广东省东莞市东华高中高考数学 重点临界辅导材料(2)理
广东省东莞市东华高中高考数学 重点临界辅导材料(5)理
理科数学重点临界辅导材料（5）一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A 等于( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于( )A.n (n ＋1)2B ．－n (n ＋1)2C ．(－1)n ＋1n (n ＋1)2D ．以上答案均不对4．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )5．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 6．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，12) C ．(0,1) D ．(0，＋∞)二、填空题7．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.8．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．9．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．10．设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是____________三、解答题11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n＋1＋n－2，n∈N*，a1＝2.(1)证明：数列{a n－1}是等比数列，并求数列{a n}的通项；(2)设b n＝3nS n－n＋1的前n项和为T n，证明：T n<6.12．直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点．(1)当a为何值时，|PQ|＝21＋a2；(2)是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．13．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)如果对任意的x 1>x 2>0，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2≥2，求a 的取值范围．参考答案1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 B解析 如果a ≤1，则A ＝{x |x ≥1或x ≤a }， 而B ＝{x |x ≥a －1}， 由图(1)，可知A ∪B ＝R ；如果a >1，则A ＝{x |x ≥a 或x ≤1}， 而B ＝{x |x ≥a －1}，由图(2)，可知若想A ∪B ＝R ，必须a －1≤1，得1<a ≤2. 综上所述，选B.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A 等于( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，则3c－ab＝3k sin C－k sinAk sinB＝3sin C－sin Asin B，所以cos A－3cos Ccos B＝3sin C－sin Asin B，即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)cos B，化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sin C＝3sin A，因此sin Csin A＝3.3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于( )A.n(n＋1)2B．－n(n＋1)2C．(－1)n＋1n(n＋1)2D．以上答案均不对答案 C解析当n为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－(2n－1)＝－n2(3＋2n－1)2＝－n(n＋1)2；当n为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝－3－7－…－[2(n－1)－1]＋n2＝－n－12[3＋2(n－1)－1]2＋n2＝n(n＋1)2，综上可得，原式＝(－1)n＋1n(n＋1)2.4．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x的图象可能是( )答案 D解析 方法一 当a >1时，y ＝x a与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a递增较快，排除C ； 当0<a <1时，y ＝x a为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a递增较慢，所以选D.方法二 幂函数f (x )＝x a的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．5．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94 D ．4 答案 C解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.6．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，12)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)答案 B解析 函数f (x )＝x (ln x －ax )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x －ax ＋x (1x－a )＝ln x －2ax ＋1.如果函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，也就是说f ′(x )＝0有两个不等实根，即ln x －2ax ＋1＝0有两个不等实根．参数分离得ln x ＋1x＝2a ，若此方程有两个不等实根，只需函数y ＝ln x ＋1x与y ＝2a 有两个不同交点．经过求导分析，如图所示，可知0<2a <1，则0<a <12.故选B.7．(2014·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案20π3解析 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4，高为2的圆锥，下部是一个底面直径为2，高为4的圆柱．故该几何体的体积V ＝13π×22×2＋π×12×4＝20π3.8．(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.9．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________． 答案3解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ， ∴双曲线C 的离心率e ＝23a2a＝ 3.10．设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是____________解析 由于T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫12r x 12－3r ，故展开式中间的一项为T 3＋1＝C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫123·x 3＝52x 3，f (x )≤mx ⇔52x 3≤mx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立，即m ≥52x 2，又52x 2≤5，故实数m 的取值范围是m ≥5.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *，a 1＝2. (1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项； (2)设b n ＝3nS n －n ＋1的前n 项和为T n ，证明：T n <6.(1)解 因为S n ＝a n ＋1＋n －2，①当n ≥2时，S n －1＝a n ＋(n －1)－2＝a n ＋n －3，② ①－②，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1， 即a n ＋1＝2a n －1.③设c n ＝a n －1，代入③，得c n ＋1＋1＝2(c n ＋1)－1，即c n ＋1＝2c n .由S n ＝a n ＋1＋n －2，得a 2＝S 1－1＋2＝3， 显然c 1＝a 1－1＝1，c 2＝a 2－1＝2.故数列{c n }是以1为首项，2为公比的等比数列， 即数列{a n －1}是以1为首项，2为公比的等比数列． 则a n －1＝2n －1，即a n ＝2n －1＋1.(2)证明 由a n ＝2n －1＋1，得S n ＝2n＋n －1，故S n －n ＋1＝2n.所以b n ＝3n 2n .则T n ＝b 1＋b 2＋...＋b n ＝32＋622＋ (3)2n ，④2T n ＝3＋62＋3×322＋ (3)2n －1，⑤⑤－④，得T n ＝3＋32＋322＋…＋32n －1－3n2n＝3(1＋12＋122＋…＋12n －1)－3n2n＝3×1－(12)n 1－12－3n 2n ＝6－3n ＋62n .因为3n ＋62n >0，所以T n ＝6－3n ＋62n <6.12．直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点． (1)当a 为何值时，|PQ |＝21＋a 2；(2)是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．解 (1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＝1，x 2－2y 2＝1，得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，又知直线与曲线相交于P ，Q 两点，可得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a 2≠0，Δ＝16a 2＋12(1－2a 2)>0，即|a |<62且|a |≠22， 设P ，Q 两点的坐标为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4a 2a 2－1，x 1x 2＝32a 2－1，所以|PQ |＝4(1＋a 2)(3－2a 2)(2a 2－1)2＝21＋a 2， 化简得(1－2a 2)2－(1－2a 2)－2＝0，解得a ＝±1即为所求．(2)假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ， 则k OP ·k OQ ＝－1，也就是x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(ax 1－1)(ax 2－1)＝0，整理得(1＋a 2)x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0， 故有3(1＋a 2)2a 2－1＋4a 21－2a2＋1＝0，解得a 2＝－2，即不存在满足题意的实数a . 13．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)如果对任意的x 1>x 2>0，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2≥2，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ 1－a2a. 则当x ∈(0,1－a2a)时，f ′(x )<0； x ∈(1－a2a，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0, 1－a2a]上单调递减， 在[1－a2a，＋∞)上单调递增． (2)由已知，可得对任意的x 1>x 2>0，有x 1－x 2>0， 所以由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2≥2，得f (x 1)－f (x 2)≥2(x 1－x 2)， 即f (x 1)－2x 1≥f (x 2)－2x 2. 令g (x )＝f (x )－2x ，又x 1>x 2，故函数g (x )＝f (x )－2x 在(0，＋∞)上单调递增． 所以g ′(x )＝a －1x＋2ax －2≥0在(0，＋∞)上恒成立． 所以(1x＋2x )a ≥2＋1x.11 因为x >0，所以a ≥2＋1x 1x＋2x ＝2x ＋11＋2x 2.(*) 令t ＝2x ＋1，则x ＝t －12，又x >0，所以t >1. 故(*)式可化为a ≥t 2(t －12)2＋1＝t t 2－2t ＋12＋1＝2t ＋3t－2. 因为t >1，所以t ＋3t ≥2t ×3t ＝23，当且仅当t ＝3时取等号． 所以2t ＋3t －2≤223－2＝3＋12，即2t ＋3t －2的最大值为3＋12. 故不等式a ≥2t ＋3t －2恒成立的条件是a ≥3＋12.故a 的取值范围为[3＋12，＋∞)．。
广东省东莞市东华高中高三数学重点临界辅导试题(7)理
理科数学重点临界辅导材料（7）一、选择题1.在ABC ∆中，,60,10,15 ===A b a 则=B 2cos ( )A ．36B ．33C ．31D ．31- 2.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．32C ．4D ．34 3.执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则p 的取值范围( )A ．161587≤<p B ．1615>p C ．161587<≤p D ．8743≤<p 4.由直线1+=x y 上的一点向圆1)3(22=+-y x 引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．22C ．7D ．35．已知函数|,|3)(x x f -=,2)(2x x x g -=函数)(x F 定义如下：当)()(x g x f ≥时，),()(x g x F =当)()(x g x f <时，),()(x f x F =那么)(x F ( )A ．有最大值3，最小值－1B ．有最大值,727-无最小值C ．有最大值3，无最小值D ．无最大值，也无最小值6.称||),(b a b a d -=为两个向量b a ,间距离，若b a ,满足 ①1||=b ，②b a ≠，③对任意实数t ，恒有),(),(b a d b t a d ≥，则( )A ．)()(b a b a -⊥+B ．)(b a b -⊥C ．b a ⊥D ．)(b a a -⊥二、填空题7.若关于x ，y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥010y kx x y x 表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是_______.8．已知不等式m x x ≥-++|2||1|的解集是R ，则实数m 的取值范围是__ __.9．函数)0(2>=x x y 的图象在点),(2n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为,1+n a *,N n ∈,161=a 则=+53a a __ __；数列}{n a 的通项公式为__ __.10．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，*,,21)1(N n a S nn n n ∈--=则(1)=3a _ ___； (2)=+++10021S S S __ _.．,三、解答题11、设函数),0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f )(x f y =图象的一条对称轴是直线.8π=x(1)求ϕ；(2)求函数)(x f y =的单调增区间；(3)画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图象（不必写出作图步骤）．12．已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 且*).(1N n a S n n ∈-=(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设n n b b c a b n n n nn ++==+1,log 1121, 记,21n n c c c T +++= 证明：.1<n T13．设函数,ln )1()(2x b x x f +-=其中b 为常数．(1)当21>b 时，判断函数)(x f 在定义域上的单调性； (2)若,0<b 求)(x f 的极值点；(3)求证对任意不小于3的正整数n ，不等式n n n ln )1ln(12-+<都成立．参考答案1、在ABC ∆中，,60,10,15 ===A b a 则=B 2cos ( C )A ．36B ．33C ．31D ．31- 2、一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(D )A ．2B ．32C ．4D ．34 3、执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则p 的取值范围(A )A ．161587≤<p B ．1615>p C ．161587<≤p D ．8743≤<p 4、由直线1+=x y 上的一点向圆1)3(22=+-y x 引切线，则切线长的最小值为(C )A ．1B ．22C ．7D ．35．已知函数|,|3)(x x f -=,2)(2x x x g -=函数)(x F 定义如下：当)()(x g x f ≥时，),()(x g x F =当)()(x g x f <时，),()(x f x F =那么)(x F ( B )A ．有最大值3，最小值－1B ．有最大值,727-无最小值C ．有最大值3，无最小值D ．无最大值，也无最小值6、称||),(b a b a d -=为两个向量b a ,间距离，若b a ,满足 ①1||=b ，②b a ≠，③对任意实数t ，恒有),(),(b a d b t a d ≥，则( D )A ．)()(b a b a -⊥+B ．)(b a b -⊥C ．b a ⊥D ．)(b a a -⊥二、填空题：7、若关于x ，y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥010y kx x y x 表示的平面区域是一个锐角三角形，则k 的取值范围是_)0,1(-______.8．已知不等式m x x ≥-++|2||1|的解集是R ，则实数m 的取值范围是____]3,(-∞ ___.9．函数)0(2>=x x y 的图象在点),(2n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为,1+n a *,N n ∈ 若,161=a 则=+53a a ____；数列}{n a 的通项公式为____.5, n -5210．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，*,,21)1(N n a S n n n n ∈--=则 (1)=3a ____； (2)=+++10021S S S ____.．161-,)121(31100- 三、解答题：11、设函数),0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f )(x f y =图象的一条对称轴是直线.8π=x (1)求ϕ；(2)求函数)(x f y =的单调增区间；(3)画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图象（不必写出作图步骤）．解：(1)8π=x 是函数)(x f y =的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ43,0πϕϕπ-=∴<<- (2)由(1)知,43πϕ-=因此)432sin(π-=x y 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ 所以函数)432sin(π-=x y 的单调增区间为Z k k k ∈++],85,8[ππππ (3)由)432sin(π-=x y 知故函数)(x f y =在区间],0[π上图像如右图12．已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 且*).(1N n a S n n ∈-=(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设n n b b c a b n n n nn ++==+1,log 1121, 记,21n n c c c T +++= 证明：.1<n T．解：(1)当1=n 时，由,111a S -= 得,211=a 当2≥n 时，,1n n a S -= ① ,111---=∴n n a S ② 上面两式相减，得,211-=n n a a 所以数列}{n a 是以首项为,21公比为21的等比数列，求得*)(21N n a n n ∈= (2)n a b n n n 1)21(log 1log 12121===，111)1(1+-=+-+=n n n n n n c n )111()4131()3121()211(21+-++-+-+-=+++=n n c c c T n n ,1111<+-=n13．设函数,ln )1()(2x b x x f +-=其中b 为常数．(1)当21>b 时，判断函数)(x f 在定义域上的单调性； (2)若,0<b 求)(x f 的极值点；(3)求证对任意不小于3的正整数n ，不等式n n n ln )1ln(12-+<都成立． 解：(1)由题意知，)(x f 的定义域为),0(+∞ )0(21)21(22222)('22>-+-=+-=+-=x xb x x b x x x b x x f ∴当21>b 时，0)('>x f ，函数)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增． (2)0<b 时，0)('=x f 有两个不同解，,221211b x --=221211b x -+=),,0(0221211+∞∉≤--=b x 舍去，而),,0(1221212+∞∈≥-+=b x 此时)(),('x f x f 随x 在定义域上的变化情况如下表：（表略） 由此表可知：0<b 时，)(x f 有惟一极小值点，,22121b x -+=(3)由(2)可知当1-=b 时，函数,ln )1()(2x x x f --= 此时)(x f 有惟一极小值点23122121+=-+=b x 且)231,0(+∈x 时， ,0)('<x f )(x f 在)231,0(+为减函数 ∴当3≥n 时，,231341110+<≤+<<n ∴恒有),11()1(nf f +> 即恒有)11ln(102n n +-> ∴当3≥n 时，恒有21ln )1ln(nn n >-+成立。
广东省东莞市东华高中高三数学重点临界辅导试题(10)理
理科数学重点临界辅导材料（10）一、选择题1．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A ．p 1＝p 2<p 3 B ．p 2＝p 3<p 1 C ．p 1＝p 3<p 2 D ．p 1＝p 2＝p 33．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A.18 B.14 C.34 D.784．函数f (x )＝14x 2＋2cos x ＋2的导函数f ′(x )的图象大致是( )5．奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 二、填空题7.已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．8.已知a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t)d t ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6的展开式中的常数项为________．9．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．10．若函数f(x)＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________． 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝23，若函数f(x)＝x 3＋1在点(1，f(1))处的切线过点(a n ＋1，a n )．(1)求证：数列{a n －12}为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式和前n 项和公式S n .12．已知函数f (x )＝k (x －1)e x ＋x 2.(1)当k ＝－1e时，求函数f (x )在点(1,1)处的切线方程；(2)若在y 轴的左侧，函数g (x )＝x 2＋(k ＋2)x 的图象恒在f (x )的导函数f ′(x )图象的上方，求k 的取值范围；(3)当k ≤－1时，求函数f (x )在[k,1]上的最小值m .13.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t ，0)，使得MP →·MQ →＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．(2013·天津高考)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 【解析】 对各个命题逐一进行判断，得出结论．对于命题①，设球的半径为R ，则43π(R 2)3＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．【答案】 C2．(2014·湖南高考)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3【解析】 无论哪种抽样，每个个体被抽到的概率都相等． 【答案】 D3．(2014·湖北高考)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34 D.78【解析】 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78.选D. 【答案】 D4．(2014·忻州联考)函数f (x )＝14x 2＋2cos x ＋2的导函数f ′(x )的图象大致是( )【解析】 ∵f ′(x )＝12x －2sin x ，显然是奇函数，∴排除A.而[f ′(x )]′＝12－2cos x ＝0有无穷多个根，∴函数f ′(x )有无穷多个单调区间，排除C 、D ，故选B.【答案】 B 5．(2014·全国大纲高考)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 【解析】 ∵f (x ＋2)为偶函数， ∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即f (x ＋4)＝f (－x )． 又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )的周期为8.∴f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1. 【答案】 D6．(2014·兰州、张掖联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 【解析】 由题意，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y ＝bax 上，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，4＝3×b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4.所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)7.已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．【解析】 圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为 3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.【答案】 0或68.已知a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t)d t ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6的展开式中的常数项为________． 【解析】 因为a ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2，所以二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝C r 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ·x 6－2r ，令r ＝3可得展开式的常数项为C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－52.【答案】 －529．(2014·山东高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．【解析】 ∵A＝π6，由AB →·AC →＝tan A ，∴|AB →|·|AC →|·cos A ＝tan A ，即|AB →|·|AC →|×32＝33，∴|AB →|·|AC →|＝23S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×23×12＝16.【答案】 1610．(2014·全国大纲高考)若函数f(x)＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【解析】 f(x)＝cos 2x ＋a sin x ，∴f′(x)＝－2sin 2x ＋a cos x由已知f′(x)＝－2sin 2x ＋a cos x≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立，即－4sin x cos x ＋a cos x≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立，即a≤4sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立．令g(x)＝4sin x ，∴g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝4sin π6＝2. ∴a≤2.【答案】 (－∞，2]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(12分)(2014·济南模拟)在数列{a n }中，a 1＝23，若函数f(x)＝x 3＋1在点(1，f(1))处的切线过点(a n ＋1，a n )．(1)求证：数列{a n －12}为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式和前n 项和公式S n .【解】 (1)证明 因为f′(x)＝3x 2，所以切线的斜率为k ＝3，切点是(1,2)，切线方程为y －2＝3(x－1)⇒3x －y －1＝0，又因为过点(a n ＋1，a n )，所以3a n ＋1－a n －1＝0，即3a n ＋1＝a n ＋1所以3a n ＋1－32＝a n －12⇒3(a n ＋1－12)＝a n －12⇒a n ＋1－12a n －12＝13，即数列{a n －12}为等比数列，其中公比q ＝13.(2)由(1)得{a n －12}为公比为q ＝13，首项a 1－12＝23－12＝16的等比数列，则a n －12＝16·(13)n －1，∴a n ＝12·(13)n ＋12，S n ＝12(13＋132＋…＋13n )＋n 2＝1－13n4＋n 2＝3n －14·3n ＋n 2(n ∈N *)．12.(12分)(2014·山东济南一模)已知函数f (x )＝k (x －1)e x ＋x 2.(1)当k ＝－1e时，求函数f (x )在点(1,1)处的切线方程；(2)若在y 轴的左侧，函数g (x )＝x 2＋(k ＋2)x 的图象恒在f (x )的导函数f ′(x )图象的上方，求k 的取值范围；(3)当k ≤－1时，求函数f (x )在[k,1]上的最小值m .【解】 (1)当k ＝－1e 时，f (x )＝－1e(x －1)e x ＋x 2，f ′(x )＝－x e x －1＋2x ，f ′(1)＝1，函数f (x )在点(1,1)处的切线方程为y ＝x .(2)f ′(x )＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋2k <x 2＋(k ＋2)x ，即kx e x －x 2－kx <0.因为x <0，所以k e x－x －k >0，令h (x )＝k e x －x －k ，则h ′(x )＝k e x－1.当k ≤0时，h (x )在(－∞，0)上为减函数，h (x )>h (0)＝0，符合题意； 当0<k ≤1时，h (x )在(－∞，0)上为减函数，h (x )>h (0)＝0，符合题意当k >1时，h (x )在(－∞，－ln k )上为减函数，在(－ln k ，0)上为增函数，h (－ln k )<h (0)＝0，不合题意．综上：k ≤1.(3)f ′(x )＝kx e x＋2x ＝kx ⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋2k ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，令g (k )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k －k ，则g ′(k )＝－1k－1≤0，g (k )在k ＝－1时取最小值g (－1)＝1＋ln 2>0，所以x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k >k .当－2<k ≤－1时，x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k >0，f (x )的最小值m ＝min{f (0)，f (1)}＝min|－k,1|＝1；当k ＝－2时，函数f (x )在区间[k,1]上为减函数，m ＝f (1)＝1； 当k <－2时，f (x )的最小值m ＝min{f (x 2)，f (1)}，f (x 2)＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k －1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＝x 22－2x 2＋2>1，f (1)＝1，此时m ＝1. 综上，m ＝1.13.．(12分)(2014·山西联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t ，0)，使得MP →·MQ →＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12得：(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2.设P (x p ，y p )，则x p ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y p ＝kx p ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m . ∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，∴MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4km－t ，3m ，MQ →＝(4－t,4k ＋m )，∴MP →·MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m (t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1.∴存在点M (1,0)符合题意．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．。
高三理数重点临界辅导材料(2).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作理科数学重点临界辅导材料（2）一、选择题1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.452．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．63．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C. y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (12)x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( ) A.124 B.112 C.16 D.135.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC→＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2二、填空题7．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)，若AC →·BC →＝－1，则1＋tan α2sin 2α＋sin 2α的值为________．8．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为________．9．设函数f (x )＝x 2＋2x(x ≠0)．当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________． 10．(2014·安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1,0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)3；③直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ；④直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ；⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .三、解答题11．已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6. (1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC ＝3，求a 的值．12．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求函数g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．13 已知函数f (x )＝14x ＋2(x ∈R )． (1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12； (2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝f (n m)(m ∈N *，n ＝1,2，…，m )，求数列{a n }的前m 项和S m ； (3)设数列{b n }满足b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ，T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，若(2)中的S m 满足对不小于2的任意正整数m ，S m <T n 恒成立，试求正整数m 的最大值．参考答案1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45答案 B解析 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.2．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于() A ．－8 B ．8 C ．－8或8 D ．6答案 B解析 由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，可得2×5cos θ＝－6⇒cos θ＝－35.又θ∈[0，π]，所以sin θ＝45.从而|a ×b |＝2×5×45＝8.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124B.112C.16D.13答案 A解析 因为2＋log 23＜4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23＞4，所以f (2＋log 23)＝23log 31()2+＝18×2log 31()2＝18×13＝124.4．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称， ∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数．5.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0) 答案 D解析 依题意，由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)，则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)， 所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ. 故m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．故选D. 6．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2答案 B解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1， 所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.方法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方， 故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小， 所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B.7．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)，若AC →·BC →＝－1，则1＋tan α2sin 2α＋sin 2α的值为________．答案 －95解析 由AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，得AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23， ∴2sin αcos α＝－59， 1＋tan α2sin 2α＋sin 2α＝1＋sin αcos α2sin 2α＋2sin αcos α＝12sin αcos α＝－95. 8．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为________．答案 43解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)．因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝⎪⎪2⎝⎛⎭⎫x －13x 310＝2⎝⎛⎭⎫1－13＝43. 9．设函数f (x )＝x 2＋2x(x ≠0)．当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________． 答案 3解析 令g (x )＝f (x )－f (a )，即g (x )＝x 2＋2x －a 2－2a， 整理得：g (x )＝1ax(x －a )(ax 2＋a 2x －2)． 显然g (a )＝0，令h (x )＝ax 2＋a 2x －2.∵h (0)＝－2<0，h (a )＝2(a 3－1)>0，∴h (x )在区间(－∞，0)和(0，a )各有一个零点．因此，g (x )有三个零点，即方程f (x )＝f (a )有三个实数解．10．(2014·安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1,0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)3；③直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ；④直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ；⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .答案 ①③④解析 ①中由y ＝x 3得y ′＝3x 2.又当x ＝0时，切线斜率为0，故函数y ＝x 3在点(0,0)处的切线方程为y ＝0.结合图象知①正确．②中由y ＝(x ＋1)3得y ′＝3(x ＋1)2.又当x ＝－1时，切线斜率为0，故函数y ＝(x ＋1)3在点(－1,0)处的切线方程为y ＝0，故②不正确．③中由y ＝sin x 得y ′＝cos x .又当x ＝0时，切线斜率为1，故函数y ＝sin x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .结合图象知③正确．④中由y ＝tan x 得y ′＝1cos 2x. 又当x ＝0时，切线斜率为1，故函数y ＝tan x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .结合图象知④正确．⑤中由y ＝ln x 得y ′＝1x. 又当x ＝1时，切线斜率为1，故函数y ＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，结合图象可知⑤不正确．11．已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6. (1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC ＝3，求a 的值．解 (1)f (x )＝a ·b －12＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx －12＝1＋cos 2ωx 2＋32sin 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6＝±1， 即ωπ3＋π6＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<ω<2，∴ω＝1.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， ∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z . (2)f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1，在△ABC 中，0<A <π，π6<A ＋π6<76π， ∴A ＋π6＝π2，A ＝π3. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝1，得c ＝4. 由余弦定理得a 2＝42＋12－2×4×1×cos π3＝13， 故a ＝13.12．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求函数g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立． 解 (1)由题意，得g (x )＝ln x ＋1x，x >0， 所以g ′(x )＝x －1x 2，且x >0， 令g ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以最小值为g (1)＝1.(2)由(1)知g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，且x >0. 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ；当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)由(1)知，g (x )的最小值为g (1)＝1，所以g (a )－g (x )<1a 对∀x >0成立⇔g (a )－1<1a. 则ln a ＋1a －1<1a，即ln a <1， 所以0<a <e.故实数a 的取值范围是(0，e)．13 已知函数f (x )＝14x ＋2(x ∈R )． (1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12； (2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝f (n m)(m ∈N *，n ＝1,2，…，m )，求数列{a n }的前m 项和S m ； (3)设数列{b n }满足b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ，T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，若(2)中的S m 满足对不小于2的任意正整数m ，S m <T n 恒成立，试求正整数m 的最大值．(1)证明 因为f (x )＝14x ＋2， 所以f (1－x )＝141－x ＋2＝4x 4＋2·4x ＝4x2(4x ＋2). 所以f (x )＋f (1－x )＝14x ＋2＋4x2(4x ＋2)＝2＋4x 2(4x ＋2)＝12. (2)解 由(1)，知f (x )＋f (1－x )＝12， 所以f (k m )＋f (1－k m )＝12(1≤k ≤m －1，k ∈N *)， 即f (k m )＋f (m －k m )＝12. 所以a k ＋a m －k ＝12，a m ＝f (m m )＝f (1)＝16. 又S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m －1＋a m ，①S m ＝a m －1＋a m －2＋…＋a 1＋a m ，②由①＋②，得2S m ＝(m －1)×12＋2a m ＝m 2－16， 即S m ＝m 4－112(m ∈N *)． (3)解 由b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)， 显然对任意n ∈N *，b n >0，则1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1， 所以T n ＝(1b 1－1b 2)＋(1b 2－1b 3)＋…＋(1b n －1b n ＋1) ＝1b 1－1b n ＋1＝3－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0，所以b n ＋1>b n ，即数列{b n }是单调递增数列． 所以T n 关于n 递增，所以当n ∈N *时，T n ≥T 1.因为b 1＝13，b 2＝(13)2＋13＝49， 所以T n ≥T 1＝3－1b 2＝34. 由题意，知S m <34，即m 4－112<34，解得m <103， 所以正整数m 的最大值为3.。
东华高中2015届高三理数重点临界辅导材料(7)
理科数学重点临界辅导材料（7）一、选择题1．设p q:[]()(1)0x a x a --+≤，若q 是p 的必要而不充分条件， 则实数a 的取值范围是（ ）)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）3．若函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f （0）=A ．﹣2B ．﹣1C ．﹣D ．﹣4．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD=DC=1，AB=3，动点P 在以点C 为圆心且直线BD 相切的圆内运动．．．．，(,)AP AD AB R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r，则αβ+的取值范围是（ ）A 5若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）C.()1,2D.()2,+∞6．已知a ＞0，且a ≠1，则函数f(x)＝a x＋(x －1)2－2a 的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.与a 有关 二、填空题7．已知命题p ：220R x x ax a ∃∈++≤，，则命题p 的否定是_________________；若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是_______________．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＝2b ，sinB ， 则cosA ＝ ．9．在ABC △中，已知||4AB =,||1AC =,ABC △的面积为，则AC AB ⋅的值为 . 10．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =．若()10f x ->，则x 的取值范围是__________．三、解答题11的最大值为1． （Ⅰ）求常数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）若将()f x 的图象向左平移个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间值和最小值．12．在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，若1AB AC BA BC ⋅=⋅=. （1）求证：A B ∠=∠； （2）求边长c 的值；（36AB AC +=，求△ABC 的面积.13．已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。
广东省东莞市东华高中高三数学重点临界辅导试题(5)理
理科数学重点临界辅导材料（5）一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A 等于( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于( )A.n (n ＋1)2B ．－n (n ＋1)2C ．(－1)n ＋1n (n ＋1)2D ．以上答案均不对4．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )5．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．46．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，12) C ．(0,1) D ．(0，＋∞)二、填空题7．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.8．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．9．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________．10．设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是____________三、解答题11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝a n＋1＋n－2，n∈N*，a1＝2.(1)证明：数列{a n－1}是等比数列，并求数列{a n}的通项；(2)设b n＝3nS n－n＋1的前n项和为T n，证明：T n<6.12．直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点．(1)当a为何值时，|PQ|＝21＋a2；(2)是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点O？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．13．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)如果对任意的x 1>x 2>0，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2≥2，求a 的取值范围．参考答案1．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 B解析 如果a ≤1，则A ＝{x |x ≥1或x ≤a }， 而B ＝{x |x ≥a －1}， 由图(1)，可知A ∪B ＝R ；如果a >1，则A ＝{x |x ≥a 或x ≤1}， 而B ＝{x |x ≥a －1}，由图(2)，可知若想A ∪B ＝R ，必须a －1≤1，得1<a ≤2. 综上所述，选B.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A 等于( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin Asin B， 所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ， 因此sin Csin A＝3.3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2等于( )A.n (n ＋1)2B ．－n (n ＋1)2C ．(－1)n ＋1n (n ＋1)2D ．以上答案均不对答案 C解析 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－(2n －1) ＝－n2(3＋2n －1)2＝－n (n ＋1)2；当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2＝－n －12[3＋2(n －1)－1]2＋n 2＝n (n ＋1)2，综上可得，原式＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.4．(2014·浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是()答案 D解析 方法一 当a >1时，y ＝x a与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a递增较快，排除C ； 当0<a <1时，y ＝x a为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a递增较慢，所以选D.方法二 幂函数f (x )＝x a的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．5．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94 D ．4 答案 C解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k (x －14)，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.6．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，12)C ．(0,1)D ．(0，＋∞)答案 B解析 函数f (x )＝x (ln x －ax )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x －ax ＋x (1x－a )＝ln x －2ax ＋1.如果函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，也就是说f ′(x )＝0有两个不等实根，即ln x －2ax ＋1＝0有两个不等实根．参数分离得ln x ＋1x＝2a ，若此方程有两个不等实根，只需函数y ＝ln x ＋1x与y ＝2a 有两个不同交点．经过求导分析，如图所示，可知0<2a <1，则0<a <12.故选B.7．(2014·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案20π3解析 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4，高为2的圆锥，下部是一个底面直径为2，高为4的圆柱．故该几何体的体积V ＝13π×22×2＋π×12×4＝20π3.8．(2013·江苏)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.9．(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________． 答案3解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ， ∴双曲线C 的离心率e ＝23a2a＝ 3.10．设f (x )是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是____________解析 由于T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫12r x 12－3r ，故展开式中间的一项为T 3＋1＝C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫123·x 3＝52x 3，f (x )≤mx ⇔52x 3≤mx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2上恒成立，即m ≥52x 2，又52x 2≤5，故实数m 的取值范围是m ≥5.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n ＋1＋n －2，n ∈N *，a 1＝2. (1)证明：数列{a n －1}是等比数列，并求数列{a n }的通项； (2)设b n ＝3nS n －n ＋1的前n 项和为T n ，证明：T n <6.(1)解 因为S n ＝a n ＋1＋n －2，①当n ≥2时，S n －1＝a n ＋(n －1)－2＝a n ＋n －3，② ①－②，得a n ＝a n ＋1－a n ＋1， 即a n ＋1＝2a n －1.③设c n ＝a n －1，代入③，得c n ＋1＋1＝2(c n ＋1)－1， 即c n ＋1＝2c n .由S n ＝a n ＋1＋n －2，得a 2＝S 1－1＋2＝3， 显然c 1＝a 1－1＝1，c 2＝a 2－1＝2.故数列{c n }是以1为首项，2为公比的等比数列， 即数列{a n －1}是以1为首项，2为公比的等比数列． 则a n －1＝2n －1，即a n ＝2n －1＋1.(2)证明 由a n ＝2n －1＋1，得S n ＝2n＋n －1，故S n －n ＋1＝2n.所以b n ＝3n 2n .则T n ＝b 1＋b 2＋...＋b n ＝32＋622＋ (3)2n ，④2T n ＝3＋62＋3×322＋ (3)2n －1，⑤⑤－④，得T n ＝3＋32＋322＋…＋32n －1－3n2n＝3(1＋12＋122＋…＋12n －1)－3n2n＝3×1－(12)n 1－12－3n 2n ＝6－3n ＋62n .因为3n ＋62n >0，所以T n ＝6－3n ＋62n <6.12．直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点． (1)当a 为何值时，|PQ |＝21＋a 2；(2)是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 解 (1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＝1，x 2－2y 2＝1，得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0，又知直线与曲线相交于P ，Q 两点，可得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a 2≠0，Δ＝16a 2＋12(1－2a 2)>0，即|a |<62且|a |≠22， 设P ，Q 两点的坐标为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4a 2a 2－1，x 1x 2＝32a 2－1，所以|PQ |＝4(1＋a 2)(3－2a 2)(2a 2－1)2＝21＋a 2， 化简得(1－2a 2)2－(1－2a 2)－2＝0， 解得a ＝±1即为所求．(2)假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ， 则k OP ·k OQ ＝－1，也就是x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(ax 1－1)(ax 2－1)＝0，整理得(1＋a 2)x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0， 故有3(1＋a 2)2a －1＋4a 21－2a＋1＝0，解得a 2＝－2，即不存在满足题意的实数a . 13．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)如果对任意的x 1>x 2>0，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2≥2，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ 1－a2a. 则当x ∈(0,1－a2a)时，f ′(x )<0； x ∈(1－a2a，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0, 1－a2a]上单调递减， 在[1－a2a，＋∞)上单调递增． (2)由已知，可得对任意的x 1>x 2>0，有x 1－x 2>0， 所以由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2≥2，得f (x 1)－f (x 2)≥2(x 1－x 2)， 即f (x 1)－2x 1≥f (x 2)－2x 2. 令g (x )＝f (x )－2x ，又x 1>x 2，故函数g (x )＝f (x )－2x 在(0，＋∞)上单调递增． 所以g ′(x )＝a －1x＋2ax －2≥0在(0，＋∞)上恒成立． 所以(1x＋2x )a ≥2＋1x.因为x >0，所以a ≥2＋1x 1x＋2x＝2x ＋11＋2x 2.(*)令t ＝2x ＋1，则x ＝t －12，又x >0，所以t >1.故(*)式可化为a ≥t 2(t －12)2＋1＝t t 2－2t ＋12＋1＝2t ＋3t－2.因为t >1，所以t ＋3t≥2t ×3t＝23， 当且仅当t ＝3时取等号．所以2t ＋3t－2≤223－2＝3＋12， 即2t ＋3t－2的最大值为3＋12. 故不等式a ≥2t ＋3t－2恒成立的条件是a ≥3＋12. 故a 的取值范围为[3＋12，＋∞)．。
东华高中2015届高三理数重点临界辅导材料(10)
理科数学重点临界辅导材料（10）一、选择题1．已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④2．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 （A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-3．若∆ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=1，∠B=45o，S ∆ABC =2，则sinA=( )．(A)10 (B)501104．已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C ，是平面上不共线三个点，动点P 满足),0(cos ||cos ||+∞∈+=λλCAC BAB ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A.重心B.垂心C.外心D.内心5．已知函数f(x)＝x a的图象过点(4,2)，令a n n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 013＝( )A 1B 1C 1D 1 6．在数列中，，则＝( ) A. B.C.D.二、填空题7．已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为 ．8．已知ABC ∆中，060A ∠=,BC =,则2AB AC +的最大值为 ； 9．如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM ·AO 的值为________．10．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx(n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则20122012S 的值为________．三、解答题11．（2011•山东）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．12．数列{n a }的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{n b }满足140b S +=，91b a =． （1）求数列{n a }，{n b }的通项公式； （2）若()1(16)18n n n c b b =++，求数列{}n c 的前n 项和n W ．13．已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=（1）当a=2时，求曲线)(x f y =在点A （1，f （1））处的切线方程； （2）讨论函数f （x ）的单调性与极值参考答案1．C 【解析】试题分析：当y x >时，则y x -<-，因此命题p 为真命题；命题q 为假命题，如1,2=-=y x ，因此q p ∨为真命题；q ⌝为真命题，所以()q p ⌝∧为真命题． 考点：命题的真假性． 2．C 【解析】试题分析：根据题中函数特征，当0a =时，函数2()31f x x =-+显然有两个零点且一正一负; 当0a >时，求导可得：2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：(,0)x ∈-∞和2(,)x a ∈+∞时函数单调递增; 2(0)x a∈，时函数单调递减，显然存在负零点; 当0a <时，求导可得：2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：2(,)x a∈-∞和(0,)x ∈+∞时函数单调递减; 2(0)x a ∈，时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：2()0(0)0f a f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即得：3222()3()10a a a⨯-+>，可解得：24a >，则2(,2a a ><-舍去）． 考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用3．A 【解析】 试题分析：242sin 21=⇒=⨯⨯⨯=c B c a S ,根据余弦定理：4cos 2222π⨯-+=ac c a b ,代入数字，5=b ,再根据正弦定理：102sin sin sin =⇒=A B b A a .故选A. 考点：正余弦定理解三角形4．B 【解析】试题分析：如图所示，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D 点．()cos cos cos BC AB B AB BC BC AB BAB Bπ-⋅==-,同理cos AC BC BC AC C⋅=,∵动点P 满足),0(cos ||cos ||+∞∈+=λλCAC BAB OA OP∴),0(cos ||cos ||+∞∈=λλC AC BAB AP∴(0(=+=+=BC AP λλ所以BC AP ⊥,因此P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心． 考点：向量的线性运算性质及几何意义 . 5．C 【解析】试题分析：由函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)得:21,24==a a,从而x x f =)(;nn n n a n -+=++=∴111,从而12014201321423122013-=-+⋯+-+-=S ,故选C. 考点：数列求和.6．A【解析】由已知得于是，选A.7．),1(+∞ 【解析】试题分析：因为()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立，所以0)()()(2''<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f x xf x x f 在),0(+∞上恒成立，即x x f )(在),0(+∞上为减函数；0)()1(2>-x f x f x 可化为x x f xx f )(1)1(>，所以x x <1，解得1>x . 考点：解抽象不等式.8．72 【解析】试题分析：根据正弦定理：260sin 3sin sin sin 0====C c B b A a ,7,所以原式=()()ϕ+=+=-+=+C C C C C B C sin 72cos 32sin 4120sin 4sin 2sin 4sin 20()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈=00120,0,23tan C ϕ,所以原式的最大值为72. 考点：正弦定理解三角形 9．5【解析】延长AO 交△ABC 的外接圆于点N ，连接BN ，CN. ∵∠BAC 为钝角，∴外心O 在△ABC 的外部． 又M 为BC 中点，∴AO ＝12( AB ＋AC )． 因此AM ·AO ＝14(AB ＋AC )·AN＝14(AB ·AN ＋AC ·AN )． 依题设，∠ABN ＝∠ACN ＝2π，根据平面向量数量积的几何意义， ∴AM ·AO ＝14(|AB |2＋|AC |2)＝5. 10．2 013【解析】解不等式x 2－x ＜2nx(n ∈N *)得，0＜x ＜2n ＋1，其中整数的个数a n ＝2n ，其前n 项和为S n ＝n(n ＋1)，故20122012S ＝()2012201212012+＝2 013. 11．（1）2 （2）2 【解析】（1）因为所以即：cosAsinB ﹣2sinBcosC=2sinCcosB ﹣cosBsinA所以sin （A+B ）=2sin （B+C ），即sinC=2sinA 所以=2（2）由（1）可知c=2a…① a+b+c=5…② b 2=a 2+c 2﹣2accosB…③ cosB=…④解①②③④可得a=1，b=c=2；所以b=212．（1）12-=n n a ，172-=n b n【解析】 试题分析：（1）由a n 是S n 和1的等差中项，得S n =2a n -1，由a n =S n -S n-1可得数列递推式，从而可判断{a n }是等比数列，可求a n ，由等差数列通项公式可求公差d ，从而就可写出数列{n a }，{n b }的通项公式； （2）由已知得1111()(21)(21)22121n c n n n n ==⨯--+-+，所以利用裂项相消法可求得n W .试题解析：（1） ∵n a 是n S 和1的等差中项，∴21n n S a =-， 当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，12n n a a -∴=，当1n =时，111121,1a S a a ==-∴=， 2分∴()*0n a n N ≠∈∴12nn a a -=， 4分 ∴数列{}n a 是以11a =为首项， 2为公比的等比数列，12,n n a -∴= 6分1221n n n S a a a =+++=-设{}n b 的公差为d ，1415b S =-=-，915812b d d =-+=⇒∴=.()1512217n b n n ∴=-+-⨯=- 8分（2）1111()(21)(21)22121n c n n n n ==⨯--+-+111111111213352121242n W n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 14分 考点：1.等差数列等比数列的通项公式；2．数列求和．13．（1）2y x =-+；（2）① 当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；② 当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，()ln f f a a a a ==-极小， 无极大值. 【解析】 试题分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（2）先求出f （x ）的导数，根据f ′（x ）＞0求得的区间是单调增区间，f ′（x ）＜0求得的区间是单调减区间，因为在函数式中含字母系数a ，要对a 分类讨论． 试题解析：（1）2a =时，()2ln f x x x =-，2()1f x x'=-， ∴(1)1k f '==-， 又(1)1f =，故切线方程为：11(1)y x -=--即2y x =-+. （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，令()10af x x a x'=->⇒> ① 当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；② 当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，()ln f f a a a a ==-极小， 无极大值.考点：1．利用导数研究曲线上某点切线方程；2．利用导数研究函数的单调性．。
广东省东莞市东华高中高三数学重点临界辅导试题(4)理
理科数学重点临界辅导材料（4）一、选择题1．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(ⅰ)1*1=1，(ⅱ)(n +1)*1=n *1+1,则n *1等于( ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1 D ．n 22．已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 013项a 2 013满足( )A ．0<a 2 013<110 B.110≤a 2 013<1 C ．1≤a 2 013≤10 D ．a 2 013>103．已知a >b >0，且ab ＝1，若0<c <1，p ＝log ca 2＋b 22，q ＝log c (1a ＋b)2，则p ，q 的大小关系是( )A ．p >qB ．p <qC ．p ＝qD ．p ≥q 4．已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则( )A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC ．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD ．垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)x 2 (x <0)， 则f [f (x )]≥1的充要条件是( )A ．x ∈(－∞，－2]B ．x ∈[42，＋∞)C ．x ∈(－∞，－1]∪[42，＋∞)D ．x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞) 6．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f (x )g (x )＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n ) (n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 二、填空题7．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝_______时，{a n }的前n 项和最大．8．已知函数f (x )＝2sin x ，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，直线x ＝m 与f (x )，g (x )的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．9．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．10．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题11．为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP 260万元；乙项目每项投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP 200万元，已知该地为甲、乙两项目最多可投资3 000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP 最大？12．已知各项全不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n (1＋a n )2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)若a 2＝3，求证：当n ∈N *时，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.13．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1在x ＝2处的切线斜率为－12.(1)求实数a 的值及函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2＋2kx ＋kx，对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立，求正实数k 的取值范围；(3)证明：ln 222 ＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)．参考答案1．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (ⅰ)1*1=1，(ⅱ)(n +1)*1=n *1+1,则n *1等于( ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1 D ．n 2答案 A解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1+(n －1). 又∵1*1=1，∴n *1=n .2．已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 013项a 2 013满足( ) A ．0<a 2 013<110B.110≤a 2 013<1 C ．1≤a 2 013≤10 D ．a 2 013>10 答案 A解析 数列中项的规律：分母每一组中从小到大排列：(1)，(1,2)，(1,2,3)，(1,2,3,4)，…；分子每一组中从大到小排列(1)，(2,1)，(3,2,1)，(4,3,2,1)，…，由以上规律知a 2 013＝460＝115.3．已知a >b >0，且ab ＝1，若0<c <1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c (1a ＋b)2，则p ，q 的大小关系是( )A ．p >qB ．p <qC ．p ＝qD ．p ≥q答案 B 解析 ∵a 2＋b 22>ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 22<0.又q ＝log c (1a ＋b)2＝log c1a ＋b ＋2ab >logc 14ab＝log c 14>0，∴q >p .4．已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直 答案 D解析 对于A ，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 错；对于B ，垂直于直线l 的直线与平面α垂直或斜交，故B 错；对于C ，垂直于平面β的平面与直线l 平行或相交，故C 错；易知D 正确．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)x 2 (x <0)， 则f [f (x )]≥1的充要条件是( )A ．x ∈(－∞，－2]B ．x ∈[42，＋∞)C ．x ∈(－∞，－1]∪[42，＋∞)D ．x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞) 答案 D解析 当x ≥0时，f [f (x )]＝x4≥1，所以x ≥4；当x <0时，f [f (x )]＝x 22≥1，所以x 2≥2，x ≥2(舍)或x ≤－ 2.所以x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．故选D.6．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f (x )g (x )＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n ) (n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B 解析 令h (x )＝f (x )g (x )， 则h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0，故函数h (x )为减函数，即0<a <1. 再根据f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，得a ＋1a ＝52， 解得a ＝2(舍去)或者a ＝12.所以f (n )g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )的前n 项和是12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n ，由于1－12n ＝3132，所以n ＝5.7．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0. ∴数列的前8项和最大，即n ＝8.8．已知函数f (x )＝2sin x ，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，直线x ＝m 与f (x )，g (x )的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 答案 2 2解析 构造函数F (x )＝2sin x －2cos x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，故最大值为2 2.9．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________． 答案 22解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.10．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (0,1)∪(9，＋∞)解析 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，当4个交点横坐标都小于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解x 1，x 2，消y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0， 故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 1＋x 2＝a －3<2，x 1x 2＝a <1， 联立可得0<a <1.当4个交点横坐标有两个小于1，两个大于1时，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a (x －1)有两组不同解x 3，x 4.消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0， 故Δ＝a 2－10a ＋9>0， 且x 3＋x 4＝a －3>2，x 3x 4＝a >1， 联立可得a >9，11．为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP 260万元；乙项目每项投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP 200万元，已知该地为甲、乙两项目最多可投资3 000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP 最大？解 设甲项目投资x (单位：百万元)，乙项目投资y (单位：百万元)，两项目增加的GDP 为z ＝260x ＋200y ，依题意，x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤30，2x ＋4y ≤100，24x ＋32y ≥800，x ≥0，y ≥0，所确定的平面区域如图中阴影部分，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，2x ＋4y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10，y ＝20，即A (10,20)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，24x ＋32y ＝800，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，即B (20,10)．设z ＝0，得y ＝－1.3x ，将直线y ＝－1.3x 平移至经过点B (20,10)，即甲项目投资2 000万元，乙项目投资1 000万元时，两项目增加的GDP 最大．12．已知各项全不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n (1＋a n )2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)若a 2＝3，求证：当n ∈N *时，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 证明 (1)由S 1＝1＋a 12＝a 1知a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n (1＋a n )2－(n －1)(1＋a n －1)2，化简得(n －2)a n －(n －1)a n －1＋1＝0，① 以n ＋1代替n 得(n －1)a n ＋1－na n ＋1＝0.② 两式相减得(n －1)a n ＋1－2(n －1)a n ＋(n －1)a n －1＝0. 则a n ＋1－2a n ＋a n －1＝0，其中n ≥2. 所以，数列{a n }为等差数列．(2)由a 1＝1，a 2＝3，结合(1)的结论知a n ＝2n －1(n ∈N *)． 于是1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12(1－13)＋12(13－15)＋…＋12(12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)<12. 13．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1在x ＝2处的切线斜率为－12.(1)求实数a 的值及函数f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2＋2kx ＋kx，对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立，求正实数k 的取值范围；(3)证明：ln 222 ＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)．(1)解 由已知得f ′(x )＝1x－a ，∴f ′(2)＝12－a ＝－12，解得a ＝1.于是f ′(x )＝1x －1＝1－xx，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，即f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)解 由(1)知x 1∈(0，＋∞)，f (x 1)≤f (1)＝0， 即f (x 1)的最大值为0，由题意知：对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立， 只需f (x )max ≤g (x )max .∵g (x )＝x 2＋2kx ＋k x ＝x ＋k x ＋2k ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋k －x ＋2k ≤－2k ＋2k ，∴只需－2k ＋2k ≥0，解得k ≥1.(3)证明 要证明ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)．只需证2ln 222＋2ln 332＋…＋2ln n n 2<2n 2－n －12(n ＋1)，只需证ln 2222＋ln 3232＋…＋ln n 2n 2<2n 2－n －12(n ＋1).由(1)当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，f (x )＝ln x －x ＋1≤0，即ln x ≤x －1，∴当n ≥2时，ln n 2<n 2－1， ln n 2n 2<n 2－1n 2＝1－1n2<1－1n (n ＋1)＝1－1n ＋1n ＋1，ln 2222＋ln 3232＋…＋ln n 2n 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1＝n －1－12＋1n ＋1＝2n 2－n －12(n ＋1)，∴ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －14(n ＋1).。
东华高级中学2015届高三重点临界生辅导材料(1)(理数)
东华高级中学2015届高三重点临界生辅导材料（1）数学（理科）一、选择题1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 2．已知a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65，c ＝3log 0.315，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b 3．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2 D.ab <a <a ＋b2<b4．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)·e x 的判断正确的是( ) ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}； ②f (－2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值．A ．①③B ．①②③C ．②D ．①②5．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)6．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3! B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9!二、填空题7．若(ax 2＋bx)6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．8．8．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 9．设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.10．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________． 三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．12.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.13．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a <0时，试讨论是否存在x 0∈(0，12)∪(12，1)，使得f (x 0)＝f (12)．参考答案1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)答案 B解析 方法一 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)， B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.应选B. 方法二 因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)， 取c ＝1，则B ＝(0,1)，所以A ⊆B 成立，故可排除C 、D ； 取c ＝2，则B ＝(0,2)，所以A ⊆B 成立， 故可排除A ，选B. 2．已知a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65，c ＝3log 0.315，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案 C 解析 a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65，c ＝3log 0.315＝310log 35，又log 23.4>1，log 43.6<1，log 3103>1，故b <a ，b <c ，又log 23.4>log 3103，因此b <c <a .3．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴ab >a ·a ＝a ， ab <b ·b ＝b ，b ＝b ＋b 2>a ＋b 2，又ab <a ＋b 2，所以a <ab <a ＋b2<b ，故选B.4．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)·e x 的判断正确的是( ) ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}； ②f (－2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值． A ．①③ B ．①②③ C ．② D ．①② 答案 D解析 f ′(x )＝[(2x －x 2)e x ]′＝(2x －x 2)e x ＋e x (2－2x )＝e x (2－x 2)， 令f ′(x )＝0，则x ＝±2.可得当x >2或x <－2时，f ′(x )<0， 当－2<x <2时，f ′(x )>0，据极值概念可得①②是正确的，结合图象可知函数有最大值．5．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D解析 利用极值的存在条件判定． 当x <－2时，y ＝(1－x )f ′(x )>0，得f ′(x )>0；当－2<x <1时，y ＝(1－x )f ′(x )<0，得f ′(x )<0； 当1<x <2时，y ＝(1－x )f ′(x )>0，得f ′(x )<0； 当x >2时，y ＝(1－x )f ′(x )<0，得f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)．6一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3! B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9!答案 C解析 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家， 所以有(3！)4种．7．若(ax 2＋bx )6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2解析 (ax 2＋b x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·(b x)r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r， 令12－3r ＝3，得r ＝3，由C 36a6－3b 3＝20得ab ＝1， 所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，故a 2＋b 2的最小值为2.8．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 答案 5解析 方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.9．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.10．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________． 答案 (34，2)解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是周期为4的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的草图如图中实线所示，而函数g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<3，g (6)>3.所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 4<3，log a 8>3.解得34<a <2.11．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.12.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1 得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.13.已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a <0时，试讨论是否存在x 0∈(0，12)∪(12，1)，使得f (x 0)＝f (12)．解 (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上，Δ＝4－4a ＝4(1－a )． ①当1－a ≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增．②当1－a >0时，即a <1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2－4(1－a )2＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a .令f ′(x )>0，解得x <－1－1－a 或x >－1＋1－a ； 令f ′(x )<0，解得－1－1－a <x <－1＋1－a ；所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)； f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．综上所述：当a ≥1时，f (x )在R 上单调递增；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )． (2)当a <0时，x 1＝－1－1－a <0，x 2＝－1＋1－a >0.①当－1＋1－a ≥1时，即a ≤－3时，f (x )在(0,1)上单调递减，不满足题意；②当－1＋1－a <1时，即－3<a <0时，f (x )在(0，－1＋1－a )上单调递减，在(－1＋1－a ，1)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－1＋1－a )，由题意知－1＋1－a ≠12，所以a ≠－54.f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}；f (0)＝1，f (1)＝a ＋73.a ．当a ＋73≥1时，即－43≤a <0时，f (x )max ＝f (1)．令f (12)<f (0)，解得a <－712，又因为－43≤a <0，所以－43≤a <－712且a ≠－54.b ．当a ＋73<1时，即a <－43时，f (x )max ＝f (0)．令f (12)<f (1)，解得－2512<a <－43.综上所述，当a ∈{a |－2512<a <－54或－54<a <－712}时，存在x 0∈(0，12)∪(12，1)，使得f (x 0)＝f (12)．。
广东省东莞市东华高中高考数学 重点临界辅导材料(6)理
理科数学重点临界辅导材料（6）一、选择题1．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．122．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．6 3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数 n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值314．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34π C ．(6－25)π D.54π 5．函数f (x )＝(x －1)ln|x |的图象可能为( )6．已知动点P (x ，y )满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x|－1，y ≤x ＋1，则z ＝|2x －3y －6|的最小值是( )A ．11B ．3 C.253 D.31313二、填空题7.由三条直线0,2,0===y x x 和曲线3x y =所围成的图形的面积为________. 8.已知等比数列}{n a 的第5项是二项式6)31(xx -展开式的常数项，则=73a a _______. 9.定义R 上的奇函数)(x f 满足),()3(x f x f =+ 当10≤<x 时，xx f 2)(=，=)2015(f _______. 10．已知集合M ＝{x |y ＝lg(x ＋2)3－x ，x ∈R }，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈M∩N ”的概率是________． 三、解答题11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角,,βα它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102. (1)求)tan(βα+的值； (2)求βα2+的值.12．已知定点),0,2(),0,1(F A -定直线21:=x l ，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E 过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N. (1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.13．已知函数)0(ln 1)(>+-=a x axxx f . (1)若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)当1=a 时，求)(x f 在]2,21[上的最大值和最小值； (3)求证：对任意大于1的正整数n ，nn 1413121ln ++++>Λ恒成立.参考答案1．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 C解析 由x 2－2 015x ＋2 014<0，解得1<x <2 014， 故A ＝{x |1<x <2 014}．由log 2x <m ，解得0<x <2m ，故B ＝{x |0<x <2m}． 由A ⊆B ，可得2m≥2 014， 因为210＝1 024,211＝2 048， 所以整数m 的最小值为11，故选C.2．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．6 答案 B解析 若从0,2中选了0，则0只能作为十位数，个位数和百位数从1,3,5中选出两个数，共有A 23＝6种选法；若0,2中选了2，则2可以作为十位数或百位数，其余两个数从1,3,5中选出，共有A 12A 23＝12种选法．综上所述，共有奇数18个． 3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值31答案 B解析 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2(23×34×…×n ＋1n ＋2)＝log 22n ＋2<－5， ∴2n ＋2<2－5，∴n ＋2>26，∴n >62. 又n ∈N *，∴n 有最小值63.4．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)π D.54π 答案 A解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离， ∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25，∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.5．函数f (x )＝(x －1)ln|x |的图象可能为( )答案 A解析 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，可排除B. 当x ∈(0,1)时，x －1<0，ln x <0，所以(x －1)ln x >0，可排除D ； 当x ∈(1，＋∞)时，x －1>0，ln x >0，所以(x －1)ln x >0，可排除C.故只有A 项满足，选A.6．已知动点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1，则z ＝|2x －3y －6|的最小值是( )A ．11B ．3 C.253 D.31313答案 B解析 z ＝|2x －3y －6|的几何意义为可行域内的点到直线2x －3y －6＝0的距离的13倍，其可行域如图中阴影部分所示，由图知点C 到直线2x －3y－6＝0的距离最短．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，2x －y －1＝0，得点C (0，－1)，则z min ＝13×|2×0－3×(－1)－6|13＝3，故选B.7.由三条直线0,2,0===y x x 和曲线3x y =所围成的图形的面积为________. 答案 48.已知等比数列}{n a 的第5项是二项式6)31(xx -展开式的常数项，则=73a a _______. 答案．925 9.定义R 上的奇函数)(x f 满足),()3(x f x f =+ 当10≤<x 时，xx f 2)(=，则=)2015(f _______.答案 －210．已知集合M ＝{x |y ＝lg(x ＋2)3－x ，x ∈R }，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈M∩N ”的概率是________． 答案 15解析 因为M ＝{x |y ＝lg(x ＋2)3－x，x ∈R }＝(－2,3)，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝[1,2]，所以M ∩N ＝[1,2]． 所以“x ∈M ∩N ”的概率P ＝2－13－(－2)＝15.11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角,,βα它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102. (1)求)tan(βα+的值； (2)求βα2+的值. 解：由条件得,102cos =α,552cos =βαΘ为锐角，故0sin >α且1027sin =α，同理可得,55sin =β因此21tan ,7tan ==βα (1)32171217tan tan 1tan tan )tan(-=⨯-+=-+=+βαβαβα (2)121)3(1213])tan[()2tan(-=⨯--+-=++=+ββαβα 2,0πβα<<Θ，,2320πβα<+<∴ 从而432πβα=+12．已知定点),0,2(),0,1(F A -定直线21:=x l ，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E 过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N. (1)求E 的方程；(2)试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.4．解：(1)设),,(y x P 则|,21|2)2(22-=+-x y x 化简得)0(1322=/=-y y x(2)①当直线BC 与x 轴不垂直时，设BC 的方程为)0)(2(=/-=k x k y 与双曲线1322=-y x 联立消去y 得0)34(4)3(2222=+-+-k x k x k ，由题意知032=/-k 且,0>∆设),,(),,(2211y x C y x B 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=+3343422212221k k x x k k x x ， )2)(2(21221--=x x k y y ]4)(2[21212++-=x x x x k39)438334(2222222--=+---+=k k k k k k k因为,121-≠x x 、 所以直线AB 的方程为)1(111++=x x y y 因此M 点的坐标为),)1(23,21(11+x y ),)1(23,23(11+-=x y FM同理可得))1(23,23(22+-=x y因此)1)(1(29)23(21212+++-=⋅x x y y FN FM 0)134334(438194222222=+-+-+--+=k k k k k k ②当直线BC 与x 轴垂直时，方程为,2=x 则)3,2(),3,2(-C BAB 的方程为,1+=x y 因此M 点的坐标为),23,21()23,23(-=FM同理可得),23,23(--= 因此0)23(23)23(2=-⨯+-=⋅综上,0=⋅FN FM 即FN FM ⊥ 故以线段MN 为直径的圆经过点．13.已知函数)0(ln 1)(>+-=a x axxx f . (1)若函数)(x f 在),1[+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)当1=a 时，求)(x f 在]2,21[上的最大值和最小值；(3)求证：对任意大于1的正整数n ，nn 1413121ln ++++>Λ恒成立. 3．解：(1)由已知得),0(1)('2>-=x ax ax x f 依题意得012≥-ax ax 对任意),1[+∞∈x 恒成立 即x a ax 101≥⇒≥-对任意),1[+∞∈x 恒成立，而1,1)1(max ≥∴=a x(2)当1=a 时，,1)('2xx x f -=令,0)('=x f 得,1=x 若]1,21[∈x 时，,0)('<x f 若]2,1[∈x 时，,0)('>x f 故1=x 是函数在区间]2,21[上的唯一的极小值，也是最小值， 即,0)1()(min ==f x f 而,2ln 21)2(,2ln 1)21(+-=-=f f 由于,0216ln ln 2ln 223)2()21(3>-=-=-e f f 则2ln 1)21()(max -==f x f (3)当1=a 时，由(1)知x xxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上为增函数 当*,,1N n n ∈>令,1-=n nx 则,1>x 所以0)1()(=>f x f 即n n n n n n n n n n n nn n f 11ln 01ln 11ln 111)1(>-⇒≥-+-=-+---=- 所以nn n 11ln ,3123ln ,2112ln>->>Λ，各式相加得 nn n n n n 13121ln )12312ln(1ln 23ln 12ln+++>=-⨯⨯⨯=-+++ΛΛΛ。
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理科数学重点临界辅导材料（2）一、选择题1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.452．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．63．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C. y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124 B.112 C.16 D.135.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2 二、填空题7．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)，若AC →·BC →＝－1，则1＋tan α2sin 2α＋sin 2α的值为________．8．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为________．9．设函数f (x )＝x 2＋2x(x ≠0)．当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________．10．(2014·安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： (1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1,0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)3； ③直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x . 三、解答题11．已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6. (1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC ＝3，求a 的值．12．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求函数g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x的大小关系； (3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．13 已知函数f (x )＝14x ＋2(x ∈R )．(1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12；(2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝f (n m)(m ∈N *，n ＝1,2，…，m )，求数列{a n }的前m 项和S m ；(3)设数列{b n }满足b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ，T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，若(2)中的S m 满足对不小于2的任意正整数m ，S m <T n 恒成立，试求正整数m 的最大值．参考答案1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45答案 B解析 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点， 则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.2．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．6 答案 B解析 由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6， 可得2×5cos θ＝－6⇒cos θ＝－35.又θ∈[0，π]，所以sin θ＝45.从而|a ×b |＝2×5×45＝8.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124 B.112 C.16 D.13答案 A解析 因为2＋log 23＜4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23＞4， 所以f (2＋log 23)＝23log 31()2+＝18×2log 31()2＝18×13＝124. 4．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数 答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．5.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,0)答案 D解析 依题意，由点D 是圆O 外一点， 可设BD →＝λBA →(λ>1)， 则OD →＝OB →＋λBA → ＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)， 则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ.故m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．故选D.6．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2 答案 B解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.方法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值， 所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方， 故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小， 所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2， 所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B.7．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)，若AC →·BC →＝－1，则1＋tan α2sin 2α＋sin 2α的值为________． 答案 －95解析 由AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， 得AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23，∴2sin αcos α＝－59，1＋tan α2sin 2α＋sin 2α＝1＋sin αcos α2sin 2α＋2sin αcos α ＝12sin αcos α＝－95.8．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为________．答案 43解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)(x －1)(a <0)． 因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2. 所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x ＝⎪⎪⎪2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 310＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 9．设函数f (x )＝x 2＋2x(x ≠0)．当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________．答案 3解析 令g (x )＝f (x )－f (a )，即g (x )＝x 2＋2x －a 2－2a，整理得：g (x )＝1ax(x －a )(ax 2＋a 2x －2)．显然g (a )＝0，令h (x )＝ax 2＋a 2x －2. ∵h (0)＝－2<0，h (a )＝2(a 3－1)>0，∴h (x )在区间(－∞，0)和(0，a )各有一个零点．因此，g (x )有三个零点，即方程f (x )＝f (a )有三个实数解． 10．(2014·安徽)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： (1)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1,0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)3； ③直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x . 答案 ①③④解析 ①中由y ＝x 3得y ′＝3x 2. 又当x ＝0时，切线斜率为0，故函数y ＝x 3在点(0,0)处的切线方程为y ＝0. 结合图象知①正确．②中由y ＝(x ＋1)3得y ′＝3(x ＋1)2.又当x ＝－1时，切线斜率为0，故函数y ＝(x ＋1)3在点(－1,0)处的切线方程为y ＝0， 故②不正确．③中由y ＝sin x 得y ′＝cos x . 又当x ＝0时，切线斜率为1，故函数y ＝sin x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 结合图象知③正确．④中由y ＝tan x 得y ′＝1cos 2x .又当x ＝0时，切线斜率为1，故函数y ＝tan x 在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 结合图象知④正确． ⑤中由y ＝ln x 得y ′＝1x.又当x ＝1时，切线斜率为1，故函数y ＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1， 结合图象可知⑤不正确．11．已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6. (1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC ＝3，求a 的值．解 (1)f (x )＝a ·b －12＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx －12＝1＋cos 2ωx 2＋32sin 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.当x ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ3＋π6＝±1，即ωπ3＋π6＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<ω<2，∴ω＝1.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1，在△ABC 中，0<A <π，π6<A ＋π6<76π，∴A ＋π6＝π2，A ＝π3.由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝1，得c ＝4.由余弦定理得a 2＝42＋12－2×4×1×cos π3＝13，故a ＝13.12．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求函数g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．解 (1)由题意，得g (x )＝ln x ＋1x，x >0，所以g ′(x )＝x －1x 2，且x >0， 令g ′(x )＝0，得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 故(0,1)是g (x )的单调减区间， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. 故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以最小值为g (1)＝1.(2)由(1)知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，且x >0. 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ； 当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ， 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . (3)由(1)知，g (x )的最小值为g (1)＝1，所以g (a )－g (x )<1a 对∀x >0成立⇔g (a )－1<1a. 则ln a ＋1a －1<1a，即ln a <1， 所以0<a <e.故实数a 的取值范围是(0，e)．13 已知函数f (x )＝14x ＋2(x ∈R )． (1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12； (2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝f (n m )(m ∈N *，n ＝1,2，…，m )，求数列{a n }的前m 项和S m ；(3)设数列{b n }满足b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ，T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，若(2)中的S m 满足对不小于2的任意正整数m ，S m <T n 恒成立，试求正整数m 的最大值．(1)证明 因为f (x )＝14x ＋2， 所以f (1－x )＝14＋2＝4x 4＋2·4＝4x 2(4＋2). 所以f (x )＋f (1－x )＝14x ＋2＋4x 2(4x ＋2)＝2＋4x 2(4x ＋2)＝12. (2)解 由(1)，知f (x )＋f (1－x )＝12， 所以f (k m )＋f (1－k m )＝12(1≤k ≤m －1，k ∈N *)， 即f (k m )＋f (m －k m )＝12.所以a k ＋a m －k ＝12，a m ＝f (m m )＝f (1)＝16. 又S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m －1＋a m ，① S m ＝a m －1＋a m －2＋…＋a 1＋a m ，②由①＋②，得2S m ＝(m －1)×12＋2a m ＝m 2－16， 即S m ＝m 4－112(m ∈N *)． (3)解 由b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)， 显然对任意n ∈N *，b n >0， 则1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1， 即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1， 所以T n ＝(1b 1－1b 2)＋(1b 2－1b 3)＋…＋(1b n －1b n ＋1) ＝1b 1－1b n ＋1＝3－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0，所以b n ＋1>b n ，即数列{b n }是单调递增数列． 所以T n 关于n 递增，所以当n ∈N *时，T n ≥T 1.因为b 1＝13，b 2＝(13)2＋13＝49， 所以T n ≥T 1＝3－1b 2＝34. 由题意，知S m <34，即m 4－112<34，解得m <103， 所以正整数m 的最大值为3.。