知识,也是学好高中数学的奠基工程.本章主要让学生进一步体会在实际问题中建立方程模型,一元二次方程的概念、基本解法及应用都是重要的基础知识,解方程的基本思想是化归思想,将“二次”方程转化成两个“一次”方程求解,蕴含了重要的数学思想和数学方法,其中配方法是初中数学中的基本方法,通过对配方法的学习,探究出一元二次方程的求根公式,进而探究出根与系数之间的关系.本章内容自始至终置于实际情景中,使学生充分感受和经历在实际问题中抽象出数学模型,体会方程是刻画现实世界的一个有效模型,体会数学在实际中的应用价值.通过学习本章内容进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力,培养应用数学的意识.【重点】1.一元二次方程及其有关概念.2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.能应用根的判别式、根与系数之间的关系解决有关问题.4.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型,并解决这个问题.【难点】1.用配方法解一元二次方程.2.选择合适的方法解一元二次方程.3.在实际问题中寻求等量关系,从而抽象出一元二次方程数学模型.1.一元二次方程是初中数学最重要的数学模型之一,通过建立一元二次方程模型解决实际问题,可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系,所以从实际问题抽象出一元二次方程的有关概念及数学符号表示,学生用类比思想理解并掌握一元二次方程、解的概念及一般形式.2.一元二次方程的解法中,渗透“降次”的转化思想,即把方程转化为两个一元一次方程,教材由实际背景引入,建立一元二次方程模型,探究将二次降为一次的方法,转化为一元一次方程求解.配方法是推导一元二次方程的求根公式的工具,引导学生用配方法导出求根公式,从而体会不同解法的优缺点与相互的联系,培养学生灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算功底.3.一元二次方程根的判别式的学习,使学生理解一元二次方程根的存在情况与系数之间的关系.探究一元二次方程根与系数的关系,不仅为了一元二次方程理论的完整性,更重要的是初高中的衔接问题,通过这节课的学习,培养学生学习数学的严谨性和数学思维能力.4.数学来源于生活,并应用于生活中,数学与生活息息相关,应用一元二次方程解决实际问题,引导学生分析其中的已知量、未知量和等量关系,建立一元二次模型,得出方程的解,并检验所得的结果是否符合实际,得出具有一般意义的一元二次方程的解法,让学生经历“问题情景—建立模型—求解验证”的数学活动过程,培养学生建模思想,逐步形成应用意识.24.1一元二次方程1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.4.理解一元二次方程解的概念.1.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想,从而进一步培养学生数学思维能力.1.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识.3.体会数学知识与现实世界的联系.【重点】一元二次方程的概念及一般形式.【难点】1.由具体问题抽象出一元二次方程的转化过程.2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P34~35.导入一:【课件展示】教材章前图,请同学们阅读章前问题,并回答下列问题:一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1 m吗?你能列方程解决这个问题吗?学生分析等量关系:A'B'2=A'C2+B'C2.设梯子的底端在地面上滑动的距离x m,于是得方程102=(8-1)2+(6+x)2.整理得x2+12x-15=0.【问题】这个方程是不是我们前边学过的方程?导入二:【课件展示】观察下列方程:(1)3x-2=0,(2)x2+2x-3=0,(3)x+=0,(4)x2-5=0.哪些是我们学过的一元一次方程?其他方程与一元一次方程有什么不同?【师生活动】复习方程、一元一次方程及方程的解的概念.【学生活动】小组合作交流,观察新方程,分析元和次,尝试为新方程定义.[设计意图]让学生在实际问题中建立一元二次方程模型,体会数学来源于生活,通过复习一元一次方程的概念,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.【课件展示】如图所示,某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处,存车处的一面靠墙(墙长22 m),另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2,求这个长方形存车处的长和宽.思路一教师引导学生思考并回答:长方形存车处的长与宽之间的数量关系为,该问题中的等量关系为.(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为m,长方形存车处的面积为.由此,我们可以列出方程,化简得.(2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为m,长方形存车处的面积为.由此,我们可以列出方程,化简得.【师生活动】教师引导分析,学生回答,通过所设未知数,根据题意列出方程,老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型,整理所列出的方程.【课件展示】解:(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为 m.根据题意,可得方程·x=700.整理,得x2-90x+1400=0.(2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为(90-2x)m.根据题意,可得方程(90-2x)·x=700.整理,得x2-45x+350=0.思路二小组活动,共同探究,思考下列问题:(1)分析题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)如何设未知数,根据题中等量关系怎样列方程?(4)分析下面小明和小亮列方程的做法,他们的解题思路和所列方程是否正确?【课件展示】小明的做法:设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为 m.根据题意,可得方程·x=700.整理,得x2-90x+1400=0.小亮的做法:设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为(90-2x)m.根据题意,可得方程(90-2x)·x=700.整理,得x2-45x+350=0.【师生活动】教师先出示问题(1)~(3),学生讨论交流后出示问题(4),学生再进行交流.教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生讨论后小组展示结果,教师及时补充和点评.[设计意图]师生共同分析探讨实际问题中的等量关系,列出方程,为引出一元二次方程的概念做铺垫,同时提高学生建立方程模型解决生活中实际问题的能力.共同探究二共同归纳概念请口答下面问题.(1)上面方程整理后含有几个未知数?(2)上面方程中未知数x的最高次数是几次?(3)方程两边都是整式吗?(4)你能类比一元一次方程的概念,给出一元二次方程的定义吗?【学生活动】小组合作交流,类比一元一次方程定义,尝试给出一元二次方程的定义.老师点评归纳:一元二次方程满足三个条件:(1)都只含一个未知数x;(2)它们的最高次数都是2次;(3)方程两边都是整式.【课件展示】只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程,叫做一元二次方程.[设计意图]学生通过合作交流,类比一元一次方程的定义得出一元二次方程的定义,【课件展示】请抢答下列各式是否为一元二次方程:(1)2x2=9;(2)2x2-1=3y;(3)4x2+3=2x;(4)=0;(5)5x2-2x+3;(6)2x(x+2)=5x-2;(7)3x(x-1)=3x2-5.【师生活动】学生以抢答的形式来完成该题,并让学生说出判断理由.教师对学生给出的答案作出点评和归纳,并让学生归纳判断易错点——先化简再判断.[设计意图]通过抢答进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,同时提高学生学习数学的兴趣和积极性.共同探究三一元二次方程的一般形式【思考1】类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式?【课件展示】一元二次方程的一般形式为:ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.【思考2】(1)任何一个一元二次方程是否都可以整理成一般形式?(2)一元二次方程的二次项系数为什么不能为0?(任何一个一元二次方程都能化成一般形式;当一元二次方程的二次项系数a=0,b≠0时,方程为一元一次方程)【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,教师对学生的展示进行点评、归纳.[设计意图]通过概括一元二次方程的一般形式,让学生理解掌握数学符号语言在数学中的应用,更深入地理解一元二次方程的概念,同时强调了一元二次方程概念中的易错点.【课件展示】做一做:将下列一元二次方程化为一般形式,并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4x2=3(x+4);(2)(2x-3)(3x-2)=10;(3)·=7;(4)(2x-1)(2x+1)=(3x+1)2.〔解析〕一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),因此,通过去分母、去括号、移项、合并同类项等法则先将一元二次方程进行整理,再根据有关概念求解.解:(1)原方程可化为:4x2-3x-12=0.其中二次项系数为4,一次项系数为-3,常数项为-12.(2)原方程可化为:6x2-13x-4=0.其中二次项系数为6,一次项系数为-13,常数项为-4.(3)原方程可化为:2x2+x-48=0.其中二次项系数为2,一次项系数为1,常数项为-48.(4)原方程可化为:5x2+6x+2=0.其中二次项系数为5,一次项系数为6,常数项为2.追问:求一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项时应注意什么?(一是先化简成一般形式;二是书写系数时不要遗漏前边的符号)【师生活动】学生独立思考回答,教师进行点评归纳.[设计意图]通过做一做,让学生了解求一元二次方程的项或项的系数时,先化成一元二次方程一般形式再求解,加深对一元二次方程一般形式的理解.共同探究四一元二次方程的根【思考】1.什么是一元二次方程的解?(使一元二次方程两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解)板书:一元二次方程的解也叫做这个方程的根.2.如何判定一个数值是不是一元二次方程的根?(将这个数值代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,则该数值是方程的根;如果方程左右两边不相等,则该数值不是方程的根)【课件展示】做一做:在下列各题中,括号内未知数的值,哪些是它前面方程的根?(1)x2-3x-4=0(x=0,x=-1,x=4);(2)(x+2)(x-2)=12(x=-1,x=-4,x=4);(3)2y2-y-1=0.【师生活动】学生独立完成并回答,教师点评.[设计意图]通过做一做让学生真正理解和掌握一元二次方程的根的概念.[知识拓展]1.判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.2.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0,左边是关于未知数的二次整式.3.一元二次方程的项或系数是针对一元二次方程的一般形式而言的,所以写项或系数时,要先化成一般形式,并且都包括前边的符号.4.判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法:将这个数值代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,则该数值是方程的根;如果方程左右两边不相等,则该数值不是方程的根.5.如果已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右两边相等,可以求待定系数的值,整体思想是常用的数学思想.1.一元二次方程概念需要满足三个条件:(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),易错点是忽略强调a≠0.3.确定一元二次方程的项与系数时一定先化成一般形式,书写时应注意包括前边的符号.4.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.5.根据实际问题列一元二次方程的关键是读懂题意,找到题目中的等量关系.6.本节课用到了类比思想、整体思想解决数学问题.1.在下列方程中,一元二次方程的个数是 ()①2x2+5=0;②ax2+bx+c=0;③(x-1)(x+2)=x2-1;④3x2-=0;⑤x2-1=x.A.2个B.3个C.4个D.5个解析:一元二次方程必须满足三个条件:(1)含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程,同时注意二次项系数不为0.①④⑤满足条件,②中二次项系数可能为0,③化简后不含有二次项,不符合定义.故选B.2.一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是()A.7x2,2x,0B.7x2,-2x,无常数项C.7x2,0,2xD.7x2,-2x,0解析:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ax2是二次项,bx是一次项,c是常数项.所以该方程中二次项、一次项、常数项依次是7x2,-2x,0.故选D.3.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是()A.-3B.3C.0D.0或3解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3.故选A.4.若(m-2)=-3是一元二次方程,则m=.解析:根据一元二次方程的概念知未知数x的最高次数是2,且二次项系数不为0,得m2-2=2,m-2≠0,解得m=-2.故填-2.5.根据题意填空.(1)如果两个连续奇数的积是323,求这两个数,如果设其中较小的一个奇数为x,你能列出求解x的方程吗?,一般形式为.(2)如图所示,在宽为20 m,长30 m的矩形场地上,修筑同样宽的两条道路,余下的部分作为耕地,要使耕地的面积为500 m2,若设路宽为x m,则可列方程为,一般形式为.解析:(1)根据两个奇数的积是323,列方程,得x(x+2)=323,化简,得x2+2x-323=0;(2)将两条道路平移到矩形的边上,矩形的长为(30-x)m,宽为(20-x)m,根据余下的耕地面积为500 m2,列方程,得(20-x)(30-x)=500,化简,得x2-50x+100=0.答案:(1)x(x+2)=323x2+2x-323=0(2)(20-x)(30-x)=500x2-50x+100=024.1一元二次方程共同探究一教材中观察与思考中的实际问题,设未知数,建立方程模型共同探究二共同归纳概念共同探究三一元二次方程的一般形式共同探究四一元二次方程的根一、教材作业【必做题】教材第36页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第36页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列方程为一元二次方程的是()A.1-x2=0B.2(x2-1)=3yC.-=0D.(x-3)2=(x+3)22.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根,则等于()A.1B.-1C.0D.23.关于x的方程x m-3-2x+1=0是一元二次方程,则m=.4.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,则m的值为.5.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是.6.如图所示,某小区规划在一个长30 m,宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78 m2,那么通道的宽应设计成多少米?设通道的宽为x m,由题意列方程得.7.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出各项系数.(1)(2x-1)2=7;(2)3x2+5(2x+1)=0.【能力提升】8.若关于x的方程(k2-4)x2+x+5=0是一元二次方程,则k的取值范围是.9.已知x=2是关于x的方程x2-2a=0的一个解,则一次函数y=ax-1的图像不经过第象限.10.(2015·菏泽中考)已知m是方程x2-x-1=0的一个根,求m(m+1)2-m2(m+3)+4的值.【拓展探究】11.已知关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0.(1)x为何值时,此方程是一元一次方程?(2)x为何值时,此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.【答案与解析】1.A(解析:B中含有两个未知数,C中方程不是整式方程,D中方程化简后不含有x的二次项,只有A符合一元二次方程定义.故选A.)2.A(解析:把x=-1代入方程可得a-b+c=0,∴a+c=b,∴ = =1,故选A.)3.5(解析:根据一元二次方程的定义可得m-3=2,解得m=5,故填5.)4.-1(解析:由题意得所以m=-1,故填-1.)5.1(解析:把x=1代入方程可得1+a+b=0,∴a+b=-1,∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1,故填1.)6.(30-2x)(20-x)=6×78(解析:设道路的宽为x m,将6块草地平移为一个长方形,长为(30-2x) m,宽为(20-x) m.根据长方形面积公式即可列方程(30-2x)(20-x)=6×78.)7.解:(1)2x2-2x-3=0,二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为-3. (2)3x2+10x+5=0,二次项系数为3,一次项系数为10,常数项为5.8.k≥1且k≠2(解析:一元二次方程满足二次项系数不为0,该题易忽略考虑二次根式的被开方数为非负值.)9.二(解析:把x=2代入方程可得a=3,所以一次函数为y=3x-1,函数图像过第一、三、四象限,故填二.)10.解:∵m是方程x2-x-1=0的一个根,∴m2-m=1,∴m(m+1)2-m2(m+3)+4=-m2+m+4=-(m2-m)+4=-1+4=3.11.解:(1)由题意得即m=1时,方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程-2x+1=0. (2)由题意得m2-1≠0,即m≠±1时,方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程.此方程的二次项系数是m2-1,一次项系数是-(m+1),常数项是m.因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念,教学中力求体现“问题情景——数学模型——概念归纳”的模式.类比一元一次方程的有关概念,通过自主学习、小组交流、共同归纳、练习检测等环节让学生在愉悦的课堂上掌握了本节课的重点,学生在课堂中发挥主体作用,让数学课堂有了生命力,在本节课,大多数学生能体验成功的快乐,激发了学生学习兴趣.在练习中学生经历由浅入深,由易到难的过程,提高了学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透了数学建模思想、整体思想在数学中的应用,使学生的数学思维和数学能力得到提高.在教学过程中,小组合作交流还存在个别学生参与意识不强的现象,有些问题教师引导不到位,比如实际问题中建立数学模型时,通过题意不能找到等量关系时,没有很好地帮助学生提高分析问题的能力.本节课虽采取了学生自主学习、共同探究的方法,但是还是没有放开手脚,教师还是急于解决下边的问题,给学生思考、交流的时间还不是很充足,应该把课堂大胆交给学生,让学生亲身经历知识形成过程,加深对知识的理解和掌握.本章内容的难点为一元二次方程的应用,在引出一元二次方程的有关概念时,通过创设实际情景,建立一元二次方程的模型,通过观察方程特点,类比一元一次方程的有关概念得出新概念,学生在实际问题中建立数学模型时,教师应给足够的时间交流、探究.在学习一元二次方程概念时,大胆放手,让学生通过自主学习,理解掌握有关概念,体会类比思想在数学中的应用,真正让学生在课堂上动起来.练习(教材第35页)1.解:(1)是,二次项系数为2;一次项系数为1;常数项为-1. (2)不是. (3)是,二次项系数为3;一次项系数为0;常数项为-12. (4)是,二次项系数为1;一次项系数为-2;常数项为-1.2.解:根据题意,得(40-4x)(60-2x)=800.习题(教材第36页)A组1.解:如下表所示:2.解:设小亮为x岁,x岁,则小亮为(x-1)岁,可列方程x(x-1)=210.化简两个方程,得x2+x-210=0,x2-x-210=0,都是一元二次方程.3.解:因为直角三角形的三条边长是三个连续整数,所以两条直角边长分别为x-1,x-2.根据题意,得(x-2)2+(x-1)2=x2,整理,得x2-6x+5=0.B组1.解:当a-1≠0,即a≠1时,该方程为关于x的一元二次方程.2.解:当v0=25 m/s,g=10 m/s2,h=20 m时,可得关于t的方程20=25t-×10t2,即20=25t-5t2,整理得t2-5t+4=0.建立数学模型,类比归纳概念1.一元二次方程是初中数学的重要模型,它与生活实际息息相关,所以以生活实际问题为背景导入新课,体会数学来源于生活,又应用到生活中去,激发学生学习兴趣.通过分析生活实际问题中的等量关系,构建方程模型,通过观察所得方程,很自然引出了本节课的课题即本节课的重点.2.类比方法是数学中重要的方法,所以本节课类比以前学过的一元一次方程的有关概念,让学生通过自主学习、小组交流方式探究新知识,重难点基本能够解决,教师适时点拨即可让学生掌握重难点.3.本节课重难点、易错点的掌握通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养竞争意识,激发学习兴趣,教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.整体思想及学过的知识与本节课的重点结合成为了本节课的一个难点,在习题的设计上要难易适中,有适当的梯度,尊重学生差异,对有困难的学生多关注,培养学生综合能力的提升.已知α是方程x2-2016x+1=0的一个根,试求α2-2015α+的值.〔解析〕因为α是方程x2-2016x+1=0的一个根,所以α2-2016α+1=0,即α2-2016α=-1,α2+1=2016α,将所求代数式化简,整体代入法可求代数式的值.注意化简时转化成与α2-2016α,α2+1有关的代数式.解:由题意可得α2-2016α+1=0,∴α2-2016α=-1,α2+1=2016α,∴α2-2015α+=α2-2016α+α+=-1+α+=-1+α+=-1+=-1+2016=2015.24.2解一元二次方程1.能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会根据方程的不同特点,灵活选用恰当的方法解方程.3.不解方程,会判断一元二次方程根的情况.4.能利用一元二次方程解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力.1.在探究一元二次方程的解法过程中,体会转化、降次、分类等数学思想在数学中的应用.2.参与对一元二次方程解法的探索,体验数学发现的过程,培养学生观察和总结的能力,发展数学思维.3.通过正确、熟练地解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.1.通过对一元二次方程解法的探究,感受数学的严谨性,培养学生的数学建模意识和合情推理能力.2.通过师生的共同活动,培养学生积极参与、主动探索的精神,发展学生合作意识.3.由生活实际问题抽象出一元二次方程,培养学生的数学建模意识及数学应用意识,激发学生的学习兴趣.第课时1.会根据平方根的定义解简单一元二次方程.2.知道形如(ax+b)2=p的方程可以用直接开平方法求解.3.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.4.能利用配方法解决实际问题,增强学生的数学应用意识和能力.。
冀教版九年级数学上册学案24.1 一元二次方程
冀教版九年级数学上册学案24．1 一元二次方程24.1一元二次方程学习目标1.经历从实际问题中建立一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的重要数学模型，发展符号感.2.了解一元二次方程及其相关概念.学前准备1.我们前面学过的整式方程有______________、______________，其中方程的“元”指的是__________，方程的“次”指的是________.2.下列四个式子中，是一元一次方程的为（ ）A.3+2=5 Ｂ.x-1=1 Ｃ.2x+3 Ｄ.a2+2ab+b23.下列各方程是二元一次方程的是（ ）A.8x+3y=7 Ｂ.2xy=3 Ｃ.2x2-3y=7Ｄ.31=+yx 4.二元一次方程组⎩⎨⎧-=-=+1210y x y x 的解为______． 自主学习1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，只有同时满足三个条件：是整式方程；含有一个未知问题 2.这些方程有哪些共同点？你能给这样的方程取一个名字吗？__________________；__________________；__________________.这样的方程叫做________________.活动二：一元二次方程的一般形式3.把x （x+1）=5化为右边是0，左边按x 的降幂排列的方程是__________________.总结：，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理（去括号、移项、合并同类项等），都能化成__________________的形式.这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中_________是二次项，_______是二次项系数；_________是一次项，_______叫一次项系数；_____是常数项.练一练1.下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A.01232=++x x B.531212-=x C.011.02=+-x x D.)2)(1(2-+=+x x x x2.一元二次方程2(1)2x -=的解是（ ） A.112x =-212x =- B.112x =212x= C.13x =，21x =- D.11x=，23x =-3.方程6x 2+5x-1=0就是一个 方程，其中 是二次项，二次项系数 ； 是一次项，一次项系数是 ；常数项是 . 课堂检测 1.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. 21(1)21x x ++=+ B. 22123(21)2x x x +=+C. 22(1)1x x -=+D. 3210x x x++= 2.下列选项中是一元二次方程2230xx --=的解的是（ ） A.-1和2 B.-1和3 C.2和3 D. -1和0 3.一元二次方程04332=++-x x,变二次项系数为正,且根不变的是( )A ．04332=++x xB ．04332=+-x xC ．04332=-+x xD ．04332=--x x 4．已知关于x 的方程：22(1)(1)30mx m x -+--=，当m 时，方程是一元二次方程；当m 时，方程是一元一次方程. 5.将下列一元二次方程(x+1)(x-1)=0化成一般形式是________________，其中二次项系数是____，一次项系数是____，常数项是____.6.写出一个一元二次方程，使方程二次项系数为5，一次项系数为-2，______________.7.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，则m+1=____.8.用一张矩形硬纸片做成一个容积为750cm3的无盖长方体纸盒，纸盒的高为6cm，底面的长比宽多5cm，求这张矩形纸片的长与宽.如果设长方体纸盒的底面宽为xcm，则:（1）纸盒底面的长为 cm；（2）用含x的代数式表示长方体纸盒的容积为cm3；（3）纸片的宽为 cm，纸片的长为 cm；（4）关于纸盒容积的等式可表示为；（5）在⑷中，列出的等式是一元二次方程吗？如果是，这个一元二次方程化为一般形式为 .9.把方程2---=++化成一元二次方程一般(1)3(2)2(2)1x x x x形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 答案1.C，【解析】根据一元二次方程的定义进行判断.2.B，【解析】考查一元二次方程的解的意义.把-1，2，3，0分别代入方程的两边，只有-1和3使方程左、右两边相等.3.D，【解析】根据方程的基本性质，方程两边都乘以-1.4.≠±1，=-1，【解析】考查一元一次方程和一元二次方程的概念.当二次项系数21m-≠0，即m≠±1时，方程是一元二次方程；当二次项系数21m-=0，且一次项系数（m-1）≠0，即m=-1时，方程是一元一次方程.5.x2-1=0，1，0，-1，【解析】考查一元二次方程的一般形式.6.5x2－2x＋1=0，【解析】答案不唯一，可先写出二次项和一次项，常数项可以是任意实数.7.13，【解析】考查一元二次方程的解的意义.把x=2代入方程得4（m-1）+12-5m+4=0，解得m=12.8.（1）x+5；（2）6x(x+5)；（3）x+12，x+17；（4）6x(x+5)=750；（5）是.6x2+30x-750=0.【解析】考查一元二次方程的概念.9.解：去括号，得22-+-+=++2136241x x x x x移项，合并同类项得22240-+-=x x化简得220-+=x x二次项系数是1，一次项系数是-1，常数项是2. 【解析】可通过去括号、移项、合并同类项的方法将方程化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再指出二次项系数、一次项系数和常数项.。
最新冀教版九年级数学上册《一元二次方程》教学设计(精品教案)
24.1 一元二次方程学习目标：1.了解一元二次方程的相关概念并运用其解决问题.2.会根据实际问题列出一元二次方程.学习重点：一元二次方程的一般形式及其有关概念.学习难点：将实际问题转化为数学问题的建模过程.自主学习一、知识链接1.一件标价为600元的上衣，按8折（即按标价的80%）销售仍可获利20元．设这件上衣的成本价为x元，根据题意，列方程得．2.张栋同学到百货大楼买了两种型号的信封，共30个，其中买Ａ型号的信封用了1元5角，买Ｂ型号的信封用了1元2角，Ｂ型号的信封每个比Ａ型号的信封便宜2分．设Ｂ型号的信封的单价为x分，根据题意，列方程得．二、新知预习3.如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22m），另一面用90m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700m2，求成长方形存车处的长和宽.解：方法一设长方形存车处的宽（靠墙的一边）为x m，则它的长为_________m，根据题意，可得方程：______________.整理，得__________________________.方法二设长方形存车处的长（与墙垂直的一边）为x m，则它的宽为_________m，根据题意，可得方程：______________.整理，得__________________________.观察由方法一和方法二得到的两个方程，这两个方程的共同点是：（1）只含有一个未知数，都是关于x的________方程；（2）x的最高次数都为_________.像这样的方程我们称之为一元二次方程.一元二次方程的一般形式可以归纳为______________________________________.我们解出这两个方程后，得到的解，称为这个一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.三、自学自测1.下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是( )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B.1x 2＋1x －2＝0 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝x 2－12．将下列方程化为一元二次方程的一般形式:(1)x x 5232=-;(2)1692=x ;3.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：x 2-3x+2=0 (x 1=1 x 2=2 x 3=3)4.某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x 米，则可列方程(化为一般形式)为________．四、我的疑惑_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________合作探究一、要点探究探究点1：一元二次方程的定义及一般形式问题1：方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？解：方程的二次项系数为_________,因为方程为一元二次方程，所以其二次项系数不为零.所以___________________,根据一元二次方程的定义可得_________________.综上所述，方程（2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程的条件是__________.问题2：将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)2x2＋3x＝x2－3x－2；(2)(2x－1)(3x＋2)＝(x－2)2－1；(3)4x2＝3x－2＋1.【归纳总结】利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化为一般形式，其步骤是去括号、去分母、移项、合并同类项.【针对训练】1.若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，求不等式k x－2k＋6≤0的解集，并将解集在数轴上表示出来．2.已知关于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x－9＝0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．探究点2：一元二次方程的解问题：若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，求6m+2n的值.【归纳总结】已知解求关于待定系数的代数式的值，将解代入方程，求得关于待定系数的方差或等量关系，通常运用整体代入的思想求解. 【针对训练】1.已知一元二次方程ax 2－8x ＋b ＝0的两根为x 1＝3，x 2＝－13，求这个方程．2.已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋3x －5m ＋4＝0有一根为2，求m ＋1的值.探究点2：列一元二次方程问题：在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图②)．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．(请根据题意列出方程)【归纳总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤是：确定x的取值范围【针对训练】在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？二、课堂小结一元二次方程内容运用策略定义及一般形式一般式____________________二次项___,二次项系数_____,一次项_____,常数项_____.化一般形式的口诀：一般式，形式定，等左二次三项式，右边只有孤单0，项和系数方可谈，系数连同前符号一元二次方程的根（解）使方程左右两边________相等的未知数的值.已知方程的根求字母系数的值，将根代入方程，得到关于字母系数的方差，通常运用整体代入思想根据实际问题列一元二次方程1.将一元二次方程2(x＋1)(x－2)＝x(x＋3)－5化为一般形式为( )A．x2－5x＋1＝0B．x2＋x－9＝0 C．x2－4x＋3＝0D．x2－x＋1＝02.下列各数是一元二次方程2x2＋5x＋2＝0的根的是( ) A．1 B．－1 C．2 D．－23.若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一个根是1，那么c的值是( ) A．1 B．2 C．3 D．44．一块面积为600平方米的长方形土地,它的长比宽多10米,求长方形的长与宽,若设长方形的长为x米,则它的宽为___________米,根据题意的方程为_______________________.5.方程3)2)(1(=++xx化为一般式为___________________，它的二当堂检测次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为______.7.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道理LMPQ 及一条平行四边形道理RSTK ，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若LN=RS=x 米，请根据题意列出方程.6.有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和等于6，且这两个数字的积等于这个两位数的13，设这个两位数的十位数字为x ，求这个两位数．(只需根据题意列出方程)当堂检测参考答案：1.A2.D3. A4.10-x , 600)10(=-x x5.0132=-+x x , 1, 3, -1.6.（22-x ）（17-x ）=300. 7.根据题意，得x(6－x)＝13[10x ＋(6－x)]，即x 2－3x ＋2＝0.[来源:学+。
九年级数学《24.1一元二次方程》教案(新版)冀教版
《24.1 一元二次方程》一元二次方程是初中数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
它是在学习一元一次方程，二元一次方程，分式方程等基础之上学习的，同时也为学生进一步学习一元二次方程的解法和简单应用起到铺垫作用。
本节课的学习内容意在让学生接触一种新的方程，掌握在解决实际问题时的一种新的工具，充分体会方程在解决实际问题时的重要性。
【知识与能力目标】知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0）。
【过程与方法目标】1．正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；2．知道一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax 和各项及系数，常数项。
【情感态度价值观目标】在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
【教学重点】正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程。
【教学难点】知道一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax 和各项及系数，常数项。
课前准备课件、多媒体、练习本。
教学过程复习导入1．你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？2．什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？一般形式：ax+b=0 (a≠0)3．我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗？◆1．审；2；设3列；4解；5验；6答。
师生活动：学生通过观察,口答问题,老师点评。
讲授新课一元二次方程的定义及一般形式问题1 列表填空：归纳：请观察下面两个方程并回答问题：x2+2x-1=0 x2-36x+35=0（1）它们是一元一次方程吗？（2）与一元一次方程有何异同？（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)。
九年级数学上册《24.2 解一元二次方程》教案2 (新版)冀教版
《24.2 解一元二次方程》一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。
很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。
而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。
本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。
【知识与能力目标】1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念；2、会熟练应用公式法解一元二次方程。
【过程与方法目标】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系。
【情感态度价值观目标】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点。
【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用。
【教学难点】一元二次方程求根公式的推导。
教学过程一、问题思考：韦达是16世纪法国最伟大的数学家之一，当比利时数学家提出一个一元45次的方程的求解问题向各国数学家挑战，法国国王把这个问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出22解，答案公布，震惊世界。
像这种高次方程，有没有一个通法，也就是说：对于每个次数的一元方程能否找出一公式来求解，一直是各国数学家都想解决的一个问题。
二、预习交流（独学）1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？总结：用配方法解一元二次方程的步骤：a.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
b.移项整理得 x2+px=-qc.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.2《解一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是学生掌握数学思想方法的重要环节。
这部分内容主要让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
通过这部分的学习，让学生能够灵活运用各种方法解决实际问题，培养学生解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生能够灵活运用所学知识，进行逻辑推理和运算。
在学生的学习过程中，可能会遇到解法不明确、运算不熟练等问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
2.培养学生运用一元二次方程解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑推理能力和运算能力。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法。
2.教学难点：一元二次方程的解法在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
通过设计具有挑战性的问题，引导学生独立思考，小组讨论，共同探索解决问题的方法。
同时，结合具体案例，让学生在实际问题中运用一元二次方程的解法，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生思考和讨论。
2.准备一元二次方程的解法演示课件，用于讲解和展示解题过程。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
同时，引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）通过课件展示一元二次方程的解法，包括因式分解法、配方法、公式法、降次法等。
讲解解题过程，让学生明确各种解法的步骤和应用场景。
3.操练（15分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
冀教版数学九年级上册24.1《一元二次方程》教学设计
冀教版数学九年级上册24.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级上册24.1《一元二次方程》是本册教材的重要内容，它是在学生已经掌握了方程和函数的基本知识基础上进行学习的。
本节课主要让学生了解一元二次方程的定义、解法以及应用。
教材通过丰富的例题和习题，使学生能够熟练掌握一元二次方程的解法，并能够应用到实际问题中。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对方程和函数的概念有一定的了解。
但学生在解一元二次方程时，可能会对一些特殊情况进行困惑，例如根的判别式小于0时的情况。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生克服困难。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的定义、解法和应用。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义、解法和应用。
2.难点：一元二次方程的解法，特别是特殊情况下根的判别式。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，让学生感受数学与生活的联系。
2.启发式教学法：引导学生思考、探索一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力。
3.合作学习法：让学生在小组内进行讨论、交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示一元二次方程的相关知识。
2.例题和习题：挑选具有代表性的例题和习题，巩固学生对一元二次方程的理解。
3.教学素材：准备一些与生活相关的一元二次方程的实际问题，供学生探讨。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
如：某商品打8折后售价为120元，求原价。
2.呈现（10分钟）介绍一元二次方程的定义、解法和应用。
通过PPT展示一元二次方程的图像，让学生直观地了解一元二次方程的性质。
3.操练（10分钟）让学生独立解决一些简单的一元二次方程，如：ax^2 + bx + c = 0（a≠0）。
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建立一元二次方程解计数等问题
学习目标：
1.学会一元二次方程解决数字问题、握手问题.
2.能够根据实际情况对所得结果进行分析决策.
学习重点：根据实际问题列出一元二次方程.
学习难点：从实际结合问题中抽象出数学模型.
一、知识链接
1.某少年宫组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个足球队之间都要赛一场，计划安排28场比赛，可邀请多少支球队从参加比赛呢？
设邀请x支球队参加比赛，探究下列问题：
（1）根据“每两个足球队之间都要赛一场”，每支球队都要比赛
______场.
（2）用含有x的代数式表示比赛的总场次为__________.于是可以得到方程____________.
二、新知预习
2..新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?
解：如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是_________元，每________台冰箱的销售利润为_________元，平均每天销售冰箱的数量为_________台，
根据题意，得
整理，得：_________________________.
解这个方程，得检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.
答：__________________________.
三、自学自测
1.如有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
四、我的疑惑
_________________________________________________________ ____________________
_____________________________________________________________ ___________
_____________________________________________________________ ________________
一、要点探究
探究点1：列一元二次方程解决其他问题
问题1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，求原数.
解：设原数的个位上数字为x,十位上的数字为______则原数表示为_______,对调后新数表示为_______.
根据题意，得
整理，得：_________________________.
解这个方程，得检验：当x1＝______时,_____题意.当x2＝______时,_____题意.
答：__________________________.
【归纳总结】数字排列问题常采用间接设未知数的方法求解．(2)注意数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个，且最高位上的数字不能为0，而其他如分数、负数根不符合实际意义，必须舍去．
【针对训练】
有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14,交换为之后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数.
问题2：甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
【针对训练】
1.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x 个小分支，根据题意可列方程为（）
A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2 =73
D.(1+x)2=73
2.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
问题3：要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
训练】
元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）
A.x2=1980
B. x(x+1)=1980
C. x(x- 1)=1980
D.x(x-1)=1980
问题4：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出60 0个，调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，某销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
【针对训练】
某超市将进价为40元的商品按定价50元出售时，能卖500件已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得8000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？
二、课堂小结
一元一次方程的应用内容运用策略
传播、裂变问
题若设每轮传染x人，n轮后被传染的人数为_________. 弄清题意，分清类型
握手问题x个同学彼此握手，握手册数为__________
比赛场次x支足球队比赛，单循环赛制时比赛的总场次为________.双循环赛制时比赛的总场次为________.
数字问题一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为________.
1.某校九年级组织一次篮球比赛，每两班之间都赛一场，共进行了55场比赛，则该校九年级一共有_______个班.
2.经研究发现，若是一个人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有144人患上流感，按照这样的传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染后换流感的人数共______人.
3.一个两位是，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的十位上的数字与个位上的数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积是736，则原来的两位数是_____.
4.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数．
5.如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B运动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动，点P停止运动时点Q也停止运动．
(1)P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2?
(2)P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm?
当堂检测参考答案：
1.10
2.11
3.23或32
4.设个位数字为x，则十位数字为14－x，两数字之积为x(14－x)，两个数字交换位置后的新两位数为10x＋(14－x)．
根据题意，得10x＋(14－x)－x (14－x)＝38.
整理，得x2－5x－24＝0，解得x1＝8，x2＝－3.
因为个位数上的数字不可能是负数，所以x＝－3应舍去．
当x＝8时，14－x＝6.
所以这个两位数是68.
5.(1)设P，Q两点从出发开始x s时，四边形PBCQ的面积为33cm2，根据题意得PB＝AB－AP＝(16－3x)cm，CQ＝2xcm.
故12(2x＋16－3x)×6＝33，解得x＝5.
故P，Q两点从出发开始5s时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(2)设P，Q两点从出发开始xs时，点P和点Q的距离是10cm.
如图，过Q点作QM⊥AB于点M，则BM＝CQ＝2xcm，故PM＝(16－5x)cm.
在Rt△PMQ中，PM2＋MQ2＝PQ2，
∴(16－5x)2＋62＝102.解得x1＝85，x2＝245.
∵所求的是第一次满足条件的时间，∴x＝85.
故P，Q两点从出发开始85s时，点P和点Q的距离第一次是10cm.。