新版第二章一元线性回归课件.ppt

最近的消防站的距离之间的相关关系，以便准确地定出保险金额。表 2.1 列出了
15 起火灾事故的损失及火灾发生地与最近的消防站的距离。图 2.1 给出了 15 各
样本点的分布状况。
表 2.1 火灾损失表
距消防站距离 x（km） 火灾损失 y（千元）
3. 4
26. 2
1. 8
17. 8
4. 6
31. 3
（2.1）式的理论回归模型与（2.4）式的样本回归模型，我们一般把它们都 称为一元线性回归模型。
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对（2.4）式两边分别求数学期望和方差，得 E( yi ) 0 1xi , var( yi ) 2,i 1,2,..., n （2.6） 上市表明随机变量 y1,y2,…,yn 的期望不相等，方差相等，因而 y1,y2,…yn 是独立的随机变量，但是并不是同分布。而1,2,..., n 是独立同分布的随机变量。 E( yi ) 0 1xi 从平均意义上表达了变量 y 对 x 的统计规律性。
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yi 0 1xi i I=1,2,…,n
(2.4)
由（2.2）式有
E( i ) var(i
0 )
2

（2.5）
通常我们还假定 n 组数据是独立观测的，因而 y1,y2,…,yn 与1,2,..., n 都是
相互独立的随机变量。而 xi（i－1,2, ….,n）是确定性变量，其值是可以精确测量 和控制的。我们称（2.4）式为一元线性样本回归模型。
797. 08 890. 66 1063. 39 1323. 22 1736. 32 2224. 59 2627. 06 2819. 36 2958. 18
精选
8
4000
3000
2000
1000
精选
Y
0
0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
X
9
二、一元线性回归模型的数学形式
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3
第一节一元线性回归模型
一、一元线性回归模型的实际背景 在实际问题的研究中，经常需要研究某一 现象与影响它的某一最主要因素的关系。 例如：财政收入与税收之间的关系； 国民收入与消费额的关系； 保险公司研究火灾损失的规律，将火灾损失与发生
地距消防站的距离之间的关系。
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4
例 1：假定一保险公司希望确定居民住宅区火灾造成的损失数额与该住户到
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回归分析的主要任务就是通过 n 组样本观测值（xi,yi）,I=1,2,…,n, 对 0, 1 进行估计。一般用ˆ0, ˆ1 分别表示0, 1 的估计值，则称
yˆ ˆ0 ˆ1x （2.7） 为 y 关于 x 的一元线性经验回归方程。
在实际问题研究中，为了方便地对参数在区间估计和假设检验，我们还假 定模型（2.1）式中误差项 遵从正态分布，即，
y2

...

yn

1 x 1
... 1
x1 1
x2


...

2

...


0

1

（2.11）
xn


n

于是模型（2.1）式表示为：
y x
E( ) 0
(2.12)
var( ) 2IN
2. 3
23. 1
3. 1
27. 5
5. 5
36
0. 7
14. 1
3. 0
22. 3
2. 6
19. 6
4. 3
31. 3
2. 1
24
1. 1
17. 3
6. 1
43. 2
精选
4. 8 3. 8
36. 4 26. 1
5
精选
Y
50
40

4
5
6
7
X
6
例2.2在研究我国人均消费水平的问题中，把 全国人均消费金额记作y（元）；把人均 国民收入记为x（元）。我们收集到 1980—1998年19年的样本数据（Xi,Yi）， i取1,2,3……n。数据见表2.2；样本分布见 图2.2.
234. 75 259. 26 280. 58 305. 97 347. 15 433. 53 481. 36 545. 40 687. 51 756. 27
1990 1634 1991 1879 1992 2287 1993 2939 1994 3923 1995 4854 1996 5576 1997 6053 1998 6392
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第二节参数B0，B1的估计
一、普通最小二乘法
为了由样本数据得到参数0, 1 的理想估计值，我们将使用
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7
表 2.2 人均国民收入表
年份 人均国民 人均消费 年份 人均国民 人均消费
收入（元） 金额（元）
收入（元） 金额（元）
1980 460 1981 489 1982 525 1983 580 1984 692 1985 853 1986 956 1987 1104 1988 1355 1989 1512
i N (0, 2 ), i 1,2,..., n （2.9） 在i 遵从正态分布的假定下，进一步有随机变量 yi 也遵从正态分布 yi∽ N (0 1xi , 2 ) I=1,2,…,n (2.10)
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将一元线性回归的一般形式（2.1）式用矩阵表示，令
y1
y


y 0 1x （2.1）
上式称为变量 y 对 x 的一元线性理论回归模型。
表示其他随机因素的影响，我们一般假定 是不可观测的随机误差，
它是一个随机变量，通常假定 满足：
E( ) 0
var(
)


2

（2.2）
对（2.1）式两端求期望，得 E( y) 0 1x （2.3） 上式称为回归方程。 一般情况下，对我们实际所研究的问题，获得 n 组样本观测值（x1,y1）, (x2,y2), (x3,y3),……., (xn,yn), 如果它们符合模型（2.1）式，则
第二章一元线性回归
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1
一元线性回归是描述两个变量之间统计关系 的最简单的回归模型。
一元线性回归虽然简单，但通过一元线性回 归模型的建立过程，我们可以了解回归分 析方法的基本统计思想以及它在实际问题 研究中的应用原理。
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2
本章将详细讨论一元线性回归的建模思想、 最小二乘估计以及性质、回归方程的有关 检验、预测和控制的理论及应用。