线性回归方程_公开课课件
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《线性回归方程》课件
线性回归方程的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系，即它们 之间的关系可以用一条直线来描述。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中保持恒定，没 有系统的变化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即它们之间 没有高度的相关性。
无自相关
误差项在不同观测值之间是独立的，没有相 关性。
02
线性回归方程的建立
详细描述
在销售预测中，线性回归方程可以用来分析历史销售数据，并找出影响销售的关键因素。通过建立线性回归模型 ，可以预测未来的销售趋势，为企业的生产和营销策略提供依据。
案例二：股票价格预测
总结词
线性回归方程在股票价格预测中具有一定的 应用价值，通过分析历史股票价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ和影响股 票价格的因素，可以预测未来的股票价格走 势。
04
线性回归方程的应用
预测新数据
1 2
预测新数据
线性回归方程可以用来预测新数据，通过将自变 量代入方程，可以计算出对应的因变量的预测值 。
预测趋势
通过分析历史数据，线性回归方程可以预测未来 的趋势，帮助决策者制定相应的策略。
3
预测异常值
线性回归方程还可以用于检测异常值，通过观察 偏离预测值的点，可以发现可能的数据错误或异 常情况。
确定自变量和因变量
确定自变量
自变量是影响因变量的因素，通 常在研究问题中是可控制的变量 。在建立线性回归方程时，首先 需要确定自变量。
确定因变量
因变量是受自变量影响的变量， 通常是我们关心的结果或目标。 在建立线性回归方程时，需要明 确因变量的定义和测量方式。
收集数据
数据来源
确定数据来源，包括调查、实验、公开数据等，确保数据质量和可靠性。
回归线方程ppt课件
果关系。
变量筛选
在多元回归分析中，利用回归线 方程筛选对因变量有显著影响的
自变量，简化模型。
控制质量
过程控制
在生产过程中，通过建立回归线方程，监控关键工艺参数对产品 质量的影响，确保产品质量稳定。
质量控制
利用回归线方程分析产品质量检测数据，找出影响产品质量的因素 ，制定相应的质量控制措施。
质量改进
求解回归系数
01
02
03
计算回归系数
根据回归方程，计算每个 自变量的回归系数。
分析回归系数
分析回归系数的符号、大 小和显著性，了解自变量 对因变量的影响程度。
检验回归系数
通过假设检验等方法，检 验回差分布情况，检查 是否存在异常值或离群点 。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整 判定系数等方法，评估回 归方程的拟合优度。
显著性检验
通过F检验、t检验等方法 ，检验回归方程的显著性 和可信度。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
回归线方程的应用
预测未来趋势
股票价格预测
通过分析历史股票数据，利用回 归线方程建立模型，预测未来股
最小二乘法通过最小化误差的 平方和来找到最佳拟合直线， 使得所有数据点到直线的垂直 距离最小。
最小二乘法的计算过程
计算误差
计算每个数据点到拟合线的垂 直距离，即误差。
最小化误差平方和
通过最小化所有数据点到直线 的垂直距离的平方和来找到最 佳拟合直线。
收集数据
收集自变量（X）和因变量（Y ）的数据点。
数据来源的可靠性
02
数据来源必须可靠，避免使用不可靠的数据源可能导致错误的
变量筛选
在多元回归分析中，利用回归线 方程筛选对因变量有显著影响的
自变量，简化模型。
控制质量
过程控制
在生产过程中，通过建立回归线方程，监控关键工艺参数对产品 质量的影响，确保产品质量稳定。
质量控制
利用回归线方程分析产品质量检测数据，找出影响产品质量的因素 ，制定相应的质量控制措施。
质量改进
求解回归系数
01
02
03
计算回归系数
根据回归方程，计算每个 自变量的回归系数。
分析回归系数
分析回归系数的符号、大 小和显著性，了解自变量 对因变量的影响程度。
检验回归系数
通过假设检验等方法，检 验回差分布情况，检查 是否存在异常值或离群点 。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整 判定系数等方法，评估回 归方程的拟合优度。
显著性检验
通过F检验、t检验等方法 ，检验回归方程的显著性 和可信度。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
04
回归线方程的应用
预测未来趋势
股票价格预测
通过分析历史股票数据，利用回 归线方程建立模型，预测未来股
最小二乘法通过最小化误差的 平方和来找到最佳拟合直线， 使得所有数据点到直线的垂直 距离最小。
最小二乘法的计算过程
计算误差
计算每个数据点到拟合线的垂 直距离，即误差。
最小化误差平方和
通过最小化所有数据点到直线 的垂直距离的平方和来找到最 佳拟合直线。
收集数据
收集自变量（X）和因变量（Y ）的数据点。
数据来源的可靠性
02
数据来源必须可靠，避免使用不可靠的数据源可能导致错误的
高一数学必修三课件第章线性回归方程
01
02
03
变量
在某一过程中可以取不同 数值的量。
自变量
能够影响其它变量，而又 不受其它变量影响的变量 。
因变量
依赖于其它变量，而又不 能影响其它变量的变量。
散点图及其特点
散点图
用点的密度和变化趋势表示两指 标之间的直线和曲线关系的图。
特点
能直观表现出影响因素和预测对 象之间的总体关系趋势。
线性回归方程定义
通过绘制自变量和因变量的散点图，观察数据点 分布形态，若呈现非线性形态，则可能存在非线 性关系。
曲线拟合
根据散点图形态，选择合适的曲线类型进行拟合 ，如二次曲线、指数曲线、对数曲线等。
3
变换自变量或因变量
通过对自变量或因变量进行变换，如取对数、平 方、开方等，将非线性关系转化为线性关系。
可化为线性关系非线性模型
一致性
随着样本量的增加，线性回归方程 的系数估计值会逐渐接近真实值。
预测值与置信区间估计
预测值
根据回归方程和给定的自 变量值，可以计算出因变 量的预测值。
置信区间
通过构造置信区间，可以 对预测值进行区间估计， 表示预测值的可靠程度。
置信水平
置信水平表示了置信区间 包含真实值的概率，常用 的置信水平有95%和99% 。
在数据采集过程中，可能存在某些自变量 被重复测量或高度相关的情况。
变量设计问题
样本量问题
在变量设计时，可能存在某些自变量之间 存在固有的高度相关性。
当样本量较小而自变量较多时，也容易出 现多重共线性问题。
识别和处理多重共线性方法
观察自变量间的相关系数
如果两个自变量间的相关系数很高，则可能存在多重共线性 。
案例二
精美配套课件：第2章 2.4 线性回归方程
房地产涨价一直是受关注的民生问题之一，以下是某房地 产开发商在 2013 年前两季度销售的新楼盘中的销售价格 y(单 位：万元)与房屋面积 x(单位：m2)的数据.
x y
115 49.6
110 43.2
80 38.8
135 58.4
105 44
问题 1：在平面直角坐标系中，以 x 为横坐标，y 为纵 坐标作出表示以上数据的点．
1．根据两个变量 x，y 之间的观测数据画成散点图如图所示， 这两个变量是否具有线性相关关系 ________．(填“是”或 “否”)
解析：从散点图看，形状呈团状，无任何规律，故不具有 线性相关关系．
答案：否
2．5 名学生的数学成绩和化学成绩如下表：
学生成绩 学科 数学 化学
A
B
C
D
E
80 75 70 65 60 70 66 68 64 62
气温/℃
杯数
26
20
18
24
13
34
10
38
4
50
－1
64
问题 1：判断气温与杯数是否有相关关系？
提示：作散点图可知具有相关关系．
问题 2：若某天的气温是－5℃，能否根据这些数据预测 小卖部卖出热茶的大体杯数？
提示：可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方 程后可预测．
1． 线性相关关系： 能用直线^ y ＝bx＋a 近似表示的相关关系． 2．线性回归方程： 设有 n 对观察数据如下：
5
i＝1
xiyi－5 x y
2 x2 i －5 x 5
∴ b＝
112.3－5×4×5 ＝ ＝1.23. 2 90－5×4
(6 分)
i＝1
x y
115 49.6
110 43.2
80 38.8
135 58.4
105 44
问题 1：在平面直角坐标系中，以 x 为横坐标，y 为纵 坐标作出表示以上数据的点．
1．根据两个变量 x，y 之间的观测数据画成散点图如图所示， 这两个变量是否具有线性相关关系 ________．(填“是”或 “否”)
解析：从散点图看，形状呈团状，无任何规律，故不具有 线性相关关系．
答案：否
2．5 名学生的数学成绩和化学成绩如下表：
学生成绩 学科 数学 化学
A
B
C
D
E
80 75 70 65 60 70 66 68 64 62
气温/℃
杯数
26
20
18
24
13
34
10
38
4
50
－1
64
问题 1：判断气温与杯数是否有相关关系？
提示：作散点图可知具有相关关系．
问题 2：若某天的气温是－5℃，能否根据这些数据预测 小卖部卖出热茶的大体杯数？
提示：可以．根据散点图作出一条直线，求出直线方 程后可预测．
1． 线性相关关系： 能用直线^ y ＝bx＋a 近似表示的相关关系． 2．线性回归方程： 设有 n 对观察数据如下：
5
i＝1
xiyi－5 x y
2 x2 i －5 x 5
∴ b＝
112.3－5×4×5 ＝ ＝1.23. 2 90－5×4
(6 分)
i＝1
一元线性回归方程教学课件
第2页，共28页。
Y:人均食品支出
北京市城市居民家庭生活抽样调查图表
10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x:人均生活费收入
第3页，共28页。
§1.1 模型的建立及其假定条件
一、一元线性回归模型
例如：研究某市可支配收入X对人均消费支出Y 的影响。建立如下理论 回归模型：
总离差平方和 ＝ 回归平方和 ＋ 残差平方和
SST
=
SSR
+
SSE
H0： 1 0 H1： 1 0
F SSR /1 ~ F (1, n 2) SSE /(n 2)
拒绝域 F >Fα (1,n-2)
第21页，共28页。
三、 用样本可决系数检验回归方程的拟合优度
R2 = SSR
SST
R2=0时 表明解释变量X与被解释变量Y之间不存在线性关系； R2=1时 表明样本回归线与样本值重合，这种情况极少发生； 一般情况下，R2越接近1表示拟合程度越好，X对Y的解释能力越强。
Yi = 0 + 1 Xi + εi
其中： Yi——被解释变量；
ε I ——随机误差项；
Xi——解释变量； 0，1—回归系数
随机变量ε i包含：
回归模型中省略的变量; 确定数学模型的误差； 测量误差
第4页，共28页。
假设调查了某社区所有居民，他们的人均可支配 收入和消费支出数据如下：
X 80 100 Y
（ei为εi的估计值）
第9页，共28页。
注意：分清4个式子的关系 （1）理论（真实的）回归模型：
Yi 0 1Xi i
（2）理论（真实的）回归直线：
E( Y | X i ) 0 1X i
Y:人均食品支出
北京市城市居民家庭生活抽样调查图表
10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
x:人均生活费收入
第3页，共28页。
§1.1 模型的建立及其假定条件
一、一元线性回归模型
例如：研究某市可支配收入X对人均消费支出Y 的影响。建立如下理论 回归模型：
总离差平方和 ＝ 回归平方和 ＋ 残差平方和
SST
=
SSR
+
SSE
H0： 1 0 H1： 1 0
F SSR /1 ~ F (1, n 2) SSE /(n 2)
拒绝域 F >Fα (1,n-2)
第21页，共28页。
三、 用样本可决系数检验回归方程的拟合优度
R2 = SSR
SST
R2=0时 表明解释变量X与被解释变量Y之间不存在线性关系； R2=1时 表明样本回归线与样本值重合，这种情况极少发生； 一般情况下，R2越接近1表示拟合程度越好，X对Y的解释能力越强。
Yi = 0 + 1 Xi + εi
其中： Yi——被解释变量；
ε I ——随机误差项；
Xi——解释变量； 0，1—回归系数
随机变量ε i包含：
回归模型中省略的变量; 确定数学模型的误差； 测量误差
第4页，共28页。
假设调查了某社区所有居民，他们的人均可支配 收入和消费支出数据如下：
X 80 100 Y
（ei为εi的估计值）
第9页，共28页。
注意：分清4个式子的关系 （1）理论（真实的）回归模型：
Yi 0 1Xi i
（2）理论（真实的）回归直线：
E( Y | X i ) 0 1X i
《2.4线性回归方程》课件1-优质公开课-苏教必修3精品
n
a＝y－bx.
1n 1n x＝ Σ xi，y＝ Σ yi ni＝1 ni＝1
要 点 导 航
注意
(1)用此法推导出的直线方程表示的直线上各
点与对应的散点的坐标差的平方和最小，这种方法叫做最 小平方法，利用的是二次函数的最值问题． ( 2 ) 由不具有线性相关关系的两个变量推出的回归方 程没有意义． (3)求线性回归方程的步骤． ①作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； ②如果散点在一条直线附近，用公式求出 a 、 b ，并写出 线性回归方程．
典 例 剖 析
分析： 两个有相关关系的变量间的关系可以用线性回归 方程来表示，而对总体的预测可由回归直线方程帮
助解决．
解析： 因为学习时间与学习成绩具有相关关系，可以列 出下表，并用科学计算器进行计算．
典 例 剖 析 i xi yi xiyi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 2 1 2 1 1 1 1 1 51 76 20 18 23 69 02 66 08 20 7 7 8 5 1 1 4 0 8 7 x＝17.4，y＝74.9. 10i＝1x＝3 182，10i＝1xiyi＝13 578
2．如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也是由
小变大，这种关系称为正相关 ________ ；反之，如果一个变量的
值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种关系称为 负相关 ． ________ 3n ．线性回归方程是_____ _＝ _ _bx _ _＋ __ y^ a_ _ _ _ ， 其 中 b ＝
要 点 导 航
当 y^＝bx＋a 使 Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn －bxn－a)2 取得最小值时， 就称 y^＝bx＋a 为拟合这 n 对数据的 线性回归方程，将该方程所表示的直线称为回归直线． 其中 Σ x y －nx y i＝1 i i b＝ n 2 ， 2 Σ x －nx i＝1 i
a＝y－bx.
1n 1n x＝ Σ xi，y＝ Σ yi ni＝1 ni＝1
要 点 导 航
注意
(1)用此法推导出的直线方程表示的直线上各
点与对应的散点的坐标差的平方和最小，这种方法叫做最 小平方法，利用的是二次函数的最值问题． ( 2 ) 由不具有线性相关关系的两个变量推出的回归方 程没有意义． (3)求线性回归方程的步骤． ①作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； ②如果散点在一条直线附近，用公式求出 a 、 b ，并写出 线性回归方程．
典 例 剖 析
分析： 两个有相关关系的变量间的关系可以用线性回归 方程来表示，而对总体的预测可由回归直线方程帮
助解决．
解析： 因为学习时间与学习成绩具有相关关系，可以列 出下表，并用科学计算器进行计算．
典 例 剖 析 i xi yi xiyi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 2 1 2 1 1 1 1 1 51 76 20 18 23 69 02 66 08 20 7 7 8 5 1 1 4 0 8 7 x＝17.4，y＝74.9. 10i＝1x＝3 182，10i＝1xiyi＝13 578
2．如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也是由
小变大，这种关系称为正相关 ________ ；反之，如果一个变量的
值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种关系称为 负相关 ． ________ 3n ．线性回归方程是_____ _＝ _ _bx _ _＋ __ y^ a_ _ _ _ ， 其 中 b ＝
要 点 导 航
当 y^＝bx＋a 使 Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn －bxn－a)2 取得最小值时， 就称 y^＝bx＋a 为拟合这 n 对数据的 线性回归方程，将该方程所表示的直线称为回归直线． 其中 Σ x y －nx y i＝1 i i b＝ n 2 ， 2 Σ x －nx i＝1 i
人教B版必修3第二章3.2《线性回归方程》ppt课件
2、回归直线方程
定义：一般地，设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应 于n组观测值的n个点（xi,yi）（i＝1，2，…，n）大致分布在 一条直线附近，求在整体上与这n个最接近的一条直线.设此直 线方程为y^=bx+a.
这里在y的上方加记号“^”，是为了区分实际值y，表示当 x取值xi（i＝1，2，…n）时，y相应的观察值为yi，而直线上对 应于xi的纵坐标是yi^=bxi+a. y^=bx+a叫做y对x的回归直线方 程，a、b叫做回归系数.
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/10
最新中小学教学课件
12
谢谢欣赏！
2019/8/10
最新中小学教学课件
13
2.3 变量间的相关关系
2.3.2 线性回归方程
本课主要学习变量间的相关关系的相关内容，具体 包括线性回归方程的求解。
本课开始回顾了上节课所学变量间的相关关系与散 点图的相关内容，紧接着引入回归直线的定义及特征， 回归直线方程的定义及求法（最小二乘法），并且通过 例题和习题进行讲解。最后通过习题进行加深巩固。
第四步：写出直线方程.
解： 1、列表
课件线性回归方程人教A版必修三数学PPT课件_优秀版
0如:利6何用3,上因才 计节此能算在，找器一这到或次天合计对大适算人约的机体可回可脂以归求肪卖直得含出线年量1？龄4和和3杯年人热龄体饮关脂。系肪2的5含研量究的中样，本研数究据人的员回获归得方了程一为组样本数据： ④,由线此性我回们归可方以程根得据到一的个预人测个值年是龄预预测测变其量体的内20精脂确肪值含.量的百分比的回归值.
（1）回归直线是各数据点与此直线在整体上最接近的一条（最优拟合）， 求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为
正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，
2.
2.
(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，
卖出去的热饮杯数越少。
2、成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么特点？
的百分比约为多少？ 以(4)上如公果式某的天推的导气较温复是杂2℃，,故预不测作这推天导卖。出的热饮杯数。
则④线n 性个回距归离方之程和得可到表的达预为测：值是预测变量的精确值. 代06表3,因n 此个，点这与天回大归约直可线以的卖“整出体1距43离杯(热偏饮差。）” 代1、表两n个个变点量与之回间归的直相线关的关“整系体的距含离义(偏差）” 若方某案人 3：37先岁画，一则条其直体线内，脂测肪量含出量各的点百到分它比的约距为离多，少然？后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就 ③得样到本 回取归值方的程范。围会影响线性回归方程的适用范围;
问题归结为：求当 a，b取何值时Q最小值，整体距离最小
Q ( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 ( yn bxn a)2
1、两个变量之间的相关关系的含义
n
n
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.
（1）回归直线是各数据点与此直线在整体上最接近的一条（最优拟合）， 求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为
正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，
2.
2.
(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高，
卖出去的热饮杯数越少。
2、成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么特点？
的百分比约为多少？ 以(4)上如公果式某的天推的导气较温复是杂2℃，,故预不测作这推天导卖。出的热饮杯数。
则④线n 性个回距归离方之程和得可到表的达预为测：值是预测变量的精确值. 代06表3,因n 此个，点这与天回大归约直可线以的卖“整出体1距43离杯(热偏饮差。）” 代1、表两n个个变点量与之回间归的直相线关的关“整系体的距含离义(偏差）” 若方某案人 3：37先岁画，一则条其直体线内，脂测肪量含出量各的点百到分它比的约距为离多，少然？后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就 ③得样到本 回取归值方的程范。围会影响线性回归方程的适用范围;
问题归结为：求当 a，b取何值时Q最小值，整体距离最小
Q ( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 ( yn bxn a)2
1、两个变量之间的相关关系的含义
n
n
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.
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系．如果 已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料 熔化完毕 到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：
x(0.0 10 18 19 17 14 13 15 19 20 12 1%) 4 0 0 7 7 4 0 1 4 1 y(分 10 20 21 18 15 13 17 20 23 12 钟) 0 0 0 5 5 5 0 5 5 5
＝ bx ＋ a 近 似 表 示 的 相 关 关 系 ， 叫 做 线
探究：相关关系与函数关系有什么异同点？
提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系，事
实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机 变量的关系． ②函数关系是一种因果关系ห้องสมุดไป่ตู้而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随 关系．
【例1】 5名学生的化学和生物成绩(单位：分)如下表.
画出散点图，并判断它们是否有相关关系．
学科
学 生A B C D E
化学 80 75 70 65 60
生物 70 65 68 64 62
思路点拨：涉及两个变量：化学成绩与生物成绩，可以以化学成绩为自变量， 考察因变量生物成绩的变化趋势． 解：以x轴表示化学成绩，y轴表示生物成绩，可得相应的散点图如图所示．由 散点图可见，两者之间具有相关关系．
变式1：在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资 料如表：
根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关
关 系．
身高 14 15 15 17 16 17 17 16 16 16 (cm) 3 6 9 2 5 1 7 1 4 0
体重 (kg) 41 49 61 79 68 69 74 69 68 54
线性回归方程
会作两个变量的散点图，会利用散点图认识两个变量间的相关关系/了解最小 二乘法的思想，能建立线性回归方程/了解独立性检验的基本思想、方法及初 步应用/了解回归的基本思想、方法及初步应用
【命题预测】
1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据并作出散点图，直观认识变量间 的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．能利用列 联表进行独立性检验．
验． ❖一般地，由公式计算出样本的相关系数r查表得到相应的临界值ra，比较|r|与ra 的大小．若|r|≥ra，就认为x与y线性相关显著；若|r|＜ra，就认为在显著水平a下， x与y线性相关不显著．
1．相关关系
(1)相关关系：相关关系：是指变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表 达．
(2) 线 性 相 关 关 系 ： 能 用 直 线 方 程 性 相关关系 ．
2．高考在考查这一部分内容时一般以应用题的形式出现，并且体现统计知识的 综合应用．而线性回归和独立性检验都要对数据进行统计和分析，因此，这一部
分知识在考查时一般都会以图表的形式出现，以现实生活中的例子为背景，对某 些实际问题进行理性的分析．
3．高考一般在这一部分尽量减小运算难度，主要在对图表的认识和分析上出 题．题目以填空题的形式为主，属于小题中的中等难度的题目，主要考查考生对
【知识拓展】 相关系数的性质：
(1)|r|≤1. (2)当|r|越接近于1时，相关程度越大．特殊地，r＝1时，n个点在同一直线上，当 |r|越接近于0时，相关程度越小． (3)|r|的大小反映了x与y之间的线性关系的强弱，相关系数|r|至少大到什么程度才 可以认为x和y的线性关系是显著的呢？这就需要进行显著性检验，即相关性检
2．线性回归方程 一般地，设有n对观察数据如下：
x x1 x2 x3 … xn y y1 y2 y3 … yn
当a，b使Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2取得最小值时， 就称方程 ＝bx＋a为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直当a， b使Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2取得最小值时，就称 方程 ＝
解：以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示： 由散点图可知，两者之间具有相关关系．
回归直线方程在现实生活与生产中有着广泛的应用．应用回归直线方程可以把 非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对实际情况进 行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强应用回归直线方程解决 相关实际问题的意识．
【例2】 一机器可以按各种不同的速度运转，其生产的物件有一些会有问题，每 小时生产有问题物件的多少随机器运转的速度而变化，下表即为其试验结果.
速度(rad/s)
8 12 14 16
每小时生产有问题
物件数
5 8 9 11
(1)求出两变量间的回归直线方程；
(2)若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为10，那么，机器的速度不得
1．观察两相关变量得如下数据：
x：－1，－2，－3，－4，－5, 5, 3, 4, 2, 1；
y：－9，－7，－5，－3，－1, 1, 5, 3, 7, 9.
求两变量间的回归方程．
分析：按照求回归方程的方法，先设方程为＝bx＋a，再确定b，a的
值．求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a，b，由于求a，b的计算
超过每秒多少转？
思路点拨：先把题中的量用回归分析的专用术语改写，再用回归分析的一般 步骤解题．
解：(1)用x来表示机器的运转速度，y表示每小时生产有问题的物件数，那 么4个样本数据为：(x1，y1)＝(8,5)，(x2，y2)＝(12,8)，(x3，y3)＝(14,9)，(x4， y4) ＝ (16,11) ， 则 ＝ 12.5 ， ＝ 8.25 ， 所 以 ， 回 归 直 线 的 斜 率 为 b ＝ ＝0.728 6，
①正方体的棱长与体积；②单位面积产量为常数时，土地面积与产量；
③日照时间与水稻的亩产量；④电压一定时，电流与电阻．
解析：①②④中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系，③中
的两个变量是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产
量．
答案：③
2．已知回归方程为 ＝0.50x－0.81，则x＝25时， 的估计值为________．
图表及实际问题的分析能力，体现学以致用的数学价值，增强考生对学习数学的 兴趣．
【应试对策】
1．对相关关系的理解要注意以下几点：(1)不能把相关关系等同于函数关系；(2) 相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系；(3)如何判断相关关系，统计
学发挥着重要作用，由于变量之间的相关关系带有不确定性，就需要收集大量的 数据，对数据进行统计分析，发现规律，然后才能作出科学的判断；(4)相关关 系是进行回归分析的基础．
解析：把x＝25代入 ＝0.50x－0.81，得 ＝11.69.
答案：11.69
3．(盐城市调研)某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计 了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃) 18 13 10 －1
用电量
(度) 24 34 38 64
由表中数据得线性回归方程 ＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用
2．若要考查变量a(随机变量)与b(非随机变量)的相关性，则b为因变量，a为 自变量，画散点图时，自变量在x轴上，因变量在y轴上．统计中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱：
(1)|r|≤1，相关程度大；(2)|r|→1，相关程度大；(3)|r|→0，相关程度小．
对于回归分析的步骤可以记忆为：分析建方程，预报看结果，误差看效 果．相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的直线关系，并判断其密切 程度的统计方法．相关系数没有单位，在－1～＋1范围内变动，其绝对值愈接 近1，两个变量间的相关愈密切，其绝对值愈接近0，两个变量间的相关愈不密 切．相关系数若为正，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；若为负， 表示一变量增加、另一变量减少，即方向相反，但它不能表达直线以外(如各 种曲线)的关系．
2．求回归直线方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计 算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意回归直线方程中 一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同)．
3．判断两个变量是否具有线性相关时，可以从散点图判断，也可以求出相关 系数r进行判断.
【例3】 (本小题满分14分)炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多 少直接 影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关
bx＋a为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称 为 回归直线 ．线性回归方程 ＝bx＋a中的系数a，b可以用下面的公式计
算．
3．相关系数
(1)相关系数
(2)性质：①|r|≤1.②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强．
③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱．
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是________(填序号)．
(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？
(2)求回归方程；
(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？ 规范解答：(1)可作散点图如图所示：
由图可知它们呈线性相关关系. .…… 6分
(2) ＝159.8， ＝172，
……8分
b＝
≈1.267.
a＝ －b ＝172－1.267×159.8≈－30.47. ∴ ＝1.267x－30.47. .…… 10分 (3)把x＝160代入得y＝172.25(分钟)， 预测当钢水含碳量为160时，应冶炼172.25分钟.……14分
分)之间有如下数据：x：24,15,23,19,16,11,20,16,17,13；y：
92,79,97,89,64,47,83,68,71,59.
某同学每周用于数学学习的时间为18 h，试预测该生的数学成绩．
x(0.0 10 18 19 17 14 13 15 19 20 12 1%) 4 0 0 7 7 4 0 1 4 1 y(分 10 20 21 18 15 13 17 20 23 12 钟) 0 0 0 5 5 5 0 5 5 5
＝ bx ＋ a 近 似 表 示 的 相 关 关 系 ， 叫 做 线
探究：相关关系与函数关系有什么异同点？
提示：相同点：两者均是指两个变量的关系． 不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系，事
实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机 变量的关系． ②函数关系是一种因果关系ห้องสมุดไป่ตู้而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随 关系．
【例1】 5名学生的化学和生物成绩(单位：分)如下表.
画出散点图，并判断它们是否有相关关系．
学科
学 生A B C D E
化学 80 75 70 65 60
生物 70 65 68 64 62
思路点拨：涉及两个变量：化学成绩与生物成绩，可以以化学成绩为自变量， 考察因变量生物成绩的变化趋势． 解：以x轴表示化学成绩，y轴表示生物成绩，可得相应的散点图如图所示．由 散点图可见，两者之间具有相关关系．
变式1：在某地区的12～30岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资 料如表：
根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关
关 系．
身高 14 15 15 17 16 17 17 16 16 16 (cm) 3 6 9 2 5 1 7 1 4 0
体重 (kg) 41 49 61 79 68 69 74 69 68 54
线性回归方程
会作两个变量的散点图，会利用散点图认识两个变量间的相关关系/了解最小 二乘法的思想，能建立线性回归方程/了解独立性检验的基本思想、方法及初 步应用/了解回归的基本思想、方法及初步应用
【命题预测】
1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据并作出散点图，直观认识变量间 的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．能利用列 联表进行独立性检验．
验． ❖一般地，由公式计算出样本的相关系数r查表得到相应的临界值ra，比较|r|与ra 的大小．若|r|≥ra，就认为x与y线性相关显著；若|r|＜ra，就认为在显著水平a下， x与y线性相关不显著．
1．相关关系
(1)相关关系：相关关系：是指变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表 达．
(2) 线 性 相 关 关 系 ： 能 用 直 线 方 程 性 相关关系 ．
2．高考在考查这一部分内容时一般以应用题的形式出现，并且体现统计知识的 综合应用．而线性回归和独立性检验都要对数据进行统计和分析，因此，这一部
分知识在考查时一般都会以图表的形式出现，以现实生活中的例子为背景，对某 些实际问题进行理性的分析．
3．高考一般在这一部分尽量减小运算难度，主要在对图表的认识和分析上出 题．题目以填空题的形式为主，属于小题中的中等难度的题目，主要考查考生对
【知识拓展】 相关系数的性质：
(1)|r|≤1. (2)当|r|越接近于1时，相关程度越大．特殊地，r＝1时，n个点在同一直线上，当 |r|越接近于0时，相关程度越小． (3)|r|的大小反映了x与y之间的线性关系的强弱，相关系数|r|至少大到什么程度才 可以认为x和y的线性关系是显著的呢？这就需要进行显著性检验，即相关性检
2．线性回归方程 一般地，设有n对观察数据如下：
x x1 x2 x3 … xn y y1 y2 y3 … yn
当a，b使Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2取得最小值时， 就称方程 ＝bx＋a为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直当a， b使Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2取得最小值时，就称 方程 ＝
解：以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示： 由散点图可知，两者之间具有相关关系．
回归直线方程在现实生活与生产中有着广泛的应用．应用回归直线方程可以把 非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对实际情况进 行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强应用回归直线方程解决 相关实际问题的意识．
【例2】 一机器可以按各种不同的速度运转，其生产的物件有一些会有问题，每 小时生产有问题物件的多少随机器运转的速度而变化，下表即为其试验结果.
速度(rad/s)
8 12 14 16
每小时生产有问题
物件数
5 8 9 11
(1)求出两变量间的回归直线方程；
(2)若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为10，那么，机器的速度不得
1．观察两相关变量得如下数据：
x：－1，－2，－3，－4，－5, 5, 3, 4, 2, 1；
y：－9，－7，－5，－3，－1, 1, 5, 3, 7, 9.
求两变量间的回归方程．
分析：按照求回归方程的方法，先设方程为＝bx＋a，再确定b，a的
值．求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a，b，由于求a，b的计算
超过每秒多少转？
思路点拨：先把题中的量用回归分析的专用术语改写，再用回归分析的一般 步骤解题．
解：(1)用x来表示机器的运转速度，y表示每小时生产有问题的物件数，那 么4个样本数据为：(x1，y1)＝(8,5)，(x2，y2)＝(12,8)，(x3，y3)＝(14,9)，(x4， y4) ＝ (16,11) ， 则 ＝ 12.5 ， ＝ 8.25 ， 所 以 ， 回 归 直 线 的 斜 率 为 b ＝ ＝0.728 6，
①正方体的棱长与体积；②单位面积产量为常数时，土地面积与产量；
③日照时间与水稻的亩产量；④电压一定时，电流与电阻．
解析：①②④中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系，③中
的两个变量是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产
量．
答案：③
2．已知回归方程为 ＝0.50x－0.81，则x＝25时， 的估计值为________．
图表及实际问题的分析能力，体现学以致用的数学价值，增强考生对学习数学的 兴趣．
【应试对策】
1．对相关关系的理解要注意以下几点：(1)不能把相关关系等同于函数关系；(2) 相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系；(3)如何判断相关关系，统计
学发挥着重要作用，由于变量之间的相关关系带有不确定性，就需要收集大量的 数据，对数据进行统计分析，发现规律，然后才能作出科学的判断；(4)相关关 系是进行回归分析的基础．
解析：把x＝25代入 ＝0.50x－0.81，得 ＝11.69.
答案：11.69
3．(盐城市调研)某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计 了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃) 18 13 10 －1
用电量
(度) 24 34 38 64
由表中数据得线性回归方程 ＝bx＋a中b＝－2，预测当气温为－4℃时，用
2．若要考查变量a(随机变量)与b(非随机变量)的相关性，则b为因变量，a为 自变量，画散点图时，自变量在x轴上，因变量在y轴上．统计中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱：
(1)|r|≤1，相关程度大；(2)|r|→1，相关程度大；(3)|r|→0，相关程度小．
对于回归分析的步骤可以记忆为：分析建方程，预报看结果，误差看效 果．相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的直线关系，并判断其密切 程度的统计方法．相关系数没有单位，在－1～＋1范围内变动，其绝对值愈接 近1，两个变量间的相关愈密切，其绝对值愈接近0，两个变量间的相关愈不密 切．相关系数若为正，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；若为负， 表示一变量增加、另一变量减少，即方向相反，但它不能表达直线以外(如各 种曲线)的关系．
2．求回归直线方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计 算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意回归直线方程中 一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同)．
3．判断两个变量是否具有线性相关时，可以从散点图判断，也可以求出相关 系数r进行判断.
【例3】 (本小题满分14分)炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多 少直接 影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关
bx＋a为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称 为 回归直线 ．线性回归方程 ＝bx＋a中的系数a，b可以用下面的公式计
算．
3．相关系数
(1)相关系数
(2)性质：①|r|≤1.②|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强．
③|r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱．
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是________(填序号)．
(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？
(2)求回归方程；
(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？ 规范解答：(1)可作散点图如图所示：
由图可知它们呈线性相关关系. .…… 6分
(2) ＝159.8， ＝172，
……8分
b＝
≈1.267.
a＝ －b ＝172－1.267×159.8≈－30.47. ∴ ＝1.267x－30.47. .…… 10分 (3)把x＝160代入得y＝172.25(分钟)， 预测当钢水含碳量为160时，应冶炼172.25分钟.……14分
分)之间有如下数据：x：24,15,23,19,16,11,20,16,17,13；y：
92,79,97,89,64,47,83,68,71,59.
某同学每周用于数学学习的时间为18 h，试预测该生的数学成绩．