电容电压的连续性质和记忆性质
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常用二端口原件总结
常用二端口元件及其性质班级：12通信（2班）姓名：刘畅学号：1205022037二端口原件定义一些元件都有两个外接引出端子，统称为二端元件。
理想二端元件分为无源二端元件和有源二端元件两大类。
其中无源二端元件有：电阻、电感、电容等。
有源二端元件有：独立电压源、独立电流源。
1 电阻1.1 电阻定义电阻器在日常生活中一般直接称为电阻。
是一个限流元件，将电阻接在电路中后，电阻器的阻值是固定的一般是两个引脚，它可限制通过它所连支路的电流大小。
1.2 电阻性质1.2.1 电阻的基本性质由姆定律I=U/R的推导式R=U/I或U=IR不能说导体的电阻与其两端的电压成正比，与通过其的电流成反比，因为导体的电阻是它本身的一种性质，取决于导体的长度、横截面积、材料和温度，即使它两端没有电压，没有电流通过，它的阻值也是一个定值。
（这个定值在一般情况下，可以看做是不变的，因为对于光敏电阻和热敏电阻来说，电阻值是不定的。
对于一般的导体来讲，还存在超导的现象，这些都会影响电阻的阻值，也不得不考虑。
）导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比。
1.2.2 电阻的单位简称欧（Ω1Ω定义为：当导体两端电势差为１伏特（ν），通过的电流是1安培（Α）时，它的电阻为1欧（Ω）。
1.2.3 温度对电阻的影响一个导体的电阻R不仅取决于导体的性质，它还与工作点的温度（t°C）有关。
对于有些金属、合金和化合物，当温度降到某一临界温度t°C时，电阻率会突然减小到无法测量，这就是超导现象。
导体的电阻与温度有关。
一般来说，金属导体的电阻会随温度升高而增大，如电灯泡中钨丝的电阻。
半导体的电阻与温度的关系很大，温度稍增加电阻值即会减小很多。
通过实验可以找出电阻与温度变化之间的关系，利用电阻的这一特性，可以制造电阻温度计（通常称为“热敏电阻温度计”）。
2 电感2.1 电感的定义电感器是能够把电能转化为磁能而存储起来的元件。
电路分析基础教案(第5章) 2
§5-2 电容的VCR 例题：电路如图所示，电压源电压为三角波形， 求电容电流i（t）。
0 0.5 1 1.5 -100 解：在关联参考方向时，i=C（du/dt）， 在0≤t≤0.25ms期间， i=1×10-6×[(100-0)/(0.25×10-3-0)=0.4A；
35
i(t) + C= u(t) 1 μ F -
100
u/V t/ms
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§5-2 电容的VCR u/V
100 0 -100
t/ms 0.5 1 1.5
在0.25≤t≤0.75ms期间， i=1×10-6×[(-100-100)/(0.75×10-30.25×10-3)] =-0.4A；
36
§5-2 电容的VCR
100 0 -100
0.4
u/V
§5-1 电容元件
3、电容元件特点 线性电容有如下特点： （1）双向性 库伏特性是以原点对称，如图所示，因此与 端钮接法无关。 斜率为C q/C C u/V
0
18
§5-1 电容元件 （2）动态性 若电容两端的电压是直流电压U，则极板上的 电荷是稳定的，没有电流，即：I=0。
电容相当于断 路（开路），所 以电容有隔断直 流作用。
8
第五章 电容元件与电感元件 电阻电路在任意时刻t的响应只与同一时刻的 激励有关，与过去的激励无关。 因此，电阻电路是“无记忆”，或是说“即 时的”。 与电阻电路不同，动态电路在任意时刻t的响 应与激励的全部过去历史有关。 因此，动态电路是“有记忆”的。
9
第五章 电容元件与电感元件
本章主要内容： 动态元件的定义； 动态元件的VCR； 动态电路的等效电路； 动态电路的记忆、状态等概念。
第五章 电容元件与电感元件.
1 2
Li2
1 ψ2 2L
结论
(1) 元件方程是同一类型；
(2) 若把 u-i，q- ，C-L互换,可由电容元件
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件, 、q等称为对偶
元素。
电容器和电感器的模型
电容器模型（按照近似程度分） 0 级模型：不考虑损耗和产生的磁场。 I 级模型：考虑损耗不考虑产生的磁场。 II级模型：考虑损耗和产生的磁场。
i
i dq
dt
+
+ dq =Cduc
uc
C
–
–
i C duc dt
uc(
t
)
1 C
t
i
t
dt
uc
(
t
0
)
1 C
t
t 0
i
t
dt
例 5-1 5-2
2. 线性电容的充、放电过程
u,i i u
o
ωt
i ii i
+ u
+u
u
u
- -++
(1) u>0，du/dt>0，则i>0，q , 正向充电(电流流向正极板)；
1 2
Li 2 (t 2)
1 2
Li 2 (t1)
wL( t2 ) wL( t1 )
wL ( t 2 ) wL ( t1 )元件充电，吸收能量
wL ( t 2 ) wL ( t1 )元件放电，释放能量
五、电感电流不能跃变（连续性）
电感 L 储存的磁场能量
wL
电感的伏安关系
电路分析基础——第二部分：6-6
1/5
6-6 电感的伏安关系
虽然电感是根据 —i 关系来定义的，如（6-15）式所示， 但在电路分析中，我们感兴趣的往往是元件的 VAR。
设电感如图6-14所示，当通过电感的电流变化时，磁链也 发生变化，根据电磁感应定律，电感两端产生感应电压；当电
流不变时，磁链不变，此时有电流但没电压。当电压与磁链参
t
u()d
t0
= i(t0) +
1 L
t
u()d
t0
t ≥ t0
（6-19）
电路分析基础——第二部分：6-6
4/5
（6-18）式告诉我们：在某个时刻 t 电感电流 i 的数值并不取决
于该时刻电压 u 的值，而是取决于从– 到 t 所有时刻的电压值，
也就是说与电压全部过去历史有关。 i(t) = 1 t u()d = (t)
电流来反映。
i(t) =
i(t0)+
1 L
t
u()d
t0
t ≥ t0
也就是说：某一时刻 t 时的电感电流 i(t) 取决于初始电流 i(t0)以
及在[t0，t] 区间所有的电压u(t)的值。
电路分析基础——第二部分：6-6
5/5
（6-17）式必须在 u、i 为关联参考方向时才能使用，这样 才能真正反映楞次定律——感应电动势试图阻止磁通的变化。
di(t) u(t) = – L
dt
电感的以上这种特性与电阻、电容元件完全不同，电阻是 有电压一定有电流，电容是电压的变化才能有电流；电感则是 电流变化才有电压。
（6-17）式表明：在某一时刻电感的电压取决于该时刻电感电 流的变化率。如果电流不变，那么 di /dt = 0 ，虽有电流，但电 压为零，因此，电感有通直流、阻交流的作用。
电工学 电容,电感元件
4 2
iS/A
2
W / J
4 6 （b）
8
t/s
由题意知L=2H,故电感上的储能为:
16
t0 0 2 4t 0 t 2 1 2 2 w(t ) li 4t 64t 256 2 2t 8 9 9 9 0 t 8
2
4
6
8
（
e ）
例4-4 图所示电路,t<0时开关K闭合，电路已达到稳态。 t=0时刻，打开开关K, 球初始值il(0+), Uc(0+), i(0+), ic(0+), UL(0+)的值。
㈣电容的单位
在国际单位制中，电容C的单位为法拉 （F），但因法拉这个单位太大，所以 通常采用微法（μF）或皮法（pF）作 为电容的单位，其换算关系为
1F 10 F，
6
1F 10 pF
6
㈤电容的伏安关系 设电容上流过电流与其两端电压为关联参 考方向，如图所示，则根据电流的定义有
dq(t ) i(t ) dt
所以
1 1 uc (1) uc (0) ic (t )dt C 0
1 1 V 0 5tdt 1.25 2 0
10 0 -10
iC/A
t/s
1
2
3
4
5
（b）
1 4 uc (4) uc (0) ic (t )dt C 0
1 2 1 4 5tdt (10)dt 2 0 2 0
u(t ) u(t )
(4-4)
等式两边分别为电容电压在t时刻左右极限值.上 式说明在 t 和 t 时刻电压值是相等的。在动态 电路分析中常用这一结论，并称之为“换路理 论”。
第三章 动态电路
无源元件
+ uC –
u/V
5V
iC 例：已知C=2F两端电压波形如下, C 求iC(t)=?
t/s
0 1 3 4
在0 t 1s时 : ic (t ) 2 5 10 A
在1 t 3s时 : ic (t ) 0
duC 解： iC ( t ) C dt
电容量 耐压值
3.电容的伏安关系 iC
dq( t ) 由于： iC ( t ) dt 而： q( t ) C uC ( t ) duC ( t ) 所以： iC ( t ) C dt
+ uc –
C
注：ic与uc为关联参考方向。
duC ( t ) 当ic与uc非关联时： iC ( t ) C dt
L (t0 ) L (t0 )
qC (t0 ) qC (t0 )
三、电容、电感的串联和并联 1、电容的串联
i C1 C2 + u +u1- +u22、电容的并联 i + u C1 C2 Cn +un+ u –
i Ceq
n 1 1 1 1 1 .... C eq C1 C 2 C 3 k 1 C k
瞬时功率：
diL (t ) p(t ) u L (t ) iL (t ) LiL (t ) dt 贮存的能量：
t t
diL ( ) wL (t ) p( )d L iL ( ) d d 1 2 1 2 Li L (t ) Li L () 2 2 当iL(-∞)=0时，电感吸收的能量为：
1 2 wL (t ) Li L (t ) 2
无源元件
第2章一阶动态电路的过渡过程分析
例
iS
iR
iC
iL
1k
2k
uR 2k
10mA t 0 S
uC
uL
C
L
则t
iS
=01+ 5时m刻i LA,
iuRC
0i,CiCi R10im S A i,Lu
uL
R 5mA
t
uR005Vm,A
10V 0 10umLA0101V 0V uC 10V,
0 10V
t 0 5mA10V 10mA 0 15mA 0
研究暂态过程，是要认识和掌握这种现象的规 律。
一般可以说，数学分析和实验分析是分析暂 态电路的两种方法。本章内容介绍最基本的数学 分析方法，其理论依据是欧姆定律及克希荷夫定 律。
实验分析方法，将在实验课程中应用示波器 等仪器观测暂态过程中各量随时间变化的规律。
重点讨论的问题是：（1）暂态过程随时间变 化的规律；（2）影响暂态过程快慢程度的时间常 数。
C 和L 称为对偶元件。
对偶元素： u i 、 q 、C L等 若把 u i 、 q 、C L等对偶元素 互换,可由电容元
件的关系式得到电感元件的相应关系式
第三节 换路定律
• 换路——指电路因接通、断开、短路以及电压或 电路参数的改变。
不论电路的状态如何发生改变，电路中所具有的 能量是不能突变的。如电感的磁能及电容的电能 分别为 WLL2L i /2和 WC CuC2 /2 都不能突变。 换路定则 设t=0为换路瞬间，则 t=0– 和t=0+ 分别是换路前后的极限时刻。从 t=0– 到 t=0+ 瞬间，电感元件中的电流和电容元件两端的电压 不能突变。可表示为
2.5.1、电感元件(简称电感)的定义：
电容元件及性质
t t0
p()dC t u()dud t0 d
C uu((tt0))udu12C[u2(t)u2(t0)]
若电容的初始储能为零，即u(t0)=0,则任意时刻储存在 电容中的能量为
W(t)1Cu2(t)
C
2
W(t0,t)
t p()dC t u()dud
t0
t0
d
C
uu((tt0))udu12C[u2(t)u2(t0)]
声明：
当 u，i为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号 ;
形式2的进一步说明：
在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压uC(t)为
uC(t)C1
t
iC()d
1 C
0iC()dC1
0tiC()d
uC(0)C1 0tiC()d
(713)
其中 uC(0)C 1 0iC()d 称为电容电压的初始值。
例如，当1s<t<3s时，电
容电流iC(t)=0，但是电容电压 并不等于零，电容上的2V电
压是0<t<1s时间内电流作用的
结果。 定积分也可以用 求面积的方法获
图7-9
练习： 已知流过1F电容上的电 流，求电压
读例题6-1、 6-2
按求面积法 直读
例3 已知电压，求电流i、功率P (t)和储能W (t)
有隔断直流作用；
（3）实际电路中通过电容的电流 i为有限值，则电容电压u
必定是时间的连续函数.
形式2
电容元件VCR 的积分关系
u(t)C 1t idξC 1t0idξC 1tt0idξ
u(t0)C 1tt0idξ
解读：
（1）电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件
电路分析基础讲义ppt课件.ppt
)
1 C
t
i( )d 进行分段积分
t0
uc (t) uc
0.25103
(0)
st
1
C
t
i( ) d 106
0
0.75
103
s
:
t
4000d 2109 t 2(V)
0
uc
(t
)
uc
(0.25
103
t
)
1 C
t
i( ) d
0.2510 3
125 106 (4000 2)d 0.2510 3
u(t2 ) udu
u(t1 )
1 2
C[u2 (t2 )
u 2 (t1)]
wc (t2 ) wc (t1)
结论：t1~t2期间电容储存或释放的能量只与t1、 t2时刻的电压值有关，而与此期间内的 其他电压值无关。
结论
1、电容的储能本质使电容电压具有记忆性 质； 2、电容电流在有界条件下储能不能跃变,使 电容电压具有连续性质。
0
i
2.4 电感(inductance):L 线性电感
单位：亨利（H）W,A
毫亨(mH)，微亨( μ)H
0
i
非线性电感
电感的VCR
关联参考方向：电压的参考方向与磁 链的参考方向符合右手螺旋定则，电
A
i
流的参考方向与磁链的参考方向符合 u
L
右手螺旋定则。
u d L di
B
dt dt 非关联参考方向：u
t
u( ) d
L i(t0 )
1 L
L t0
t
u( ) d
t0
t t0
结论：某一时刻t 的电感电流值取决于其初始值i(t0)
电容的储能
亦即电容 C 在某个时刻 t 的储能只与该时刻的电压有关，即
wC(t) =
1 Cu2(t) 2
（6-14）
（6-14）式即为电容储能公式。电容电压反映了电容的储 能状态。
由上述可知，正是电容的储能本质使电容电压具有了记忆 性质；正是电容电流在有界条件下储能不能跃变，使电容电压 具有连续性质。
如果储能跃变，能量变化的速率即功率 p=dw/dt 将为无穷 大，这在电容电流为有界值时是不可能的。
+100V
能量 wC
0.75
O 0.25
0.5
1
1.25
–100V
wC p(W)
能量 wC
2/5
电压 u
1.5 t(ms)
O
功率 p
t(ms)
从波形图可以看到：功率有时正，有时负，这和电阻的功率
总为正值是大不相同的。
电容功率的特点表明：电容有时吸收功率，有时却又释放功率。
确实，如果考虑到
dw p = dt
电路分析基础——第二部分：6-4
1/5
6-4 电 容 的 储 能
电容是一种储能元件，已如6-1节中描述的那样。本节讨论 电容的储能公式。
我们从电容的功率谈起。由1-2节可知，任何元件都可由该 元件两端的电压 u 与流过的电流 i 的乘积来计算。
若电压、电流是时变的，那么，算得的功率也是时变的。
瞬时功率：每个瞬间的功率称谓瞬时功率，用符号 p 表示。
电容是储能元件，t1 到 t2 期间供给电容的能量是用来改变
电容的储能状况的，因此（6-13）式中的第一项应是表示 t2 时
刻电容的储能，即
wC(t2) =
1 2
Cu2(t2)
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函数。任取一点 t，以 t 和 t+dt 分别作为（6-7）式中积分的上
下限，且ta≤t ≤tb 和 ta≤ t+dt ≤tb，则
uC(t+dt) = uC(t) +
1 C
t+dt
i()d
t
即
uC(t+dt) – uC(t) =
1 C
t+dt
i()d
t
由于 i(t) 在 [ta、tb]内有界，对所有 [ta、tb] 内的 t，必存在
电路分析基础——第二部分：第六章 目录
第六章 电容元件与电感元件
1 电容元件 2 电容的伏安关系 3 电容电压的连续性质
和记忆性质
4 电容的储能 5 电感元件 6 电感的伏安关系
7 电感电流的连续性质和记忆性质 8 电感的储能 电路的状态 9 非线性电容
10 非线性电感 11 电感器和电容器的模型 12 电路的对耦性
当电容电流为无界时就不能运用！
电路分析基础——第二部分：6-3
4/4
i(A) 10
u(V)
20
4
6
8
O
2
t(ms) O 2
4
6
8 t(ms)
–5
从（6-6）式可知：电容电压取决于电流的全部历史，因此，我
们说电容电压有“记忆”电流的性质，电容是一种记忆元件。
我们只知道在某一初始时刻 t0 后作用于电容的电流 情况，
电路分析基础——第二部分：6-3
1/4
6-3 电容电压的连续性质和记忆性质
t
t
电容的VAR
uC =
1 C
i()d = u(t0) +
1 C
i()d
t0
t ≥ t0
反映电容电压的两个重要性质，即连续性质和记忆性质。
设想作用于电容的电流波形如图6-8(a)所示，若u(0)=0， 则不难根据例6-2的方法求得电容电压如图(b)所示。
对以前的电流并不了解，故（6-7）式更有实际意义。
t
u(t) = u(t0) +
1 C
i(t)
i()d = u(t0) + u1(t)
t0
t ≥ t0
（6-7）
+
– i(t)
+ u(t)
+ u(t) U=t0)
+ u1(t)
–
u(t0)=U
–
– u1(t0)=0
具有初始电压U=u(t0)
对应等效电路
一个有限常数M，i(t) < M。
因而在曲线 i(t) 下由 t 轴和上下限所界定的图形面积充其
量为Mdt，且当dt →0时， uC(t+dt) → uC(t) ，亦即 t 处， uC 是 连续的。
（6-8）式常归结为“电容电压不能跃变”，在动态电路 分析中常常用到这一结论，但需注意应用的前提条件。
i(A) 10
u(V) 20
4
6
8
O
2
t(ms) O 2
4
6
8 t(ms)
–5 (a)
(b)
图6-8 1F电容的电流电压波形
电路分析基础——第二部分：6-3
2/4
i(A) 10
u(V) 20
4
6
8
O
2
t(ms) O 2
4
6
8 t(ms)
–5 (a)
(b)
图6-8 1F电容的电流电压波形
十分明显，电容电流波形是不连续的，而电压波形却是连 续的。这是电容电压的连续性质的表现。
电容电压的连续性质描述：
若电容电流在闭区间 [ta、tb]内为有界，则电容电压uC(t)在 开区间 (ta、tb) 内为连续的。特别是，对任何时间 t， ta < t < tb，
uC(t –) = uC(t +)
（6-8）
电路分析基础——第二部分：6-3
3/4
证明 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间的连续