广东省六校2012届高三第二次联考试题(数学文)

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2012年广东省高考文科数学试题参考答案+试卷分析

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设i 为虚数单位，则复数34i i+=A. 43i i --B. 43i i -+C. 43i +D. 43i - 解：分子分母同乘以-i ，得D 选项为正确选项 2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则U M ð= A.{2.4.6} B.{1.3.5} C.{1.2.4} D.U 解：A3.若向量(1,2)AB = ，(3,4)BC =，则AC =A.（4.6）B.（-4,-6）C.（-2，-2）D.（2，2）解：AC=AB+BC=（4，6），选A 4.下列函数为偶函数的是.sin A y x = 3.B y x = .x C y e =2.l n 1D y x =+ 解：A 、B 为奇函数，C 非奇非偶函数，所以选D 分析：前4题难度不大，属于基础考察。

5.已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为 6.A ．3 B.1 C.-5 D.-6 解：画出可行域可知，当x=-1，y=-2时Z 有最小值为-5，选C 6.在ABC 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，BC=32，则AC= A ．43 B 23 C.3 D32解：BC=a ，AC=b ，用正弦定理解得b=asinB/sinA=3√2*(√2/2)/(√3/2)=2√3，选B 7．某几何的三视图如图1所示，它的体积为A ．72πB 48π C.30π D.24π解：上半部分为半圆，下半部分为圆锥，选C8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A ．33 B23 C 3 D 1 解：因为弦心距为1d =,所以弦AB 的长等于24123-=，选B 9．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．1 解：选C分析：第56789题是中等难度的题型，计算量比前4题稍大 10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且.a b 和.b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩中，则.a b =A ．52 B ．32 C ．1 D ．12解：a b =a ﹒b/b ﹒b=|a||b|cos θ/|b|^2=|a|cos θ/|b|b 。

2012高考广东文科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)本试卷21小题，满分150分，考试用时120分钟．参考公式：柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．球的体积公式V ＝43πR 3，其中R 为球的半径．一组数据x 1，x 2，…，x n的标准差s =，其中x 表示这组数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数34i i+=( )A ．－4－3iB ．－4＋3iC ．4＋3iD ．4－3i2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则U M ＝()A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量AB＝(1,2)，BC ＝(3,4)，则A C ＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2) 4．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3C ．y ＝e x D．y =5．已知变量x ，y 满足约束条件1,1,10,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－66．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC =AC ＝( )A．B．C D．27．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72πB．48πC．30πD．24π8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长等于()A．B．C D．19．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为()A．105 B．16 C．15 D．110．对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅αβαβββ.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈(π4，π2)，且a∘b和b∘a都在集合{2n|n∈Z}中，则a∘b＝()A．52B．32C．1 D．12二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)11．函数yx=的定义域为__________．12．若等比数列{a n}满足a2a4＝12，则2135a a a=__________.13．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________．(从小到大排列)(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14． (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数，0≤θ≤π2)和1,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________．15． (几何证明选讲选做题)如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA ．若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝__________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知函数f (x )＝A cos(π46x +)，x ∈R，且π()3f =.(1)求A 的值； (2)设α，β∈[0，π2]，430(4π)317f α+=-，28(4π)35f β-=，求cos(α＋β)的值．17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.18E 是PB的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD =FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积；(3)证明：EF ⊥平面P AB ．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221x y ab+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．21．设0＜a ＜1，集合A ＝{x ∈R |x ＞0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0}，D ＝A ∩B ． (1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．1． D2234i (34i)i3i 4i ii ii++⨯+==⨯＝－(3i －4)＝4－3i.2．C ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}， ∴U M ＝{3,5,6}．3． A A C ＝AB＋BC ＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．4． D ∵函数()f x =R 且f (－x )＝=＝f (x )，∴f (x )是偶函数．5． C 由约束条件作出可行域如图所示，当z ＝x ＋2y 过点A 时z 取得最小值，联立方程组10,1,x x y +=⎧⎨-=⎩得1,2,x y =-⎧⎨=-⎩∴z min ＝－1＋2×(－2)＝－5.6． B 由正弦定理得sin sin B C A C AB=，即sin 60sin 45AC =︒︒，解得AC =7． C 由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体，∴其体积V ＝14π23⨯×33＋1π3×32×4＝30π.8． B 圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为r ＝2. 所以圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离为1d ==，故弦AB 的长为==.9． C i ＝1，s ＝1；i ＝3，s ＝3；i ＝5，s ＝15；i ＝7时，输出s ＝15. 10． D 由定义可知2cos cos θθ⋅⋅⋅===⋅⋅ a b a a b a b b b bb.2cos cos θθ⋅⋅===⋅⋅ b a b b a b a a aaa.∵a ∘b ，b ∘a ∈{2n |n ∈Z }．设a ∘b ＝2m ，b ∘a ＝2n (m ，n ∈Z )，则cos 2m θ⋅=a b，cos 2n θ⋅=b a，两式相乘，得cos 2θ＝4m n .又∵θ∈(π4，π2)，∴cos θ∈(0，2)，故cos 2θ∈(0，12)，即1042m n <<.∴0＜mn ＜2，又∵m ，n ∈Z ， ∴m ＝n ＝1. ∴a ∘b ＝122m =.11． [－1,0)∪(0，＋∞)要使函数y x=有意义须10,0,x x +≥⎧⎨≠⎩即1,0,x x ≥-⎧⎨≠⎩∴定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)． 12．答案：14解析：由等比数列的性质得a 2·a 4＝a 1·a 5＝2312a =，∴21351··4a a a =.13．答案：1,1,3,3解析：设该组数据依次为x 1≤x 2≤x 3≤x 4，则123424x x x x +++=，2322x x +=，∴x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.∵x 1，x 2，x 3，x 4∈N ＋， ∴12341,1,3,3,x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或12342,2,2,2,x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或12341223x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩又∵标准差为1，∴x 1＝1，x 2＝1，x 3＝3，x 4＝3.14．答案：(2,1)解析：由C 1得x 2＋y 2＝5①，且00x y ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩由C 2得x ＝1＋y ②，∴由①②联立得225,1,x y x y ⎧+=⎨=+⎩得2,1.x y =⎧⎨=⎩15．解析：∵直线PB 与圆O 相切于点B ， ∴∠PBA ＝∠ACB又∵∠PBA ＝∠DBA ∴∠ACB ＝∠DBA 又∵∠BAD ＝∠BAC ∴△ABD ∽△ACB ∴A B A D A CA B=，即AB 2＝AC ·AD ＝nm ，∴AB =16．解：(1)由π()3f =得ππcos()126A +=，故A ＝2. (2)∵3017-＝f (4α＋43π)＝14ππ2cos[(4)]436α++＝2cos(α＋π2)＝－2sin α， 85＝f (4β－23π)＝12ππ2cos[(4)]2cos 436ββ-+=，∴15sin 17α=，4cos 5β=.∵α，β∈[0，π2]，∴8cos 17α===，3sin 5β===.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝841531317517585⨯-⨯=-.17．解：(1)由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a )×10＝1.所以a ＝0.005.(2)该100名学生的语文成绩的平均分约为x ＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.(3)由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：18．解：(1)由于AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，故AB ⊥PH ．又因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，故AD ⊥PH ．∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD．∴PH⊥平面ABCD．(2)由于PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH＝1，故E到平面ABCD的距离h＝12PH＝12．又因为AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD，故S△BFC＝12·CF·AD＝1122⋅因此V E－BCF＝12S△BCF·h＝11=32212⋅⋅．(3)证明：过E作EB∥AB交P A于G，连接DG．由于E为PB的中点，所以G为P A的中点，因为DA＝DP，故△DP A为等腰三角形，所以DG⊥PA．∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面P AD，∴AB⊥DG．又∵AB∩P A＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴DG⊥平面PAB．又∵GE12AB，DF12AB，∴GE DF．所以四边形DFEG为平行四边形．故DG∥EF，于是EF⊥平面PAB．19．解：(1)由题意有S1＝T1＝2S1－1．故a1＝2a1－1．于是a1＝1．(2)由T n＝2S n－n2得T n－1＝2S n－1－(n－1)2，n≥2．从而S n＝T n－T n－1＝2a n－(2n－1)，n≥2．由于a1＝S1＝1，故对一切正整数n都有S n＝2a n－(2n－1)，①因此S n－1＝2a n－1－(2n－3)，n≥2．②①－②得a n＝2(a n－a n－1)－2，n≥2．于是a n＝2a n－1＋2，故a n＋2＝2(a n－1＋2)，n≥2．∵a1＋2＝3，∴{a n＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．∴a n＝3·2n－1－2．20．解：(1)由C1的左焦点F1的坐标为(－1,0)知c＝1，因为点P(0,1)在C1上，所以b＝1，于是a故C1的方程为22+=12xy．(2)由题设l同时与C1和C2相切，设切点分别为A和B，点B的坐标为(x0，y0)，显然x0＞0．当点B在第一象限时，点B的坐标为(x0,，考虑抛物线C 2在第一象限的方程y x ＞0．因为1'=y ，所以ll的方程为：=y由假设直线l 与椭圆C 1相切，因此方程组22==1 2y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩①② 有唯一解，将①代入②并整理得：(x 0＋2)x 2＋4x 0x ＋2x 0(x 0－1)＝0，所以∆＝2016x －8(x 0＋2)x 0(x 0－1)＝－8x 0(x 0＋1)(x 0－2)＝0．因为x 0＞0，所以x 0＝2．当x 0＝2时，直线l的方程为：=2y x +易验证l 是C 1的切线．由对称性，当切点B 在第四象限时，可得l的方程为：2y x =--综上所述，同时与C 1和C 2相切的直线方程为：2y x =+2y x =--．21． (1)解：2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＞0，∆＝［－3(1＋a )］2－4×2×6a ＝9(a 2＋2a ＋1)－48a ＝9a 2－30a ＋9 ＝3(3a －1)(a －3) ∵0＜a ＜1 ①当a ∈(13，1)时，∆＜0，此时不等式的解集为R ，∴B ＝R ，D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)． ②当1=3a 时，∆＝0，此时不等式的解集为{x |x ≠1}，∴B ＝{x |x ≠1}，D ＝A ∩B ＝(0,1)∪(1＋，∞)． ③当a ∈(0，13)时，∆＞0，方程2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0的两根为1,2=224x ⨯∴不等式的解为<4x 或>4x∴B ＝{x |<4x >4x ．又∵［3(a ＋1)2］＝9a 2＋18a ＋9＞9a 2－30a ＋94∴D ＝A ∩B ＝(04)∪4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2×3x 2－3(1＋a )×2x ＋6a＝6［x 2－(a ＋1)x ＋a ］＝6(x －a )(x －1) 又∵a ∈(0,1)∴当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(a,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． ∴f (x )的极大值点为a ，极小值为1．由(1)可知，当a ∈(13，1)时，D ＝(0，＋∞)此时f (x )在D 内有两个极值点，极大值点a ，极小值点1．当1=3a 时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)，此时f (x )在D 内只有一个极大值点a ．当a ∈(0，13)时，D ＝(04)∪4，＋∞)．与a 的大小．4a即：3－a 两边平方得：a －6a ＋9＞9a －30a ＋9 即8a 2－24a ＜0 也就是8a (a －3)＜0 ∵10<<3a ，∴4a ．又∵1＜a ＋1＜43∴33(1)<<144a +4．4与1的大小，北京天梯志鸿教育科技有限责任公司43a -两边平方得：9a －30a ＋9＜9a 2－6a ＋1 即：24a ＞8 解得1>3a这与已知a ∈(0，13)不符．4恒成立．所以，当a ∈(0，13)时，f (x )在区间D 内只有一个极大值点a ．综上，当a ∈(13，1)时，f (x )在D 内有两个极值点，极大值点a 和极小值点1．当a ∈(0，13］，f (x )在D 内只有一个极大值点a ．。

2012年广东高考文数试题版后面带答案

广东2012文科数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，则复数34ii+= A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i - 2．设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =，则U C M =A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}1,2,4D ．U3．若向量(1,2),(3,4)AB BC ==，则AC =A ． (4,6)B ． (4,6)--C ． (2,2)--D ． (2,2) 4．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e = D．y =5．已知变量,x y 满足约束条件11,10x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值为A ．3B ．1C ．5-D 6- 6．在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，BC =AC A ．B ．C ．D ．7．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A ．B ．C ．D ． 19．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为 A ． 105 B ． 16 C ． 15 D ． 110．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ 和βα 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．52 B ． 32 C ． 1 D ． 12二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题） 11．函数xx y 1+=的定义域为________________________． 12．若等比数列}{n a 满足2142=a a ，则=5231a a a _______________． 13．由整数组成的一组数据,,,,4321x x x x 其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据位_______________________．(从小到大排列) （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数，20πθ≤≤）和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22221t y tx （t为参数），则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，直线PB 与圆O 相切与点B ，D 是弦AC 上的点，DBA PBA ∠=∠，若,AD mA C n ==，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3(=πf ．（1）求A 的值；（2）设],2,0[,πβα∈1730)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．17．（本小题满分13分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．(1) 求图中a 的值(2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y之比如下表所示，求数学成绩在[)90,50之外的人数．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥平面PAD,AB CD,PD=AD,E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF=21AB,PH 为∆PAD 中AD 边上的高．（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF 的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和n s ，数列{}n s 的前n 项和为{}n T ，满足2*2,n n T S n n N =-∈．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 与椭圆1C 和抛物线22:4C y x =相切，求直线l 的方程．21．（本小题满分14分）设01a <<，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60A x R x a x a =∈-++>，D A B =．(1) 求集合D （用区间表示）；(2) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．选择题参考答案：1-5：DAADC 6-10：BCBCD 第10解析：由定义知：,2cos 21cos ||||2||||cos ||||)1(cos 2||||2||||cos ||||2nn b a n b b b a b b b a b a nb a n a a a b a a a b a b ∈∙⇒∈∙∙=∙∙==⇒=∙∙=∙∙=θθθθθ）代入得：将（因为），（2,4ππθ∈,取3πθ=，n 取1,即可得答案21填空题答案：12：),0()0,1[+∞⋃- （注意，写成集合形式也给分}0{}01|{+∞≤<⋃≤<-x x x13:41 14: 1 1 3 315: 参数方程极坐标：)1,2(几何证明选做题：mn16, 解：分分分4232224cos 1)6341cos()3( =⇒=∙==+⨯=A A A A f ππππ （2）：分分分分，由于分分分分1285135317155417811sin sin cos cos )cos(1053)54(1cos 1sin 9178)1715(1sin 1cos ],2,0[854cos 58cos 2]6)324(41cos[2)324(71715sin 61730sin 25)2cos(2]6)344(41cos[2)344(2222 -=⨯-⨯=-=+=-=-==-=-=∈=⇒==+-=-=⇒-=-=+=++=+βαβαβαββααπβαββππβπβααπαππαπαf f17. 解 (1):分分3005.021)02.003.004.0(10 ==++++⨯a a a(2):50-60段语文成绩的人数为：人5100%100005.010=⨯⨯⨯ 3.5分 60-70段语文成绩的人数为：人40100%10004.010=⨯⨯⨯4分 70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=⨯⨯⨯80-90段语文成绩的人数为：分人520100%10002.010 =⨯⨯⨯ 90-100段语文成绩的人数为：5.55100%100005.010 人=⨯⨯⨯分8735.7100595208530754065555 =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x (3):依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人………………………………9分 60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=人204021=⨯……10分 70-80段数学成绩的的人数为=人403034=⨯ ………………………………………11分 80-90段数学成绩的的人数为= 人252045=⨯………………………………………12分90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----……………………13分18（1）：A B C DP H P AD P AD AB P AD 平面所以平面，面又中的高为⊥=⋂⊥∴⊂⊥⊥∴∆A AD AB AB PH PH ADPHPH…………………………………………………………………………4分(2):过B 点做BG G CD BG ，垂足为⊥；连接HB,取HB 中点M ，连接EM ，则EM 是BPH ∆的中位线ABCD )1(平面知：由⊥PHABCD 平面⊥∴EMBCF 平面ＥＭ⊥∴即EM 为三棱锥BCF -E 底面上的高BG FC ∙=∆21S BCF =222121=⨯⨯………………………………………………………………………6分………………………………………………………………………………………………………………………8分（3）：取AB 中点N ，PA 中点Q ，连接EN ，FN ，EQ ，DQ2121=PH ＥＭ＝12221223131=⨯⨯=∙∙=-EMS V BCF BCF ENFN EN FN AB NADF AB21DF //EN P AB EN P AD P AD AB P AD ,//=⋂⊥∴∴=⊥∴∴∆⊥∴⊂⊥∴⊥是距形四边形又的中位线是又平面，平面平面 ENAB PAPAAB PA CD CD AB…………………………………………………………………………………………………………………13分19解：(1):21112-=a a ………………………………………………3分 11=a …………………………………………………………5分（2）①②…………………………6分①-②得：122+-=n a S n n ……………… ③………………………7分在向后类推一次1)1(2211+--=--n a S n n ……… ④…………………………8分③-④得：2221--=-n n n a a a …………………………………………9分221+=-n n a a …………………………………………………10分 )2(221+=+-n n a a ……………………………………………12分的数列公比为是以首项为2,32}2{1=++a a n …………13分NEFAB N NE NF NF AB NADF ABEF NEF EF NEF AB 平面是距形四边形平面又平面⊥∴=⋂⊥∴∴⊥∴⊂⊥∴ 22n S T n n -= 211)1(2--=--n S T n n1232-⨯=+∴n n a2231-⨯=∴-n n a ………………………………………………14分20解：(1):依题意：c=1,…………………………………………………………………………1分则：122+=b a,…………………………………………………………………………2分设椭圆方程为：1122=++by b x ………………………………………………………………3分将)1,0(P 点坐标代入，解得：12=b …………………………………………………………4分所以211122=+=+=b a故椭圆方程为：1222=+y x ……………………………（2）设所求切线的方程为：m kx y +=……………………………………………6分⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y xmkx y 消除y)22)(12(4)4(2221-+-=∆m k km ………7分化简得：1222=-k m ①………………………………………………………8分同理：联立直线方程和抛物线的方程得：⎩⎨⎧=+=xy mkx y 42消除y 得：0)42(222=+-+m x km x k04)42(2222=--=∆m k km ……………………………………………………………………9分化简得：1=km ② …………………………………………………………………………10分将②代入①解得：01224=-+k k 解得：22,221(,2122-==-==k k k k 或者舍去），故 21,21-=-===m k m k 时，当时，当………………………………………………………12分 0)22(4)12(222=-+++m kmx x k故切线方程为：222222--=+=x y x y 或者…………………………………………………14分 21, 解：（1）集合B 解集：令06)1(322=++-a x a xa a 624)]1(3[2⨯⨯-+-=∆)3)(13(3--=a a (1):当0<∆时，即：时131<<a ，B 的解集为：}|{R x x ∈此时)0|{>∈==⋂=x R x A B A D （2）当)3(,310舍去时，解得===∆a a 此时，集合B 的二次不等式为：02422>+-x x ，0)1(2>-x ，此时，B 的解集为：}1,{≠∈x R x 且故：),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D （3）当时，0>∆即舍去）3(310><<a a 此时方程的两个根分别为：4)3)(31(3)131a a a x ---+=（=2x 4)3)(31(3)13a a a --++（很明显，0,31012>><<x x a 时故此时的),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(,(),0(21+∞--++⋃---+=+∞⋃=⋂=a a a a a a x x B A D （（）综上所述：当=<<D ,310时a ),4)3)(31(3)13()4)3)(31(3)13,0(+∞--++⋃---+a a a a a a （（当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D 0)1)((=--x a x此时方程的两个根为：121==x ax （ⅰ）当=<<D ,310时a ),(),0(21+∞⋃x x),4)3)(31(3)13(4)3)(31(3)130+∞--++⋃---+=a a a a a a D （）（，（即： ax a a a a a a a a a a a ax >∴>-∴<<-=--------=-1210)3(8310)3(8)3)(31(3)34)3)(31(33 （将分子做差比较：故当，是一个极值点a x ==-11x 4)3)(31(3)1(314)3)(31(3)13a a a a a a ----=----+（分子做差比较：所以11<x又=-12x 14)3)(31(3)13---++a a a（4)31()3)(31(3a a a ----=分子做差比较法：0)31(8)31()3)(31(32>-=----a a a a ，故12>x ,故此时1=x 时的根取不到，（ⅱ）当31=a 时，),1()1,0(+∞⋃=⋂=B A D ，此时，极值点取不到x=1极值点为(31,)2716-0)13(8)3)(31(3)13(2<-=----a a a a（ⅲ）当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D ,极值点为：1 和a 总上所述：当,310时≤<a )(x f 有1个,a 极值点当时131<<a ，)(x f 有2个极值点分别为1 和a当时131<<a ，)0|{>∈=x R x D(2)极值点，即导函数的值为0的点。

2012年广东省广州市二模试题(文数,精校版)

图1895x 061162y 116987乙甲试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2012．4．24本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A 满足{}1,2A ⊆，则集合A 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 2．已知i 为虚数单位，复数1z a =+i ,22z =-i ,且12z z =，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．±2或03．已知双曲线221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ．4 B ．14 C ．14- D ．4- 4．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图1，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．105．已知向量()()3,4,6,3,O A O B =-=-，(),1OC m m =+，若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．32-B ．14-C ．12D ．326．已知函数()f x =e x -e 1x -+ (e 是自然对数的底数)，若()2f a =，则()f a -的值为 A ．1--e B ．-e C ．e D ． 1+e7. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，//l α，//l β B ．m l ⊥，l αβ=，m α⊂C ．//m l ，l β⊥，m α⊂D ．//m l ，m α⊥，l β⊥ 8．下列说法正确的是A ．函数()1f x x=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，210x x ++<”D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题9．阅读图2的程序框图, 该程序运行后输出的k 的值为 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10.已知实数,a b 满足22430a b a +-+=，函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ，则(),a b ϕ的最小值为A ．1B ．2C 1D ．3 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11～13题）11．不等式2230x x +-<的解集是 .12．如图3，,A B 两点之间有4条网线连接，每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为5的概率是 .13．已知点P 是直角坐标平面xOy 上的一个动点，OP =（点O 为坐标原点），点()1,0M -，则cos OPM ∠的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则顶点C 的极坐标为 .15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2BC OB =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，BD ，则ADBD的值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数()()()cos sin cos sin f x x x x x =+-. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若0,022ππαβ<<<<，且12,2323f f αβ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ-的值. 17．（本小题满分12分）某工厂欲将这三种食物混合成100kg 的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为x kg 、y kg 、z kg. (1) 试以x 、y 表示混合食物的成本P ；（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问x 、y 、z 取什么值时，混合食物的成本最少？ 18. （本小题满分14分）某建筑物的上半部分是多面体MN ABCD -, 下半部分是长方体1111ABCD A B C D -(如图5). 该建筑物的正（主）视图和侧（左）视图如图6, 其中正（主）视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧（左）视图由长方形和等腰三角形组合而成.（1）求线段AM 的长；（2）证明：平面ABNM ⊥平面CDMN ；（3）求该建筑物的体积.19．（本小题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点1F ，直线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点. （1）求直线l 的方程；（2）若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的长轴长取得最小值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标.20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n ∈N *，都有0n a >且()()122n n n a a S -+=，令1ln ln n n na b a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）使乘积12k b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为整数的(k k ∈N *)叫“龙数”，求区间[]1,2012内的所有“龙数”之和；（3）判断n b 与1n b +的大小关系，并说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间;（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．()3,1- 12. 13 13.⎤⎥⎣⎦14.23π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 15.说明：第14题答案可以是22(3k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ) 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数的图象与性质、二倍角的余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1）解：∵()()()cos sin cos sin f x x x x x =+-22cos sin x x =-cos2x =, …………… 4分∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. …………… 6分（2）解：由（1）得()cos2f x x =. ∵12,2323f f αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴12cos ,cos 33αβ==. ∵0,022ππαβ<<<<，∴sin 3α==，sin β==. ……………10分∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- ……………11分21333=-=……………12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查线性规划等知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：依题意得100,543.x y z P x y z ++=⎧⎨=++⎩…………… 2分由100x y z ++=，得100z x y =--，代入543P x y z =++，Q 1P 1Q PONMD CBAB 1C 1D 1A1得3002P x y =++. …………… 3分(2) 解:依题意知x 、y 、z 要满足的条件为0,0,0,30050030035000,70010030040000.x y z x y z x y z ≥≥≥⎧⎪++≥⎨⎪++≥⎩……… 6分把100z x y =--代入方程组得0,0,1000,250,25.x y x y x y y ≥≥⎧⎪--≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩…… 9分如图可行域（阴影部分）的一个顶点为A ()37.5,25.… 10分让目标函数2300x y P ++=在可行域上移动,由此可知3002P x y =++在A ()37.5,25处取得最小值. ………∴当37.5x =(kg),25y =(kg),37.5z =(kg)时, 混合食物的成本最少. ……… 12分18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）解：作MO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接AO ，由于AB ⊂平面ABCD ，故MO AB ⊥.作MP AB ⊥，垂足为P ，连接PO ，又MOMP M =，且MO ⊂平面MPO ，MP ⊂平面MPO ，∴AB ⊥平面MPO . 由题意知1,MO PO AP ===14AA =，2AD =，…… 2分在R t △POM中，PM == …………… 3分在R t △APM中，AM ==， …………… 4分∴线段AM…………… 5分（2）解：延长PO 交CD 于点Q ，连接MQ ，由（1）知AB ⊥平面MPO . ∵MQ ⊂平面MPO ，∴AB ⊥MQ .∵//MN AB ，∴MN MQ ⊥. ……… 6分在△PMQ中，2MQ MP PQ ===，∵2224MP MQ PQ +==，∴MP MQ ⊥. …………… 7分Q 1OQPN M D C BAB 1C 1D 1A 1∵,MP MN M MP =⊂平面ABNM ，MN ⊂平面ABNM ，∴MQ ⊥平面ABNM . ∵MQ ⊂平面CDMN ，∴平面ABNM ⊥平面CDMN .… 9分（3）解法1：作1//NP MP 交AB 于点1P ，作1//NQ MQ 交CD 于点1Q ，由题意知多面体MN ABCD -可分割为两个等体积的四棱锥M APQD -和11N P BCQ -和一个直三棱柱11MPQ NPQ -.四棱锥M APQD -的体积为113V AP AD MO =1212133=⨯⨯⨯=， ………… 10分直三棱柱11MPQ NPQ -的体积为2112222V MP MQ MN ==⨯=，…11分 ∴多面体MN ABCD -的体积为122V V V =+2102233=⨯+=. …………… 12分长方体1111ABCD A B C D -的体积为3142432V AB BC AA ==⨯⨯=. ……… 13分∴建筑物的体积为31063V V +=. ……… 14分解法2：如图将多面体MN ABCD -补成一个直三棱柱1ADQ BCQ -，依题意知1111AQ DQ BQ CQ MQ NQ ======，2AD =. 多面体MN ABCD -的体积等于直三棱柱1ADQ BCQ -的体积减去两个等体积的三棱锥M ADQ -和1N BCQ -的体积. ∵2224AQ DQ AD +==，∴90AQD ︒∠=.直三棱柱1ADQ BCQ -的体积为1114422V AQ DQ AB ==⨯=， (10)分三棱锥M ADQ -的体积为2V =11111132323AQ DQ MQ =⨯=. … 11分∴多面体MN ABCD -的体积为V =122102433V V -=-=. …… 12分长方体1111ABCD A B C D -的体积为3142432V AB BC AA ==⨯⨯=. ……… 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. ……………… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) （1）解法1：由22,4y x m x y=+⎧⎨=⎩消去y ，得2840x x m --=. …………… 1分∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共点，∴28440m ∆=+⨯=，解得4m =-.… 3分 ∴直线l 的方程为24y x =-. …………… 4分解法2：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为()00,x y ，由214y x =，得'12y x =， ∴直线l 的斜率0'012x x k yx ===.依题意得0122x =，解得04x =. ………… 2分把04x =代入抛物线2C 的方程，得04y =. ∵点( ∴424m =⨯+，解得4m =-. ∴直线l 的方程为y （2）解法1：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()(120,1,0,1F F - 设点()10,1F 关于直线l 的对称点为()'100,Fx y ，则0000121,12 4.22y x y x -⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩…………… 7分解得004,1.x y =⎧⎨=-⎩ ∴点()'14,1F -. ∴直线l 与直线'12:1F F y =-的交点为03,12P ⎛⎫-⎪⎝⎭由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C 的长轴长'12122a PF PF PF PF =+=+'1F ≥ 其中当点P 与点0P 重合时，上面不等式取等号.∴当2a =时，椭圆1C 的长轴长取得最小值，其值为4此时椭圆1C 的方程为22143y x +=，点P 的坐标为3,2⎛- ⎪⎝⎭. …………… 14分解法2：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()()120,1,0,1F F -. …………… 5分设椭圆1C 的方程为()2222111y x a a a +=>-，由222224,11y x y x aa =-⎧⎪⎨+=⎪-⎩消去y ，得()()()()22222541611160a x a x a a ---+--=.（*） …………… 7分由()()()()222221614541160a a a a ⎡⎤∆=-----≥⎣⎦， …………… 8分得425200a a -≥. 解得24a ≥. ∴2a ≥. …………… 11分 ∴当2a =时，椭圆1C 的长轴长取得最小值，其值为4. …………… 12分此时椭圆1C 的方程为22143y x +=. 把2a =代入（*）方程，得3,12x y ==-， ∴点P 的坐标为3,12⎛⎫-⎪⎝⎭. …………… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：由于()()122nn na a S -+=222n n a a +-=，当1n =时，2111122a a a S +-==，整理得21120a a --=，解得12a =或11a =-. ∵0n a >， ∴12a =. …………… 2分当2n ≥时，1n n n a S S -=-22112222n n n n a a a a --+-+-=-， …………… 3分化简得22110n n n n a a a a -----=， ∴()()1110n n n n a a a a --+--=.∵0n a >， ∴11n n a a --=. …………… 4分∴数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列.∴()211n a n n =+-=+. 5分（2）解：∵1ln ln n n n a b a +==()()ln 2ln 1n n ++， ∴12k b b b ∙∙⋅⋅⋅∙()()ln 2ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1k k +=+ ()ln 2ln 2k +==()2log 2k +.… 6分令()2log 2k +m =，则22(mk m =-为整数）， …………… 7分由1222012m ≤-≤，得322014m≤≤， ∴2,3,4,,10m =.∴在区间[]1,2012内的k 值为231022,22,,22---， …………… 8分其和为()()()2310222222-+-++- ()231022229=+++-⨯()292121812⨯-=-- 2026=. …………… 10分（3）解法1：∵()()()()ln 2ln 11ln 1ln 1n n n b n n ++=>=++ ∴()()()()1ln 3ln 2ln 2ln 1n n n n bn b n +++=++()()()2ln 3ln 1ln 2n n n ++=+ ()()()22ln 3ln 12ln 2n n n +++⎡⎤⎢⎥⎣⎦<+ ()()()22ln 314ln 2n n n ++⎡⎤⎣⎦=+ ()22231ln 24ln 2n n n ⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦<+ 1=. ∴1n nb b +<. … 14分解法2：∵()()()()ln 2ln 11ln 1ln 1n n n b n n ++=>=++， ∴()()()()1ln 3ln 2ln 2ln 1n n n n b b n n +++-=-++()()()()()2ln 3ln 1ln 2ln 2ln 1n n n n n ++-+=++()()()()()22ln 3ln 1ln 22ln 2ln 1n n n n n +++⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦<++ ()()()()()22ln 31ln 22ln 2ln 1n n n n n ++⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=++ ()()()222131ln ln 222ln 2ln 1n n n n n ⎡⎤+++⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦<++0=.∴1n n b b +<. …………… 14分解法3：设()()()ln 12ln x f x x x +=≥，则()()'211ln ln 11ln x x x x f x x-++=.……… 11分 ∵2x ≥，∴()()1111ln ln 1ln ln 101x x x x x x x x-+<-+<+. ∴()'0fx <. ∴函数()f x 在[)2,+∞上单调递减.∵n ∈N *，∴212n n ≤+<+. ∴()()21f n f n +<+.∴()()()()ln 3ln 2ln 2ln 1n n n n ++<++. ∴1n n b b +<. …………… 14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞. ()2111ax x f x ax x x--'=-+=-.… 2分 ① 当0a =时，()1x f x x+'=，∵0,x > ∴()'0f x > ∴ 函数()f x 单调递增区间为()0,+∞. …………… 3分② 当0a ≠时，令()0f x '=得210ax x x---=， ∵0,x >∴210ax x --=. ∴14a ∆=+.（ⅰ）当0∆≤，即14a ≤-时，得210ax x --≤，故()0f x '≥， ∴ 函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞. …………… 4分（ⅱ）当0∆>，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为112x a =，212x a+=. …………… 5分若104a -<<，则120,0x x <<，此时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>. ∴函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，若0a >，则120,0x x <>，此时，当()20,x x ∈时，()0f x '>，当()2,x x ∈+∞时，()0,f x '<∴函数()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为12a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间. ………… 8分（2）解：由(1)得当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；则()f x 有极大值，其值为222221()ln 2f x x ax x =-+，其中2x =. … 10分而22210ax x --=，即2221ax x =+，∴2221()ln 2x f x x -=+. … 11分设函数1()ln (0)2x h x x x -=+>，则'11()02h x x =+>， …………… 12分则1()ln 2x h x x -=+在()0,+∞上为增函数.又(1)0h =，则()0h x >等价于1x >. ∴2()f x =221ln 2x x -+0>等价于21x >. …………… 13分即在0a >时，方程210ax x --=的大根大于1，设2()1x ax x ϕ=--，由于()x ϕ的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0,1)-，对称轴102x a=>，则只需(1)0ϕ<，即110a --<解得2a <，而0a >，故实数a 的取值范围为()0,2. ……………… 14分。

广东省汕头市2012届高三下学期第二次模拟试题(数学文)WORD版

广东省汕头市2012届高三下学期第二次模拟试题文科数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设全集{}U 33,x x x =-<<∈Z ，{}1,2A =，{}2,1,2B =--，则()U A B ð等于 A ．{}1 B ．{}2 C ．{}1,2 D ．{}0,1,22、i 是虚数单位，复数1312i i-++的模为 A ．1 B ．2 CD．2 3、已知C ∆AB 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，4a =，b =30A =，则∠B 等于A ．60B ．60或120 C ．30 D ．30或150 4、数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且1a ，3a ，7a 为等比数列{}n b 的连续三项，则数列{}n b 的公比为AB ．2C ．4D ．12 5、若函数()log m f x x =的反函数的图象过点()1,n -，则3n m +的最小值是 A． B． C ．2 D ．52 6、已知l 、m 是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是A ．若l α⊥，αβ⊥，则//l βB ．若//l α，αβ⊥，则//l βC ．若l m ⊥，//αβ，m β⊂，则l α⊥D ．若l α⊥，//αβ，m β⊂，则l m ⊥7、在约束条件012210x y x y >⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩下，目标函数2z x y =+A ．有最大值2，无最小值B ．有最小值2，无最大值C ．有最小值12，最大值2 D ．既无最小值，也无最大值8、如图1，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.32 图19、“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、如果函数()f x 对任意的实数x ，存在常数M ，使得不等式()f x x ≤M 恒成立，那么就称函数()f x 为有界泛函．给出下面三个函数：①()1f x =；②()2f x x =；③()21x f x x x =++．其中属于有界泛函的是A ．①B ．②C ．③D ．①②③二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、双曲线2214y x -=-的渐近线方程是． 12、运行如图2所示的程序框图，若输入4n =，则输出的S 值为．13、已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，1a =，2b =，则2a b -= ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为1x t y t =⎧⎨=+⎩（参数R t ∈），圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（参数[)0,2θπ∈），则圆心C 到直线l 的距离是．15、（几何证明选讲选做题）如图3，四边形CD AB 内接于O ，C B 是O 的直径，MN 切O 于点A ，25∠MAB =，则DC ∠A = ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数()22cos 2x f x x =． ()1求函数()f x 的最小正周期和值域；()2若α为第二象限的角，且133f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos 21tan αα-的值．17、（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第五组[]17,18，图4是按上述分组方法得到的频率分布直方图．()1若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；()2设m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m ，[)[]13,1417,18n ∈，求事件“1m n ->”的概率．18、（本小题满分14分）如图5，在边长为4的菱形CD AB 中，D 60∠AB =．点E 、F 分别在边CD 、C B 上，点E 与点C 、D 不重合，F C E ⊥A ，FC E A =O ，沿F E 将C F∆E 翻折到F ∆PE 的位置，使平面F PE ⊥平面FD ABE ． ()1求证：D B ⊥平面POA ；()2记三棱锥D P -AB 体积为1V ，四棱锥D F P -BE 体积为2V ，且12V 4V 3=，求此时线段PO 的长．19、（本小题满分14分）已知数列{}n a 是等差数列，35a =，59a =．数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()12n n b S n *-=∈N ． ()1求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；()2若n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．20、（本小题满分14分）设函数()()322113f x x x a x =-++-，其中0a >． ()1若函数()y f x =在1x =-处取得极值，求a 的值；()2已知函数()f x 有3个不同的零点，分别为0、1x 、2x ，且12x x <，若对任意的 []12,x x x ∈，()()1f x f >恒成立，求a 的取值范围．21、（本小题满分14分）已知平面内一动点P 到定点1F 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离等于它到定直线12y =-的距离，又已知点()0,0O ，()0,1M ． ()1求动点P 的轨迹C 的方程；()2当点()()000,0x y x P ≠在()1中的轨迹C 上运动时，以MP 为直径作圆，求该圆截直线12y =所得的弦长； ()3当点()()000,0x y x P ≠在()1中的轨迹C 上运动时，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点A ，过点P 作()1中的轨迹C 的切线l 交x 轴于点B ，问：是否总有PB 平分F ∠AP ？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．汕头市201２年普通高中高三教学质量测评试题（二）数学（文科）参考答案和评分标准一、选择题答案：本大题共10小题，每小题5分，满分50分1. 答案D 解析：{2,1,0,1,2}U =--，{0,1}U B =ð，故(){0,1,2}U A B =ð．2. 答案C 解析：()()()()1312131,121212i i i i i i i -+--+==+++- 3. 答案 B 解析:sin sin sin sin 2a b b A B A B a =⇒==，又000180B B A <<>且,0060120B ∴=或4. 答案B 解析：()()22331711111426222a d a a a a d a a d a d q a d=⇒+=+⇒=⇒=== 5. 答案 A 解析：函数()log m f x x =的反函数为x y m =，1m n -=即1mn =，3m n +≥=6. 答案 D 解析：,//l l m lααβββ⊥⇒⊥⊂⇒又7. 答案A 解析：y x z +=2化为y =域如图，过点1,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 不在可行域内，所以z 无最小值。

广东省韶关市2012届高三数学第二次调研考试题目-文

广东省韶关市2012届高三下学期第二次调研考试数学试题（文科）本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1．考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2．选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。

答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回. 4. 参考公式：（１）锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．（２）样本数据12,,,n x x x 的方差，2211()n i i s x x n ==-∑，其中x 是这组数据的平均数.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数(1)i ai ⋅+是纯虚数，则实数a 的值是（）A.1B.1-C.0D.0或1-2．已知R 是实数集，{}2|20M x x x =->，N是函数y =R C N M =I （） A. (1,2)B. [0,2]C. ∅D. [1,2]3．设25025..12,25,()2.a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．c a b >>C ． a b c >>D ．b a c >>4．设0x 是方程3log 3x x =-的根，且0(,1)x k k ∈+，则k =（）A ．（0，1）B ．（1，3）C ．（3，4）D ．（4，+∞） 5．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（） A. 22(1)1x y -+= B. 22(1)1x y ++=C. 22(1)1x y +-=D. 22(1)1x y ++=6. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列四个命题：①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l ．其中正确的命题有（）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+（R x ∈）是（） A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数C. 周期为π2的奇函数D. 周期为π2的偶函数8．已知,x y 满足约束条件5000x y x y y ++⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则24z x y =+的最小值是（）A. 15-B. 16-C. 17-D. 18-9.执行如图1所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围（） A ．715816P <≤ B ．1516P > C ．715816P ≤< D ．3748P <≤10．定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，若1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 则()f x 的最大值等于（）A. 2B. 1C. 34D. 12[来二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．11．已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A 的纵坐标为35．则s i n α=_____________; tan 2α=_______________.12. 已知向量(1,1)a =，)2,1(=b ，且()()ka b b a -⊥+，则实数k 的值为13．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②从总体中抽取的样本12221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）图1③10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；④绘制频率分布直方图时，各个小长方形的面积等于相应各组的频率．其中正确的序号是_______________（注意：14、15题是选做题，只能做其中一个，两题全答只计前一题得分） 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，DE AD =，6,8==BD AB ,则DEAC= ; 15．（坐标系与参数方程选择题）已知直线l 的方程为11x ty t =+⎧⎨=-⎩，,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为1ρ=，则圆C 上的点到直线l 的最短距离等于 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足11n n a a +=+， 32a =.（1）求数列{}n a 通项公式；（2）若1()3n an b n =+，求{}n b 的通项公式及前n 项和．17．(本题满分12分)某中学在校就餐的高一年级学生有440名，高二年级学生有460名，高三年级学生有500名；为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级（很不满意）；2级（不满意）；3级（一般）；4级（满意）；5级（很满意），其统计结果如下表（服务满意度为x ，价格满意度为y ）.（1）求高二年级共抽取学生人数；（2）求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差；（3）为提高食堂服务质量，现从3<x 且42<≤y 的所有学生中随机抽取两人征求意见，求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.18．(本题满分14分)如图(1)在等腰ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 边的中点，现将ACD ∆沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .(如图(2)) (1)求证：//AB 平面DEF ； (2)求证：BD AC ⊥；(3)设三棱锥A BCD -的体积为1V 、多面体ABFED 的体积为2V ，求12:V V 的值.19． (本题满分14分)在ΔABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =，且cos cos 1A bB a == (1)求证：ΔABC 是直角三角形；(2)设圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧AC ︿上，PAB θ∠=，用θ的三角函数表示三角形PAC ∆的面积，并求PAC ∆面积最大值.20．(本题满分14分)已知函数()ln f x x x =. （1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()()(1)g x f x k x =--，其中k R ∈，求函数()g x 在区间[1,e]上的最大值.２１．(本题满分14分)在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线2x =的距离之比是2，设动点P 的轨迹为1C ，Q 是动圆2222:C x y r +=(12)r <<上一点.（1）求动点P 的轨迹1C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）设曲线1C 上的三点1122(,),(,)2A x yBC x y 与点F 的距离成等差数列，若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ；（3）若直线PQ 与1C 和动圆2C 均只有一个公共点，求P 、Q 两点的距离PQ 的最大值.2012届高考模拟测试数学试题(文科)参考答案和评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：CBCCA BAAAB 二．填空题：11. 35（2分） 247-（3分）12. 85 13.②④ 14. 431三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分14分)解：（1）由已知得11n n a a +-= 数列{}n a 是等差数列，且公差1d = ……………２分又32a =，得10a =，所以 1n a n =-……………………………………………………………４分（2）由（１）得，11()3n n b n -=+，所以111(11)(2)()33n n S n -=++++⋅⋅⋅++211111(123)333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+…………………………………………………………………………………………………6分111()(1)33(1)3.122213nn n n n n n S --+-+=+=+-……………………………12分 17．(本题满分12分)解：（1）共有1400名学生，高二级抽取的人数为23701400460=⨯（人）…………3分（2）“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为3788465++++=，……………4分所以方差()()()()4.4564682676322222=-+-+-+-=s………………6分（3）符合条件的所有学生共7人，其中“服务满意度为2”的4人记为d c b a ,,, “服务满意度为1”的3人记为z y x ,,. ……………………8分在这7人中抽取2人有如下情况：()()()()()()z a y a x a d a c a b a ,,,,,,,,,,,()()()()()z b y b x b d b c b ,,,,,,,,,()()()()z c y c x c d c ,,,,,,,()()()z d y d x d ,,,,,()()()z y z x y x ,,,,,共21种情况. ……………………9分其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种. ……………………11分所以至少有一人的“服务满意度”为1的概率为752115==p ……………………12分18(本题满分14分)（1）证明：如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ．………………4分（2）∵平面ACD ⊥平面BCD 于CDAD ⊥CD ，且AD ⊂平面ACD∴AD ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，∴AD BD ⊥……………………7分又∵CD BD ⊥，且AD CD D =∴BD ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD∴BD AC ⊥．………………………………………………………………9分（3）由（2）可知AD ⊥平面BCD ，所以AD 是三棱锥A BCD -的高∴113BCD V AD S =⋅⋅……………………………………11分又∵E 、F 分别是AC 、BC 边的中点，∴三棱锥E CDF -的高是三棱锥A BCD -高的一半三棱锥E CDF -的底面积是三棱锥A BCD -底面积的一半∴三棱锥E CDF -的体积114E CDF V V -=…………………………………12分∴211111344E CDF V V V V V V -=-=-=…………………………………13分∴12:4:3.V V =…………………………………14分 19．(本题满分14分) (1)证明：由正弦定理得cos sin cos sin A B B A=，整理为sin cos sin cos A A B B =，即sin2A ＝sin2B ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π,即A ＝B 或A ＋B ＝π2∵b a =A ＝B 舍去. 由A ＋B ＝π2可知c ＝π2，∴ΔABC 是直角三角形…………………6分(2)由(1)及2c =，得a =1b =…………………………………………………………７分在Rt ΔPAB 中，cos 2cos PA AB θθ=⋅= 所以，11sin()2cos sin()sin()26266PAC S PA AC πππθθθθθ∆=⋅⋅-=⋅⋅-=⋅-………………………………………………………………………………………………………9分1(sin cos )2θθθ=⋅2cos 2)θθ=-+)26πθ=-4-，62ππθ<<………………………………………………12分因为62ππθ<<，所以，52666ππθπ<-<当262ππθ-=，即 3πθ=时，PAC S ∆最大值等于4.………………………………12分 20．(本题满分14分)（1）()ln 1(0)f x x x '=+>. …………………………………………………………１分令()0f x '≥，得1ln 1ln x e -≥-=，11ln x ee-≥=；令()0f x '≤，得10,x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.…………………………………………………………３分()f x ∴的单调递增区间是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间是10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.()f x 无极大值………………………………………………………………………５分（２）()g x =ln (1)x x k x --，则()ln 1g x x k '=+-，由()0g x '=，得1ek x -=，所以，在区间1(0,e)k -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)k -+∞上，()g x 为递增函数.……………………………………………………………………………………８分当1e1k -≤，即1k ≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以，()g x 最大值为()g e e ke k =-+. …………………10分当11<e<e k -，即12k <<时，()g x 的最大值是(1)g 或()g e(1)g ＝()g e ，得1e k e =- 当11ek e <<-时，()0(1)g e e ek k g =-+>=，()g x 最大值为()g e e ke k =-+当21ek e ≤<-时，()0(1)g e e ek k g =-+<=，()g x 最大值为(1)0g = ………………………………………………………………………………１２分当1ee k -≥，即2k ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =.综上，当1e k e <-时，()g x 最大值为e ke k -+；当1e k e ≥-时，()g x 的最大值是0 ……………………………………………………………………………1４分21．(本题满分14分)解：（1=2分.将两边平方，并化简得2212x y +=，……………………………………………………4分.故轨迹1C 的方程是2212x y +=，它是长轴、短轴分别为2的椭圆………………4分.（2）由已知可得1)2AF x =-，(21)2BF =-，2(2)2CF x =-，因为2BF AF CF =+1)x -2)x -21)=-，即得122x x +=， ① ……………………………………………………5分. 故线段AC 的中点为12(1,)2y y +，其垂直平分线方程为121212(1)2y y x x y x y y +--=---， ② ……………………………………………………………………………………………6分.因为,A C 在椭圆上，故有221112x y +=，222212x y +=，两式相减，得：2222121202x x y y -+-= ③ 将①代入③，化简得12121212122()x x y y y y y y x x -+-==+-+， ④ ………………………7分.将④代入②，并令0y =得，12x =，即T 的坐标为1(,0)2。

2012年广东省高考数学全省二模客观题汇总(文科数学)

肇庆市2012届高中毕业班第二次模拟试题数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数11z i =+，21z i =-，则12z z = A ．i - B ．1- C ．i D ．12．已知全集U ，集合,M N 关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则=)(N M C U A. {1,8,9} B.{1,2,8,9} C. {3,4,5} D. {1,2,6,7,8,9}3．已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是A. (,1)-∞B. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. (1,)+∞ 4．已知向量)2,cos 2(-=x a ，)21,(cos x =，b a x f ∙=)(，x R ∈，则()f x 是 A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数 5．曲线21()2f x x =在点11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为 A. 2210x y ++= B. 2210x y +-= C. 2210x y --= D. 2230x y --= 6．对于函数(),y f x x R =∈,“(||)y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是偶函数”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．给出以下三幅统计图及四个命题：①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口大约将达到15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢.其中命题正确的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．在同一坐标系下，直线ax by ab +=和圆222()()(0,0)x a y b r ab r -+-=≠>的图象可能是9．直线2y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是A . 3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 72,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是 A ．130 B ．325 C ．676 D ．1300二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在[1500,4500)元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如图2所示，则该单位职工的月收入在[3000,3500)元之间的频率等于 ▲ ，月收入的平均数．．．大约是 ▲ 元. 12．在数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，要计算此数列前30项的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图3所示），请在图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能.（1） ▲ （2） ▲ 13．已知某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的表面积和体积分别为 ▲ 与 ▲ .14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线sin a ρθ= 与θρcos a =（a >0，0,0ρθπ>≤<）的交点的极坐标为 ▲ ．15．（几何证明选讲选做题）如图5，两圆相交于A 、B 两点，P 为两圆公共弦AB 上任一点，从P 引两圆的切线PC 、PD ，若PC =2cm ，则PD = ▲ cm. CDBAC BBDDC 11.填： 0.25（3分），3150（2分） 12填：（1）处应填30i >（3分）；（2）处应填p p i =+（2分） 13填：404π+,4163π+14填：4π⎫⎪⎪⎝⎭15填：22012年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}0,2{=A ，}2,1{=B ，则集合()A BA B =A ．∅B ．}2{C ．}1,0{D ．}2,1,0{ 2. i 为虚数单位，则复数i (1i)⋅-的虚部为A ．iB ．i -C ．1D ．1- 3. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况.根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg 的人数为 A ．240 B ．160 C ．80 D ．60 4. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是A ．1xy =B ．y ⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x xd ,0,1)( C ．321x y -= D．2y =5. tan 2012︒∈A.B.C. (1,-D. ( 6．若对任意正数x ，均有21a x <+，则实数a 的取值范围是A. []1,1-B. (1,1)-C. ⎡⎣D. (7．曲线1()2xy =在0x =点处的切线方程是A. l n 2l n 20x y +-=B. l n 210x y +-= C. 10x y -+= D. 10x y +-= 8．已知命题p ：“对任意,a b *∈N ，都有lg()lg lg a b a b +≠+”；命题q ：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则A. 命题“p q ∧”为真命题B. 命题“p q ∨”为假命题C. 命题“()p q ⌝∧”为真命题D. 命题“()p q ∨⌝”为真命题 9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2cm 的圆（包括圆心），则该零件的体积是 A ．4π33cm B ．8π3 3cm C ．4π 3cm D ．20π3 3cmkg ）第3题图第9题图10. 线段AB 是圆221:260C x y x y ++-=2C 以,A B为焦点．若P 是圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则PA PB +=A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题．11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少要经过______道加工和检验程序，导致废品的产生有_____种不同的情形． 12. 已知递增的等比数列{}n a 中,28373,2,a a a a +=⋅=则1310a a = . 13. 无限循环小数可以化为有理数，如11350.1,0.13,0.015,999333=== ，请你归纳出0.017= （表示成最简分数,,N )mn m n*∈．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线:cos l t ρθ=（常数0)t >）与曲线:2sin C ρθ=相切，则t = ．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是半圆的直径，弦AC 和弦BD 相交于点P ，且3AB DC =，则 sin APD ∠= ．11．4, 3（第一空3分，第二空2分） 12 13. 17990 14．1 15． 3第11题图 PDC 第15题图2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A 满足{}1,2A ⊂，则集合A 的个数为（） .4A .3B .2C .1D2.已知i 为虚数单位，复数1z a i =+，22z i =-，且12z z =，则实数a 的值为（） .2A .2B - .2C 或2- .2D ±或03.已知双曲线221y x m-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为（） .4A 1.4B 1.4C - .4D -4.某中学高三年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图1，其中甲班的学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为（） .7A .8B .9C .10D5.已知向量()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，(),1OC m m =+，若//AB OC ，则实数m 的值为（） 3.2A -1.4B - 1.2C 3.2D 6.已知函数()1xxf x e e -=-+（e 为自然对数的底数），若()2f a =，则()f a -的值为 .3A .2B .1C .0D 7.已知两条不同的直线m 、l ，两个不同的平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是（） .A m l ⊥，//l α，//l β .B m l ⊥，l αβ= ，m α⊂ .//C m l ，l α⊥，m α⊂ .//D m l ，m α⊥，l β⊥ 8. 下列说法正确的是（） .A 函数()1f x x=在其定义域上是减函数 .B 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件.C 命题“x R ∃∈，210x x ++>”的否定是“x R ∀∈，210x x ++<”.D 给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题9.阅读图2的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为（） .9A .10B .11C .12D图1乙甲6 2 9 1 1 65 x 0 8 1 1 y8 9 7 610. 已知实数a 、b 满足22430a b a +-+=，函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ，则(),a b ϕ的最小值为（） .1A .2B1C .3D二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题） 11.不等式2230x x +-<的解集是 . 12.如图3，A 、B 两点之间有4条网线连接，每条网线连接的最大信息量分别为1、2、3、4，从中任取两条网线，则这两条网线通过的最大信息量之和为5的概率是 .13.已知点P 是直角坐标平面xOy上的一个动点，OP =（点O 是坐标原点），点()1,0M -，则cos OPM ∠的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形ABC （顶点A 、B 、C 按顺时针方向排列）的顶点A 、B 的极坐标分别为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭、72,6π⎛⎫⎪⎝⎭，则顶点C 的极坐标为 .15.（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2BC OB =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD 、BD ，则ADBD的值为 .图34321BA2012年佛山市普通高中高三教学质量检测数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{}1,2A =,{}2,3B =,则()U A B = ð（）A ．{}4,5B ．{}2,3C ．{}1D ．{}1 2．设向量a 、b 满足:1=a ,2=b ,()0⋅-=a a b ,则a 与b 的夹角是（）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 3．若0,0x y ≥≥,且21x y +=,则223x y +的最小值是（）A ．2B ．34 C ．23D ．0 4．已知,a b 为实数,则“||||1a b +<”是“1||2a <且1||2b <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数xy =,()(),00,x ππ∈- 的图像可能是下列图像中的（） A ． B ． C ． D ．6．已知直线m 、l 与平面α、β、γ满足l βγ= ,//l α,m α⊂,m γ⊥,则下列命题一定正确的是（）A ．αγ⊥且 l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥ 7．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0ωϕπ>≤≤)的部分图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（） A ．2 B C ． D ．2- 8．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x Mf x x M∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅ ,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为（）FAEDBCA ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．{}1 C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9. 设i 为虚数单位,则()51i +的虚部为．10. 设,x y 满足约束条件0201x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值是．11. 抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数的样本空间为{}1,2,3,4,5,6S =,令事件{}2,3,5A =,事件{}1,2,4,5,6B =,则()|P A B 的值为．12. 直线2y x =和圆221x y +=交于,A B 两点,以Ox 为始边,OA ,OB 为终边的角分别为,αβ,则()sin αβ+的值为． 13. 已知等比数列{}n a 的首项为2,公比为2,则1123n na a a a a a a a a a +=⋅⋅⋅⋅ ．（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,射线()03πθρ=≥与曲线1C :4sin ρθ=的异于极点的交点为A ,与曲线2C :8sin ρθ=的异于极点的交点为B ,则||AB =________.15.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF CF ==:::4:2:1AF FB BE ,若CE与圆相切,则线段CE 的长为．11.e 12.),1(+∞- 13.1 14.32 15.27广东省惠州市2012届高三模拟考试数学 (文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U A =ð（） A ．{}1,3B ．{}3,7,9C ．{}3,5,9D ．{}3,92．设,a b 为实数，若复数()()112i a bi i +⋅+=+，则（）A ．31,22a b == B ．3,1a b == C ．13,22a b == D ．1,3a b == 3．“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．不充分也不必要 4．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 5．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为（）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．－1或12- 6．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为（）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π- 7．设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A ．32 B ．2 C ．52D ．38．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2011)(2012)f f -+的值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．29．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元 10．定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的(,)a m n = ，(,)b p q =，令a b mq np =- ，下面说法错误的序号是（）．①若a 与b共线，则0a b = ②a b b a =③对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ=④2222()()||||a b a b a b +⋅= A ．② B ．①② C ．②④ D ．③④二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.） 11．右图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____.12．已知平面向量(1,2)a = ， (2,)b m =-，且a //b ，则23a b + ＝ .13．若圆心在x 轴上、半径为的圆O 位于y 轴左侧，且与直线 0x y +=相切，则圆O 的方程是 .14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．15.（几何证明选讲选做题）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB ．11.27； 12. (4,8)--； 13. 22(2)2x y ++= ； 14.2cos =θρ； 15.4题图第6广东省茂名市2012届高三4月第二次高考模拟考试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

2012年2月六校联考数学(文科)试题及答案

2011-2012学年度高三六校联考模拟考试试题（2012.2）数学（文科）命题人：惠州市第一中学本试卷共4页，20小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：答卷时，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室、座位号填写在答题卡上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数lg(1)y x =+的定义域为( )A ．{|1}x x ≥B ．{|11}x x -<<C ．{|1}x x >-D ．{|11}x x -<≤2．53sin ),2,2(-=-∈αππα，则cos()α-的值为( ) A ．45- B ．54 C ．53 D ．－533．若复数23m ii -+为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．13B ．12C ．35D ． 324.如右框图，当126,9,x x == 9.5p =时，3x 等于（）A ．7B ．8C ．9D ．105．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A B C D 6.F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，若|PF|＝2，则点P 的坐标是( )A ．(3，94) B ．(±2,1) C ．(1, ±2) D ．(0,0)7. 已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，*n N ∈.下列命题中为真命题的是（）A. 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B. 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C. 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D. 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列8．过圆221x y +=上一点P 作切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为（）A． 2 D ．3 9．已知实数x ，y 满足10,220.x y x y ++≥-+≥⎧⎨⎩若 (－1，0) 是使ax ＋y 取得最大值的可行解，则实数a 的取值范围是．A. a ≤－2B. a ≤2C. a ≥－2D. a ≥2 10．已知函数x xe x f =)(的图像如右图所示，方程(01)()(2=++t x tf x f 有四个实数根，则t 的取值范围为( )A ．),+∞+e e 1(2B ．)1(2e e +--∞, C ．)2,1(2-+-ee D ． )12(2e e +,二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，其中第11-13题为必做题，14、15选做一题，满分20分.11．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿． 12．某工厂的库房有A 、B 、C 、D 四类产品，它们的数量依次成等比数列，共计300件。

广东省六校联合体2012届高三11月联合考试数学(文)试题

广东省六校联合体2012届高三11月联合考试数学试题（文）第一部分（选择题满分50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，若复数(,)1ia bi ab R i=+∈+，则b 的值是（ ﹡ ）A ．1B ．-1C ．12D ．12-2．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x|0＜x ＜5，x ∈R}，则“x ∈P ”是“x ∈Q ”的( ﹡ )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件 3．已知函数2()43f x x x =-+，若存在12,[,]x x a b ∈使得12x x <，且12()()f x f x >，则以下对实数a 、b 的描述正确的是（ ﹡ ） A ．2a < B ．2a ≥ C ．2b ≤D ．2b ≥4．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于(﹡)A ．18B ．24C ．60D ．905．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是（ ﹡ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21 C ．),21[+∞- D ．)1,21[-6.函数sinsincos cos 3232x xy ππ=-在一个周期内的图象是（ ﹡ ）7．如图所示，,,A B C 是圆O 上的三个点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ,若OC xOA yOB =+，则（ ﹡ ）A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<8. 已知321,,a a a 为一等差数列，321,,b b b 为一等比数列，且这6个数都为实数，给出结论：①21a a <与32a a >可能同时成立；②21b b <与32b b >可能同时成立； ③若021<+a a ，则032<+a a ； ④若021<⋅b b ，则032<⋅b b ．其中正确的是（ ﹡ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③9．定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -.将函数sin 2()cos 2xf x x =的图象向左平移6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是（ ﹡ ） A ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π D ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭10．若xxx f a b ln )(,3=>>，则下列各结论中正确的是（ ﹡ ） A ．)()2()(ab f b a f a f <+< B ．)()()2(ab f b f ba f <<+C ．)()2()(a f b a f ab f <+<D ．)()2()(ab f ba fb f <+<第二部分（非选择题满分100分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：第6题图那么方程的一个近似根（精确到1.0）为 ﹡ ．12. 已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为 ﹡ ．13.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒尖位置P （x ，y ），其初始位置为P 0（1，3），当秒针从P 0（注此时t=0）正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 ﹡ ．14．在数列{}n a 中，若22*1(2,,)n n a a p n n N p --=≥∈为常数，则{}n a 称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{}n a 是等方差数列，则2{}n a 是等差数列；②{(1)}n -是等方差数列；③若{}n a 是等方差数列，则*{}(,)kn a k N k ∈为常数也是等方差数列．其中正确命题序号为 ﹡ ．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、（本小题满分12分）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6AOP π∠=，,[0,)AOQ ααπ∠=∈．（1）若34(,)55Q ，求cos()6πα-的值；（2）设函数()f OP OQ α=∙，求()f α的值域．16．（本小题满分14分）某家具厂有方木料90m 3，五合板600m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3，五合板2m 2，生产每个书橱需要方木料0.2m 2，五合板1m 2，出售一张方第13题图第15题图桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．（1）如果只安排生产书桌，可获利润多少？（2）怎样安排生产可使所得利润最大？17．（本小题满分12分）如图某市现有自市中心O 通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路．分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A 、B 两点，使环城公路在A 、B 间为直线段，要求AB 路段与市中心O 的距离为10 km ，且使A 、B 间的距离|AB |最小．请你确定A 、B 两点的最佳位置．18．（本小题满分14分）已知x ＝4是函数f （x ）＝a ln x ＋x 2－12x+11的一个极值点．（1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间；（3）若直线y ＝b 与函数y ＝f （x ）的图象有3个交点，求b 的取值范围．19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-= （1）求123,,a a a 的值；（2）求证：数列{1}n a -是等比数列；（3）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知()22(0)bf x ax a a x=++->的图像在点(1,(1))f 处的切线与直线21y x =+平行.第17题图（1）求a ，b 满足的关系式；（2）若()2ln )f x x ≥∞在[1,+上恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：11111ln(21)3521221n n n n ++++>++-+…（*n N ∈）2011-2012学年度第二次联合考试高三文科数学参考答案和评分标准一、选择题：（每小题5分，共50分）CAACD ACBBD二、填空题:（每小题5分，共20分）11．（1.4） 12.2sin 303y t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（本题答案不唯一）14．①②③ 三、解答题：15、（1）由已知可得54sin ,53cos ==αα6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴1043321542353+=⨯+⨯= ………………………………………………………………………………4分（2） ()f OP OQ α=⋅()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭……………………………………………………6分ααsin 21cos 23+=sin 3πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ …………………………………………………………………………………………… 8分[0,)απ∈ 4[,)333πππα∴+∈……………………………………………………………………………9分sin 13πα⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ ………………………………………………………………………………………11分()αf ∴的值域是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦………………………………………………12分16、由题意可画表格如下：2分（1）设只生产书桌x 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤902x ≤600z ＝80x∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300 ∴x ≤300. ………………………………………………………………4分所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24000（元），即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元．……………………………………………………………………………………………………6分（2）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元．则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y . …………………………………………………8分在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域． …………………………………………10分作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y取得最大值．………………………………………………………………………12分由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600解得点M 的坐标为（100,400）．∴当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56000（元）．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．………………………………………14分17、如图，令|OA |＝a ，|OB |＝b ，则在△AOB 中，∠AOB ＝120°. ……………………2分∴12|OC ||AB |＝12ab sin120°. ∴|AB |. ① …………………………………………………………4分又由余弦定理，|AB |＝a 2＋b 2－2ab cos120°=a 2＋b 2－ab≥2ab ＋ab ＝3ab ，（当a ＝b 时取等号．）② …………………………………………6分由①②知3a 2b2400≥3ab .∵ab ＞0，∴ab ≥400 ③ ……………………………………………8分③代入①得|AB |＝3ab20≥203．当a ＝b 时|AB |取得最小值．………………………………………………………10分而a ＝b 时，△AOB 为等腰三角形， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝30°. ∴a ＝b ＝20.∴A 、B 两点的最佳位置是距市中心O 均为20km 处. ………………………12分 18、（1）∵f ′（x ）＝a x＋2x －12，∴f ′（4）＝a4＋8－12＝0因此a ＝16 …………………………………………………………………………………………3分（2）由（1）知，f （x ）＝16ln x ＋x 2－12x ＋11，x ∈（0，＋∞）f ′(x )＝2x 2－6x ＋8x……………………………………5分当x ∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f ′(x )＞0当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0………………………………7分所以f (x )的单调增区间是 (0,2)，(4，＋∞)f (x )的单凋减区间是(2,4) ……………………………………………8分(3)由(2)知，f (x )在(0,2)内单调增加，在(2,4)内单调减少，在(4，＋∞)上单调增加，且当x ＝2或x ＝4时，f ′(x )＝0所以f (x )的极大值为f (2)＝16ln2－9，极小值为f (4)＝32ln2－21 因此f (16)＝16ln16+162－12×16+11＞16ln2－9＝f (2)f (e －2)＜－32＋11＝－21＜f (4)所以在f(x)的三个单调区间(0,2)，(2,4) ，(4，＋∞)内，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象各有一个交点，当且仅当f (4)＜b ＜f (2)成立………………………………………………………13分因此，b 的取值范围为（32 ln2－21,16ln2－9）． …………………………………………14分19、（I ）123137,,248a a a ===………………………………………………………3分（II ）由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=- ①123111n n n a a a a a n a +++++++=+- ② (5)分②-①可得121n n a a +-= 即：111(1)2n n a a +-=-，又1112a -=- …………………7分∴数列{1}n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列 ……………8分（Ⅲ）由（II ）可得11()2nn a =-， 22n n n b -= ………………………9分由111112212(2)302222n n n n n n n n n n nb b +++++-------=-==>可得3n < ……11分由10n n b b +-<可得3n >,所以 12345n b b b b b b <<=>>>>故n b 有最大值3418b b ==所以，对任意*n N ∈，有18n b ≤ …………………………………………12分如果对任意*n N ∈，都有214n b t t +≤，即214n b t t ≤-成立，则2max 1()4n b t t ≤-，故有：21184t t ≤-，解得12t ≥或14t ≤-∴实数t 的取值范围是11(,][42-∞-+∞ ，） ……………………………………14分20、（1）2)(xba x f -='，根据题意2)1(=-='b a f ，即2-=a b …………3分（2）由（Ⅰ）知，a x a ax x f 222)(-+-+=，……………………………………4分令x x f x g ln 2)()(-=x a xa ax ln 2222--+-+=，[)1,x ∈+∞则)1(=g ，x xa a x g 22)(2---='=2)2)(1(xaax x a ---………………………………………5分①当10<<a 时，12>-aa，若21a x a -<<，则'()0g x <，()g x 在21,a a -⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，存在()(1)0g x g <=，即()2ln f x x≥在[1,)+∞上不恒成立． ……………………………6分②1a ≥时，21aa-≤，当1x >时，'()0g x >，()g x 在[1,)+∞增函数，又(1)0g =， ∴()(1)0g x g ≥=，∴()2ln f x x ≥恒成立． ……………………7分综上所述，所求a 的取值范围是[1,)+∞ ………………………………………8分（3）有（Ⅱ）知当1≥a 时，x x f ln 2)(≥在[)1,+∞上恒成立．取1=a 得x x x ln 21≥-…………9分令11212>-+=n n x ，*N n ∈得1212ln 212121212-+>+---+n n n n n n ，即1212ln 2)1221(1221-+>+---+n n n n …………………………………10分 ∴)121121(211212ln 21121+--+-+>-n n n n n………………………………………11分上式中令n=1，2，3，…，n ，并注意到：21ln ln(21)ln(21)21n n n n +=+--- 然后n个不等式相加得到11111l n (21)3521221n n n n ++++>++-+… ……………………14分。

2012年2月六校联考数学(文科)答案

2011-2012学年度高三六校联考模拟考试试题（2012.2）数学（文科）试题参考答案及评分标准50分．5分，满分20分．11．3 12．20 13． ①③ 14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（Ⅰ） 1cos 21()2sin(2)262x f x x x ϖπϖϖ-=+=-+ ………… 2分因为函数()y f x =的图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，1T πϖ∴=∴= …… 4分 22226263k x k k x k πππππππππ∴-≤-≤+∴-≤≤+∴()y f x =的单调区间为[,]()63k k k Z ππππ-+∈ ………… 6分（Ⅱ）3()sin(2)10263f A A A A πππ=∴-=<<∴= ………… 8分 sin 22sin 0234A B b B B a ππ==<<∴=又 ………… 10分53412C ππππ∴=--= ………… 12分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.16500.3827⨯+⨯=（人）所以该班成绩良好的人数为27人. ……………………… 2分（Ⅱ）由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人，设为x 、y 、z ；… 3分成绩在[17,18) 的人数为500.084⨯=人，设为A 、B 、C 、D ……4分若,[13,14)m n ∈时，有,,xy xz yz 3种情况； ……………… 6分若,[17,18)m n ∈时，有,,,,,AB AC AD BC BD CD 6种情况；……………… 8分若,m n 分别在[13,14)和[17,18)内时，共有种情况. ……… 10分所以基本事件总数为21种，事件“||1m n ->”所包含的基本事件个数有12种。

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广东省六校2012届高三第二次联考试题（数学文）（2011.11）本试卷共4页，20小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：答卷时，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室、座位号填写在答题卡上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}n a 是等差数列，若273,13a a ==,则数列{}n a 前8项的和为( ) A.128 B.80 C.64 D.56 2．“α为锐角”是“sin 0α＞”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 3.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是( ) A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数4.设232555223(),(),()555a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a << 5. 函数5sin(2)2y x π=+的图像的一条对轴方程是（） A.2x π=- B.4x π=- C.8x π=D.54x π=6. 函数()2xf x e x =+-的零点所在的一个区间是（）A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2) 7．曲线()ln f x x x x =+在点1x =处的切线方程为（）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+8. 如果向量(,1)a k = 与(2,1)b k =+共线且方向相反，那么k 的值为（）A ．-1B ．2C ．1D ． -29. 函数b x y +-=与)10(≠>=-b b b y x 且的图像可能是（）ABCD10．设偶函数()f x 满足()24(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（） A ．{|24}x x x <->或 B ．{|04}x x x <>或C ．{|06}x x x <>或D ．{|22}x x x <->或二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．计算121(lg lg 25)1004--÷=____________12．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且当(2,4)x ∈时，()3f x x =+，则(2011)f =_______13.若变量x y ，满足23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z x y =+的最大值是14．已知a b c ，，分别是ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边，若13a b ==，，且B 是 A 与C 的等差中项，则sin A =x0 y x 0 yx0 yxy三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分12分）已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ，2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ，U [6,)=-+∞. （1）求A 和B ；（2）求A B ⋂、()U C A B ⋃.16.（本小题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为(10)x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用建筑总面积）17. （本小题满分14分）已知向量sin 1cos m B B = （，－），且与向量10n = （，）的夹角为3π，其中, , A B C 是ABC ∆的内角．（1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围.18. （本小题满分14分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21=a ，2≥n 当时有 231+=-n n S S . (1)求证}1{+n S 是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式.19．（本小题满分14分）若函数x xax x f ln )(++=，（1）当2a =时，求函数()f x 的单调增区间；（2）函数)(x f 是否存在极值.20. （本小题满分14分）设奇函数)(x f 对任意R x ∈都有1()(1).2f x f x =-+(1)求)21(f 和()()(0,1,2,,)k n kf f k n n n-+=…的值； (2)数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1()2()1(f n n f n f n f +-+++ 1()2f -，数列}{n a 是等差数列吗？请给予证明；(3)设m 与k 为两个给定的不同的正整数，{}n a 是满足（2）中条件的数列，证明：2111|(1)(1)|()||2sn n n s m na kn n k a m k +=++-+++<-∑(1,2,)s =….2011-2012学年度高三六校联考模拟考试试题（2011.11）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 23456 7 8 9 10 答案CA DB ACCDCB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共4道题，每小题5分，满分20分．11． -20 12．6 13．2 14．12三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本小题满分12分）已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ，2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ，U [6,)=-+∞. （1）求A 和B ；（2）求A B ⋂、()U C A B ⋃.解：(1) 解220x x -++>得，12x -<<{|12}A x x ∴=-<< ……………………………………3分2222(1)11y x x x =-+=-+≥2{|22,}{|1}B y y x x x R y y ∴==-+∈=≥ ……………………………6分(2) 由（1）得，-1,2[1,[1,2)A B ⋂=⋂+∞（）)=……………………………8分 -1,2[1,(1,)A B ⋃=⋃+∞=-+∞（）)……………………………10分所以，()[6,1]U C A B ⋃=--……………………………12分16.（本小题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为(10)x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用建筑总面积）解法一：设楼房每平方米的平均综合费为()f x 元，则 ……………………………2分()21601000010800()5604856048(10)2000f x x x x x x x+⨯=++=++∈Z ，≥ (5)分1080010800482481440x x x x+≥⋅= ………………………7分当且仅当1080048x x=，即15x =时取等号………………………9分因此，当15x =时，()f x 取最小值56014402000+=………………………11分答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．………………………12分解法二：设楼房每平方米的平均综合费为()f x 元，则 ……………………………2分()21601000010800()5604856048(10)2000f x x x x x x x+⨯=++=++∈Z ，≥ (5)分210800()48f x x '=-………………………7分令()0f x '=得15x =当15x >时，()0f x '>；当015x <<时，()0f x '< ………………………9分因此当15x =时，()f x 取最小值(15)2000f =………………………11分答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．………………………12分 17. （本小题满分14分）已知向量sin 1cos m B B = （，－），且与向量10n = （，）的夹角为3π，其中, , A B C 是ABC ∆的内角．（1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围.解：（1）∵ (sin ,1cos )m B B =- , 且与向量(1,0)n = 所成角为,3π∴ sin 1cos ,2||||22cos m n B m n m n B ⋅<>===-， ……………………2分∴22sin 1cos B B =-，∴22cos cos 10B B --=∴1cos 1cos 2B B ==-或 ………………………5分又0βπ<<， ∴ 2,33B A C ππ=+= ………………………………7分第一问：另解： ∵sin 1cos m B B =- （，） , 且与向量(10)n = ，所成角为,3π∴1cos tan 3,sin 3B B π-== 2tan 30,,,22333B B B AC ππβππ∴=<<∴==+=又即（2）由（1）可得sin sin sin sin()3A C A A π+=+-13sin cos sin()223A A A π=+=+ ……………………………9分 ∵30π<<A ∴3233πππ<+<A ……………………………11分 ∴3sin(),1,32A π⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦……………………………13分 3sin sin ,12A C ⎛⎤∴+∈ ⎥ ⎝⎦……………………………14分18. （本小题满分14分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21=a ，2≥n 当时有 231+=-n n S S ， (1)求证}1{+n S 是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式. 解：（1） 231+=-n n S S∴12S 31S 1++=+-n n ∴31S 1S 1=++-n n ………………4分又31111=+=+a S{}1S +∴n 数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ………………6分（2）由（1）得n n n 3331S 1=⨯=+∴-，13S -=∴n n ………………8分11132)13()13(2---⋅=---=-=≥∴n n n n n n S S a n 时，当………………10分又当1=n 时，21=a 也满足上式，………………12分所以，数列{}n a 的通项公式为：132-⋅=n n a ………………14分19．（本小题满分14分）若函数x xax x f ln )(++=，（1）当2a =时，求函数()f x 的单调增区间；（2）函数)(x f 是否存在极值.解：（1）由题意，函数()f x 的定义域为{|0}x x > ………………2分当2a =时，2()ln f x x x x =++，2'22212()1x x f x x x x +-∴=-+= ……3分令'()0f x >，即2220x x x+->，得2x <-或1x > ………………5分又因为0x >,所以，函数()f x 的单调增区间为(1,)+∞ ………………6分（2）)0(11)(222>-+=+-='x x ax x x x a x f……………7分解法一：令a x x x g -+=2)(，因为)(x g 对称轴021<-=x ，所以只需考虑)0(g 的正负，当0)0(≥g 即0≤a 时，在（0，+∞）上0)(≥x g ，即)(x f 在（0，+∞）单调递增，()f x 无极值 ………………10分当0)0(<g 即0>a 时，0)(=x g 在（0，+∞）有解，所以函数)(x f 存在极值.…12分综上所述：当0>a 时，函数)(x f 存在极值；当0≤a 时，函数)(x f 不存在极值.…14分解法二：令0)(='x f 即02=-+a x x ，记a 41+=∆当0≤∆即41-≤a 时，0)(≥'x f ，)(x f 在（0，+∞）单调递增，无极值 ………9分当0>∆即41->a 时，解02=-+a x x 得：024111<+--=a x 或24112a x ++-=若0>a 则02>x ，列表如下：x（0，2x ）2x（2x ，+∞）)(x f '—+)(x f↘极小值↗由上表知：2x x =时函数)(x f 取到极小值，即0>a 函数)(x f 存在极小值。