关于积分中值定理的证明(最全)word资料
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勾股定理证明评鉴
勾股定理（又叫「勾股定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！
我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。故此，我在这篇文章中，为大家选出了 7 个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的背境。
证明一
图一
在图一中，D ABC为一直角三角形，其中 Ð A为直角。我们在边 AB、BC和AC之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED和 ACKH。过 A点画一直线 AL使其垂直于 DE并交 DE于 L，交 BC于 M。不难证明，D FBC全等于 D ABD （S.A.S.）。所以正方形 ABFG的面积 = 2 ´ D FBC的面积 = 2 ´ D ABD的面积 = 长方形 BMLD的面积。类似地，正方形 ACKH的面积 = 长方形 MCEL的面积。即正方形 BCED的面积 = 正方形 ABFG的面积 + 正方形 ACKH的面积，亦即是AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。
这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML将正方形分成 BMLD和 MCEL的两个部分！
这个证明的另一个重要意义，是在于它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。
欧几里得（Euclid of Alexandria）约生于公元前 325 年，卒于约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载着以上的一个对勾股定理的证明。
证明二
图二
图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a和 b，则由于大正方形的面积应该等于 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有
(a + b)2= 4(1/2 ab) + c2
展开得a2 + 2ab + b2= 2ab + c2
化简得a2 + b2= c2
由此得知勾股定理成立。
证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：
图三
由面积计算
c2= 4(1/2 ab) + (b - a)2
可得
展开得= 2ab + b2 - 2ab + a2
化简得c2= a2 + b2（定理得证）
图三的另一个重要意义是，这证明最先是由一个中国人提出的！据记载，这是出自三国时代（即约公元 3 世纪的时候）吴国的赵爽。赵爽为《周髀算经》作注释时，在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图，亦即是上面图三的图形了。
证明三
图四
图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。不难看出，整个图就变成一个梯形。利用梯形面积公式，我们得到︰
1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
展开得1/2 a2 + ab + 1/2 b2= ab + 1/2 c2
化简得a2 + b2= c2（定理得证）
有一些书本对证明三十分推祟，这是由于这个证明是出自一位总统之手！
在 1881 年，加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）当选成为第 20 任总统，可惜在当选后 5 个月，就遭行刺身亡。至于勾股定理的有关证明，是他在 1876 年提出的。
我个人觉得证明三并没有甚么优胜之处，它其实和证明二一样，祇不过它将证明二中的图形切开一半罢了！更何况，我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单！
又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式 (a ±b)2 = a2 ± 2ab + b2了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生都未能完全掌握，由于以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。
证明四
(a) (b) (c)
图五
证明四是这样做的：如图五(a)，我们先画一个直角三角形，然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形，为了清楚起见，以红色表示。又在另一条直角边下面加上另一个正方形，以蓝色表示。接着，以斜边的长度画一个正方形，如图五(b)。我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和，刚好等于以斜边画出来的正方形面积。
留意在图五(b)中，当加入斜边的正方形后，红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围。现在我将超出范围的部分分别以黄色、紫色和绿色表示出来。同时，在斜边正方形内，却有一些部分未曾填上颜色。现在依照图五(c)的方法，将超出范围的三角形，移入未有填色的地方。我们发现，超出范围的部分刚好填满未曾填色的地方！由此我们发现，图五(a)中，红色和蓝色两部分面积之和，必定等于图五(c)中斜边正方形的面积。由此，我们就证实了勾股定理。
这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年（即公元263 年），刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图五(b)
中的图形来证明勾股定理。由于他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。
在上，以「出入相补」的原理证明勾股定理的，不祇刘徽一人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在欧洲，都有出现过类似的证明，祇不过他们所绘的图，在外表上，或许会和刘徽的图有些少分别。下面的图六，就是将图五(b)和图五(c)两图结合出来的。留意我经已将小正方形重新画在三角形的外面。看一看图六，我们曾经见过类似的图形吗？
图六
其实图六不就是图一吗？它祇不过是将图一从另一个角度画出罢了。当然，当中分割正方形的方法就有所不同。
顺带一提，证明四比之前的证明有一个很明显的分别，证明四没有计算的部分，整个证明就是单靠移动几块图形而得出。我不知道大家是否接受这些没有任何计算步骤的「证明」，不过，我自己就非常喜欢这些「无字证明」了。
图七
在多种「无字证明」中，我最喜欢的有两个。图七是其中之一。做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图七中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。
事实上，以类似的「拼图」方式所做的证明非常之多，但在这里就未有打算将它们一一尽录了。
另一个「无字证明」，可以算是最巧妙和最简单的，方法如下：
证明五
(a) (b)
图八
图八(a)和图二一样，都是在一个大正方形中，放置了4个直角三角形。留意图中浅黄色部分的面积等于 c2。现在我们将图八(a)中的 4 个直角三角形移位，成为图八(b)。明显，图八(b)中两个浅黄色正方形的面积之和应该是 a2 + b2。但由于(a)、(b)两图中的大正方形不变，4 个直角三角形亦相等，所以余下两个浅黄色部的面积亦应该相等，因此我们就得到 a2 + b2 = c2，亦即是证明了勾股定理。
对于这个证明的出处，有很多说法：有人说是出自中国古代的数学书；有人相信当年毕达哥拉斯就是做出了这个证明，因而宰杀了一百头牛来庆祝。总之，我觉得这是众多证明之中，最简单和最快的一个证明了。
不要看轻这个证明，它其实包含着另一个意义，并不是每一个人都容易察觉的。我现在将上面两个图「压扁」，成为图九：
(a) (b)
图九
图九(a)中间的浅黄色部分是一个平行四边形，它的面积可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中 m和 n分别是两个直角三角形斜边的长度。而图九(b)中的浅黄色部分是两个长方形，其面积之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一样，(a)、(b)两图浅黄色部分的面积是相等的，所以将两式结合并消去共有的倍数，我们得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，这就是三角学中最重要的复角公式！原来勾股定理和这条复角公式是来自相同的证明的！
在证明二中，当介绍完展开 (a + b)2的方法之后，我提出了赵爽的「弦图」，这是一个展开 (a - b)2的方法。而证明五亦有一个相似的情况，在这里，我们除了一个类似 (a + b) 的「无字证明」外，我们亦有一个类似 (a - b) 的「无字证明」。这方法是由印度数学家婆什迦罗（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的，见图十。
(a) (b)
图十
证明六
图十一
图十一中，我们将中间的直角三角形 ABC以 CD分成两部分，其中 Ð C为直角，D位于 AB之上并且 CD ^ AB。设 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意图中的三个三角形都是互相相似的，并且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以
= 和=
由此得a2= cx和b2= cy
将两式结合，得a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2。定理得证。
证明六可以说是很特别的，因为它是本文所有证明中，唯一一个证明没有使用到面积的概念。我相信在一些旧版的教科书中，也曾使用过证明六作为勾股定理的证明。不过由于这个证明需要相似三角形的概念，而且又要将两个三角形翻来覆去，相当复杂，到今天已很少教科书采用，似乎已被人们日渐淡忘了！可是，如果大家细心地想想，又会发现这个证明其实和证明一（即欧几里得的证明）没有分别！虽然这个证明没有提及面积，但a2 = cx 其实就是表示BC 上正方形的面积等于由AB 和BD 两边所组成的长方形的面积，这亦即是图一中黄色的部分。类似地，b2 = cy 亦即是图一中深绿色的部分。由此看来，两个证明都是依据相同的原理做出来的！
证明七
(a) (b) (c)
图十二
在图十二(a)中，我们暂时未知道三个正方形面积之间有甚么直接的关系，但由于两个相似图形面积之比等于它们对应边之比的平方，而任何正方形都相似，所以我们知道面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2。
不过，细心地想想就会发现，上面的推论中，「正方形」的要求是多余的，其实祇要是一个相似的图形，例如图十二(b)中的半圆，或者是图十二(c)中的古怪形状，祇要它们互相相似，那么面积 I : 面积 II : 面积 III 就必等于a2 : b2 : c2了！
在芸芸众多的相似图形中，最有用的，莫过于与原本三角形相似的直角三角形了。
(a) (b)
图十三
在图十三(a)中，我在中间的直角三角形三边上分别画上三个和中间三角形相似的直角三角形。留意：第 III 部分其实和原本三角形一样大，所以面积亦相等；如果我们从三角形直角的顶点引一条垂直线至斜边，将中间的三角形分成两
分，那么我们会发现图十三(a)的面积 I 刚好等于中间三角形左边的面积，而面积 II 亦刚好等于右边的面积。由图十三(b)可以知道：面积 I + 面积 II = 面积III。与此同时，由于面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2，所以a2 + b2 = c2。
七个证明之中，我认为这一个的布局最为巧妙，所用的数学技巧亦精彩。可惜对一个初中学生而言，这个证明就比较难掌握了。
我不太清楚这个证明的出处。我第一次认识这个证明，是在大学时候，一位同学从图书馆看到这个证明后告诉我的。由于印象深刻，所以到了今天仍依然记忆犹新。
欧几里得《几何原本》的第六卷命题 31 是这样写的：「在直角三角形中，对直角的边上所作的图形等于夹直角边上所作与前图相似且有相似位置的二图形之和。」我估计，相信想出证明七的人，应该曾经参考过这一个命题。
勾股定理专题证明
1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。
(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：----------，---------- ；
(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点) O（0,0），A（3,0）,B(0,4) 请你画出以格点为顶点，OA,OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB ；(3)如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连结AD,DC,∠DCB=
30°。写出线段DC,AC,BC的数量关系为----------------；
2.（1）如图1，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF 是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）如图2 ，10×10的正方形网格中，点A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），
①依次连结A、B、C、D四点得到四边形ABCD，四边形ABCD的形状是------------；
②在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最短（直接画出图形，不要求写作法）；
此时，点P的坐标为------------ ，最短周长为------------------；
3. 如图正方形ABCD ,E 为AD边上一点，F为CD边上一点，∠FEA=∠EBC,若AE= kED, 探究DF与CF的数量关系；
积分平均值定理、积分第二中值定理
定积分不有等式、积分平均值定理、积分第二中值定理（连续可微情形）的证明 简单不等式 定理1、设)(x f 在[]b a ,上可积，且0)(≥x f ，（[]b a x ,∈），则有?≥b a dx x f 0)(。 定理2、设)(x f 在[]b a ,上连续且非负，（即0)(≥x f ，[]b a x ,∈），如果)(x f 不恒等于0，则有?>b a dx x f 0)(。 证明：由条件得，存在一点[]b a x ,0∈使0)(0>x f 。由连续函数的性质，存在一个子区间[]βα,，适合[][]b a x ,,0?∈βα，使得对一切[]βα,∈x ，有 )(21)(0x f x f ≥ 由积分对区间的可加性，知????++=b a a b dx x f dx x f dx x f dx x f αβ βα)()()()( ?≥β αdx x f )( ? ≥βαdx x f )(210 0))((2 10>-=αβx f 。 推论1、设[]0,,≥∈f b a f ，如果有?=b a dx x f 0)(，则有0)(=x f ，[] b a x ,∈。 推论2、设[]b a f ,∈，如果对任意[]b a g ,∈都有?=b a dx x g x f 0)()(，则必有0)(=x f ， []b a x ,∈。 积分平均值定理 定理3、设[],f C a b ∈，则存在),(b a ∈ξ，使得?-=b a a b f dx x f ))(()(ξ 证明：设m M ,分别是f 在[]b a ,上的最大值和最小值，显然[]b a x M x f m ,,)(∈≤≤ 于是 ???≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )( )()()(a b M dx x f a b m b a -≤≤-? 从而有 M dx x f a b m b a ≤-≤?)()(1。 如果M m =，则)(x f 常数，则对任意),(b a ∈ξ， 有?-=b a a b f dx x f ))(()(ξ。
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勾股定理证明评鉴 勾股定理（又叫「勾股定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！ 我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。故此，我在这篇文章中，为大家选出了 7 个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的背境。 证明一 图一
在图一中，D ABC为一直角三角形，其中 Ð A为直角。我们在边 AB、BC和AC之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED和 ACKH。过 A点画一直线 AL使其垂直于 DE并交 DE于 L，交 BC于 M。不难证明，D FBC全等于 D ABD （S.A.S.）。所以正方形 ABFG的面积 = 2 ´ D FBC的面积 = 2 ´ D ABD的面积 = 长方形 BMLD的面积。类似地，正方形 ACKH的面积 = 长方形 MCEL的面积。即正方形 BCED的面积 = 正方形 ABFG的面积 + 正方形 ACKH的面积，亦即是AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。 这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML将正方形分成 BMLD和 MCEL的两个部分！ 这个证明的另一个重要意义，是在于它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。 欧几里得（Euclid of Alexandria）约生于公元前 325 年，卒于约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载着以上的一个对勾股定理的证明。 证明二
(完整word版)证明微积分基本公式
定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。 证明：
积分中值定理
第一章 积分中值定理 一、本章有一个按序排列而成的定理系列，即罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理和泰勒定理。由于它们都拥有一个“微分中值点ξ”，故有时也将其统称为微分中值定理，该定理系列在微分学的理论中起着极为重要的作用，故需要大家学习时要格外重视。在应用这些定理时，要特别注意“点ξ”，定理只告诉了我们//的存在性，并未指出它的确切位置（实际上，许多情况下我们并不需要知道它的确切位置，只要知道//存在就足够了），若忽视了这一点，在作题的过程中就容易出错或无法达到目的。如设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内有二阶导数，证明存在//，使得 )(4 )()()2(2)(2 ξf a b a f b a f b f ''-=++-。 分析：根据给出的条件以及要证明的表达式，我们往往联想采用如下的方法 )()2 ( 2)(a f b a f b f ++- )]()2 ([)]2()([a f b a f b a f b f -+-+-= （*） )]()([2 21ξξf f a b '-'-= )()(2 21ξξξf a b ''--= （1212,2ξξξξξ<<<<+<第四章 微积分中值定理与证明
第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明 一 基本结论 1．零点定理：若()f x 在[,]a b 连续，()()0f a f b <，则(,)a b ξ?∈，使得()0f ξ=． 2．最值定理：若()f x 在[,]a b 连续，则存在12,x x 使得12(),()f x m f x M ==．其中 ,m M 分别是()f x 在[,]a b 的最小值和最大值． 3．介值定理：设()f x 在[,]a b 的最小值和最大值分别是,m M ，对于[,]c m M ?∈， 都存在[,]a b ξ?∈使得()f c ξ=．（或者：对于(,)c m M ?∈，都存在(,)a b ξ?∈使得 ()f c ξ=） 4．费玛定理：如果0x 是极值点，且()f x 在0x 可导， 则 0()0f x '=． 5．罗尔定理：()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，()()f a f b =，则(,)a b ξ?∈使得 ()0f ξ'=． 6．拉格朗日定理：()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，，则(,)a b ξ?∈使得 ()()()()f b f a b a f ξ'-=-． 7．柯西定理：()f x ，()g x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，且()0g x '≠，则(,)a b ξ?∈ 使得 ()()() ()()() f b f a f g b g a g ξξ'-='-． 8．泰勒公式和马克劳林公式：（数三不要求） 泰勒公式：()0000() ()()()()()!n n f f x f x f x x x x x n ξ'=+-++ - （ξ在x 和0x 之间） 麦克劳林公式：()()()(0)(0)! n n f f x f f x x n ξ'=+++ （ξ在0 和0x 之间）． 应用说明：
中值定理
中值定理 题目：f(x)在[0,a]上连续,在(0,a)上可导，且f(a)=0．证明存在一点ξ∈(0,a)使得f(ξ)+ξf'(ξ)=0. 证明：构造g(x)=x*f(x) 则g(0)=g(a)=0 且g(x)在[0,a]上连续,在(0,a)上可导。 再注意到g'(x)=f(x)+x*f(x) 对g(x)应用中值定理，存在一点ξ∈(0,a)使得g'(ξ)=0 证毕 其中，题目中使用到中值定理，下面具体解释中值定理。 微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具。中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成：1.拉格朗日微分中值定理 2.罗尔定理 3.柯西中值定理 4.积分中值定理 拉格朗日微分中值定理 内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理[1]等。 内容 如果函数f(x)满足 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ 定义 如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ) *(b-a)=f(b)-f(a) 令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f'(x+θ△x)*△x (0<θ<1) 上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。 证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a). 易证明此函数在该区间满足条件: 1.G(a)=G(b); 2.G(x)在[a,b]连续; 3.G(x)在(a,b)可导. 此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证 几何意义 若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行. 拉格朗日中值定理在数学中的应用 1 利用拉格朗日定理求割线斜率 由拉格朗日中值定理得: f ( b) - f ( a) b – a = f′(λ) ,从中可以看出, 式子的左边是曲线上两点( a , f ( a) ) , ( b, f ( b) ) 的割线斜率, 而右边是切线的斜率. 所以在求割线斜率的时候,可以转化为曲线上切线的斜率. 即连续函数上任两点的连线总与某条切线平行.关于高等数学常见中值定理证明及应用