2015-2016学年江苏省清江中学高一下学期期中考试数学试题
江苏省淮安市清江中学高一数学下学期期中试卷(含解析)
2014-2015学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸的相应位置上.1．（5分）（2015春•淮安校级期中）过点（1，0），且与直线2x+y﹣10=0的斜率相同的直线方程是2x+y﹣2=0 ．考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：设所求的直线为：2x+y+m=0，把点（1，0）代入解得m即可得出．解答：解：设所求的直线为：2x+y+m=0，把点（1，0）代入可得2+0+m=0，解得m=﹣2．∴要求的直线方程为：2x+y﹣2=0，故答案为：2x+y﹣2=0．点评：本题考查了直线的方程、斜率的求法，属于基础题．2．（5分）（2015春•淮安校级期中）若直线y=2x与直线x+ay﹣3=0互相垂直，则实数a的值是 2 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得．解答：解：∵直线y=2x可化为2x﹣y=0，∵直线y=2x与直线x+ay﹣3=0互相垂直，∴2×1+（﹣1）a=0，解得a=2故答案为：2点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．3．（5分）（2015春•淮安校级期中）在等差数列{a n}中，已知a15=10，a45=90，a60= 130 ．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：设公差为d，则d==，而a60=a45+（60﹣45）d，代入可得答案．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，则d==，故a60=a45+（60﹣45）d=90+15×=130，故答案为：130点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．4．（5分）（2015春•淮安校级期中）若经过点A（1﹣t，1+t）和点B（3，2t）的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是（﹣2，1）．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：由题意可得直线AB的斜率＜0，解关于t的不等式可得．解答：解：由题意可得直线AB的斜率＜0，整理可得＜0，等价于（t﹣1）（t+2）＜0，解得﹣2＜t＜1，即实数t的取值范围为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．点评：本题考查直线的倾斜角和斜率公式，涉及分式不等式的解法，属基础题．5．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣2，S4=4S2，则a3的值为﹣6 ．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：根据等比数列的S4=4S2，把数列的前4项和与前两项的和用数列的通项表示出来，合并同类项整理得到第三项和第四项的和等于第一项和第二项的和的三倍，得到公比的平方是3，得到第三项．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣2，S4=4S2，∴a1+a2+a3+a4=4（a1+a2）∴a3+a4=3（a1+a2），∴q2=3，∴a3=a1q2=﹣2×3=﹣6，故答案为：﹣6点评：本题考查等比数列的前n项和与数列的通项，是一个基本量的运算问题，这种题目做起来运算量不大，只要注意应用等比数列的性质就可以做对．6．（5分）（2014春•徐州期末）在△ABC中，已知a=2，∠A=30°，∠B=45°，则S△ABC= +1 ．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用两角和公式求得sinC的值，利用正弦定理求得b的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：∵∠A=30°，∠B=45°，∴C=180°﹣30°﹣45°，∴sinC=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=，∵=，∴b=•sinB=×=2，∴S=absinC=×2×2×=+1故答案为：+1点评：本题主要考查了正弦定理的运用．对正弦定理公式及变形公式能熟练掌握．7．（5分）（2014•兴庆区校级一模）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2，某三角形三边之比为a2：a3：a4，则该三角形最大角为120°．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：由数列{a n}的前n项和为S n=n2可以求得a2，a3，a3，再利用余弦定理即可求得该三角形最大角．解答：解：由S n=n2得a2=s2﹣s1=4﹣1=3，同理得a3=5，a4=7，∵3，5，7作为三角形的三边能构成三角形，∴可设该三角形三边为3，5，7，令该三角形最大角为θ，=，又0°＜θ＜180°∴θ=120°．故答案为：120°．点评：本题考查余弦定理，关键是利用等差数列的前n项和公式求得三角形三边之比为a2：a3：a4，为容易题．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bcosC，则的值为 1 ．考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：根据余弦定理把所给的式子，转化为只含有边得式子，再进行变形求出b和c的关系．解答：解：由余弦定理得，a=2bcosC=2b×，∴a2=a2+b2﹣c2，∴b2﹣c2=0则b=c，即=1，故答案为：1．点评：本题主要考查了利用余弦定理的应用，即利用余弦定理把角转化为边，判断三角形的形状和边之间的关系，常采用的一种方法．9．（5分）（2015春•淮安校级期中）直线mx+y+2=0与线段AB有公共点，其中A（﹣2，3），B （3，2），则实数m的取值范围为．考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：由题意得直线y=﹣mx﹣2过定点（0，﹣2），作出图象求出边界直线的斜率，根据图象和条件求出实数m的取值范围．解答：解：由题意得，直线mx+y+2=0化为y=﹣mx﹣2，则直线y=﹣mx﹣2过定点P（0，﹣2），画出图象：∴直线PA的斜率是=，直线PB的斜率是=，∵直线mx+y+2=0与线段AB有公共点，∴直线mx+y+2=0在直线PA和直线PB之间，且直线PB按逆时针转动，直线PA按顺时针转动，则实数m的取值范围是，故答案为：．点评：本题考查直线的斜率公式的应用，以及直线过定点的问题，数形结合是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）（2015春•淮安校级期中）已知：在锐角三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若，则角B为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用余弦定理可得 sinB=，再由ABC为锐角三角形，解得B 的值．解答：解：在△AB C中，∵（a2+c2﹣b2）tan B=，由余弦定理可得2ac•cosB•sinB=ac，∴sinB=，∴B=或．再由ABC为锐角三角形，可得 B=．故答案为．点评：本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，根据三角函数的值求角，属于中档题．11．（5分）（2015•淮安一模）已知a，b均为正数，且直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值是25 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由两直线平行的条件得到，由2a+3b=（2a+3b）（）展开后利用基本不等式求得最值．解答：解：∵直线ax+by﹣6=0与直线2x+（b﹣3）y+5=0互相平行，∴a（b﹣3）﹣2b=0且5a+12≠0，∴3a+2b=ab，即，又a，b均为正数，则2a+3b=（2a+3b）（）=4+9+．当且仅当a=b=5时上式等号成立．故答案为：25．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．12．（5分）（2015•盐城校级二模）设等比数列{a n}的公比为q（0＜q＜1），前n项和为S n，若a1=4a3a4，且a6与a4的等差中项为a5，则S6= ．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得，由0＜q＜1，解得，由此能求出S6．解答：解：∵等比数列{a n}的公比为q（0＜q＜1），前n项和为S n，a1=4a3a4，且a6与a4的等差中项为a5，∴，由0＜q＜1，解得，∴S6==．故答案为：．点评：本题考查等比数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．13．（5分）如果满足∠ABC=60°，AB=8，AC=k的△ABC有且只有两个，那么k的取值范围是（，8）．考点：解三角形．专题：计算题．分析：由已知条件∠ABC的度数，AB及AC的值，根据正弦定理用k表示出sinC，由∠ABC的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个C的范围，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinC的范围，进而求出k的取值范围．解答：解：由正弦定理得：=，即=，变形得：sinC=，由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得：4＜k＜8，则a的取值范围是（ 4，8）．故答案为：（ 4，8）．点评：此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．14．（5分）若实数a，b，c成等比数列，且a+b+c=1，则a+c的取值范围是[，1）∪（1，2] ．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：依题意设公比为q，则可分别表示出a和c，进而可用q表示出b，对q＞0和q＜0两种情况分类讨论，利用基本不等式求得b的范围；然后根据a+c=1﹣b即可求出结果．解答：解：设公比为q，显然q不等于0a+b+c=b（+1+q）=1∴b=当q＞0时，q+≥2 =2∴0＜b≤当q＜0时，q+≤﹣20＞b≥﹣1又∵a+c=1﹣b∴a+c的取值范围：[，1）∪（1，2]故答案为：[，1）∪（1，2]．点评：本题考查学生掌握等比数列的性质，以及会求一元二次不等式的解集，是一道综合题．学生做题时应注意考虑b≠0的情况．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）（2015春•淮安校级期中）已知直线x﹣my+2m+1=0．（1）求证：无论m为何实数，直线总经过第二象限；（2）为使直线不经过第四象限，求m的取值范围．（3）若直线交x轴于负半轴、交y轴于正半轴，交点分别为A、B，求直线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值，并求出此时的直线方程．考点：直线的一般式方程；直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：（1）直线x﹣my+2m+1=0可化为x+1+（2﹣y）m=0，由可得直线所过定点（﹣1，2）在第二象限，可得直线总经过第二象限；（2）由题意要使直线不经过第四象限，则需直线无斜率或斜率＞0，解关于m的不等式可得；（3）由方程可得截距，可得，由基本不等式等号成立的条件可得．解答：解：（1）直线x﹣my+2m+1=0可化为x+1+（2﹣y）m=0，由可解得，∴直线过定点（﹣1，2），在第二象限，∴直线总经过第二象限；（2）由（1）知直线直线过定点（﹣1，2），要使直线不经过第四象限，则需直线无斜率或斜率＞0，∴m=0，或＞0，解得m≥0；（3）由题意可得m＞0，把x=0代入x﹣my+2m+1=0可得y=，把y=0代入x﹣my+2m+1=0可得x=﹣（2m+1），∴，当且仅当时“=”成立，此时直线方程为y=2x+4，即2x﹣y+4=0点评：本题考查直线的一般式方程和截距式方程，涉及基本不等式求最值，属中档题．16．（14分）（2015春•淮安校级期中）等比数列{a n}满足a3a4a5=512，a3+a4+a5=28，公比为大于1的数．（1）求{a n}通项公式；（2）设b n=2n﹣1，求{a n+b n}前n项和S n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由可得a4=8，从而可得；（2）化简，从而求前n项和．解答：解：（1）∵，∴a4=8，∴a3a5=64，a3+a5=20；∴，又∵q＞1，∴；（2）∵，∴．点评：本题考查了等比数列的通项公式的求法及等比数列与等差数列的前n项和的公式应用，属于基础题．17．（15分）（2015春•淮安校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b=1，B=，（1）若a+c=2，解此三角形；（2）求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）根据题意和正弦定理求出a和c，代入已知条件后利用内角和定理、两角和与差的正弦公式化简，由角A的范围求出角A，再求出角C，即可求出a、b、c；（2）根据题意和余弦定理列出方程，再利用基本不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式即可求出它的最大值．解答：解：（1）∵b=1，B=，∴由正弦定理得，则，同理可得，∵a+c=2，∴=2，∵C=π﹣A﹣B=，∴，则，即，∴=1，由0＜A＜π得，A+，则A=，∴，则△ABC是等边三角形，即a=b=c=1；（2）∵b=1，B=，∴由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB，∴1=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，即ac≤1，当且仅当时a=c等号成立，则△ABC面积S==≤，∴△ABC面积的最大值为．…（15分）点评：本题考查正弦、余弦定理，基本不等式，以及两角和与差的正弦公式的应用，属于中档题．18．（15分）（2015春•淮安校级期中）已知函数f（x）=x2+ax+3（1）若f（x）＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}，求实数a的值．（2）若f（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；（3）若f（x）≥a对a∈[﹣3，﹣1]恒成立，求实数x的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意得到不等式组解出即可；（2）问题转化为对x∈[1，2]恒成立，从而求出a的范围；（3）令g（a）=（x﹣1）a+x2﹣3，得到g（a）≥0对a∈[﹣3，﹣1]恒成立，得到不等式组，解出x的范围即可．解答：解：（1）根据题意，得…（3分）解得a=﹣4…（5分）（2）由题意x2+ax+3≥0对x∈[﹣2，1]恒成立，则对x∈[1，2]恒成立，∵，当且仅当时“=”成立…（8分），∴…（10分）（或分类讨论求函数y=f（x）的最小值）（3）由题可得（x﹣1）a+x2+3≥0对a∈[﹣3，﹣1]恒成立…（11分）令g（a）=（x﹣1）a+x2﹣3，则g（a）≥0对a∈[﹣3，﹣1]恒成立…（12分）则…（14分）得x∈（﹣∞，0]∪[3，+∞）…（15分）点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数恒成立问题，考查转化思想，本题是一道中档题．19．（16分）（2014•南京模拟）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC 与两腰长的和）为y（米）．（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．考点：函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）先由横断面积用x表示BC，从建立y关于x的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于米求解；（2）解y≤10.5分式不等式；（3）求函数y的最小值，根据函数特点及条件可选用不等式解决．解答：解：（1），其中，，∴，得，由，得2≤x＜6∴；（6分）（2）得3≤x≤4∵[3，4]⊂[2，6）∴腰长x的范围是[3，4]（10分）（3），当并且仅当，即时等号成立．∴外周长的最小值为米，此时腰长为米．（15分）点评：本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力，属于中档题．20．（16分）（2015春•淮安校级期中）设数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+n，数列{b n}的通项公式为b n=x n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，数列{c n}的前n项和为T n，求T n；（3）设d n=，H n=d1+d2+…+d n（n∈N*），是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*，均有H n＞成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由．考点：数列的求和；数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）化简a n===2n即可；（2）化简c n=a n b n=2nx n﹣1，从而可得T n=2+4x+6x2+8x3+…+2nx n﹣1，利用错位相减法求前n项和即可；（3）化简，从而由裂项求和法求前n项和，再由单调性化恒成立问题为最值问题即可．解答：解：（1）a n===2n；（2）c n=a n b n=2nx n﹣1，T n=2+4x+6x2+8x3+…+2nx n﹣1，①则xT n=2x+4x2+6x3+8x4+…+2nx n，②①﹣②，得（1﹣x）T n=2+2x+2x2+…+2nx n﹣1﹣2nx n，当x≠1时，（1﹣x）T n=2×﹣2nx n，则T n=，当x=1时，T n=2+4+6+8+…+2n=n2+n．（3）由（1）可得，则=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+﹣﹣；显然H n为关于n的增函数，故，于是欲使恒成立，则，∴存在最大的整数m=5满足题意．点评：本题考查了数列的通项公式的求法及前n项和的求法，同时考查了恒成立问题及最值问题，属于难题．。
江苏省清江中学高一下学期期中考试数学试题
江苏省清江中学2016～2017学年第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．. 1、000043134313cos cos sin sin +的值等于 ▲ .322、不等式2320x x -+-≥的解集是 ▲ .{}21≤≤x x .3、在等比数列{}n a 中，已知23=a ，166=a ，则公比=q ▲ .24、下列直线中与直线l ：3x ＋2y －5＝0相交的是____▲____(填上正确的序号)．①y ＝－32x ＋5 ②3x ＋2y ＝0 ③x 3＋y 2＝1 ④x 2＋y3＝1解析：直线l 的斜率k ＝－32，要使直线与l 相交，则所求直线的斜率k ′≠－32.又①、②、④中直线的斜率都等于－32，③中直线的斜率等于－23，故填③.5、函数)1(14>-+=x x x y 的最小值为 ▲ .5 6、在ABC ∆中，若,sin sin cos 2C A B =则ABC ∆的形状一定是 ▲ 三角形. 等腰 7、已知点()3,1--和()4,6-在直线320x y a --=的两侧，则a 的取值范围是___▲____.247<<-a8、若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α＝ ▲ ；3 9、等差数列{}n a 中，15087654=++++a a a a a ，则11S = ▲ .33010、已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ▲ ．93 11、已知直线l 的倾斜角为45°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝____▲____.解析：l 的斜率为k ＝tan 45°＝1，∴k l 1＝－1，k AB ＝2－－13－a＝k l 1＝－1.∴a ＝6.由l 1∥l 2，∴－2b＝－1，b ＝2.∴a ＋b ＝6＋2＝8. 12、数列{}n a 满足1321213222n n n a a aa +-++++=，则数列{}n a 的通项公式为 ▲ . ()()9162n n n a n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩13、已知1sin()33πα-=，则cos(2)3πα+=____▲___.79-14、已知数列{}n a 中，11a =且121n n a a n +=++，设数列{}n b 满足1n n b a =-，对任意正整数n 不等式22111n m b b b +++<均成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ；34m ≥ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15、（本小题满分14分）已知1tan22α=（1）求αtan 的值； （2）求tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值。
2016-2017年江苏省淮安市清河区清江中学高一上学期数学期中试卷带答案
2016-2017学年江苏省淮安市清河区清江中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1．（5分）已知数集M={x2，1}，则实数x的取值范围为．2．（5分）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁U A）∪B=．3．（5分）幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是．4．（5分）方程lgx=4﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=．5．（5分）若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间是．6．（5分）若二次函数y=ax2+4x﹣2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．7．（5分）函数y=的图象先作关于x轴对称得到图象C1，再将C1向右平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式为．8．（5分）设函数f（x）=则的值为．9．（5分）函数y=的定义域为．10．（5分）函数y=2x+log2（x+1）在区间[0，1]上的最大值和最小值之和为．11．（5分）设a=2，b=（）2，c=log2，则a、b、c的大小关系为．12．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=．13．（5分）定义在[﹣2，2]上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，若g（1﹣m）﹣g（m）＜0，则实数m的取值范围是．14．（5分）若关于x的方程=kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知集合A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，B={x|x2﹣2x﹣15≤0}．求：（1）A∩B；（2）若C={x|x≥a}，且B∩C=B，求a的范围．16．（14分）已知函数f（x）=．（1）解不等式f（x ）＜；（2）求函数f（x）值域．17．（15分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1﹣x2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）作出函数f（x）的图象．（3）若函数f（x）在区间[a，a+1]上单调，直接写出实数a的取值范围．（不必写出演算过程）18．（15分）设f（x）=（a＞0，b＞0）．（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）的条件下，试证明函数f（x）的单调性，并解不等式f（1﹣m）+f （1+m2）＜0．19．（16分）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（x∈R），（a，b为实数）．（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，若关于x方程|f（x+1）﹣1|=m|x﹣1|只有一个实数解，求实数m的取值范围；（3）在（1）的条件下，求函数h（x）=2f（x+1）+x|x﹣m|+2m最小值．2016-2017学年江苏省淮安市清河区清江中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1．（5分）已知数集M={x2，1}，则实数x的取值范围为{x|x∈R，且x≠±1} ．【解答】解：∵数集M={x2，1}，根据集合的元素的互异性知x2≠1，∴x≠±1，∴实数x的取值范围为{x|x∈R，且x≠±1}，故答案为：{x|x∈R，且x≠±1}2．（5分）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁U A）∪B={2，3，4} ．【解答】解：由题意C U A={4}，又B={2，3，4}，∴（C U A）∪B={2，3，4}故答案为{2，3，4}3．（5分）幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的解析式是．【解答】解：由题意令f（x）=x n，将点代入，得，解得n=所以故答案为4．（5分）方程lgx=4﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=1．【解答】解：分别画出等式：lgx=4﹣2x两边对应的函数图象：如图．由图知：它们的交点x0在区间（1，2）内，故k=1．故答案为：1．5．（5分）若函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间是（﹣∞，0] ．【解答】解：∵函数f（x）=kx2+（k﹣1）x+3为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=kx2﹣（k﹣1）x+3=kx2+（k﹣1）x+3∴﹣（k﹣1）=k﹣1，即k﹣1=0，解得k=1，此时f（x）=x2+3，对称轴为x=0，∴f（x）的递减区间是（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．6．（5分）若二次函数y=ax2+4x﹣2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是a＞﹣2且a≠0．【解答】解：二次函数y=ax2+4x﹣2有两个不同的零点，可得a≠0，要使ax2+4x﹣2=0有两个不相同零点，△＞0，得16﹣4×a×（﹣2）=16+8a＞0，解得a＞﹣2；综上a＞﹣2且a≠0，故答案为：a＞﹣2且a≠0；7．（5分）函数y=的图象先作关于x轴对称得到图象C1，再将C1向右平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式为y=ln（x﹣1）．【解答】解：∵函数y=的图象先作关于x轴对称得到图象C1，∴C1：y=﹣=lnx．∵将C1向右平移一个单位得到图象C2，∴C2：y=ln（x﹣1）．故答案为：y=ln（x﹣1）．8．（5分）设函数f（x）=则的值为．【解答】解：由于2＞1，故f（2）=22+2﹣2=4故=≤1故=1﹣=故答案为．9．（5分）函数y=的定义域为[1，2）．【解答】解：因为：要使函数有意义：所以：⇒⇒1≤x＜2．故答案为：[1，2）．10．（5分）函数y=2x+log2（x+1）在区间[0，1]上的最大值和最小值之和为4．【解答】解：∵y=2x和y=log2（x+1）都是[0，1]上的增函数，∴y=2x+log2（x+1）是[0，1]上的增函数，∴最大值和最小值之和为：20+log2（0+1）+21+log2（1+1）=4．故答案为4．11．（5分）设a=2，b=（）2，c=log2，则a、b、c的大小关系为a＞b＞c．【解答】解：∵，∴c最小，取一个数，∵幂函数y=是一个单调递增函数，故＞；又指数函数y=是一个单调递减函数，故＜，∴＞＞，即a＞b，则a、b、c的大小关系为a＞b＞c．故答案为：a＞b＞c12．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=﹣2．【解答】解：因为f（x+4）=f（x），所以4为函数f（x）的一个周期，所以f（7）=f（3）=f（﹣1），又f（x）在R上是奇函数，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，即f（7）=﹣2．故答案为：﹣2．13．（5分）定义在[﹣2，2]上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，若g（1﹣m）﹣g（m）＜0，则实数m的取值范围是．【解答】解：因为函数是偶函数，∴g（1﹣m）=g（|1﹣m|），g（m）=g（|m|），又g（x）在x≥0上单调递减，故函数在x≤0上是增函数，∵g（1﹣m）＜g（m），∴，得．实数m的取值范围是．故答案为：﹣1≤m＜14．（5分）若关于x的方程=kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是（0，）．【解答】解：由题意可知k≠0，∵=kx∴kx2﹣2kx=|x|当x≥0时：kx2﹣2kx=xkx2﹣（2k+1）x=0∴x1=0，x2=＞0∴k＜﹣或k＞0当x＜0时：kx2﹣2kx=﹣xkx2﹣（2k﹣1）x=0∴x=＜0∴0＜k＜综上方程的根一正，一负，一个为0，k的范围是（0，）．故答案为：（0，）二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知集合A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，B={x|x2﹣2x﹣15≤0}．求：（1）A∩B；（2）若C={x|x≥a}，且B∩C=B，求a的范围．【解答】解：（1）由集合B中的不等式x2﹣2x﹣15≤0，因式分解得：（x+3）（x﹣5）≤0，可化为：或，解得：﹣3≤x≤5，∴B={x|﹣3≤x≤5}，又A={x|x＜﹣2或3＜x≤4}，则A∩B={x|﹣3≤x＜﹣2或3＜x≤4}；（2）∵B∩C=B，∴B⊆C，则a≤﹣3．16．（14分）已知函数f（x）=．（1）解不等式f（x）＜；（2）求函数f（x）值域．【解答】解：（1）将f（x）的解析式代入不等式得：＜，整理得：3•4x﹣3＜4x+1，即4x=22x＜2=21，∴2x＜1，解得：x＜，则不等式的解集为{x|x＜}；（2）法一：f（x）==1+，∵4x＞0，∴4x+1＞1，∴﹣2＜＜0，∴﹣1＜1+＜1，则f（x）的值域为（﹣1，1）；法二：∵y=f（x）=，∴4x=＞0，即＜0，可化为：或，解得：﹣1＜y＜1，则f（x）的值域为（﹣1，1）．17．（15分）已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1﹣x2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）作出函数f（x）的图象．（3）若函数f（x）在区间[a，a+1]上单调，直接写出实数a的取值范围．（不必写出演算过程）【解答】（1）1°因为函数是奇函数，所以x=0时，f（0）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）2°设x＜0，则﹣x＞0，根据当x＞0时，f（x）=1﹣x2，得f（﹣x）=1﹣（﹣x）2=1﹣x2∵f（x）为定义在R上的奇函数∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）综上：分（2）当x＞0时，函数图象为开口向下抛物线的右侧，当x＜0时，函数图象为开口向上抛物线的左侧，并且f（0）=0，由此可得函数图象如右图﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）根据（2）的函数图象，可得当[a，a+1]⊊（﹣∞，0）时，函数函数f（x）在区间[a，a+1]上是减函数；当[a，a+1]⊊（0，+∞）时，函数f（x）在区间[a，a+1]上是增函数．解之得：a＜﹣1或a＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）18．（15分）设f（x）=（a＞0，b＞0）．（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）在（2）的条件下，试证明函数f（x）的单调性，并解不等式f（1﹣m）+f （1+m2）＜0．【解答】解：（1）当a=b=1时，f（x）==，∴，，所以，f（﹣1）≠﹣f（1），∴f（x）不是奇函数．（2）若f（x）是奇函数时，f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣对定义域内任意实数x成立．化简整理得（2a﹣b）22x+（2ab﹣4）2x+（2a﹣b）=0，这是关于x的恒等式，∴，∴，或．经检验，符合题意．（3），在定义域中任取两个实数x1、x2，且x1＜x2，则，∵x1＜x2，∴，从而f（x1）﹣f（x2）＞0，∴函数f（x）在R上为单调减函数．∴f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，即f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2），∴f（1﹣m）＜f （m2﹣1），∴1﹣m＞m2﹣1，求得﹣2＜m＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）．19．（16分）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．【解答】解：（1）y1=10x﹣（20+mx）=（10﹣m）x﹣20，0＜x≤200，且x∈Ny2=18x﹣（8x+40）﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40，0＜x≤120且x∈N（2）∵6≤m≤8∴10﹣m＞0∴y1=（10﹣m）x﹣20为增函数又0≤x≤200，x∈N∴x=200时，生产A产品有最大利润（10﹣m）×200﹣20=1980﹣200m（万美元）y2=﹣0.05x2+10x﹣40=﹣0.05（x﹣100）2+4600≤x≤120，x∈N∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）（y1）max﹣（y2）max=1980﹣200m﹣460=1520﹣200m当6≤m＜7.6时，（y1）max﹣（y2）max＞0当m=7.6时，（y1）max﹣（y2）max=0当7.6＜m≤8时，（y1）max﹣（y2）max＜0∴当6≤m＜7.6投资A产品200件可获得最大利润当7.6＜m≤8投资B产品100件可获得最大利润m=7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（x∈R），（a，b为实数）．（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，若关于x方程|f（x+1）﹣1|=m|x﹣1|只有一个实数解，求实数m的取值范围；（3）在（1）的条件下，求函数h（x）=2f（x+1）+x|x﹣m|+2m最小值．【解答】解：（1）显然a≠0∵f（1）=0∴a+b+1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵x∈R，且f（x）的值域为[0，+∞）∴△=b2﹣4a=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）方程|f（x+1）﹣1|=g（x），即|x2﹣1|=m|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣m）=0，显然，x=1已是该方程的根，…（6分）欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=m，有且仅有一个等于1的解或无解，…（7分）解得m＜0．…（9分）（3）①当x≥m时，h（x）=3x2﹣mx+2m（I）如果m≥0，；…（10分）（II）如果m＜0，；…（11分）②当x≤m时，f（x）=x2+mx+2m（I）如果m≥0，；…（12分）（II）如果m＜0，；…（13分）由于2m2+2m﹣（2m2+2m）≤0…（15分）所以…（16分）赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．EB4.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。
2015-2016年江苏省淮安市清江中学高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．（5分）若x＞0，则函数的取值范围是．2．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a=1，，∠C=30°，则△ABC的面积是．3．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．4．（5分）已知在等比数列{a n}中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7，则数列{a n}的通项公式是a n=．5．（5分）设实数x∈R，则y=x+的值域为．6．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为．8．（5分）已知a，b为正实数，且a+b=1，则+的最小值是．9．（5分）函数y=的定义域为一切实数，则k的取值范围是．10．（5分）已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a11=．11．（5分）已知三角形ABC中，有：a2tanB=b2tanA，则三角形ABC的形状是．12．（5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第100行从左向右的第3个数为．13．（5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1a n，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n=．14．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知：角θ为锐角，且sinθ=．（1）求sin（﹣θ）的值；（2）求cos2θ的值．16．（14分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．17．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．18．（16分）已知数列{a n}、{b n}分别是等差数列、等比数列，且满足a3=8，a6=17，b1=2，b1b2b3=9（a2+a3+a4）．（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=log3b n，求证：数列{c n}是等差数列，并求其公差d′和首项c1；（3）设T n=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，其中n=1，2，…，求T n的值．19．（16分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+a2+1，x∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；（2）若a∈R，解关于x的不等式f（x）＜0；（3）若x∈[0，2]时，f（x）≥a2（1﹣x）恒成立．求实数a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且S n=．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．（5分）若x＞0，则函数的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：∵x＞0，函数≥2=2，当且仅当x=即x=1时取等号故答案为：[2，+∞）2．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a=1，，∠C=30°，则△ABC的面积是．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，b=，C=30°，∴三角形的面积S=absin∠C=×1××sin30=，故答案为．3．（5分）在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．【解答】解：sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理可得cosB==；∴∠B=．故答案为．4．（5分）已知在等比数列{a n}中，各项均为正数，且a1=1，a1+a2+a3=7，则数列{a n}的通项公式是a n=2n﹣1．【解答】解：∵等比数列{a n}中a1=1，a1+a2+a3=7∴a2+a3=6，∴q+q2=6，∴q2+q﹣6=0，∴q=2，q=﹣3（舍去）∴{a n}的通项公式是a n=2n﹣1故答案为：2n﹣15．（5分）设实数x∈R，则y=x+的值域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【解答】解：y=x+=x+1+．当x+1＞0时，，当且仅当，即x=0时等号成立，此时y≥1；当x+1＜0时，，当且仅当，即x=﹣2时等号成立，此时y≤﹣3．综上，y=x+的值域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．6．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=1．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，∴a20=a1+19d=1．故答案为1．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为﹣8．【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x﹣4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x﹣4y取得最大值3；当直线z=3x﹣4y平移到点（3，5）时，目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11，目标函数z=3x﹣4y的最大值与最小值的和为：﹣8．故答案为：﹣8．8．（5分）已知a，b为正实数，且a+b=1，则+的最小值是3+2．【解答】解：∵a，b为正实数，且a+b=1，则+=（a+b）=3+≥3+2=3+2，当且仅当b=a=2﹣时取等号．∴+的最小值是3+2，故答案为：3+2．9．（5分）函数y=的定义域为一切实数，则k的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意知：不等式kx2﹣6x+k+8≥0的解集为R；∴k需满足；解得k≥1；∴k的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．（5分）已知等比数列{a n}中，a6=2，公比q＞0，则log2a1+log2a2+…+log2a11= 11．【解答】解：由等比数列的性质得，a1a11=a2a10=a3a9=a4a8=a5a7=，∵a6=2，公比q＞0，∴log2a1+log2a2+…+log2a11=log2（a1a2…+a11）==11=11，故答案为：11．11．（5分）已知三角形ABC中，有：a2tanB=b2tanA，则三角形ABC的形状是等腰或直角三角形．【解答】解：∵三角形ABC中，a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理得：=0，∵sinA•sinB＞0，∴，即=0，∴sin2A=sin2B，又A、B为三角形中的角，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=．故答案为：等腰三角形或直角三角形．12．（5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第100行从左向右的第3个数为4953．【解答】解：由排列的规律可得，第99行结束的时候排了1+2+3+ (99)=4950 个数．所以100行从左向右的第3个数4950+3=4953．故答案为4953．13．（5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1a n，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得5S n﹣4n a n=n．【解答】解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n﹣1•4n﹣1+a n•4n②①+②得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（a n﹣1+a n）+a n•4n=a1+4×+42•（）2+…+4 n﹣1•（）n﹣1+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n﹣4n•a n=n，故答案为：n．14．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为．【解答】解：a n2+=a n2+[na1+n（n﹣1）d]2=a n2+[a1+（n﹣1）d]2令（n﹣1）d=t，a n2+=（a1+2t）2+（a1+t）2=2a12+6ta1+5t2=5（t﹣）2+2a12﹣，当t=时，取到最小值即（n﹣1）d=，即n=，∵不等式a n2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，∴m．∴实数m的最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知：角θ为锐角，且sinθ=．（1）求sin（﹣θ）的值；（2）求cos2θ的值．【解答】解：（1）∵角θ为锐角，且sinθ=，可得：cos=，∴sin（﹣θ）=sin cosθ﹣cos sinθ=（﹣）=．…（7分）（2）cos2θ=2cos2θ﹣1=2×（）2﹣1=．…（14分）16．（14分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．【解答】解：∵ax2+5x﹣2＞0的解集是，∴a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两根韦达定理×2=，解得a=﹣2；则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0即为﹣2x2﹣5x+3＞0，解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．故答案为：17．（14分）设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，联立①②解得：a=c=3；（2）∵cosB=，B为三角形的内角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A为锐角，∴cosA==，则sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．18．（16分）已知数列{a n}、{b n}分别是等差数列、等比数列，且满足a3=8，a6=17，b1=2，b1b2b3=9（a2+a3+a4）．（1）分别求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设c n=log3b n，求证：数列{c n}是等差数列，并求其公差d′和首项c1；（3）设T n=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，其中n=1，2，…，求T n的值．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，a3=8，a6=17，∴d===3，∴a n=a3+（n﹣3）d=8+3（n﹣3）=3n﹣1，∴a2+a3+a4=3a3=24，∵数列{b n}是等比数列，设公比为q，b1=2，∴b1b2b3=2×2q×2q2=8q3=9（a2+a3+a4）=9×24，解得q=3，∴b n=2×3n﹣1，（2）∵c n=log3b n=n+log32﹣1，﹣c n=n+1+log32﹣1﹣n﹣log32+1=1=d′∴c n+1∵c1=log3b1=1+log32﹣1=log32，∴数列{c n}是以首项为log32，公差d′=1的等差数列（3）∵b n=2×3n﹣1，}是以b1=2为首项，以q3=27为等比的等比数列，∴{b3n﹣2∴T n=b1+b4+b7+…+b3n﹣2==（27n﹣1）19．（16分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+1）x+a2+1，x∈R．（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；（2）若a∈R，解关于x的不等式f（x）＜0；（3）若x∈[0，2]时，f（x）≥a2（1﹣x）恒成立．求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x2﹣6x+5=（x﹣1）（x﹣5）＜0∴1＜x＜5﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（2）f（x）=0时△=8a﹣﹣（4分）当a≤0，x∈Φ；﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当﹣﹣﹣（8分）（3）由题意：任意的x∈[0，2]，x2+1≥（﹣a2+2a+1）x，成立当x=0时，不等式显然成立﹣﹣（10分）当x∈（0，2]，．∵∴﹣a2+2a+2≤2，即a≤0或a≥2综上：a≤0或a≥2﹣﹣﹣（16分）20．（16分）已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且S n=．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设lgb n=，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）令n=1，则a1=S1==0（2）由，即，①得．②=na n．③②﹣①，得（n﹣1）a n+1于是，na n=（n+1）a n+1．④+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1③+④，得na n+2又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n=n﹣1（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列，于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列。
2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点2.（单选题，5分）直线3x+ √3 y+m=0（m∈R）的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°3.（单选题，5分）如图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60分）为考试合格，则这次考试的合格率为（）A.0.02B.0.035C.0.4D.0.74.（单选题，5分）一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率是（）A. 12B. 13C. 14D.15.（单选题，5分）在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a= √3 ，b= √2 ，A=60°，则角B=（ ） A.30° B.45° C.60° D.135°6.（单选题，5分）江岸边有一炮台高30（m ），江中有两条船，船与炮台底面都在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船之间的距离是（ ） A.5 √3 （m ） B.10 √3 （m ） C.5 √2 （m ） D.10 √2 （m ）7.（单选题，5分）动圆M 与定圆C ：x 2+y 2+4x=0相外切，且与直线l ：x-2=0相切，则动圆M 的圆心的轨迹方程为（ ） A.y 2-12x+12=0 B.y 2+12x-12=0 C.y 2+8x=0 D.y 2-8x=08.（单选题，5分）若正实数x ，y 满足x+y=1，则 4x+1 + 1y 的最小值为（ ） A. 447B. 275C. 143D. 929.（多选题，5分）要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行）（ ）03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 A.774B.946C.428D.57210.（多选题，5分）若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ） A. m ∥n m ⊥α}⇒n ⊥α B. m ⊥αn ⊥α}⇒m ∥n C. m ⊥αn ∥α}⇒m ⊥n D. m ∥αm ⊥n}⇒n ⊥α 11.（多选题，5分）直线y=x+b 与曲线 x =√1−y 2 恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（ ） A. −√2 B.-1 C.1 D. √212.（多选题，5分）在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知c=2，若sin 2A+sin 2B-sinAsinB=sin 2C ，则下列说法正确的是（ ） A. C =π3 B. A ∈(π6，π2) C. B ∈(0，π2) D. a +b ∈(2√3，4]13.（填空题，5分）某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如表：14.（填空题，5分）不等式 x−43−2x ＜0的解集是___ ．15.（填空题，5分）点（5，2）到直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5的距离的最大值为___ ． 16.（填空题，5分）已知圆C 1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C 2：（x-3）2+（y-4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值___ ．17.（问答题，10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2=bc．（1）求角A；（2）若b=2，且△ABC的面积为S=2√3，求a的值．18.（问答题，12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，且AB=AC．求证：（1）BE || 平面AC1D；（2）AD⊥C1D．19.（问答题，12分）（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．20.（问答题，12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的5名同学分别用A、B、C、D、E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．① 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；② 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．21.（问答题，12分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求∠ACB=60°，BC长度大于1，且AC比AB长0.5米，（1）设BC=a，求AC长？（2）为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC 长度为多少米？22.（问答题，12分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x-2）2+（y-1）2=1交于点C，D．，求CD的长；（1）若AB= 3√72（2）若直线AB斜率为2，求△ABM的面积；（3）若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点【正确答案】：C【解析】：不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．【解答】：解：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选：C．【点评】：本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目．2.（单选题，5分）直线3x+ √3 y+m=0（m∈R）的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【正确答案】：C【解析】：直线3x+√3y+m=0(m∈R)的斜率为- √3，所以倾斜角为120度．【解答】：解：因为直线3x+√3y+m=0(m∈R)的斜率为- √3，所以设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ=- √3，所以θ=120°．故选：C．【点评】：本题考查了直线的倾斜角与斜率，属基础题．3.（单选题，5分）如图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60分）为考试合格，则这次考试的合格率为（）A.0.02B.0.035C.0.4D.0.7【正确答案】：D【解析】：根据频率分布直方图中的数据，计算出60分以上（含60分）的频率即可．【解答】：解：由频率分布直方图可知，60分以上（含60分）的频率为（0.02+0.015）×20=0.7，所以这次考试的合格率为0.7．故选：D．【点评】：本题考查频率分布直方图中的数字特征，理解频率与概率的联系是解题的关键，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．4.（单选题，5分）一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率是（）A. 12B. 13C. 14D.1【正确答案】：A【解析】：从中摸出2个球，基本事件总数n= C42 =6，摸出1个黑球，1个白球包含的基本事件个数m= C11C31 =3，由此能求出摸出1个黑球，1个白球事件的概率．【解答】：解：一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，基本事件总数n= C42 =6，摸出1个黑球，1个白球包含的基本事件个数m= C11C31 =3，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率p= mn = 36= 12．故选：A．【点评】：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（单选题，5分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a= √3，b= √2，A=60°，则角B=（）A.30°B.45°C.60°D.135°【正确答案】：B【解析】：将已知代入正弦定理可得：sinB= √22，根据a= √3＞b= √2，由三角形中大边对大角可得：B＜60°，即可求得B=45°．【解答】：解：将已知代入正弦定理可得：sinB= bsinAa = √2×sin60°√3= √22，∵a= √3＞b= √2，由三角形中大边对大角可得：B＜60°，∴可解得：B=45°．故选：B．【点评】：本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角的应用，属于基本知识的考查．6.（单选题，5分）江岸边有一炮台高30（m），江中有两条船，船与炮台底面都在同一水平面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船之间的距离是（）A.5 √3（m）B.10 √3（m）C.5 √2（m）D.10 √2（m）【正确答案】：B【解析】：利用直线与平面以及俯角的定义，结合两个直角三角形，再利用余弦定理求出两船的距离．【解答】：解：如图所示，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B，设A处观测小船C的俯角为45°，A处观测小船D的俯角为60°，连接BC、BD；在Rt△ABC中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30（m）；=10 √3（m）；在Rt△ABD中，∠ADB=60°，可得BD= ABtan60°在△BCD中，BC=30，BD=10 √3，∠CBD=30°，由余弦定理可得：=300，CD2=BC2+BD2-2B C•BDcos30°=900+300-2×30×10 √3 × √32∴CD=10 √3（m）．故选：B．【点评】：本题考查了余弦定理、空间线面的位置关系应用问题，是基础题．7.（单选题，5分）动圆M与定圆C：x2+y2+4x=0相外切，且与直线l：x-2=0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（）A.y2-12x+12=0B.y2+12x-12=0C.y2+8x=0D.y2-8x=0【正确答案】：B【解析】：设动点M的坐标为（x，y），根据题意得知点M到点C的距离等于点M到直线x=4的距离，然后利用距离公式列等式可得出点M的轨迹方程．【解答】：解：圆C 的标准方程为（x+2）2+y 2=4，圆心为C （-2，0），半径为2． 如下图所示，设圆M 的半径为r ，则|MC|=r+2，点M 到直线l 的距离为r ，由题意可知，点M 到点C 的距离等于点M 到直线x=4的距离，设动点M 的坐标为（x ，y ），则 √(x +2)2+y 2=4−x ，化简得y 2+12x-12=0． 因此，动点M 的轨迹方程为y 2+12x-12=0． 故选：B ．【点评】：本题考查动点的轨迹方程，考查距离公式的应用，解决本题的关键在于处理圆与圆相切的转化，考查计算能力，属于中等题．8.（单选题，5分）若正实数x ，y 满足x+y=1，则 4x+1 + 1y 的最小值为（ ） A. 447 B. 275 C. 143 D. 92【正确答案】：D【解析】：将x+y=1变成x+1+y=2，将原式 4x+1 + 1y = x+1+y 2 •（ 4x+1 + 1y ）= 12 （1+4+ 4yx+1+ x+1y）后，用基本不等式可得．【解答】：解：∵x ＞0，y ＞0，x+y=1， ∴x+1+y=2，4x+1 + 1y =x+1+y 2 •（ 4x+1 + 1y ）= 12 （1+4+ 4y x+1 + x+1y ）≥ 12 （5+2 √4 ）= 92（当且仅当x= 13 ，y= 23 取等号）， 故选：D ．【点评】：本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．9.（多选题，5分）要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行）（ ）03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 A.774 B.946 C.428 D.572【正确答案】：ACD【解析】：从随机数表第2行第2列的数7开始向右读第一个小于850的数字是774，以此类推，把大于850 舍去，把符合条件的写出来，得到这一个样本，即可求出结论．【解答】：解：从随机数表第2行第2列的数7依次开始向右读， 第一个小于850的数字是774，符合题意， 第二个数字是946，774舍， 第三个数字是428，也符合题意， 第四个数字是114，也符合题意， 第五个数字是572，也符合题意， 故选：ACD ．【点评】：本题考查简单随机抽样中的随机数表法，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，因为在随机数表中，每个数字在每一个位置出现的几率相等．10.（多选题，5分）若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ） A. m ∥nm ⊥α}⇒n ⊥αB. m ⊥αn ⊥α}⇒m ∥nC. m ⊥αn ∥α}⇒m ⊥nD. m ∥αm ⊥n }⇒n ⊥α 【正确答案】：ABC【解析】：对于A ，由线面垂直的判定定理进行判断；对于B ，由线面垂直的性质定理进行判断；对于C ，由线面垂直的性质进行判断；对于D ，n 与α相交、平行或n⊂α．【解答】：解：由m ，n 表示直线，α表示平面，知：对于A ，由线面垂直的判定定理得： m ∥nm ⊥α}⇒n ⊥α ，故A 正确；对于B ，由线面垂直的性质定理得： m ⊥αn ⊥α}⇒m ∥n ，故B 正确；对于C ，由线面垂直的性质得： m ⊥αn ∥α}⇒m ⊥n ，故C 正确；对于D ， m ∥αm ⊥n }⇒ n 与α相交、平行或n⊂α，故D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.（多选题，5分）直线y=x+b 与曲线 x =√1−y 2 恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（ ） A. −√2 B.-1 C.1 D. √2【正确答案】：AC【解析】：曲线 x =√1−y 2 表示以原点O （0，0）为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b 与曲线曲线 x =√1−y 2 恰有一个公共点，则实数b 的取值范围，然后判断选项．【解答】：解：曲线 x =√1−y 2 即 x 2+y 2=1 （x≥0），表示以原点O （0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y 轴及y 轴右侧的部分）， 如图：当直线经过点A （0，-1）时，求得b=-1；当直线经过点C（0，1）时，求得b=1；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得|0−0+b|√2=1，求得b= √2（舍去），或b=- √2，数形结合可得当直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（-1，1]∪{- √2 }，则实数b可取−√2；1故选：AC．【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．12.（多选题，5分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知c=2，若sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，则下列说法正确的是（）A. C=π3B. A∈(π6，π2)C. B∈(0，π2)D. a+b∈(2√3，4]【正确答案】：ABD【解析】：由正弦定理可得a2+b2-ab=c2，利用余弦定理求出cosC和C的值，判断A正确；由三角形内角和定理，结合题意求出B、A的取值范围，判断B正确，C错误；由正弦定理求出a+b的取值范围，判断D正确．【解答】：解：锐角△ABC中，sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，由正弦定理可得：a2+b2-ab=c2，所以a2+b2-c2=ab；由余弦定理可得cosC=a 2+b 2−c 22ab = ab 2ab = 12， 又C∈（0， 12 ），所以 C =π3 ，选项A 正确； 由三角形内角和定理知，A+B= 2π3 ，所以B= 2π3 -A ；又B ＜ π2 ，所以 2π3 -A ＜ π2 ，解得A ＞ π6 ，所以A∈（ π6 ， π2 ），选项B 正确； 同理，B∈（ π6 ， π2 ），所以选项C 错误； 由正弦定理得a+b= csinC （sinA+sinB ） = 4√33（sinA+sinB ） = 4√33 [sinA+sin （ 2π3 -A ）] =4√33 （ 32 sinA+ √32cosA ） =4sin （A+ π6 ），由A∈（ π6 ， π2 ），得A+ π6 ∈（ π3 ， 2π3 ）， 所以a+b∈（2 √3 ，4]，选项D 正确． 故选：ABD ．【点评】：本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．13.（填空题，5分）某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如表：【正确答案】：[1]11【解析】：求出样本中心，然后利用回归直线方程，即可求解它的截距 a ̂ ．【解答】：解： x =2+202=11 ， y =110(4+7+12+15+21+25+27+31+37+41)=22 ，则 a ̂ =22-1×11=11． 故答案为：11．【点评】：本题考查回归直线方程的求法与应用，是基本知识的考查．14.（填空题，5分）不等式 x−43−2x ＜0的解集是___ ． 【正确答案】：[1] {x|x ＜32或x ＞4}【解析】：由 x−43−2x ＜0可得（x-4）（2x-3）＞0，结合二次不等式的求法即可求解．【解答】：解：由 x−43−2x ＜0可得（x-4）（2x-3）＞0， 解可得x ＞4或x ＜ 32 ，故不等式的解集为： {x|x ＜32或x ＞4} ． 故答案为： {x|x ＜32或x ＞4} ．【点评】：本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题．15.（填空题，5分）点（5，2）到直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5的距离的最大值为___ ． 【正确答案】：[1] 2√13【解析】：利用直线系方程求出动直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．【解答】：解：化直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5为m （x+2y-1）-x-y+5=0， 联立 {x +2y −1=0−x −y +5=0，解得 {x =9y =−4 ．∴直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5过定点（9，-4），∴点（5，2）到直线（m-1）x+（2m-1）y=m-5的距离的最大值为 √(5−9)2+(2+4)2=2√13 ．故答案为： 2√13 ．【点评】：本题考查直线系方程的应用，考查两点间的距离公式，是基础题．16.（填空题，5分）已知圆C 1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C 2：（x-3）2+（y-4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值___ ． 【正确答案】：[1]5 √2 -4【解析】：求出圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【解答】：解：如图，圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A （2，-3），半径为1，圆C 2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即：√(3−2)2+(4+3)2 -4=5 √2 -4．故答案为：5 √2 -4．【点评】：本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．17.（问答题，10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2=bc．（1）求角A；（2）若b=2，且△ABC的面积为S=2√3，求a的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用余弦定理求出cosA的值，从而求出角A的值．（2）根据b=2，且△ABC的面积为S=2√3，求得c=4，再由余弦定理求得 a2的值，从而求得a的值．【解答】：解：（1）∵ cosA=b 2+c2−a22bc且b2+c2−a2=bc，---------（2分）∴ cosA=bc2bc =12．------------（4分）又∵0＜A＜π，∴ ∠A=π3．-----------（6分）（2）由于b=2，且△ABC的面积为S=2√3，则有12•2•c•sinπ3=2 √3，解得 c=4．------------（9分）再由余弦定理可得 a2=b2+c2-2•b•c•cos π3=12，∴a=2 √3．-----------------（12分）【点评】：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．18.（问答题，12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，且AB=AC．求证：（1）BE || 平面AC1D；（2）AD⊥C1D．【正确答案】：BD，从而四边形BDC1E是平行四边形，进而BE || C1D，由此能【解析】：（1）推导出EC1∥=证明BE || 平面AC1D．（2）推导出AD⊥CC1，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1，由此能证明AD⊥C1D．【解答】：证明：（1）∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E分别是边BC，B1C1中点，∴EC1∥BD，∴四边形BDC1E是平行四边形，∴BE || C1D，=∵BE⊄平面AC1D，C1D⊂平面AC1D，∴BE || 平面AC1D．（2）∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴AD⊥CC1，∵点D，E分别是边BC，B1C1中点，且AB=AC．∴AD⊥BC，∵BC∩CC1=C，∴AD⊥平面BCC1B1，∵C1D⊂平面BCC1B1，∴AD⊥C1D．【点评】：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.（问答题，12分）（1）设直线l过点（2，3）且与直线2x+y+1=0垂直，l与x轴，y轴分别交于A、B两点，求|AB|；（2）求过点A（4，-1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，即可求出A，B的坐标即可求出|AB|；（2）分类讨论：当直线过原点时，当直线不过原点时，代点分别可得方程．【解答】：解：（1）设l的方程为x-2y+c=0，代入（2，3）可得c=4，则x-2y+4=0，令x=0，得y=2，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，2），则|AB|= √16+4 =2 √5；（2）当直线不过原点时，设直线l的方程为x+y=c，代入（4，-1）可得c=3，此时方程为x+y-3=0，当直线过原点时，此时方程为x+4y=0．【点评】：本题考查直线的截距式方程，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答20.（问答题，12分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的5名同学分别用A、B、C、D、E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．① 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；② 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用比例关系，求出分层抽样的结果．（2）① 直接利用列举法写出所有的结果．② 利用古典概型问题的应用求出结果．【解答】：解：（1）某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动，所以抽取的比例为1：80，故从志愿者中抽取甲2人，乙2人，丙1人；（2）① 设5名同学分别用A、B、C、D、E表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作，所以抽取的结果为（A、B）（A、C）（A、D）（A、E）（B、C）（B、D）（B、E）（C、D）（C、E）（D、E）一共有10种．② 从5名学生中抽取2名，基本事件数为10．来自于同一年级的有2种结果，=0.2故P（A）= 210【点评】：本题考查的知识要点：分层抽样，古典概型，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21.（问答题，12分）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求∠ACB=60°，BC长度大于1，且AC比AB长0.5米，（1）设BC=a，求AC长？（2）为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC 长度为多少米？【正确答案】：【解析】：（1）由已知结合余弦定理可建立关于a，b的方程，解方程可求，（2）结合（1）中a，b的关系，采用换元后，利用基本不等式即可求解．【解答】：解：（1）因为BC=a（a＞1），AC=b，则AB=b-0.5，∵（b-0.5）2=b2+a2-2abcos60°，∴-b+0.25=a2-ab，整理得AC= b=a 2−0.25a−1(a＞1)，（2）令a-1=t（t＞0），∴a=t+1，∴ b=(t+1)2−0.25t =t2+2t+0.75t=t+34t+2≥2+2√34=2+√3，（当且仅当t=34t ，即t=√32时取等号）综上，当BC=1+√32米时AC最短，为2+√3米．【点评】：本题主要考查了余弦定理，基本不等式在求解三角形及最值中的应用，属于基础试题．22.（问答题，12分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2=4交于点A，B，与圆M：（x-2）2+（y-1）2=1交于点C，D．（1）若AB= 3√72，求CD的长；（2）若直线AB斜率为2，求△ABM的面积；（3）若CD的中点为E，求△ABE面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程，由AB 的值结合直线与圆的位置关系分析可得k 2=15，因为直线AB 与直线CD 互相垂直，分析可得直线CD 的方程，据此分析可得答案；（2）根据题意，求出直线AB 的方程，结合直线与圆相交的性质求出AB 的长，进而求出M 到AB 的距离．由三角形面公式计算可得答案；（3）根据题意，分直线AB 的斜率存在与不存在2种情况讨论，求出△ABE 面积，综合2种情况即可得答案．【解答】：解：（1）由题可知，直线AB 斜率显然存在，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为y=kx+1．因为O 点到直线AB 的距离d 1=√k 2+1 ， 则 (AB 2)2 + (√k 2+1)2 =4，变形可得AB=2 √4k 2+3k 2+1 ， 又由AB= 3√72 ，则2 √4k 2+3k 2+1 = 3√72 ，解可得k 2=15．因为直线AB 与直线CD 互相垂直，则直线CD ：y= −1k x+1，则M 点到直线CD 的距离d 2=−2k +1−1√1+(−k )2 ， 又由 (CD 2)2 =1- (−2k+1−1√1+(−k )2)2，则CD=2 √1−4k 2+1 =2 √1−415+1= √3 ． （2）根据题意，若直线AB 斜率为2，则直线AB 方程为2x-y+1=0，则O 到直线AB 距离d 1=√4+1 = √55 ，则 AB =2√4−15=2√955 ， M 到直线AB 距离d=√4+1 = 4√55 ， 故 S △ABM =12AB •d =45√19 ；（3）当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S= 12 ×4×2=4；当直线AB 的斜率存在时，设为k ，则直线AB ：y=kx+1，k≠0，直线CD ：y=- 1k x+1． 由 |−2k+1−1|√1+(−k )2 ＜1得k 2＞3，所以k∈（-∞，- √3 ）∪（ √3 ，+∞）．因为 (AB 2)2 + (1√k 2+1)2 =4，所以AB=2 √4k 2+3k 2+1． 因为E 点到直线AB 的距离即M 点到直线AB 的距离d=|2k+1−1|√1+k 2 = |2k|√1+k 2 ， 所以△ABE 的面积S= 12 AB•d=2 √(4k 2+3)k 2(1+k 2)2 ． 令t=k 2+1＞4，则S= 2√4t 2−5t+1t 2=2√4−5t +(1t )2 ， 又由t ＞4，则0＜ 1t ＜ 14 ，故S∈ (3√52，4) ． 综上，△ABE 面积的取值范围是 (3√52，4] ． 【点评】：本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．。
江苏省清江中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题 含答案
江苏省清江中学2015-2016学年度第二学期期中考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1.已知0>x ，且xx y 1+=,则y 的取值范围是 。
2。
在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若1a =,b ∠C＝30º；则△ABC 的面积是3.在△ABC 中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则∠B 的大小是___________． 4。
已知在等比数列{}na 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a则数列{}n a 的通项公式是______na=．5.设实数R x ∈，则11++=x x y 的值域为 。
6.已知{}na 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=++=,则20a 等于7.设变量x ,y 满足约束条件错误!则目标函数z ＝3x －4y 的最大值与最小值的和为_______．8.已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则错误!＋错误!的最小值是_________________. 9.设函数862++-=k x kx y 的定义域为R ，则k 的取值范围是_____________。
10.已知等比数列{}na 中，62a=，公比0q >,则2122211log log log a a a +++= 。
11.已知三角形ABC 中，有：22tan tan aB b A =，则三角形ABC 的形状是12。
如图将全体正整数排成一个三角形数阵，第100行从左向右的第3个数为______13.已知数列{}n a 满足1a =1,114nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21123444n nn Sa a a a -=++++，利用类似等比数列的求和方法，可求得54nn n Sa -= 。
2015-2016年江苏省淮安市清江中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高二（下）期中数学试卷（理科）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是．2．（5分）甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.9，若两人同时独立射击，他们都击中靶的概率为．3．（5分）用数字0，1，2，3，7组成个没有重复数字的五位偶数．4．（5分）已知随机变量X的分布列为P（X=k）=（k=1，2，3，4），则a等于．5．（5分）如果三点A（1，5，﹣2），B（3，4，1），C（a，3，b+2）在同一直线上，则a+b=．6．（5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P（X≤1）等于．7．（5分）若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是．8．（5分）对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是．9．（5分）（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）15的展开式中含x3项的系数是．（用数字作答）10．（5分）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（）+f（）+…+f（）=．11．（5分）用5种不同的颜色给如图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有种不同的涂色方法．12．（5分）如图，在杨辉三角中，从上往下数共有n（n∈N*）行，在这些数中非1的数字之和是．13．（5分）若存在正整数m，使得f（n）=（2n﹣7）3n+9（n∈N*）都能被m整除，则m的最大值为．14．（5分）若（x2﹣3x+1）8•（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+…+a20x20，则a2=．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），且复数（z+a •i）2在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为．16．（14分）（1）证明：C n m+C n m﹣1=C n+1m；（2）证明：C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n•2n﹣1．17．（14分）设函数y=f（x），对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．（1）求f（0）的值；（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值；（3）在（2）的条件下，猜想f（n）（n∈N*）的表达式并用数学归纳法证明．18．（16分）（1）现有5名男生和3名女生．若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？（2）从{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c 的系数，问能组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？（3）已知（+2x）n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数．19．（16分）如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E 是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．20．（16分）从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同．在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数x的分布列．（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；（2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中．2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数（i是虚数单位）的虚部是．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵=，∴复数的虚部是．故答案为：．2．（5分）甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.9，若两人同时独立射击，他们都击中靶的概率为0.72．【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【解答】解：甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.9，若两人同时独立射击，则他们都击中靶的概率为0.8×0.9=0.72，故答案为：0.72．3．（5分）用数字0，1，2，3，7组成42个没有重复数字的五位偶数．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：当个位数字为0时，这样的五位数共有：A44=24个，当个位数字为2时，这样的五位数共有：C31A33=18个，所以组成没有重复数字的五位偶数共有24+18=42个．故答案为：42．4．（5分）已知随机变量X的分布列为P（X=k）=（k=1，2，3，4），则a等于5．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：由题意，（1+2+3+4）=1，∴a=5．故答案为：5．5．（5分）如果三点A（1，5，﹣2），B（3，4，1），C（a，3，b+2）在同一直线上，则a+b=7．【考点】I6：三点共线．【解答】解：∵三点A（1，5，﹣2），B（3，4，1），C（a，3，b+2）在同一直线上，∴，即（2，﹣1，3）=λ（a﹣1，﹣2，b+4），∴，解得a=5，b=2，．∴a+b=7．故答案为：7．6．（5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P（X≤1）等于．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：∵从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，∴P（X≤1）=P（X=0）+P（X=1）==．故答案为：．7．（5分）若f（n）=12+22+32+…+（2n）2，则f（k+1）与f（k）的递推关系式是f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：∵f（k）=12+22++（2k）2，∴f（k+1）=12+22++（2k）2+（2k+1）2+（2k+2）2，两式相减得f（k+1）﹣f（k）=（2k+1）2+（2k+2）2．∴f（k+1）=f（k）+（2k+1）2+（2k+2）2．8．（5分）对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是250．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，第3次操作为53+53=250，第4次操作为23+53+03=133，所以操作结果，以3为周期，循环出现，由此可得第2016次操作后得到的数与第3次操作后得到的数相同，故第2016次操作后得到的数是250，故答案为：250．9．（5分）（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）15的展开式中含x3项的系数是1820．（用数字作答）【考点】89：等比数列的前n项和；DA：二项式定理．【解答】解：所给式子的展开式中x3的系数是==1820．故答案为1820．10．（5分）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f（）+f（）+…+f（）=．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：设a+b=1，则f（a）+f（b）=+=+=+=．所以f（）+f（）=，f（）+f（）=，…，∴f（）+f（）+…+f（）=×（9×）=．故答案为：．11．（5分）用5种不同的颜色给如图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有260种不同的涂色方法．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：对于1号区域，有5种颜色可选，即有5种涂法，分类讨论其他3个区域：①若2、3号区域涂不同的颜色，则有A42=12种涂法，4号区域有3种涂法，此时其他3个区域有12×3=36种涂法；②若2、3号区域涂相同的颜色，则有4种涂法，4号区域有4种涂法，此时其他3个区域有有4×4=16种涂法；则共有5×（36+16）=5×52=260种；故答案为：260．12．（5分）如图，在杨辉三角中，从上往下数共有n（n∈N*）行，在这些数中非1的数字之和是2n﹣2n．【考点】8B：数列的应用；8E：数列的求和．【解答】解：观察可知，第n（n∈N*）行中有n个数，从左向右依次是二项式系数C n﹣10，Cn﹣11，Cn﹣12，Cn﹣1n﹣1，故当n≥3时，除了1外，第n行各数的和为a n=C n﹣11+C n﹣12+…+C n﹣1n﹣2=2n﹣1﹣2．又前两行全部为数字1，故前n行非1的数字之和为a3+a4+…+a n=﹣2（n﹣2）=2n﹣2n．答案：2n﹣2n13．（5分）若存在正整数m，使得f（n）=（2n﹣7）3n+9（n∈N*）都能被m整除，则m的最大值为6．【考点】S1：整除的概念和性质．【解答】解：由f（n）=（2n﹣7）•3n+9，得f（1）=﹣6，f（2）=﹣3×6，f（3）=﹣3×6，f（4）=15×6，由此猜想m=6．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设n=k时，f（k）能被6整除，即f（k）=（2k﹣7）•3k+9能被6整除；当n=k+1时，[2（k+1）﹣7]•3k+1+9=3[（2k﹣7）•3k+9]+18（3k﹣1﹣1），由于3k﹣1﹣1是2的倍数，故18（3k﹣1﹣1）能被6整除．这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被6整除．由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被6整除，m的最大值为6，故答案为：6．14．（5分）若（x2﹣3x+1）8•（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+…+a20x20，则a2=380．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（1+x2﹣3x）8的通项为=，令2r﹣r′=2，则r=1，r′=0，r=2，r′=2，可得x2的系数为260，令2r﹣r′=1，则r=1，r′=1，可得x的系数为﹣3，（2x﹣1）4的通项为，令r=2，可得x2的系数为24；令r=1，可得x的系数为﹣32，令r=4，可得常数项为1，∴a2=260+96+24=380．故答案为：380．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），且复数（z+a •i）2在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为{a|2＜a＜6}．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：（1）设z=m+ni∵Z+2i=m+ni+2i是实数，∴n=﹣2，=为实数，∴m=4，∴z=4﹣2i，∴（z+ai）2=（4﹣2i+ai）2=16+8（a﹣2）i+（a﹣2）2i2=（12﹣a2+4a）+（8a﹣16）i，∵复数（z+ai）2在复平面对应的点在第一象限，∴，解得：2＜a＜6，∴实数a的取值范围是{a|2＜a＜6}，故答案为：{a|2＜a＜6}．16．（14分）（1）证明：C n m+C n m﹣1=C n+1m；（2）证明：C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n•2n﹣1．【考点】DA：二项式定理．【解答】证明：（1）三种方法：法一：直接代公式：C n m+C n m﹣1=+=+==，又C n+1m=，∴C n m+C n m﹣1=C n+1m．（构造）从一个装有n个不同的红球和1个黄球的口袋中取出m个不同球，法二：共得到个不同组合，我们可将这些组合分成两类：一类全是红球，则从n 个红球中取，可得到个不同组合；一类含有黄球，则从n个红球中再取出m﹣1个，则得到个不同组合，所以．法三（构造）分别求（1+x）n+1和（1+x）（1+x）n的展开式中x m的系数，（1+x）n+1的展开式中x m的系数为；（1+x）（1+x）n=（1+x）（）的展开式中x m的系数为1×+1×=+，∵（1+x）n+1=（1+x）（1+x）n，∴展开式中x m的系数也相等，∴．（2）法一：倒序相加法：f（n）=C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n，f（n）=nC n n+（n﹣1）…+3C n3+2C n2+C n1，∴2f（n）=nC n n+（n﹣1+1）+…+（1+n﹣1）+n=n（++…++）=n•2n，∴f（n）=n•2n﹣1．法二：公式法：利用公式，则C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n+n+…+n=n（++…+）=n•2n﹣1，∴C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n•2n﹣1．法三：构造函数f（x）=（1+x）n=，两边求导得：令x=1得：成立．17．（14分）设函数y=f（x），对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．（1）求f（0）的值；（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值；（3）在（2）的条件下，猜想f（n）（n∈N*）的表达式并用数学归纳法证明．【考点】3P：抽象函数及其应用；RG：数学归纳法．【解答】解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0，得f（0）=0．…（2分）（2）由f（1）=1，得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2×1×1=4．f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2×2×1=9．f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2×3×1=16．…（5分）（3）由（2）可猜想f（n）=n2，…（7分）用数学归纳法证明：（i）当n=1时，f（1）=12=1显然成立．…（8分）（ii）假设当n=k时，命题成立，即f（k）=k2，…（10分）则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2×k×1=k2+1+2k=（k+1）2，故当n=k+1时命题也成立，…（12分）由（i），（ii）可得，对一切n∈N*都有f（n）=n2成立．…（14分）18．（16分）（1）现有5名男生和3名女生．若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？（2）从{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c 的系数，问能组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？（3）已知（+2x）n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题；DA：二项式定理．【解答】解：（1）分三步完成：先从3名女生中选出2名，有种方法，再从5名男生中选出3名，有种方法，将选择出的5人全排列，有，根据分步计数原理，共有=3600种；（2）∵抛物线过原点，∴c=0，c只有1种取法；当顶点在第一象限时，必开口向下，且对称轴在y轴右边，∴a＜0，b＞0，∴a可取﹣1，﹣2，﹣3，有3种方法；b可取1，2，3，4，有4种方法，共得到3×4=12条抛物线．当顶点在第三象限时，必开口向上，且对称轴在y轴左边，∴a＞0，b＞0，即a，b只能在1，2，3，4中取，由于a，b不相同，所以有种取法，得到条抛物线…（8分）所以共有不同的抛物线条数为+12=24条．…（9分）（3）（+2x）n的若展开式通项∵第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，∴，解得n=7或n=14，∴当n=7时，二项式系数最大的项是T4和T5，其中T4=，T5=，系数分别为，70．∴当n=14时，二项式系数最大的项是T8=，系数为=3432．19．（16分）如图所示，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E 是棱CC1上的点，且BE⊥B1C．（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE夹角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【解答】（1）解：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）．设E点坐标为（0，2，t），则=（﹣2，0，t），=（﹣2，0，﹣4）．∵BE⊥B1C，∴•=4+0﹣4t=0．∴t=1，故CE=1．（2）证明：由（1）得，E（0，2，1），=（﹣2，0，1），又=（﹣2，2，﹣4），=（2，2，0）∴•=4+0﹣4=0，且•=﹣4+4+0=0．∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE，即A1C⊥平面BED．（3）解：由（2）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量．又=（0，2，﹣4），∴cos＜，＞==．∴A1B与平面BDE夹角的正弦值为．20．（16分）从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同．在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数x的分布列．（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；（2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）X的取值为1，2，3，4．当X=1时，只取一次就取到合格品，∴P（X=1）=；当X=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，∴P（X=2）=；类似地有：P（X=3）=，P（X=4）=，∴X的分布列为：…（4分）（2）X 的取值为1，2，3，…，n ，…．当X =1时，只取一次就取到合格品，∴P （X =1）=；当X =2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，∴P （X =2）=；当X =3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取取到合格品， ∴P （X =3）=；类似地当X =n 时，即前n ﹣1次均取到次品，而第n 次取到合格品， ∴P （X =n ）=（）n ﹣1×，n =1，2，3，…∴X 的分布列为：…（10分）（3）X 的取值为1，2，3，4．当X =1时，只取一次就取到合格品，∴P （X =1）=；当X =2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，注意第二次取时，这批产品有11个合格品，2个次品， ∴P （X =2）=；类似地，P （X =3）=； P （X =4）=，∴ξ的分布列为：…（16分）。
江苏省清江中学-学年第二学期高一数学期中考试试卷 苏教版
江苏省清江中学2006-2007学年第二学期高一数学期中考试试卷本卷满分150分 考试时间120分钟一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题有四个选项，其中只有一项是符合题意的，请把它选出来，填在答题纸的相应位置） 1、用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确的是 BA ．A ∈l ，α∉lB ．A ∈l ，α⊄lC ．A l ⊂，α⊄lD ．A l ⊂，α∉l 2、直线01025=--y x 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则 BA ．a =2，b =5B ．a =2，b =－5C ．a =－2，b =5D ．a =－2，b =－53、若一个三角形，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积BA ．12倍 B ．4倍 C ．2倍 D 4、下列说法正确的是 C A ．若直线21,l l 的斜率相等，则直线21,l l 一定平行； B ．若直线21,l l 平行，则直线21,l l 斜率一定相等；C ．若直线21,l l 中，一个斜率不存在，另一斜率存在，则直线21,l l 一定相交；D ．若直线21,l l 斜率都不存在，则直线21,l l 一定平行。
5、a ，b ，c 分别表示三条直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 B A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个6、已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ， 则点N 的坐标是BA ．)1,2(--B ．)3,2(C ． )1,2(D ．)1,2(-7、两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 C A. 77cmB. 72cmC. 55cmD. 102cm8、经过点)1,2(的直线l 到A )1,1(、B )5,3(两点的距离相等，则直线l 的方程为 C A ．032=--y x B ．2=xC ．032=--y x 或2=xD ．032=--y x 或2=y 9、在空间，下列命题中正确的是 CA ．若两直线a 、b 与直线m 所成的角相等，那么a ∥b ；B ．若两直线a 、b 与平面α所成的角相等，那么a ∥b ；C ．若直线m 与两平面α、β所成的角都是直角，那么α∥β；D ．若平面γ与两平面α、β所成的二面角都是直二面角，那么α∥β.10、两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 D （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置) 11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球 小于 S 正方体(填“大于、小于或等于”).12、若三条直线0832=++y x ，01=--y x 和021=+++k ky x 相交于一点，则k 的值等于21-. 13、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是65. 14、如图是长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由_ 4 _块木块堆成。
2015-2016年江苏省淮安市清江中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、YCY填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={l，2，3}，B={2，3，4}，则∁U （A∩B）=．2．（5分）命题“∃x∈R，x+l≥0”的否定为．3．（5分）复数z=（1﹣i）（2+i）的实部为．4．（5分）已知f（+1）=lgx，则f（21）=．5．（5分）函数f（x）=（）的增区间是．6．（5分）定义在区间（﹣1，1）内的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）=lg（x+1），则f（x）=．7．（5分）设奇函数y=f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且时，f（x）=﹣x2，则的值等于．8．（5分）已知为偶函数，则ab=．9．（5分）函数f（x）=x3+sin x+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为．10．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=2x，则f（113.5）的值是．11．（5分）设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=．12．（5分）已知函数的定义域为R，则a的取值范围是．13．（5分）设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是．14．（5分）函数f（x）=|x2+x﹣t|在区间[﹣1，2]上最大值为4，则实数t=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z=1+i，a，b∈R，若，求a，b的值．16．（14分）已知集合A={x|（x﹣6）（x﹣2a﹣5）＞0}，集合B={x|[（a2+2）﹣x]•（2a﹣x）＜0}．（1）若a=5，求集合A∩B；（2）已知a，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（14分）已知函数，a是实数．（1）若函数f（x）有零点，求a的取值范围；（2）当a=﹣1时，求函数f（x）的值域．18．（16分）函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对一切x＞0，y＞0，都有=f（x）﹣f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）=1，解不等式f（x+5）﹣f．19．（16分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、YCY填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={l，2，3}，B={2，3，4}，则∁U （A∩B）={1，4}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，集合A={l，2，3}，B={2，3，4}，∴A∩B={2，3}，则∁U（A∩B）={1，4}．故答案为：{1，4}2．（5分）命题“∃x∈R，x+l≥0”的否定为∀x∈R，x+1＜0．【考点】2J：命题的否定．【解答】解：∵“特称命题”的否定一定是“全称命题”，∴命题“∃x∈R，x+l≥0”的否定是：∀x∈R，x+1＜0．故答案为∀x∈R，x+1＜0．3．（5分）复数z=（1﹣i）（2+i）的实部为3．【考点】A1：虚数单位i、复数．【解答】解：z=（1一i）（2+i）=1×2+i﹣2i﹣i2=3﹣i，所以复数z的实部是3．故答案为3．4．（5分）已知f（+1）=lgx，则f（21）=﹣1．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【解答】解：根据题意，设+1=t（t＞1），则x=，∴f（t）=lg，即f（x）=lg（x＞1）；∴f（21）=lg=﹣1．故答案为：﹣1．5．（5分）函数f（x）=（）的增区间是（﹣∞，）．【考点】3G：复合函数的单调性．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，令z=2x2﹣3x+1，可得y=f（x）=（）z在（﹣∞，+∞）递减，函数z=2x2﹣3x+1在（﹣∞，）递减，在（，+∞）递增，由复合函数的单调性：同增异减，可得函数f（x）的增区间为（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．6．（5分）定义在区间（﹣1，1）内的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）=lg（x+1），则f（x）=．【考点】4T：对数函数图象与性质的综合应用．【解答】解：∵2f（x）﹣f（﹣x）=lg（x+1），①∴2f（﹣x）﹣f（x）=lg（﹣x+1），②①×2+②，得，3f（x）=2lg（x+1）+lg（1﹣x）∴f（x）=故答案为7．（5分）设奇函数y=f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且时，f（x）=﹣x2，则的值等于．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；3T：函数的值．【解答】解：∵奇函数y=f（x）（x∈R），满足对任意t∈R都有f（t）=f（1﹣t），且时，f（x）=﹣x2，∴f（3）=f（1﹣3）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣[f（1﹣2）]=﹣f（﹣1）=f（1）=f（0）=0．=====﹣．∴=﹣．故答案为：﹣．8．（5分）已知为偶函数，则ab=12．【考点】3I：奇函数、偶函数．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即a（﹣x）2+b（﹣x）=ax2﹣bx=3x2﹣4x，∴，即，故ab=12．9．（5分）函数f（x）=x3+sin x+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为0．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：∵由f（a）=2∴f（a）=a3+sin a+1=2，a3+sin a=1，又∵f（﹣a）=（﹣a）3+sin（﹣a）+1=﹣（a3+sin a）+1=﹣1+1=0．故答案为010．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=2x，则f（113.5）的值是．【考点】3P：抽象函数及其应用；3T：函数的值．【解答】解：∵，∵f（x）的周期为6，∴f（113.5）=f（19×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=f（0.5）=f（﹣2.5+3）=．故答案为：．11．（5分）设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=3或4．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解析：由题意得x==2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且n≤4，又因为n∈N+，取n=1，2，3，4，验证可知n=3，4符合题意；反之n=3，4时都可推出一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根．故答案：3或412．（5分）已知函数的定义域为R，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：∵函数的定义域为R，∴|x﹣1|﹣|x﹣2|﹣a≥0恒成立，即|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a恒成立，设f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|，则根据绝对值函数的几何意义可知﹣1≤f（x）≤1，∴要使|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a恒成立，则a≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]；13．（5分）设函数f（x）=x|x﹣a|，若对于任意的x1，x2∈[2，+∞），x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【解答】解：由题意知f（x）=x|x﹣a|在[2，+∞）上单调递增．（1）当a≤2时，若x∈[2，+∞），则f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x=，此时＜2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的；（2）当a＞2时，①若x∈[a，+∞），则f（x）=x（x﹣a）=x2﹣ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；②若x∈[2，a），则f（x）=x（a﹣x）=﹣x2+ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[，a）上是递减的，因此f（x）在[2，a）上必有递减区间．综上可知a≤2．故答案为（﹣∞，2]．14．（5分）函数f（x）=|x2+x﹣t|在区间[﹣1，2]上最大值为4，则实数t=2或．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：∵函数f（x）=|x2+x﹣t|=|（x+）2﹣﹣t|，在区间[﹣1，2]上最大值为4，∴4+2﹣t=4或+t=4∴t=2或t=故答案为：2或二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z=1+i，a，b∈R，若，求a，b的值．【考点】A1：虚数单位i、复数．【解答】解：∵z=1+i，∴z2=2i∴，∴∴故选A=﹣1，b=2．16．（14分）已知集合A={x|（x﹣6）（x﹣2a﹣5）＞0}，集合B={x|[（a2+2）﹣x]•（2a﹣x）＜0}．（1）若a=5，求集合A∩B；（2）已知a，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】1E：交集及其运算；29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：（1）由集合A中的不等式（x﹣6）（x﹣15）＞0，解得：x＜6或x ＞15，即A=（﹣∞，6）∪（15，+∞），集合B中的不等式为（27﹣x）•（10﹣x）＜0，即（x﹣27）（x﹣10）＜0，解得：10＜x＜27，即B=（10，27），∴A∩B（15，27），（2）当a＞时，2a+5＞6，∴A=（﹣∞，6）∪（2a+5，+∞），a2+2＞2a，∴B=（2a，a2+2），∵x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B⊆A，∴a2+2≤6，∴＜a≤2．17．（14分）已知函数，a是实数．（1）若函数f（x）有零点，求a的取值范围；（2）当a=﹣1时，求函数f（x）的值域．【考点】34：函数的值域；52：函数零点的判定定理．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为[0，+∞）．由函数f（x）有零点，即方程有非负实数解，可得在x∈[0，+∞）上有解，因为，所以，所以a的取值范围是．…（8分）（2）当a=﹣1时，，x∈[0，+∞），函数f（x）的值域为．…（14分）第（1）用数形结合方法求解，参照给分．18．（16分）函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对一切x＞0，y＞0，都有=f（x）﹣f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；（3）若f（6）=1，解不等式f（x+5）﹣f．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3P：抽象函数及其应用．【解答】解：（1）∵对一切x＞0，y＞0，都有=f（x）﹣f（y），∴令x=y=1．则f（1）=f（1）﹣f（1）=0；（2）f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数．理由如下：令0＜x1＜x2，则＞1，当x＞1时，有f（x）＞0．∴f（）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），则f（x）在定义域（0，+∞）上递增；（3）若f（6）=1，则f（6）=f（）=f（36）﹣f（6），f（36）=2f（6）=2，∴f（x+5）﹣f即f[x（x+5）]＜f（36），∵f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，∴0＜x（x+5）＜36，∴x＞0且﹣9＜x＜4，∴0＜x＜4．故原不等式的解集为（0，4）．19．（16分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）【考点】38：函数的表示方法；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；3T：函数的值．【解答】解：（I）当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，所以（II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则此函数在[0，450]上是增函数，故当x=450时，函数取到最大值因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元．20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系；5A：函数最值的应用．【解答】解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，有且仅有一个等于1的解或无解，由此得a＜0．（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R 恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为，令因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．（3）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2﹣1|+a|x﹣1|=（10分）当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，上递减，在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，上递减，在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．当时，结合图形可知h（x）在，上递减，在，上递增，且h（﹣2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．当时，结合图形可知h（x）在[，﹣1]上递增，在[1，﹣]上递减，故此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为h（1）=0．综上所述，当a≥0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3；当﹣3≤a＜0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3；当a＜﹣3时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为0．（14分）。
2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市清江中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．下列说法中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．两个不同平面α和β有不在同条直线上的三个公共点 【答案】C【解析】根据平面的概念进行判断即可. 【详解】对于选项A,当三点共线时,无法确定一个平面,故A 错误；对于选项B,一个四边形,若对边异面,则为一个立体图形,故B 错误；对于选项C,因为梯形有一组对边平行,两条平行线可以确定一个平面,则梯形一定是平面图形,故C 正确；对于选项D,若两个不同平面α和β有不在同条直线上的三个公共点,由于三个不共线的点能确定一个平面,则平面α与平面β重合,与已知矛盾,故D 错误. 故选:C 【点睛】本题考查平面的概念的应用,考查空间想象能力.2．直线30()x m m R ++=∈的倾斜角为( ) A ．30 B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C【解析】先根据直线方程得斜率，再求倾斜角. 【详解】因为直线30x m ++=，所以直线斜率为=120︒，选C. 【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题.3．如图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上(含60分)为考试合格，则这次考试的合格率为（ ）A ．0.02B ．0.035C ．0.4D ．0.7【答案】D【解析】观察频率分布直方图，60分以上的小矩形面积的和即为所求. 【详解】观察频率分布直方图可知这次考试的合格率为()0.0150.02200.7+⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查频率分布直方图，属于基础题.4．一只口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球，1个白球事件的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1【答案】A【解析】计算从4个球中摸出2个球的所有可能结果数，然后计算摸出1个黑球，1个白球的结果数，利用古典概型的概念可得结果. 【详解】由题可知：从4个球中摸出2个球的所有可能结果数为246C = 则摸出1个黑球，1个白球的结果数为11133=C C所以所求概率为31=62故选：A 【点睛】本题考查古典概型的计算，审清题意，细心计算，属基础题. 5．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3,2a b ==，60A =，则B =( ) A ．45B ．60C ．120D ．135【答案】A【解析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】32a b =>=， ,B A B ∴<为锐角，由正弦定理可得，32sin 22sin 23b AB a⨯===，所以45B =，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.6．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.（ ）A ．53B ．3C ．10D ．300【答案】B【解析】根据已知条件求出OM 、ON ，再利用余弦定理求解MN 即可. 【详解】根据已知条件不妨设45,30MAO NAO ∠=∠=，已知30m AO =，30MON ∠=， 则tan 4530OM OA m ==，tan 30103ON OA m ==，所以两船的距离为MN ==.故选：B 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，理解题意是解题关键，属于基础题.7．动圆M 与定圆22:40C x y x ++=相外切，且与直线:2l x =相切，则动圆M 的圆心(),x y 满足的方程为（ ）A ．212120y x -+=B ．212120y x +-=C ．280y x +=D ．280y x -=【答案】B【解析】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r ，从而|MC|﹣d=2，由此能求出动圆圆心轨迹方程． 【详解】设M 点坐标为（x ，y ），C （﹣2，0），动圆的半径为r ， 则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，MC=2+r ，d=r∴|MC|﹣d=2﹣（2﹣x ）=2， 化简得： y 2＋12x －12＝0．∴动圆圆心轨迹方程为y 2＋12x －12＝0． 故选B ． 【点睛】本题考查动圆圆心轨迹方程的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式、两圆相外切、直线与圆相切等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 8．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．92【答案】D【解析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ (当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.二、多选题9．要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________.(下面抽取了随机数表第1行至第3行)（ ）03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 A ．774 B ．946C ．428D ．572【答案】ACD【解析】依据题意结合随机数表法直接读数并满足号码不大于850即可. 【详解】依据题意可知：向右读数依次为：774，946，774，428，114，572，042，533，… 所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572 故选：ACD 【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，掌握读数的方法，属基础题. 10．若m ，n 表示直线，a 表示平面，则下列命题中，正确命题为（ ） A ．//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭B ．//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭D ．//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭【答案】ABC【解析】A 可由线面垂直的判定定理进行证明；B 由线面垂直的性质定理可得结论正确；C 可在α内找n 的平行线进行证明；D 可举反例当n 和m 确定的平面平行于α. 【详解】对于A ，m α⊥，则m 垂直于α内的两条相交直线，因为//m n ，所以n 也垂直于这两条直线，故n α⊥，故A 正确；对于B ，由线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线平行，故B 正确；对于C ，//n α，所以存在直线b α⊂，且//b n ，因为m α⊥，所以m b ⊥，所以m n ⊥，故C 正确；对于D ，例如n 和m 确定的平面平行于α，则//n α，故D 不正确. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查空间的线面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题. 11．直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点，则实数b 可取下列哪些值（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】AC【解析】先画直线与曲线图象，再结合题意判断实数b 的取值范围即可解题. 【详解】解：曲线21x y =-，整理得221x y +=，0x ≥， 画出直线与曲线的图象，如图，直线y x b =+与曲线21x y =-恰有一个交点， 则(1,1]{2}b ∈--故选：AC. 【点睛】本题考查根据直线与半圆的交点个数求参数，是基础题.12．在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则下列说法正确的是（ ）A ．3C π=B ．,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭C ．0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．a b +∈【答案】ABD【解析】首先由正弦定理将条件化成边，然后由余弦定理求出3C π=，然后利用2sin )sin sin 4sin 36a b A B A A A ππ⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求出其范围即可.【详解】因为222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，由正弦定理可得：222a b ab c +-=，由余弦定理可得2221cos ,(0,)22a b c c C ab π+-==∈，所以3C π=.由正弦定理得2sin )sin sin 4sin 36a b A B A A A ππ⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,62A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以a b +∈故选：ABD 【点睛】本题考查的是正余弦定理和三角恒等变换，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.三、填空题13．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：如果线性回归方程的斜率是1，则它的截距是__________. 【答案】11【解析】求出样本点的中心，然后利用回归直线方程，即可得答案； 【详解】220112x +==，1(471215212527313741)2210y =+++++++++=， ∴2211111a =-⨯=，故答案为：11. 【点睛】本题考查回归直线方程的求法与应用，属于基础题.14．不等式4032x x-<-的解集是_________.【答案】3{|2x x <或4}x >【解析】转化为(4)(32)0x x --<，根据二次不等式求解即可. 【详解】 由4032x x-<-可得：(4)(32)0x x --<，即(4)(23)0x x -->， 解得4x >或23x <， 所以不等式的解集为3{|2x x <或4}x >， 故答案为：3{|2x x <或4}x > 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.15．点(5,2)到直线()1(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为________.【答案】【解析】先判断()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，可得点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-的距离，从而可得结果. 【详解】化简()()1215m x m y m -+-=-可得m ()()2150x y x y +--+-=， 由2109504x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，所以()()1215m x m y m -+-=-过定点()9,4-，点(5,2)到直线()()1215m x m y m -+-=-的距离的最大值就是点(5,2)与点()9,4-==故答案为【点睛】本题主要考查直线过定点问题以及两点间距离公式的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本解法将求最大值的问题转化成了两点间的距离的问题来解决，转化巧妙.16．已知圆C 1：22(2)(3)1x y -+-=，圆C 2：22(3)(4)9x y -+-=，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值_____．【答案】4【解析】求出圆1C 关于x 轴对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可得到PM PN +的最小值. 【详解】如图所示，圆1C 关于x 轴对称圆的圆心坐标3(2,)A -，以及半径1， 圆2C 的圆心坐标为(3,4)，半径为3，所以PM PN +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，(13)4+=.【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求法，以及两圆的位置关系的应用，其中解答中把PM PN +的最小值转化为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.四、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a b c bc --= ⑴求角A ；⑵若2b =，且ABC ∆的面积为3S =a 的值. 【答案】（1）23π； （2）27a =【解析】（1）由余弦定理得cosA ，即可求A; （2）由面积公式求得c,再由余弦定理求a 即可 【详解】（1）222cosA 2b c a bc+-=，又222a b c bc --=,所以1cos 2A =-；又因为0A π<<，所以23A π=. （2）1123sin sin 223ABC S bc A bc π∆===，又3,2S b ==，所以4c =， 所以2222cos 28a b c bc A =+-=，所以7a = 【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，熟记定理，准确计算是关键，是基础题18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别是边BC ，11B C 中点，且AB AC =.求证：（1）//BE 平面1AC D ； （2）1AD C D ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）推导出1//EC BD =，从而四边形1BDC E 是平行四边形，进而1//BE C D ，由此能证明//BE 平面1AC D ．（2）推导出1AD CC ⊥，AD BC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，由此能证明1AD C D ⊥． 【详解】 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别是边BC ，11B C 中点，1//EC BD =∴，∴四边形1BDC E 是平行四边形，1//BE C D ∴，BE ⊂/平面1AC D ，1C D ⊂平面1AC D ，//BE ∴平面1AC D ．（2）直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，1AD CC ∴⊥，点D ，E 分别是边BC ，11B C 中点，且AB AC =．AD BC ∴⊥，1BCCC C =，AD ∴⊥平面11BCC B ，1C D ⊂平面11BCC B ，1AD C D ∴⊥．【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（1）设直线l 过点（2，3）且与直线2x +y +1=0垂直，l 与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，求|AB |；（2）求过点A （4，-1）且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线l 的方程．【答案】（1） （2）x +4y =0或x +y -3=0【解析】（1）根据直线l 与直线2x +y +1=0垂直，由斜率之积为1-，可求出直线l 的斜率，再根据直线l 经过点()2,3 ，由点斜式即可写出直线l 的方程，然后分别令0,0x y ==可求出点,B A 的坐标，由两点之间的距离公式即可求出AB ；（2）根据直线的截距是否为零讨论，即直线是否过原点分类讨论，再根据情况分别设出直线方程，由直线过点()41-,即可求出． 【详解】（1）设直线l 的斜率为k ，由题意知，()21k ⨯-=-，12k ∴=．而直线l 经过点()2,3 所以直线l ：()1322y x -=- 即x -2y +4=0． 令x =0，得y =2，令y =0，得x =-4，∴A （-4，0），B （0，2），则|AB |=（2）当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x +y =c ，代入（4，-1）可得，c =3， 此时直线l 方程为：x +y -3=0；当直线l 过原点时，设直线l 方程为：y kx =，因为直线l 过点()41-,，所以41k =-，解得14k =-，此时直线l 方程为：x +4y =0． 综上：直线l ：x +4y =0或x +y -3=0． 【点睛】本题主要考查直线方程的求法，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．20．已知某校甲､乙､丙三个年级的学生志愿者人数分别为160，160，80，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学去某敬老院参加爱心活动. （1）应从甲､乙､丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的5名同学分别用A ､B ､C ､D ､E 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.【答案】（1）从志愿者中抽取甲2人，乙2人，丙1人；（2）①答案见解析；②0.2. 【解析】（1）根据分层抽样的概念，可得各年级抽取的人数.（2）①由题意列出所有可能的结果即可；②根据①的条件，结合古典概型的概念直接【详解】（1）甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为2∶2∶1所以从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取2人，2人，1人 （2）①从抽出的5名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为： {A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }， {B ，C }，{B ，D }， {B ，E }， {C ，D }，{C ，E }，{ D ，E }共10种． ②不妨设抽出的5名同学中，来自甲年级的是A ，B ，来自乙年级的是C ，D ，来自丙年级的是E ， 则从抽出的5名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为：{A ，B }，{C ，D }，共2种． 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=2=0.210． 【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．21．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支架如图所示，要求60ACB ∠=︒，BC 长度大于1，且AC 比AB 长0.5米，（1）设BC a =，求AC 长？（2）为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？【答案】（1）()20.2511a b a a -=>-；（2）AC 最短为23米，当AC 最短时，BC 长度为31+. 【解析】（1）运用余弦定理建立函数表达式； （2）分拆分式型函数式，用基本不等式求最值.设(1),BC a a AC b =>=，则0.5AB b =-，∵222(0.5)2cos60b b a ab -=+-︒，∴20.25b a ab -+=-，整理得()20.2511a b a a -=>-（2）令()10a t t -=>，∴1a t =+，∴22(1)0.2520.75332222344t t t b t t t t +-++===+++=+(当且仅当34t t =，即32t =时取等号) 综上，当312BC =+米时AC 最短，为23+米. 【点睛】分式型函数分拆后能否用基本不等式，要遵循“一正、二定、三相等”，如果不能取等则转化为函数求最值.22．在平面直角坐标系xOy 中，过点()P 0,1且互相垂直的两条直线分别与圆22O :x y 4+=交于点A ，B ，与圆()()22M :x 2y 11-+-=交于点C ，D ．（1）若AB 37，求CD 的长； （2）若直线AB 斜率为2，求ABM ∆的面积； （3）若CD 的中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3(2) 41953542⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【解析】（1）分析直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用圆中半弦长，半径，弦心距构成直角三角形求解即可（2）直线AB 斜率为2，则直线AB 方程为210x y -+=，求出弦长，点M 到直线的距离,利用三角形面积公式求解即可（3）表示出△ABE 的面积S ＝12AB·d＝，令214t k =+>，换元后根据二次函数求最值即可.【详解】(1) 由题可知，直线AB 斜率显然存在，设为k ，则直线AB ：y ＝kx ＋1. 因为O点到直线AB 的距离d 1，∴22AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2⎛⎫＝4， ∴AB＝由得k 2＝15.因为直线AB 与直线CD 互相垂直，则直线CD ：y ＝1k-x ＋1， ∴M 点到直线CD的距离d 2211-+-，∴22CD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1－2211⎛⎫ ⎪-+-，CD ＝. (2) 直线AB 斜率为2，则直线AB 方程为210x y -+=O ∴到直线AB 距离为5M 到直线AB 距离为5d =AB∴==1·2ABM S AB d ∆∴==(3)当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S ＝12×4×2＝4； 当直线AB 的斜率存在时，设为k ，则直线AB ：y ＝kx ＋1，k≠0，直线CD ：y ＝－1kx ＋1.<1得k 2>3， 所以，＋∞)．因为22AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2⎛⎫＝4，所以AB ＝因为E 点到直线AB 的距离即M 点到直线AB 的距离d，所以△ABE 的面积S ＝12AB·d＝.令214t k =+>，则S＝=41104t t >∴<<S ∴∈4⎫⎪⎪⎝⎭.综上，△ABE 面积的取值范围是4⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了圆中弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形，换元法，二次函数求最值，属于难题.。
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高一数学试卷答案
1、 2, 8、 3 2 2 9、 1, 10、11 11、等腰三角形或直角三角形 12、4953 13、n 14、 2、 3
4
3、
3
4、 an 2n 1
5、 ,3 1,
6、1
7、-8
1 5
15.（1） sin(
4
)
2(1 27 n ) 1 (27 n 1). ……16 分 (3) Tn 1 27 13 19.（1） 1 x 5 ---------4 分
(2) f ( x) 0 时 8a -----6 分 当 a 0 , x ; ------8 分当 a 0, a 1 2a x a 1
2p 1 q 2p 1 q ，所以： q 3q ( p ) p 3 3 3 3 3
(*)
易知 ( p, q ) (2,3) 为方程 (*) 的一组解。…………13 分 当 p 3 ，且 p N 时，
*
2( p 1) 2 p 2 4 p 2 p p p 1 0 ，故数列 p （ p 3 ）为递 p 1 3 3 3 3
7 . 9
a, c 的值，
(2) sin( A B ) 的值.
18. （本题满分 16 分） 已 知 数 列 a n 、 bn 分 别 是 等 差 数 列 、 等 比 数 列 , 且 满 足 a3 8, a6 17, b1 2
b1b2b3 9(a2 a3 a4 )
所以 ax 2 5 x a 2 1 0 变为 2 x 2 5 x 3 0 8 分
2 x 1 x 3 0
…10 分
3 x
1 …12 分 2
即不等式 ax 2 5 x a 2 1 0 的解集是
1 …14 分 17. x | 3 x 2
2
20. （本题满分 16 分） 已知数列 an 中， a2 1 ，前 n 项和为 S n ，且 S n
n(an a1 ) 。 2 an 1 ， 3n
（1）求 a1 的值； （2）求证：数列 an 为等差数列，并写出其通项公式； （3）设 lg bn
试问是否存在正整数 p ， q （其中 1 p q ） ，使 b1 ， bp ， bq 成等比数列？若存在，求出 所有满足条件的数组 p, q ；若不存在，请说明理由。
1 13.已知数列 an 满足 a1 =1， an an 1 ， 4
S n a1 4a2 42 a3 4n 1 an ，利用类似等比数列的求和方法，可求得 5S n 4n an =
.
n
14.记数列 an 的前 n 项和为 S n ，若不等式 an
4 2 7 ……7 分 （2） cos 2 ……14 分 6 9
1 , 2 是方程 ax 2 5 x 2 0 的两个根，…3 分 2
16.解：由已知条件可知 a 0 ，且
5 5 由根与系数的关系得 a 2 ，解得 a 2 …7 分 2 1 a
则目标函数 z＝3x－4y 的最大值与最小值的
a b
9.设函数 y
kx 2 6 x k 8 的定义域为 R，则 k 的取值范围是_____________.
。
10.已知等比数列 an 中，a6 2 ，公比 q 0 ， 则 log 2 a1 log 2 a2 log 2 a11 11.已知三角形 ABC 中，有： a 2 tan B b 2 tan A ，则三角形 ABC 的形状是 12.如图将全体正整数排成一个三角形数阵，第 100 行从左向右的 第 3 个数为______
（1）分别求数列 a n 、 bn 的通项公式; (2)设 cn log 3 bn ，求证：数列 {c n } 是等差数列，并求其公差 d / 和首项 c1 ； （3）设 Tn b1 b4 b7 ……b3n 2 ,其中 n=1,2,…,求 Tn 的值.
19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) x 2 2(a 1) x a 2 1, x R . (1) 若 a 2 , 解不等式 f ( x) 0 ; (2) 若 a R , 解关于 x 的不等式 f ( x) 0 ; (3) 若 x [0,2] 时, f ( x) a (1 x) 恒成立.求实数 a 的取值范围.
江苏省清江中学 2015—2016 学年度第二学期期中考试
高一数学试卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．只要求写出结果，不必写出计算 和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置上． 1.已知 x 0 ，且 y x
1 ，则 y 的取值范围是 x
。
2.在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 a 1 ， b 3 ，∠C＝30º；则 △ABC 的面积是 3.在△ABC 中，若 sin A : sin B : sin C 5 : 7 : 8 ，则∠B 的大小是___________． 4.已知在等比数列 a n 中， 各项均为正数， 且 a1 1, a1 a 2 a3 7, 则数列 a n 的通项公 式是 an ______ ． 5.设实数 x R ，则 y x
减数列。 于是
2 p 1 23 1 3 0 ，所以此时方程无正整数解。 3p 3 3 3
综上，存在唯一正整数数对 ( p, q ) (2,3) ，使 b1 ， bp ， bq 成等比数列。…16 分。
4 2 a sin B 2 2 , 由正弦定理得 sin A , 9 b 3
2
因为 a c ,所以 A 为锐角,所以 cos A 1 sin A
1 3
因此
sin( A B) sin A cos B cos A sin B
10 2 . ……14 分 27
18.(1) an 3n 1, bn 2 3n 1 ……6 分各 3 分 (2) cn n log 3 2 1 ,由 cn 1 cn 1 从而得证……11 分
2a ----10 分
(3) 由题意：任意的 x [0,2], x 1 ( a 2a 1) x, 成立
2 2
当 x 0 时，不等式显然成立----12 分 当 x (0,2] ， a 2 2a 2 x
1 1 . x 2, ( x 1 时取等号) x x
②-①得： (n 1) an 1 nan ③ 于是： nan 2 (n 1)an 1 ④
③+④得： nan 2 nan 2nan 1 ，即： an 2 an 2an 1 …………8 分 又 a1 0 ， a2 1 ， a2 a1 1 所以，数列 an 是以 0 为首项，1 为公差的等差数列，所以 an n 1 ……10 分。 （3）假设存在正整数数组 ( p, q ) ，使 b1 ， bp ， bq 成等比数列，则 lg b1 ， lg bp ， lg bq 成 数列 an 及任意正 2 n
整数 n 都成立，则实数 m 的最大值为 。 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分 14 分） 已知：角 为锐角，且 sin
1 ， （1）求 sin( ) 的值； （2）求 cos 2 的值. 3 4
16. （本题满分 14 分）
1 若不等式 ax 2 5 x 2 0 的解集是 x x 2 ，求不等式 ax 2 5 x a 2 1 0 的解集. 2
17.（本题满分 14 分） 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a c 6 , b 2 , cos B 求 (1)
1 的值域为 x 1
。
6.已知 a n 为等差数列， a1 a3 a5 105, a2 a4 a6 99 ，则 a20 等于 x－y＋2≥0， 7.设变量 x，y 满足约束条件x－5y＋10≤0， x＋y－8≤0， 和为_______． 1 2 8.已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则 ＋ 的最小值是_________________.
解:(1)由余弦定理 b 2 a 2 c 2 2ac cos B ,得 b 2 a c 2ac(1 cos B ) ,
2
又 a c 6 , b 2 , cos B
7 ,所以 ac 9 ,解得 a 3 , c 3 . ……7 分 9
（2）在△ ABC 中, sin B 1 cos 2 B
a 2 2a 2 2, 即 a 0 或 a 2 综上： a 0 或 a 2 -----16 分
20.（1）令 n 1 ，则 a1 S1
1 (a1 a1 ) 0 。………………4 分； 2 n(an a1 ) n an (n 1) an 1 （2）由 S n ，即： S n ，① 得： S n 1 ，② 2 2 2