线性回归方程的求法(需要给每个人发)
2025高考数学一轮复习-9.1.2-线性回归方程【课件】
(3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出). 根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概 率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千 件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料 成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选 择100元还是90元，请说明理由.
因为 y ＝3860＝45，
8
uiyi－8 u y
i＝1
所以b^ ＝
8
u2i －8 u 2
i＝1
＝1831..45－ 3－8×8×0.03.411×545＝06.611＝100，
则a^ ＝ y －b^ u ＝45－100×0.34＝11， 所以y^ ＝11＋100u， 所以 y 关于 x 的回归方程为y^＝11＋10x0.
三、非线性回归问题
知识梳理
解非线性回归分析问题的一般步骤 有些非线性回归分析问题并不给出函数，这时我们可以根据已知数据 画出散点图，与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图 象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量 进行变换，把问题转化为线性回归分析问题，使之得到解决.
n
v2i －n
v
2
i＝1
i＝1
解 ①当产品单价为100元，设订单数为m千件，因为签订9千件订单的 概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2， 所以E(m)＝9×0.8＋10×0.2＝9.2， 所以企业利润为 100×9.2－9.2×190.20＋21＝626.8(千元). ②当产品单价为90元，设订单数为n千件， 因为签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7， 所以E(n)＝10×0.3＋11×0.7＝10.7，
Excel关于求解一元及多元线性回归方程 图解详细
Excel求解一元线性回归方程步骤(图解详细)1．开始－程序－Microsoft Excel，启动Excel程序。
2．Excel程序启动后，屏幕显示一个空白工作簿。
3．选定单元格，在单元格内输入计算数据。
4．选中输入数据，点击“图表向导”按钮。
5．弹出图表向导对话窗，点击XY散点图，选择平滑线散点图，点击下一步。
6．选择系列产生在：列，点击下一步。
7．在图表标题中输入“硝基苯标准曲线”，数值（X）轴输入“硝基苯浓度”，数值（Y）轴输入“HPLC峰面积”。
此外还可以点击“坐标轴”，“网格线”，“图例”，“数据标志”下拉菜单，对其中选项进行选择。
8．点击完成后，即可得到硝基苯的标准曲线图。
9．将鼠标移至图表工作曲线上，单击鼠标右键，选择“添加趋势线”。
10．在“类型”选项中选择“线性”，“选项”中选择“显示公式”，“显示R平方值”，单击确定。
11．单击确定后即可得到附有回归方程的一元线性回归曲线。
12．至此，利用“图表向导”制作回归方程的操作步骤完毕。
利用Excel中“图表向导”制作标准曲线，使用者仅需按照向导说明填入相关信息即可完成图表的制作。
方法简单，适合对Excel了解不多的人员，如果你对Excel函数有一定的了解，那么你可以利Excel函数编制程序完成回归方程的计算。
4.4.2.2通过编制Excel程序计算一元线性回归方程1．打开一个新工作簿，以“一元线性回归方程”为文件名存盘。
2．单击插入，选择名称－定义。
3．在弹出的“定义名称”对话窗中“名称”栏输入“a”，“引用位置”栏输入“＝$E$4”，然后按“添加”按钮；再在“名称”栏输入“b”，“引用位置”栏输入“＝$E$3”，按“添加”按钮，依次输入下列内容，最后单击确定。
“名称”栏输入内容“引用位置”栏输入内容a =$E$4b =$E$3f =$G$4n =$G$3rf =$G$6rxy =$E$5x =$A$3:$A$888y =$B$3:$B$888aa=$G$2yi1 =$E$12yi2 =$E$134．完成命名后，在相关单元格内输入下列程序内容。
回归直线方程r的求法
回归直线方程r的求法
在统计学和数据分析中，回归分析是一种用来研究变量之间关
系的方法。
其中，线性回归是最简单和最常用的一种回归分析方法。
线性回归的目标是找到一条直线，使得这条直线能够最好地拟合观
测到的数据点。
求解回归直线方程r的方法通常涉及以下步骤：
1. 收集数据，首先需要收集相关的数据，包括自变量（X）和
因变量（Y）的数值。
这些数据可以通过实验、观测或调查获得。
2. 绘制散点图，将收集到的数据绘制成散点图，以便直观地观
察自变量和因变量之间的关系。
3. 确定回归方程，线性回归的目标是找到一条直线，使得所有
数据点到这条直线的距离之和最小。
这可以通过最小二乘法来实现，即通过最小化残差平方和来确定回归方程的系数。
4. 求解回归直线方程，一旦确定了回归方程的系数，就可以得
到回归直线方程r。
一般来说，回归直线方程r的一般形式为，Y =
aX + b，其中a和b分别为回归方程的系数。
5. 拟合直线，最后一步是将回归直线方程r拟合到散点图上，以便评估回归方程对数据的拟合程度。
通过以上步骤，我们可以求解回归直线方程r，并用这条直线来描述自变量和因变量之间的关系。
这样的回归分析可以帮助我们理解变量之间的关系，并用于预测和决策制定。
高中线性回归方程的求法及应用
高中线性回归方程的求法及应用作者：胡霞来源：《新课程·中学》2017年第10期摘要：高中线性回归方程主要是一元线性回归方程，是高中学习的重难点和高考的热门考点之一，同时在平常的生活中也有广泛的应用，因此了解其求法以及应用是非常有必要的，在北师大版高中数学选修1-2中第一章第一小节重点讲述了线性回归方程的具体分析，说明了线性回归方程的解法一般是利用最小二乘法。
关键词：回归方程；高中数学；最小二乘法一、高中线性回归方程学习的重要性高中线性回归方程是一个变量和另外一个变量之间不确定性的关系，比如父母的身高与孩子的身高，食物中所含的脂肪和热量等，中间都是有一些关系的，但这些关系是不确定性的，就像是农作物的收成和栽培方式或者和施肥量之间的关系，可以说后面两者对农作物的收成有一定的影响，但并不是唯一的影响，这种影响也是不确定的，所以在研究的时候运用线性回归方程找出中间的关系，并算出相应的结果是非常重要的。
[1]除此之外，线性回归方程也是高中学习的一大难点，对于高中生来说，掌握线性回归方程可以了解更多的解题思路。
二、高中线性回归方程的求法最小二乘法是高中数学必修课中的内容，因此在讲解线性回归方程的时候，学生应该基本了解了最小二乘法，而北师大版高中数学选修1-2中第一章第一小节例1则充分讲述了如何使用最小二乘法对线性回归方程进行求解。
例题如下：始祖鸟是一种已经灭绝的动物，在一次考古活动中，科学家发现始祖鸟的化石标本共6个，其中5个同时保有股骨（一种腿骨）和肱骨（上臂的骨头）。
科学家检查了这5个标本股骨和肱骨的长度，得到了如表1的数据：之后抛出了两个题目，第一个是求出肱骨长度y对股骨长度x的线性回归方程，第二个是根据已知股骨长度是50cm求肱骨长度。
其实，这一道题最为重要的是第一题，只要线性回归方程求出来，第二题也便迎刃而解。
首先从表格不难看出随着股骨长度的增长，肱骨的长度也是随之增长的，有了这样一个基础，再假设y=a+bx，要求a、b的值，就得使得n个点与直线的距离平方和最小，这里就使用到了最小二乘法的思路。
1.1线性回归方程的求法
和b 就是未知参数a和b的最好估计， 根据最小二乘法估计a
i xi 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
制表
yi
xi y i x i2
2 ， x i i=1 n
x
， y
， xi yi
i=1
n
.
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。
1 编号 身高/cm 165 体重/k一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。 根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。 虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此， X和Y之间存在一种相关关系。 一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身 高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈 的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。
x y nx y
i i
探究P4：
y 0.849 72 85.712 60.316(kg)
探究P4： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 如果不是，你能解析一下原因吗？
施化肥量x 15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y 330 345 365 y
500 450 400 350 300 10
405 445
450 455
散点图
水稻产量
··
20
·
·
· · ·
施化肥量
30 40 50
x
探索2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？ 发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。
高中数学线性回归方程.ppt
解
(1)数据对应的散点图如图所示．
5 5 15 2 (2) x ＝ xi＝109，lxx＝ i＝1 (xi－ x ) ＝1 570， y ＝23.2，lxy＝ i＝1 (xi 5i＝1
－ x )(yi－ y )＝308， ^x＋a ^， 设所求回归直线方程为^ y＝b lxy 308 308 ^ 则b＝ ＝ ≈0.196 2 ， a ＝ y － b x ＝ 23.2 － 109× lxx 1 570 1 570 ≈1.816 6. 故所求回归直线方程为^ y＝0.196 2x＋1.816.6. (3)据(2)，当 x＝150 m2 时，销售价格的估计值为： ^ y＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．
提示 不是．有些变量间的相关关系是非线性相关的． 2．散点图只描述具有相关关系的两个变量所对应点的图形吗？
提示 不是．两个变量统计数据所对应的点的图形都是散点图．
名师点睛
1．相关关系与函数关系的异同点
函数关系 相关关系
关系 异同点 相同点
两者均是指两个变量之间的关系
是一种确定性关系
是一种非确定的关系
【变式3】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和新房屋 的面积x的数据： 新房屋面积(m2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元) 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(3)据(2)的结果估计当新房屋面积为150 m2时的销售价格．
x 3 4 y 2.5 3 (1)请画出上表数据的散点图； 5 4 6 4.5
(2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y关于x的线性 回归方程；
(整理)两个变量间的线性相关及回归方程的求法专题.
两个变量间的线性相关及回归方程的求法专题一、如何认识两个变量间的相关关系相关关系我们可以从以下三个方面加以认识：（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S与边长x之间的关系2xS 就是函数关系．即对于边长x的每一个确定的值，都有面积S的惟一确定的值与之对应．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如人的身高与年龄；商品的销售额与广告费等等都是相关关系．（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如有人发现，对于在校儿童，身高与阅读技能有很强的相关关系．然而学会新词并不能使儿童马上长高，而是涉及到第三个因素——年龄，当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大身高也会高些．（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化．例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性．而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计．相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况．因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还可使我们对函数关系的认识上升到一个新的高度．二、如何判断两个变量线性相关关系1、利用变量相关关系的概念利用变量相关关系的概念判断时，一般是看当一个变量的值一定时，另一个变量是否带有确定性，两个变量之间的关系具有确定关系－－函数关系；两个变量之间的关系具有随机性，不确定性－－相关关系。
例1、在下列各个量与量的关系中：①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的收入与支出之间的关系；⑤某户家庭用电量与水费之间的关系。
线 性 回 归 方 程 推 导
线性回归方程推导理论推导机器学习所针对的问题有两种：一种是回归，一种是分类。
回归是解决连续数据的预测问题，而分类是解决离散数据的预测问题。
线性回归是一个典型的回归问题。
其实我们在中学时期就接触过，叫最小二乘法。
线性回归试图学得一个线性模型以尽可能准确地预测输出结果。
?先从简单的模型看起：?首先，我们只考虑单组变量的情况，有：?使得?假设有m个数据，我们希望通过x预测的结果f(x)来估计y。
其中w和b都是线性回归模型的参数。
?为了能更好地预测出结果，我们希望自己预测的结果f(x)与y 的差值尽可能地小，所以我们可以写出代价函数（cost function）如下：?接着代入f(x)的公式可以得到：?不难看出，这里的代价函数表示的是预测值f(x)与实际值y之间的误差的平方。
它对应了常用的欧几里得距离简称“欧氏距离”。
基于均方误差最小化来求解模型的方法我们叫做“最小二乘法”。
在线性回归中，最小二乘法实质上就是找到一条直线，使所有样本数据到该直线的欧式距离之和最小，即误差最小。
?我们希望这个代价函数能有最小值，那么就分别对其求w和b的偏导，使其等于0，求解方程。
?先求偏导，得到下面两个式子：?很明显，公式中的参数m，b，w都与i无关，简化时可以直接提出来。
?另这两个偏导等于0：?求解方程组，解得：?这样根据数据集中给出的x和y，我们可以求出w和b来构建简单的线性模型来预测结果。
接下来，推广到更一般的情况：?我们假设数据集中共有m个样本，每个样本有n个特征，用X矩阵表示样本和特征，是一个m×n的矩阵：?用Y矩阵表示标签，是一个m×1的矩阵：?为了构建线性模型，我们还需要假设一些参数：?（有时还要加一个偏差（bias）也就是，为了推导方便没加，实际上结果是一样的）好了，我们可以表示出线性模型了：?h(x)表示假设，即hypothesis。
通过矩阵乘法，我们知道结果是一个n×1的矩阵。
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耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用
第一公式：线性回归方程为ˆˆˆy
bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n =
+++⋅⋅⋅+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n
=+++⋅⋅⋅+ （3） 求变量x 的系数ˆb
，有两个方法 法112
1()()ˆ()n
i i
i n i
i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=⎡⎤-+-++-⎣⎦
（需理解并会代入数据） 法21
2
1()()ˆ()n
i i
i n i
i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx
++-⋅=⎡⎤+++-⎣⎦（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数ˆa ，既ˆˆa y bx =- 最后写出写出回归方程ˆˆˆy
bx a =+。
可以改写为：ˆˆy bx a =-（ˆy y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据：
求y 与x 的回归方程：
解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x =
+++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44
y =+++= （3）求变量x 的系数ˆb
，有两个方法
法1ˆb = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=⎡⎤-+-+-+-⎣⎦--+--+--+--==⎡⎤-+-+-+-⎣⎦
法2ˆb =[][]11222222222212...011325374 1.5457
...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-⋅⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==⎡⎤⎡⎤+++-+++⎣⎦⎣⎦ (4)求常数ˆa ，既525ˆˆ4 1.577a y bx =-=-⨯= 最后写出写出回归方程525ˆˆˆ77y
bx a x =+=+
第二公式：独立性检验
两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。
数
据b 具有两个属性1x ，2y 。
数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。
解题步骤如下
第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关）
第二步：列出上述表格
第三步：计算检验的指标 22
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++
2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50
例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50
上述结论都是概率性总结。
切记事实结论。
只是大概行描述。
具体发生情况要和实际联
系！！！！。