省大庆铁人中学2020届高三数学上学期开学考试试题理
2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三(上)开学数学试卷(文科)
2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1. 已知集合P ＝{x ∈N|x 2≤5}，Q ＝{x ∈R|ln x >−1}，则P ∩Q 的真子集个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.72. 在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的（ ） A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知命题p:f(x)＝x −1在其定义域内是减函数；命题q:g(x)＝tan x 的图象关于x =π2对称．则下列命题中真命题是（ ） A.p ∨q B.p ∧q C.(￢p)∧q D.￢(p ∨q)4. 设方程2x+x −2＝0的根为x 1，方程log 21x−x +2＝0的根为x 2，则x 1+x 2＝（ ）A.1B.2C.3D.45. 设a ＝ln √32，b=(ln 3)25，c =√sin 75，则（ ） A.a <b <c B.b <a <cC.a <c <bD.c <a <b6. 已知函数f(x)={log 2(1−x),x <022x−1,x ≥0 ，则f （f(−3)）+f （f(0)）＝（ ）A.7B.7+ln 3C.8D.97. 欲得到函数f(x)＝2sin 2x 的图象，只需将函数g(x)=2cos (2x −π4)的图象（ ） A.向右平移π8个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π8个单位 D.向左平移π4个单位8. 函数f(x)=x+sin x x 2+cos x在[−π, π]的图象大致是（ ）A.B.C.D.9. 命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是（ ） A.不存在x 0∈R ，2x 0>0 B.存在x 0∈R ，2x 0≥0C.对任意的x ∈R ，2x ≤0D.对任意的x ∈R ，2x >010. 设a ，b 为正数，且2−a −4−b +1=log 2ab，则（ ）A.a <2bB.a >2bC.a ＝2bD.a +2b ＝111. 定义在R 上的函数y ＝f(x)是奇函数，y ＝f(2−x)为偶函数，若f(1)＝1，则f(2019)+f(2020)+f(2021)＝（ ） A.−2 B.0 C.2 D.312. 函数f(x)是定义在R 上的函数，其导函数记为f ′(x)，g(x)＝f(x −a)+b 的图象关于P(a, b)对称，当x >0时，f ′(x)<f(x)x恒成立，若f(2)＝0，则不等式f(x)x−1>0的解集为（ ）A.(−2, 0)∪(1, 2)B.(−2, 0)∪(0, 1)C.(1, 2)∪(−∞, −2)D.(−2, 0)∪(2, +∞)二、填空题（每小题5分，共20分）若函数f(x)=13x 3−x 2+ax +a 在(0, 1)上不单调，则实数a 的取值范围是________．已知钝角△ABC 的三边都是正整数，且成等差，公差为偶数，则满足条件的△ABC 的外接圆的面积的最小值为________．设a >0，f(x)=√22ax ，g(x)=ex−32（e 是自然对数的底），若对∀x 1∈[12,2]，∃x 2∈[12,2]，使得f(x 1)f(x 2)＝g(x 1)g(x 2)成立，则正数a ＝________．关于函数f(x)＝sin x +1sin x 有如下四个命题：①f(x)的图象关于y 轴对称；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)在(0,π2)上单调递减；④f(x)的最小值为2；⑤f(x)的最小正周期为π．其中所有真命题的序号是________． 三、解答题（共70分）已知f(x)＝x −sin 2x ，（1）求y ＝f(x)在x ＝0处的切线方程；（2）求y ＝f(x)在[0,π2]上的最值．已知α，β为锐角，tan α=43，cos (α+β)=−√55． （1）求cos 2α+sin 2α的值；（2）求tan (β−α)的值．已知f(x)＝[sin (π−x)+sin (π2+x)]2+2cos (x −π4)cos (x +π4)．（1）求f(x)的最小正周期；（2）若g(x)＝f(x)−a （a 为常数）在[0,π2]上有两个不同的零点x 1和x 2，求x 1+x 2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三个内角A ，B ，C 满足sin B sin C+sin C sin B−sin 2A sin B sin C=1．（1）求A ；（2）若a ＝2，△ABC 的内角平分线AE =5√39，求△ABC 的周长．已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的离心率为√22，点(2,√2)在C 上．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．已知函数f(x)＝ae x−1−ln x +ln a （e 是自然对数的底）． （1）当a ＝1时，求函数y ＝f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥1在(0, +∞)上恒成立，求正数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求出集合，Q，从而求出P∩Q，由此能求出P∩Q的真子集个数．【解答】∵集合P＝{x∈N|x2≤5}＝{−2, −1, 0, 1, 2}，Q＝{x∈R|ln x>−1}＝{x|x>1e}，∴P∩Q＝{1, 2}，∴P∩Q的真子集个数为22−1＝3．2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断正弦定理【解析】由正弦定理知asin A =bsin B，由sin A>sin B，知a>b，所以A>B，反之亦然，故可得结论．【解答】解：由正弦定理知asin A =bsin B=2R，∵sin A>sin B，∴a>b，∴A>B．反之，∵A>B，∴a>b，∵a=2R sin A，b=2R sin B，∴sin A>sin B.故在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件. 故选A.3.【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】直接利用简易逻辑和真值表的应用求出结果．【解答】命题p:f(x)＝x−1在其定义域内是减函数；为假命题．命题q:g(x)＝tan x的图象关于x=π2对称．为假命题．故￢(p∨q)为真命题．4.【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由题可知，函数y＝2x和函数y＝log2x的图象与直线y＝2−x的交点的横坐标分别为x1和x2，而函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，故点(x1, 2−x1)与点(x2, 2−x2)关于直线y＝x对称，从而得解．【解答】由题可知，函数y＝2x的图象与直线y＝2−x的交点的横坐标为x1，函数y＝−log21x=log2x图象与直线y＝2−x的交点的横坐标为x2，而函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以点(x1, 2−x1)与点(x2, 2−x2)关于直线y＝x对称，所以2−x1＝x2或x1＝2−x2，即x1+x2＝2．5.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】根据对数函数和幂函数的性质，利用特殊值判断即可．【解答】a＝ln√32<ln1＝0，b=(ln3)25>(ln e)25=1，0<c=√sin75<√sin90=1，所以a<c<b．6.【答案】D【考点】分段函数的应用函数的求值求函数的值【解析】根据题意，由函数的解析式计算f(−3)与f(0)的值，进而可得f（f(−3)）和f（f(0)）的值，相加即可得答案． 【解答】根据题意，函数f(x)={log 2(1−x),x <022x−1,x ≥0 ，则f(−3)＝log 24＝2，f(0)＝2−1=12，则f （f(−3)）＝f(2)＝23＝8，f （f(0)）＝f(12)＝20＝1， 故f （f(−3)）+f （f(0)）＝8+1＝9；7.【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换即可得解． 【解答】∵ f(x)＝2sin 2x ，g(x)=2cos (2x −π4)=2sin [π2+(2x −π4)]＝2sin 2(x +π8)，∴ 要得到函数f(x)＝2sin 2x 的图象，只需将函数f(x)的图象向右平移π8个单位． 8.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】根据题意，利用排除法分析：分析函数的奇偶性排除D ，进而由函数的解析式分析可得在(0, π2)上，f(x)>0且f(1)>1，排除D 、C ，即可得答案． 【解答】 故选：A ． 9. 【答案】 D【考点】 命题的否定 【解析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】∵ 特称命题的否定是全称命题．∴ 命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是：“对任意的x ∈R ，2x >0”． 10.【答案】 C【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】 推导出12a −122b +1=log 2a b，由此能求出结果．【解答】∵ a ，b 为正数，且2−a −4−b +1=log 2ab ， ∴12a −122b +1=log 2a b，对于A ，a <2b 时，12a −122b +1=log 2ab 不成立； 对于B ，a >2b 时，12−12+1=log 2ab 不成立； 当a ＝2b 时，12a −122b +1=log 2ab ，成立． 对于D ，a ＝2b 时，12a −122b +1=log 2ab 不成立． 11.【答案】 B【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据函数的奇偶性，对称性求出函数的周期是8，结合周期性，对称性进行转化求解即可． 【解答】∵ y ＝f(2−x)为偶函数，∴ f(2+x)＝f(2−x)，即f(x)关于x ＝2对称， ∵ f(x)是奇函数，∴ f(2+x)＝f(2−x)＝−f(x −2)，且f(0)＝0， 即f(x +4)＝−f(x)，得f(x +8)＝−f(x +4)＝f(x)， 则函数的周期是8，则f(2019)＝f(252×8+3)＝f(3)＝f(1)＝1， f(2020)＝f(252×8+4)＝f(4)＝−f(0)＝0， f(2021)＝f(252×8+5)＝f(5)＝−f(1)＝−1， 则f(2019)+f(2020)+f(2021)＝1+0−1＝0， 故选：B ． 12.【答案】 A【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】由g(x)的对称性可推出f(x)的图象关于(0, 0)对称，即f(x)是奇函数；构造新函数ℎ(x)=f(x)x，求导后可证得ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减；结合f(x)为奇函数可说明函数ℎ(x)为偶函数，且ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增，ℎ(−2)＝ℎ(2)＝0，从而得f(x)<0和f(x)>0时，x 的取值范围；再将不等式f(x)x−1>0等价于{x −1>0f(x)>0或{x −1<0f(x)<0，进而得解． 【解答】∵ g(x)＝f(x −a)+b 的图象关于P(a, b)对称，∴ 函数y ＝f(x)的图象关于(0, 0)对称，即函数f(x)是奇函数， 设ℎ(x)=f(x)x，则ℎ′(x)=xf ′(x)−f(x)x 2，∵ 当x >0时，f ′(x)<f(x)x恒成立，即xf ′(x)−f(x)<0，∴ ℎ′(x)<0，即ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减． 又函数f(x)是奇函数，∴ ℎ(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=f(x)x=ℎ(x)，∴ 函数ℎ(x)为偶函数，ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递增．∵ f(2)＝0，∴ ℎ(−2)＝ℎ(2)=f(2)2=0．∴ 当−2<x <0或x >2时，f(x)<0；当x <−2或0<x <2时，f(x)>0． 不等式f(x)x−1>0等价于{x −1>0f(x)>0 或{x −1<0f(x)<0 ，∴ 1<x <2或−2<x <0．∴ 不等式的解集为(−2, 0)∪(1, 2)． 二、填空题（每小题5分，共20分）【答案】 (0, 1) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】求导得f ′(x)＝x 2−2x +a ，由二次函数的性质可知，f ′(x)在(0, 1)上单调递减，而原问题可转化为f ′(x)在(0, 1)内至少有一个变号零点，再结合零点存在定理列出关于a 的不等式组，解之即可． 【解答】∵ f(x)=13x 3−x 2+ax +a ，∴ f ′(x)＝x 2−2x +a ，对称轴为x ＝1，开口向上，∴ f ′(x)在(0, 1)上单调递减，∵ f(x)在(0, 1)上不单调，∴ f ′(x)在(0, 1)内至少有一个变号零点， ∴ {f ′(0)>0f ′(1)<0 ，即{a >01−2+a <0 ，解得0<a <1．∴ 实数a 的取值范围是(0, 1)． 【答案】 49π3【考点】 正弦定理【解析】设钝角△ABC 的三边分别为x −d ，x ，x +d ，且x +d 所对的角为钝角α， 由余弦定理求得x <4d ，再利用三角形三边关系求出x 的可能取值，讨论确定△ABC 的外接圆面积最小时的三条边，从而求出面积的最小值． 【解答】由题意，设钝角△ABC 的三边分别为x −d ，x ，x +d ，且x +d 所对的角为钝角α， 由余弦定理得cos α=(x−d)2+x 2−(x+d)22x(x−d)=x−4d2(x−d)<0，即x <4d ，又公差d 为偶数，且x −d >0，即d <x <4d ； 所以d ＝2时△ABC 的外接圆取得最小值；又x 为正整数，所以x 的可能取值为3，4，5，6，7；当x ＝3时，三角形三边分别为1，3，5，不能构成三角形，舍去； 当x ＝4时，三角形三边长分别为2，4，6，不能构成三角形，舍去；当x ＝5时，三角形三边分别为3，5，7，能构成三角形，此时△ABC 的外接圆面积最小； 由余弦定理得，cos A =52+72−322×5×7=1314，所以sin A =√1−cos 2A =3√314，由正弦定理得2R =asin A =3√314√3，解得R =√3，所以△ABC 外接圆的面积最小值为S ＝πR 2=49π3．【答案】 1【考点】函数恒成立问题 【解析】先把 f(x 1)f(x 2)＝g(x 1)g(x 2)转化为 12a 2⋅x 1ex 1−32=ex 2−32x 2，再利用导数分别求出等式两边的取值集合，结合题意即可得到等式右边的取值集合包含等式左边的取值集合，列不等式求解即可． 【解答】依题意由 f(x 1)f(x 2)＝g(x 1)g(x 2) 成立，可得 √22ax 1⋅√22ax 2=ex 1−32⋅ex 2−32，化简得 12a 2⋅x 1ex 1−32=ex 2−32x 2，令 ℎ(x)=ex−32x ,x ∈[12,2]，则 ℎ(x)=ex−32⋅(x−1)x 2，于是当 x ∈(12,1) 时，ℎ′(x)<0； 当 x ∈(1, 2)时，ℎ′(x)>0， 所以函数 ℎ(x) 在区间 (12,1) 上单调递减，在区间 (1, 2)上单调递增， 那么 ℎ(x)min =ℎ(1)=√eℎ(x)max =max {ℎ(12),ℎ(2)}=max {2e ,√e2}， 由 ln x ≤1e x ⇒ln 2≤2e <34⇒2ln 2=ln 4<32⇒ln 4<ln e √e ⇒4<e √e ⇒4−2e √e 2e<0⇒2e<√e 2， 故 ℎ(x)max =max {2e ,√e2}=√e 2， 于是函数 ℎ(x) 的值域为 [√e √e2]， 所以当 x 2∈[12,2] 时 ,ex 2−32x 2∈[e √e2]； 当x 1∈[12,2] 时 ,12a 2⋅x 1e 1−32∈[2√e a 2√e2]， 因为 ∀x 1∈[12,2],∃x 2∈[12,2]，使得 12a 2⋅x 1e x 1−32=ex 2−32x 2成立，所以[√e √e2]⊇[2√e a 2√e2]， 于是有 {2√e≥√ea 2√e 2≤√e 2， 解得 1⩽a⩽1， 即 a ＝1． 【答案】 ②③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】根据函数f(x)＝sin x +1sin x 的性质依次判断下列各选项即可； 【解答】由函数f(x)＝sin x +1sin x ，那么f(−x)＝sin (−x)+1sin (−x)=−sin x −1sin x =−f(x) ∴ f(x)是奇函数，故①错，②对，当x ∈(0,π2)上时，函数t ＝sin x 是递增函数，且t ∈(0, 1)， 那么函数y =1t +t 在(0, 1)单调递减， 所以得f(x)在(0,π2)上单调递减，故③对；因为y ＝sin x 的周期T ＝2π，且x ≠kπ，∴ f(x)的最小正周期为2π．故④不对． 三、解答题（共70分）【答案】y ＝f(x)的定义域为Rf(0)＝0−−− f ′(x)＝1−2cos 2x −−− f ′(0)＝−1−−−所以切线方程为：y ＝−x ，即x +y ＝0−−−令f ′(x)＝0，得cos 2x =12，又x ∈[0,π2]，故x =π6−−−当x ∈(0,π6)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减 当x ∈(π6,π2)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增--- 在x =π6处取得最小值，为f(π6)=π6−√32−−−f(0)＝0，f(π2)=π2，f(π2)>f(0)−−− 在x =π2处取得最大值，为f(π2)=π2−−−综上得y ＝f(x)在[0,π2]上的最小值为π6−√32，最大值为π2．-- 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）出导函数，求出函数f(x)在x ＝0处的函数值，即导数，即可求得切线方程； （2）利用导数求出函数的单调区间，进而求得函数的最值． 【解答】y ＝f(x)的定义域为Rf(0)＝0−−− f ′(x)＝1−2cos 2x −−− f ′(0)＝−1−−−所以切线方程为：y ＝−x ，即x +y ＝0−−−令f ′(x)＝0，得cos 2x =12，又x ∈[0,π2]，故x =π6−−− 当x ∈(0,π6)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减当x ∈(π6,π2)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增---在x =π6处取得最小值，为f(π6)=π6−√32−−−f(0)＝0，f(π2)=π2，f(π2)>f(0)−−− 在x =π2处取得最大值，为f(π2)=π2−−− 综上得y ＝f(x)在[0,π2]上的最小值为π6−√32，最大值为π2．-- 【答案】cos 2α+sin 2α＝cos 2α−sin 2α+2sin αcos α=cos 2α−sin 2α+2sin αcos αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α+2tan α1+tan 2α=1−169+831+169=1725．因为α，β为锐角，tan α=43，cos (α+β)=−√55所以sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55，tan (α+β)＝−2，tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×431−(43)2=−247，所以tan (β−α)=tan [(α+β)−2α]=tan (α+β)−tan 2α1+tan (α+β)tan 2α=211．【考点】两角和与差的三角函数 【解析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，通过“1”的代换，转化求解即可． （2）利用角的转化β−α＝(α+β)−2α，通过两角和与差的三角函数转化求解即可． 【解答】cos 2α+sin 2α＝cos 2α−sin 2α+2sin αcos α=cos 2α−sin 2α+2sin αcos αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α+2tan α1+tan 2α=1−169+831+169=1725．因为α，β为锐角，tan α=43，cos (α+β)=−√55所以sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55，tan (α+β)＝−2，tan 2α=2tan α1−tan 2α=2×431−(43)2=−247，所以tan (β−α)=tan [(α+β)−2α]=tan (α+β)−tan 2α1+tan (α+β)tan 2α=211．【答案】f(x)=[sin (π−x)+sin (π2+x)]2+2cos (x −π4)cos (x +π4)=(sin x +cos x)2+2(√22cos x +√22sin x)(√22cos x −√22sin x) ＝1+2sin x cos x +(cos 2x −sin 2x)＝1+sin 2x +cos 2x =1+√2sin (2x +π4)， 则T =2π2=π 所以f(x)的最小正周期为π．当0≤x ≤π2时，0≤2x ≤π，π4≤2x +π4≤5π4，由2x +π4=π2得x =π8，即此时的对称轴为x =π8，当2x +π4=π4时，f(x)＝1+√2×√22=2，当2x +π4=π2时，f(x)＝1+√2，若g(x)＝f(x)−a 在[0,π2]上有两个不同的零点x 1和x 2， 即f(x)＝a 在[0,π2]上有两个不同的根x 1和x 2， 则2≤a <√2+1此时x 1和x 2关于x =π8对称，所以x 1+x 2=π4．【考点】函数的零点与方程根的关系 两角和与差的三角函数【解析】（1）利用三角函数的诱导公式以及辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可． （2）求出角的范围，结合三角函数的图象，利用函数与方程之间的关系进行转化即可． 【解答】f(x)=[sin (π−x)+sin (π2+x)]2+2cos (x −π4)cos (x +π4)=(sin x +cos x)2+2(√22cos x +√22sin x)(√22cos x −√22sin x) ＝1+2sin x cos x +(cos 2x −sin 2x)＝1+sin 2x +cos 2x =1+√2sin (2x +π4)， 则T =2π2=π所以f(x)的最小正周期为π．当0≤x ≤π2时，0≤2x ≤π，π4≤2x +π4≤5π4，由2x +π4=π2得x =π8，即此时的对称轴为x =π8，当2x +π4=π4时，f(x)＝1+√2×√22=2，当2x +π4=π2时，f(x)＝1+√2，若g(x)＝f(x)−a 在[0,π2]上有两个不同的零点x 1和x 2， 即f(x)＝a 在[0,π2]上有两个不同的根x 1和x 2， 则2≤a <√2+1此时x 1和x 2关于x =π8对称， 所以x 1+x 2=π4．【答案】由已知得：sin2B+sin2C−sin2A＝sin B sin C−−−−因为asin A =bsin B=csin C=2R−−−−所以b2+c2−a2＝bc−−−−−所以cos A=b 2+c2−a22bc=12−−−−−又因为A∈(0, π)所以A=π3−−−由余弦定理：a2＝b2+c2−2bc cos A，即b2+c2−bc＝4整理得：(b+c)2−3bc＝4−−−−−−因为S△ABC＝S△ABE+S△ACE即12bc sinπ3=12AE×b sinπ6+12AE×c sinπ6整理得：bc=59(b+c)−−−−−−所以(b+c)2−53(b+c)=4解得：b+c＝3（或b+c=−43舍）所以△ABC的周长为5−−−−−−−−【考点】正弦定理【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2−a2＝bc，利用余弦定理可求cos A的值，结合范围A∈(0, π)可求A的值．（2）由余弦定理可得：(b+c)2−3bc＝4，由于S△ABC＝S△ABE+S△ACE，利用三角形的面积公式可求bc=59(b+c)，即可解得b+c的值，从而得解三角形的周长的值．【解答】由已知得：sin2B+sin2C−sin2A＝sin B sin C−−−−因为asin A =bsin B=csin C=2R−−−−所以b2+c2−a2＝bc−−−−−所以cos A=b 2+c2−a22bc=12−−−−−又因为A∈(0, π)所以A=π3−−−由余弦定理：a2＝b2+c2−2bc cos A，即b2+c2−bc＝4整理得：(b+c)2−3bc＝4−−−−−−因为S△ABC＝S△ABE+S△ACE即12bc sinπ3=12AE×b sinπ6+12AE×c sinπ6整理得：bc=59(b+c)−−−−−−所以(b+c)2−53(b+c)=4解得：b+c＝3（或b+c=−43舍）所以△ABC的周长为5−−−−−−−−【答案】（1）由题意得{ca=√22a2=b2+c24a2+2b2=1，解得a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的方程为x28+y24=1；证明：(Ⅱ)设直线l:y＝kx+b(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x M, y M)，把y＝kx+b代入x28+y24=1，得(2k2+1)x2+4kbx+2b2−8＝0．故x M=x1+x22=−2kb2k2+1,y M=kx M+b=b2k2+1，于是直线OM的斜率k OM=y Mx M=−12k，即k OM⋅k=−12，∴直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程椭圆的应用【解析】(Ⅰ)由题意得关于a，b，c的方程组，求解得a2＝8，b2＝4，则椭圆方程可求；(Ⅱ)设直线l:y＝kx+b(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x M, y M)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得M坐标，得到直线OM的斜率，进一步可得直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．【解答】（1）由题意得{ca=√22a2=b2+c24a2+2b2=1，解得a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的方程为x28+y24=1；证明：(Ⅱ)设直线l:y＝kx+b(k≠0, b≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x M, y M)，把y＝kx+b代入x 28+y24=1，得(2k2+1)x2+4kbx+2b2−8＝0．故x M=x1+x22=−2kb2k2+1,y M=kx M+b=b2k2+1，于是直线OM的斜率k OM=y Mx M =−12k，即k OM⋅k=−12，∴直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值．【答案】f(x)＝e x−1−ln x，x>0，f′(x)=e x−1−1x单调递增，当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(0, 1)，单调递增区间为(1, +∞)．解法一：∵f(x)＝ae x−1−ln x+ln a，∴f′(x)=ae x−1−1x ，且a>0．设g(x)＝f′(x)，则g′(x)=ae x−1+1x2>0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递增，即f′(x)在(0, +∞)上单调递增，当a＝1时，f′(1)＝0，∴f(x)min＝f(1)＝1，∴f(x)≥1成立．当a>1时，1a <1，∴e1a−1<1，∴f′(1a)f′(1)=a(e1a−1−1)(a−1)<0，∴存在唯一x0>0，使得f′(x0)=ae x0−1−1x0=0，且当x∈(0, x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0, +∞)时f′(x)>0，∴ae x0−1=1x0，∴ln a+x0−1＝−ln x0，因此f(x)min=f(x0)=ae x0−1−ln x0+ln a=1x0+ln a+x0−1+ln a≥21na−1+2√1x0⋅x0=21na+1>1，∴f(x)>1，∴f(x)≥1恒成立；当0<a<1时，f(1)＝a+ln a<a<1，∴f(1)<1，f(x)≥1不是恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[1, +∞)．解法二：f(x)＝ae x−1−ln x+ln a＝e ln a+x−1−ln x+ln a≥1等价于e ln a+x−1+ln a+x−1≥ln x+x＝e ln x+ ln x，令g(x)＝e x+x，上述不等式等价于g(ln a+x−1)≥g(ln x)，显然g(x)为单调增函数，∴又等价于ln a+x−1≥ln x，即ln a≥ln x−x+1，令ℎ(x)＝ln x−x+1，则ℎ(x)=1x −1=1−xx在(0, 1)上ℎ’(x)>0，ℎ(x)单调递增；在(1, +∞)上ℎ’(x)<0，ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)max＝ℎ(1)＝0，ln a≥0，即a≥1，∴a的取值范围是[1, +∞)．解法三：由（1）得f(x)＝e x−1−ln x在x＝1处取得最小值为1，即e x−1−ln x≥1−−−对任意x0>0，g(a)=ae x0−1−ln x0+ln a在(0, +∞)上单调递增，所以，当a≥1时，f(x)＝ae x−1−ln x+ln a≥e x−1−ln a≥1，当0<a<1时，f(x)＝ae x−1−ln x+ln a<e x−1−ln x即存在x＝1使f(1)＝a+ln a<1，不合题意，综上得正数a的取值范围是[1, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出导函数，判断导函数的单调性，然后判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可．（2）解法一：求出f(x)的导函数，设g(x)＝f′(x)，利用函数的导数，通过a的范围转化求解函数的最值，然后推出实数a的取值范围．解法二：f(x)＝ae x−1−ln x+ln a＝e ln a+x−1−ln x+ln a≥1等价于e ln a+x−1+ln a+x−1≥ln x+x＝e ln x+ln x，令g(x)＝e x+x，上述不等式等价于g(ln a+x−1)≥g(ln x)，利用函数的单调性，构造函数，通过导函数，转化求解函数的最值，推出结果．解法三：由（1）得f(x)＝e x−1−ln x在x＝1处取得最小值为1，即e x−1−ln x≥1，通过函数的性质，结合函数的单调性，求出正数a的取值范围．【解答】f(x)＝e x−1−ln x，x>0，f′(x)=e x−1−1x单调递增，当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(0, 1)，单调递增区间为(1, +∞)．解法一：∵f(x)＝ae x−1−ln x+ln a，∴f′(x)=ae x−1−1x，且a>0．设g(x)＝f′(x)，则g′(x)=ae x−1+1x2>0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递增，即f′(x)在(0, +∞)上单调递增，当a＝1时，f′(1)＝0，∴f(x)min＝f(1)＝1，∴f(x)≥1成立．当a>1时，1a<1，∴e1a−1<1，∴f′(1a)f′(1)=a(e1a−1−1)(a−1)<0，∴存在唯一x0>0，使得f′(x0)=ae x0−1−1x0=0，且当x∈(0, x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0, +∞)时f′(x)>0，∴ae x0−1=1x0，∴ln a+x0−1＝−ln x0，因此f(x)min=f(x0)=ae x0−1−ln x0+ln a=1x0+ln a+x0−1+ln a≥21na−1+2√1x0⋅x0=21na+1>1，∴f(x)>1，∴f(x)≥1恒成立；当0<a<1时，f(1)＝a+ln a<a<1，∴f(1)<1，f(x)≥1不是恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[1, +∞)．解法二：f(x)＝ae x−1−ln x+ln a＝e ln a+x−1−ln x+ln a≥1等价于e ln a+x−1+ln a+x−1≥ln x+x＝e ln x+ln x，令g(x)＝e x+x，上述不等式等价于g(ln a+x−1)≥g(ln x)，显然g(x)为单调增函数，∴又等价于ln a+x−1≥ln x，即ln a≥ln x−x+1，令ℎ(x)＝ln x−x+1，则ℎ(x)=1x−1=1−xx在(0, 1)上ℎ’(x)>0，ℎ(x)单调递增；在(1, +∞)上ℎ’(x)<0，ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)max＝ℎ(1)＝0，ln a≥0，即a≥1，∴a的取值范围是[1, +∞)．解法三：由（1）得f(x)＝e x−1−ln x在x＝1处取得最小值为1，即e x−1−ln x≥1−−−对任意x0>0，g(a)=ae x0−1−ln x0+ln a在(0, +∞)上单调递增，所以，当a≥1时，f(x)＝ae x−1−ln x+ln a≥e x−1−ln a≥1，当0<a<1时，f(x)＝ae x−1−ln x+ln a<e x−1−ln x即存在x＝1使f(1)＝a+ln a<1，不合题意，综上得正数a的取值范围是[1, +∞)．。
2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三(上)开学数学试卷(文科)
2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1. 已知集合＝，＝，则的真子集个数为（）A. B. C. D.2. 在中，“”是“”的（）A.必要不充分条件B.充要条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件3. 已知命题＝在其定义域内是减函数；命题＝的图象关于对称．则下列命题中真命题是（）A. B. C.￢ D.￢4. 设方程＝的根为，方程＝的根为，则＝（）A. B. C. D.5. 设＝，，，则（）A. B. C. D.6. 已知函数，则（）（）＝（）A. B. C. D.7. 欲得到函数＝的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位8. 函数在的图象大致是（）A.B.C.D.9. 命题“存在，”的否定是（）A.存在，B.不存在，C.对任意的，D.对任意的，10. 设，为正数，且，则（）A. B. C.＝ D.＝11. 定义在上的函数＝是奇函数，＝为偶函数，若＝，则＝（）A. B. C. D.12. 函数是定义在上的函数，其导函数记为，＝的图象关于对称，当时，恒成立，若＝，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是________．14. 已知钝角的三边都是正整数，且成等差，公差为偶数，则满足条件的的外接圆的面积的最小值为________．（2）若在上恒成立，求正数的取值范围．15. 设，，（是自然对数的底），若对，，使得＝成立，则正数＝________．16. 关于函数＝有如下四个命题：①的图象关于轴对称；②的图象关于原点对称；③在上单调递减；④的最小值为；⑤的最小正周期为．其中所有真命题的序号是________．三、解答题（共70分）17. 已知＝，（1）求＝在＝处的切线方程；（2）求＝在上的最值．18. 已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．19. 已知＝．（1）求的最小正周期；（2）若＝（为常数）在上有两个不同的零点和，求．20. 的三个内角，，所对的边分别为，，，三个内角，，满足．（1）求；（2）若＝，的内角平分线，求的周长．21. 已知椭圆的离心率为，点在上．Ⅰ求的方程；Ⅱ直线不经过原点，且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．22. 已知函数＝（是自然对数的底）．（1）当＝时，求函数＝的单调区间；参考答案与试题解析2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】复合命题常育真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用函使的以值求都北的值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】有理数三数幂的要算性质赤化简求古【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（每小题5分，共20分）13.【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（共70分）17.【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】此题暂无答案【考点】函数根助点与驶还根的关系两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】此题暂无答案【考点】直线与椭常画位置关系椭圆较标准划程椭明的钾用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三数学考前模拟训练试题(一)理(PDF)
A. 4 5
B. 8 5
C. 3 17 D. 4 17
10. 在平行四边形 ABCD 中， AB 2AD 2 3 ， E 是 BC 的中点， F 点在边CD 上，且
CF 2FD ，若 AE BF 17 ，则DAB 2
A. 30
注：在① m ( cos A ,sin A), n (cos A ,sin A) ,且 m n 1 ，
22
22
2
② cos A(2b c) a cosC ，③ f (x) cos x cos(x ) 1 , f ( A) 1
34
4
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解． 如果选择多个条件分别做答，按第一个解答积分。
18.（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，ACB C1CB 90 °，A1AC 60 °， D ， E 分 别为 A1A 和 B1C1 的中点，且 AA1 AC BC ． （Ⅰ）求证： A1E //平面 BC1D ； （Ⅱ）求平面 BC1D 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值．
A.
+）
.B.
C.
-）
D.
+） -）
x O
P(x,y)
4．双曲线
的渐近线方程是： = 2 ,则双曲线的焦距为：A．3B．6 NhomakorabeaC．
D．
5．已知 m, n 是两条不重合的直线，, 是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是
A．若 m n,m ，则 n //
B．若 m// n,m//,n ，则n //
A. -1
B.0
C.1
D.±1
2020届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期开学考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前黑龙江省大庆铁人中学2020届高三上学期开学考试数学（理）试题试题说明： 1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
） 1．已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2．与函数相同的函数是( )A B ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 C ．D ．3.原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 44．幂函数在上单调递增,则的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或45. 已知97log c ,)97(b ,)97(a ,22)x (f 23121xx===-=--则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<6.已知函数1x )(23=++=在bx ax x x f 处有极值10,则等于( )A. 1B. 2C.D.7.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.8．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若是奇函数,则的图像关于轴对称；②若,则；③若函数对任意满足,则是函数的一个周期；④命题“存在”的否定是“任意”A ．B ．C ．D ． 9.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )10.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =( )A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 511．设定义域为R 的函数f(x)=.1,01||,1|lg |⎩⎨⎧=≠-x x x ,则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c=0D ．b ≥0且c=012．已知()(),ln xf x eg x x ==,若()()f t g s =,则当s t -取得最小值时, ()f t 所在区间是（ ）。
大庆市铁人中学2020届高三数学(文)上学期期中试卷附答案解析
数学（文）试卷
试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈N，y∈Z}，则 A 中元素的个数为( )
A9 B8 C7
D6
所以 p 2
所以抛物线 E 的准线方程为： x 1
（2）由题意知两条直线的斜率存在且不为零
设直线 AB 的斜率为 k ，方程为 y kx 1，则 MN 的斜率为 1 ，方程为 y 1 x 1
k
k
设 A x1, y1 、B x2 , y2
由
P(K2≥3.841)=0.05，而 成绩达标与否”与“每天学习数学时间能否达到一小时”有关。
21、【解】（1）由已知椭圆 C 整理得 x 2 y 2 1 a 2
所以焦点 F 的坐标为 1,0
2,b 1, c 1
B
D
F C
A组
B组
85 6 543 7 650 8
95 9 9
7 57
558
059
全班的数学平均分 x ；
（2）现在从成绩优秀的学生中任意抽取 2 人，求这两人恰好都来自 B 组的概率；
（3）根据成绩得到如下列联表：
达标 未达标 总计
A组
a
b
a+b
B组
c
d
c+d
总计 a+c
b+d
n
①直接写出表中 a、b、c、d 的值；
2
2
22
2
3 sin B cos B ， tan B 3 ， B
黑龙江省大庆中学2020届高三上学期入学考试数学(理)试题 Word版含答案
大庆中学2019-2020学年度上学期开学验收考试高三年级数学试题（理科）说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
已知集合，，则（ ）.1{|(4)0}A x N x x =∈-≤{|22}B x x =-≤≤A B = .A {|02}x x ≤≤.B {|02}x x <<.C {012}，，.D {12}，设复数，在复平面内对应的点位于（）.212z i =+z 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限.A .B .C .D 命题 “”的否定（ ）.3()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=- .A ()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-.B ()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=- .C ()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-.D ()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=-已知，，，则的大小关系为（ ） .4 1.22a =8.02=b 52log 2c =,,a b c .A c a b <<.B b a c <<.C c b a <<.D b c a<<某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得.522⨯,参照下表: 得到正确结论是（）27.218K ≈20()P K k ≥0.010.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”.A 有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”.B 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”.C在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”.D 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗.6A x (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为y y x，则下列结论错误的是（ ）35.07.0+=x y x3456y2.5t44.5产品的生产能耗与产量呈正相关回归直线一定过 .A .B ()5.3,5.4产品每多生产吨，则相应的生产能耗约增加吨的值是.C A 17.0.D t 15.3为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题.7型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）.A 12.B 24.C 36.D 72设，则二项式展开式的所有项系数和为（ ）.80sin a xdx π=⎰421()ax x+.A 0.B 1.C 16.D 81甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、.9教育咨询、交通宣传这四个项目，每人限报其中一项，记事件为“四名同学所报项目各不相A 同”，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则（ ）B (|)P A B = .A 14.B 34.C 29.D 59一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是一个正三角形,则这个.10几何体的外接球的表面积为（）.A 163π.B 83π.C .D 若直线被圆截得弦长为，则的.11220(0,0)ax by a b -+=>>222410x y x y ++-+=441a b+最小值是（ ）.A 9.B 4.C 12.D 14已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线12.2222:1(0)x y C a b a b +=>>F P :430l x y -=与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率A B ||||6AF BF +=P l 65的取值范围为（ ）.A 9(0,]5.B .C .D 1(3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三数学上学期期中试题文(含解析)
黑龙江省大庆市铁人中学2020届高三数学上学期期中试题 文（含解析）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.已知集合223{()|}Ax y x y x N y Z ≤∈∈＝，＋，，，则A 中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据223x y ≤＋知这个是一个圆,再根据x N y Z ∈∈，找到圆内满足条件的点即可.【详解】解：223{()|}Ax y x y x N y Z Q ≤∈∈＝，＋，，, 223x y ≤＋表示平面内圆心为(0,0),半径3r =的圆,又因为x N y Z ∈∈，,依题意画图,可得集合A 中元素的个数为6． 故选：D【点睛】本题考查集合元素的个数,要知道集合是一个点集. 2.若a,b∈R，则a ＞b ＞0是a 2＞b 2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】根据不等式的性质， 由a ＞b ＞0可推出a 2＞b 2；但，由a 2＞b 2无法推出a ＞b ＞0，如a=-2,b=1， 即a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充分不必要条件， 故选A. 3.设121iz i i-=++（i 是虚数单位），则z =（ ）A. 0B.12C. 1【答案】C 【解析】 【分析】先进行复数的商的运算,再进行加法运算,最后用求模公式求解.【详解】解：复数()()()21122111i iz i i i i i --=+=+++- 2222ii i i i -=+=-+=1z ==故选:C【点睛】本题考查复数的模的求法,考查计算能力.4.在平面直角坐标系中，向量(1,2)a =r ，(2,1)a b r r-=，(,)c x y =r ，若()2a b c r r r P +，()a cb r r r +⊥，则x y +＝（ ） A.12B.32C. 32-D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量b r 的坐标表示,再求出2a b +r r ,a c r r+的坐标表示,再根据向量平行、垂直运算性质进行运算求出,x y 即可.【详解】解：(1,2)a =r ,(2,1)a b r r-=,(,)c x y =r()(1,1)b a a b r r r r∴=--=-2(1,5)a b r r ∴+=,(1,2)a c x y r r+=++又因为()2a b c r r r P +,()a cb r r r+⊥,则50(1)(1)(2)10x y x y -=⎧⎨+⨯-++⨯=⎩解得：1454x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩153442x y ∴+=--=-故选：C【点睛】本题考查向量平行、垂直的坐标运算,属于基础题.5.已知数列{}n a 满足： *11(2)n n n a a a n n N +≥∈－＝－，， 1212a a ＝，＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019S =（ ）A. 3B. 4.C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式*11(2)n n n a a a n n N ≥∈＋－＝－，列举出3a 到7a ,得出数列{}n a 的周期为6,所以可以求出2019S .【详解】解：1212a a Q ＝，＝,*11(2)n n n a a a n n N ≥∈＋－＝－， 根据递推公式有：321211a a a =-=＝－432121a a a =-=-＝－ 543112a a a =--=-＝－ 6542(1)1a a a =---=-＝－ 7651(2)1a a a =---=＝－所以数列{}n a 的周期为6.2019123456123336()S a a a a a a a a a =++++++++336(121121)1214=⨯++---+++=故20194S =. 故选：B【点睛】本题考查数列递推公式的应用以及周期数列的前n 项和. 6.为了得到函数2sin(2)3y x π=-的图像,可以将函数2sin 2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，令，解得， 由图像平移知，需要将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；故答案为A.考点：函数图像平移法则的应用. 7.函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-的简图是A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【详解】将6x π=代入到函数解析式中得0y =，可排除C ，D;将x=π代入到函数解析式中求出函数值为3负数，可排除B ，故选A ． 8.已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],0-∞ B. 4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. []1,0-【答案】B 【解析】 【分析】由题意函数对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 可以分离出函数中的参数,转化为 ()212xa x ≤+,只需()2min21x a x ⎡⎤⎢⎥≤⎢⎥⎣⎦+即可,所以转化为导数的极值来解题. 【详解】解：函数()22f x ax x a =-+,对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 当[]1,2x ∈时,()0f x ≤即220ax x a -+≤, 即为()221a x x +≤ 可化为()212x a x ≤+令()22()1xg x x +=,则()()22'22221)22((12(212))x x x x g x x x -++-++==当[]1,2x ∈时,'()0g x <,单调递减.因此()min 2224()(2)152g x g ⨯==+=所以min 4()5a g x ≤=故实数a 的取值范围是4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B【点睛】对于不等式恒成立问题中求参数的取值范围,先分离出参数,转化为求函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值即可求出参数的范围. 9.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 10.已知函数()f x x =，若对x R ∀∈都有()()1f x f x kx +-≥成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. ()2,1-B. []2,1-C. []1,1-D.(][),21,-∞-+∞U【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得,x R ∀∈都有()()1f x f x +-的图象在y kx =的上方,将题目转化为函数图象来解决.【详解】解：因为()f x x =,x R ∀∈都有()()1f x f x kx +-≥, 则可x R ∀∈都有()()1f x f x +-的图象在y kx =的上方.()()11x f x x f x +-=+-()()21,011,0121,1x x f x f x x x x -+<⎧⎪+-=≤<⎨⎪-≥⎩依题意画图要使()()1f x f x +-的图象恒在y kx =的上方, 则斜率1OA k k ≤=,或者2k ≥-, 实数k 的取值范围是[]2,1-. 故选：B【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题,可转化为转化为一个图像恒在另一个图像的上方而转为为斜率问题来求解,这类题型考查学生数形结合能力. 11.已知函数()()121,11,1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，如果对任意的n ∈N *，定义()()()11n n f x f f x +=，那么()20202019f =（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 2020【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的性质,先代入()12019f ,然后得出数值之后代入()22019f ,得出规律,则可求出()20202019f . 【详解】解：()()121,11,1x x f x x x Q ⎧-≤=⎨->⎩,()()()11n n f x f f x +=()12019201912018f ∴=-= ()22019(2018)2017f f == ()32019(2017)2016f f ==M()20172019(3)2f f == ()20182019(2)1f f ==()2019(1)20192(11)0f f ==-= ()2020(0)20192(10)2f f ==-=故选：C【点睛】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质和函数值的规律.12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0]2，上是增函数，则 A. (25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<【答案】D 【解析】 【分析】由()()4f x f x -=-，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.【详解】因为()f x 满足()()4f x f x -=-，所以()()8f x f x -=， 所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，则()()()()()()251,800,113f f f f f f -=-==. 由()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x -=-，得()()()()11311f f f f ==--=.因为()f x 在区间[]02，上是增函数，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()f x 在区间[]22-，上是增函数， 所以()()()101f f f -<<，即()()()258011f f f -<<.【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，L ，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，L ，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．二、填空题（每小题5分，共20分） 13.若4cos 5α=-，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______.【答案】10- 【解析】试题分析：根据同角三角函数的关系算出35sin α==﹣，再利用两角和的正弦公式，即可算出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；4cos ,5α=-Q α是第三象限的角，35sin α∴==﹣，34sin()()()44455sin coscos sinπππααα+=+=-+-=. 考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系14.220{100x y x y y --≤-+≥≤，则32z x y =+的最大值为________．【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解即可. 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域,如图：（阴影部分ABC ∆） 由32z x y =+得3122y x z =-+, 平移直线3122y x z =-+经过点C 时, 直线3122y x z =-+的截距最大, 此时z 最大.由2200x y y --=⎧⎨=⎩,解得20x y ==⎧⎨⎩,即(2,0)C将C 的坐标带入目标函数32z x y =+, 得32206z =⨯+⨯=, 即32z x y =+的最大值为6. 故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.15.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 【答案】2 【解析】求函数f(x)＝3x －7＋lnx 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<ln e ＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2．16.已知命题0:p x R ∃∈，使05sinx ；命题q x R ∀∈：，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题p q ∧“”是真命题；②命题“”()p q ∧⌝是假命题；③命题“(”)p q ∨﹁是真命题；④命题()”)(“p q ∨﹁﹁是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．【答案】②③ 【解析】 【分析】先判断命题p 和命题q 的真假,再判断p ⌝,q ⌝的真假,最后根据真值表可得出结论. 【详解】解： 051sinx Q =>,所以p 是假命题. 又22310412x x x ⎛⎫++⎪⎝⎭+=+> ,所以q 是真命题.p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,故根据真值表可得②③正确.故答案为：②③【点睛】本题考查含简单逻辑连接词的命题的真假性的判断问题.步骤为：①判断p 和q 的真假,②根据真值表判断复合命题的真假. 三、解答题（17小题10分，18--22小题每小题12分，共70分）17.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是首项为2且单调递增的等比数列，其前n 项和为n T ，2312b b +=，3412b a a =-，()81111112b S T =+. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)设()153n n c a =+，2log n np b =，求数列11n n c p ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的前n 项和n G ． 【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1n nG n =+ 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,将条件带入通项公式,解方程即可求出.（2）将{}n a 、{}n b 的通项公式代入()153n n c a =+、2log n n p b =中,得到11n n c p ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的通项公式为11111n n c p n n⨯=⨯+,用裂项相消求和. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为()1q q >,由已知得2312b b ＋＝,得211()2b q q ＋＝,而12b =,所以260q q +-= 又因为()1q >,解得2q =,所以2nn b =由3412b a a =-,可得138d a -=, 由()81111112b S T =+,可得1516a d += 解得11,3a d ==,由此可得32n a n =-所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-,数列{}n b 的通项公式为2nn b =（2）由（1）得1n c n =+,n p n =,所以11111111n n c p n n n n ⨯=⨯=-++ 所以111111111122334111n n G n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 【点睛】本题考查求等差等比数列的通项公式,设首项和公差、公比,代入已知条件中即可求解.还考查用裂项相消求数列前n 项和,需要熟记公式,灵活求解.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2sin sin sin sin 2Ba C A C A +=. (1)求角B ；(2)若6a c +=，ABC ∆的面积S =求b .【答案】（1）3B π=；（2）b =【解析】 【分析】(1)根据正弦定理的边化角公式和三角形内角和等于π,将已知条件化简为：2sin sin sin sin sin 2BA CBC A =,约分之后再用降幂公式即可求出B 的值. （2）由三角形面积公式可求得ac ,带入余弦定理即可求得b . 【详解】（1）因为A B C π++=,0,,A B C π<<,由已知()2sin sin sin sin 2Ba C A C A += 和正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得：2sin sin sin sin sin 2BA CBC A =,又因为sin ,sin ,sin 02BA C ≠,所以2sin 2B B =,22sin cos 222B B B =cos 22B B =,tan 2B =3B π=（2）由面积公式1sin 24S ac B ac ===8ac =,由余弦定理()22222cos 312b a c ac B a c ac =+-=+-=,得b =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.已知四面体ABCD 中AB ⊥面BCD ，BC DC ⊥， BE AD ⊥垂足为E ，E ，F 为,AD CD 中点，2AB BD ==,1CD =（1）求证： AC P 面BEF ； （2）求点B 到面ACD 的距离． 【答案】（1）见解析；（2）2217【解析】 【分析】（1）证明线面平行,需先证明线线平行,可从三角形的中位线定理证明线线平行,从而再证线面平行.（2）求点到面的距离用等体积法,由A BCD B ACD V V --=,分别算出∆BCD S 、ACD S ∆,建立体积等式关系即可求B 到面ACD 的距离． 【详解】、（1）因为BE AD ⊥,AB BD =所以E 为AD 中点,又因为F 是CD 中点,所以AC EF P , 而AC ⊄面BEF ,EF ⊂面BEF ,所以AC P 面BEF . （2）由已知得3BC =,22AD =7AC =, 所以三角形ACD 为直角三角形其面积7ACD S ∆=三角形BCD 的面积3BCD S ∆=设点B 到面ACD 的距离为h ,因为A BCD B ACD V V --=,即11233BCD ACD SS h ∆∆⨯=⨯ 解得2217h =, 所以点B 到面ACD 的距离为2217. 【点睛】（1）线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行,即a b a a b P P ααα⎫⎪∉⇒⎬⎪∈⎭.（2）用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,先用简单的方法求出四面体的体积,然后计算出底面三角形的面积,再根据四面体体积公式V=-Sh 求出点到平面的距离h . 20.某班随机抽查了20名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图，其中A 组学生每天学习数学时间不足1个小时，B 组学生每天学习数学时间达到一个小时。
大庆市铁人中学2020届高三数学(理)上学期期中试卷附答案解析
大庆市铁人中学2020届高三上学期期中数学（理）试卷试题满分150 分，答题时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
） 1、1+212ii=-（ ） A ．4355i -- B ．4355i -+ C ．3455i --D ．3455i -+ 2、已知集合2{|}{|02450}A y y y N B x x x x N =≤∈=≤∈＜，，﹣﹣，，则A B ⋂=( ) {}1A ． }1{0B ．，02[C ．，） D ∅． 3、已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A 45-B 35-C 35 D454、曲线1x y xe-=在点(1,1)处切线的斜率为（ ）A 1B 2C 3D 4 5、下列叙述正确的是（ ） A 命题“p q 且”为真，则,p q 恰有一个为真命题B 命题“已知,a b R ∈，则“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件” C 命题:0p x ∀>都有1xe >，则0:0,p x ⌝∃>使得01x e≤D 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <g ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点6、若x y ，满足约束条件220+100x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =＋的最大值为（ ）A 4B 5C 6D 7 7、若101a b c >><<，，则（ ）（A ）cca b <（B ）ccab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c<8、在ABC ∆中， 0,2,23,AB BC AB BC →→→→===g D 为AC 的中点，则BD DA →→=g ( ) A 2 B 2- C 23 D 23- 9、函数1()1xx f x e x -=++的部分图像大致是（ ）10、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”，的外接球表面积为（ ） A833π B 8π C 6π D 433π11、不等式xe x ax ->的解集为P ，且[0,2]P ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A (,1)e -∞- B (1,)e -+∞ C (,1)e -∞+ D (1,)e ++∞12、已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导数为()f x '，()0f x >且()1f e =，若()ln ()0xf x x f x '+>对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则不等式1ln ()x f x <的解集为（ ） A (0,1) B (1,)+∞ C (,)e +∞ D (0,)e二. 填空题（本大题共4小题,每小题5分，满分20分） 13、已知向量(1,),(,4),ax b x →→==若a b →→与反向则________x =14、函数()cos 26sin 1f x x x =++的最大值为_______15、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 060ABC ∠=ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为_________16、设)(x f 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当]3,2[∈x 时，x x f =)(，则当]0,2[-∈x 时，)(x f 的解析式为______________三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）17、(10分)已知函数2()2sin 23sin cos 1f x x x x =-++ （1）求()f x 的最小正周期及对称中心 （2）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值。
黑龙江省大庆铁人中学2020届高三数学上学期开学考试试题文
铁人中学 高三学年上学期开学考试数学（文）试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题5分，本大题满分60分）1、已知全集U ={1，2，3，4}，集合A ={1，2}，B ={2，3}，则∁U （A ∩B ）=（ ） A. {1,3,4} B. {3,4}C. {3}D. {4}2、设集合{|2}xA x y ==，{|0}3xB x x=<-，则A C B =（ ） A. ()()+∞∞-,30,Y B. (][)+∞∞-,30,Y C. []3,0 D. [)+∞,3 3、设a ，b 均为不等于1的正实数，则“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4、已知命题p ：x R ∃∈，3log 0x ≥，则对p ⌝叙述正确的是（ ）A ．p ⌝：x R ∃∈，3log 0x <B ．p ⌝：x R ∀∈，3log 0x <C ．p ⌝：x R ∃∈，3log 0x ≤D ．p ⌝：x R ∀∈，3log 0x ≤5、已知命题p ：x R ∀∈，22log (23)1x x ++>；命题q ：0x R ∃∈，0sin 1x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ． ()()q p ⌝∧⌝B ．()q p ⌝∧C ．()q p ∧⌝D ．p q ∧ 6、函数()log 42a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin 2θ=（ ） A. 513-B.513 C. 1213- D.12137、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （ ）A. 2019B. 0C. 1D. -18、已知1213a⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln3b=，13c e=，则（）A. a b c>> B. c a b>> C. b a c>> D. b c a>>9、函数21()xxf xe-=的图象大致为（）A B C D10、已知函数()f x在0x>上可导且满足()()0xf x f x'->，则下列一定成立的为（）A．()()e fefππ> B．()()f f eπ< C．()()f f eeππ< D．()()f f eπ>11、已知()f x是定义在()1,2+-bb上的偶函数，且在(]0,2b-上为增函数，则(1)(2)f x f x-≤的解集为（）A．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．⎥⎦⎤⎝⎛-31,1C．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦12、已知函数()2,021,0xe xf xx x x⎧>⎪=⎨-++≤⎪⎩，若函数()()g x f x kx=-恰好有两个零点，则实数k等于（e为自然对数的底数）（）A．1 B．2 C. e D．2e第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，本大题满分20分）13、已知集合{,,}{0,1,2}a b c=，且下列三个关系：①2a≠；②2b=；③0c≠，有且只有一个正确，则10010a b c++=．14、已知:64p x-≤，:11q a x a-<<+，a R∈，且p是q成立的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________．15、若0,0,lg lg lg()a b a b a b>>+=+，则a b+的最小值为_________．16、已知函数2()|log |1||f x x =-，()2f x =的四个根为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234k x x x x =+++，则(1)f k += ．三、解答题（本大题满分70分）17、(本题满分10分)已知集合2{|230,}A x x x x R =--<∈，{|||3,}B x x a x R =-<∈. (1)求集合A 和B ；(2)若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围.18、(本题满分12分)已知命题p ：关于x 的方程032=+-ax x 有实根；命题q ：关于x 的函数422++=ax x y 在[2,+∞)上是增函数，若q p ∨为真，q p ∧为假，求a 的取值范围.19、(本题满分12分)已知函数()23f x x x m =-+-，且()15f -=-.（1）求不等式()1f x >-的解集； （2）求f (x )在[－2,4]上的最值。
2019-2020学年黑龙江省大庆中学高三上学期开学考试 数学理
2019-2020学年黑龙江省大庆中学高三上学期开学考试 数学理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{2,3,4,6}，N ＝{1,4,5}，则(∁U M )∩N 等于( )A ．{1,2,4,5,7}B ．{1,4,5}C ．{1,5}D ．{1,4}2．函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 3．函数y ＝)12(log 32-x 的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 D.⎥⎦⎤⎝⎛1,214.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( )A ．－2B ．2C ．－98D ．985．若已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧>≤+1,21,12x xx x , 则[])3(f f 的值是( )A ．21B ．3C ．23D ．9136．已知a ＝317.0-，b ＝316.0-，c ＝log 2.11.5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <b <c D ．b <a <c7．若sin α＝ - 513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．- 125 C.512 D ．- 512 8. cos15°-sin15°cos15°＋sin15°的值是( )A ．- 3B ．0C. 3D.339．若⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2cos ＝13，则cos(π-2α)＝( )A ．- 429 B.429 C ．- 79D. 7910．函数f (x )＝2x －sin x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．411．函数y ＝xxa x(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )A B C D12．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f ′(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x ＋1的解集为( )A．{x|x>0} B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或0<x<1}二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，，若与平行，则等于__________．14.若，则的值为___________．15. 变量，满足约束条件，则目标函数的最小值__________．16.已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点，为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则__________．三、解答题（本大题共70分）（一）必考题共60分17．（12分）已知数列的前项和为，且，数列满足.（1）求；（2）求数列的前项和.18．（12分）近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表：（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为，求的分布列、数学期望. 参考公式：，其中.下面的临界值仅供参考：19. （12分） 如图，四棱锥的底面是矩形， ⊥平面，，.(1)求证： ⊥平面；(2)求二面角余弦值的大小；20. （12分）已知椭圆的右焦点，且经过点，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于两点（点在轴的上方）（1）求椭圆的方程；0.152.072（2）若，且直线与圆相切于点，求的长.21. （12分）已知函数（, 是自然对数的底数）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。
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铁人中学2017级高三学年上学期开学验收考试数学试题（理）试题说明： 1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
） 1．已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2．与函数相同的函数是( )A B ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 C ．D ．3.原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 44．幂函数在上单调递增，则的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或45. 已知97log c ,)97(b ,)97(a ,22)x (f 23121xx===-=--则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<6.已知函数错误！未找到引用源。
处有极值10，则等于( )A. 1B. 2C.D.7.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.8．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若，则；③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；④命题“存在”的否定是“任意”A ．B ．C ．D ． 9.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )10.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =( )A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 511．设定义域为R 的函数f(x)=.1,01||,1|lg |⎩⎨⎧=≠-x x x ，则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c=0D ．b ≥0且c=0 12．已知()(),ln xf x eg x x ==，若()()f t g s =，则当s t -取得最小值时， ()f t 所在区间是（ ）A.()ln2,1 B ． 1,ln22⎛⎫⎪⎝⎭C ． 11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空(每小题5分,共20分)13.设函数，则f [f （2）]=______．14.若函数y =f （x ）的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则函数y =f （log 2x ）的定义域为______． 15．已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x x x a x a x f a 是(-∞,+∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是___________．16．已知函数()()4log 3(0),{130,4xx x x f x x x +->=⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭若()f x 的两个零点分别为12,x x ，则12x x -=__________．三、解答题(17题10分,其它各题每题12分,共70分.) 17.已知函数（1）当x ∈[2,4]，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求m 的取值范围．18.已知a R ∈，命题:p “[0,2],240x xx a ∀∈-+≤均成立”， 命题:q “函数2()ln(2)f x x ax =++定义域为R ”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．()()()()()()(].2,02.213.1923的范围上是减函数，求在若函数的值的极值点，求实数是函数若函数a x f e x g a x f y x x ax x f x ⋅===-=20.已知函数y =a x（a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a 的值；（2）证明f （x ）+f （1-x ）=1； （3）求错误！未找到引用源。
的值． 21、已知函数)(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=（1）若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；22.已知函数()2ln f x x ax =+， ()1g x x b x =++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的1x ⎡∈⎣，都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（Ⅲ）已知方程()f x cx =有两个根12,x x （12x x <），若()1220g x x c ++=，求证： 0b <．铁人中学2017级高三学年上学期开学验收考试数学试题（理）答案第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
）第Ⅱ卷二、填空(每小题5分,共20分)13. 0 14. []4,2 15. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,23 16.三、解答题17.(10分) 解：（1）函数函数，令，,则，所以，对称轴，当时，取得最小值；t =1或2时，函数取得最大值0，所以；（2）因为对于恒成立，由（1）得对于恒成立，所以对于恒成立，令，则，所以函数g （t ）在[2，4]单调递增， 则，所以，故m 的取值范围为.18(12分).解析：（1）若设2x t =，可得]1,4t ⎡∈⎣，得2a t t ≤-在]1,4t ⎡∈⎣上恒成立．若设2y t t =-，其中[]1,4t ∈，从而可得mina y ≤，即2min ()0a t t ≤-=；（2）若命题""p q ∨为真，命题""p q ∧为假，则,p q 必然一真一假．当q 为真命题时，即220x ax ++>在R 上恒成立时，则280a ∆=-<，得2a -<又p 真时0a ≤，所以,p q 一真一假时0a a a ≤⎧⎪⎨≥≤-⎪⎩或0a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩，可得a ≤-或0a <<，所以(,a ∈-∞-⋃．19. (12分)试题解析：（1）由，得，因为x ＝2是函数y ＝f(x)的极值点，所以，解得，经检验，x ＝2是函数y ＝f(x)的极小值点，所以．（2）由，得， 因为在区间(0，2]上是减函数，所以在区间(0，2]上恒成立，只需在区间(0，2]上恒成立即可，即，只需要在(0，2]上恒成立，令，则恒成立，所以函数在区间(0，2]上单调递减，所以的最小值，故，所以实数a的取值范围是．20(12分)解：（1）函数y=a x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，而函数y=a x（a＞0且a≠1）在[1，2]上单调递增或单调递减 ,∴a+a2=20，得a=4，或a=-5（舍去）,∴a=4 ;（2）证明：,∴== = =1 ;（3）由（2）知，=1009。
21. (12分) 解：．（1），解得．（2）．①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是．②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．③当时，，故的单调递增区间是．④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是．22. (12分)试题解析：（Ⅰ）设直线12y =-与()f x 相切于点()20000,ln (0)x x ax x +>， ()21212ax f x ax x x='+=+，依题意得200200210,{ 1,2ax x lnx ax +=+=- 解得01,{ 1.2x a ==-所以12a =-，经检验： 12a =-符合题意—————————————4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()21ln 2f x x x =-，所以()211x f x x x x '-=-=，当(x ∈时， ()0f x '< 所以()f x在⎡⎣上单调递减，所以当x ⎡∈⎣时， ()min 122ef x f==-， ()()max112f x f ==-，()222111x g x x x -+=='-+，当(]1,4x ∈时， ()0g x '>，所以()g x 在[]1,4上单调递增， 所以当(]1,4x ∈时， ()()min 12g x g b ==+， ()()max 1744g x g b ==+， 依题意得][1e 117,2,2224b b ⎡⎤--⊆++⎢⎥⎣⎦， 所以12,22{ 171,42e b b +≤-+≥- 解得193422e b -≤≤--．—————————————8分（Ⅲ）依题意得()()2211,{,f x cx f x cx ==两式相减得()()()222121211ln ln 2x x x x c x x ---=-， 所以212121ln ln 2x x x x c x x -+=--，方程()1220g x x c ++=可转化为()()()21122112212ln ln 10x x x x b x x x x x x -++++-+=+-，即()()1211221121122212ln ln 2ln 1x x x x x b x x x x x x x x x ---=--=-++，令12x t x =，则()0,1t ∈，则()2112ln 1t b x x t t--=-+， 令()12ln 1th t t t-=-+， ()0,1t ∈， 因为()()()()()2211222011t t h t t t t t -+--=-=+>++'， 所以()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=，所以()210b x x -<，即0b <．—————————————12分。