显色指数的计算

显色指数的计算光源显色性定义: 是指与参照标准下相比较, 一个光源对物体颜色外貌所产生的效果。

1965 年C IE 制定一种评价光源显色性的方法, 简称“测验色”法, 1974 年修订后, 正式向国 际上推荐使用。

此方法是用一个显色指数量值表示光源的显色性。

光源的显色指数是待评 光源下物体的颜色与参照光源下物体颜色相符程度的度量。

为了符合人类长期的照明习惯,C IE 规定5000 K 以下的低色温光源用普郎克辐射体作为参照光源, 色温5 000 K 以上的用 标准照明体D 作为参照光源, 设定参照光源的显色指数为100。

评价时采用一套14 种试验 颜色样品, 其中1到8用于光源一般显色指数(8 个数平均值) , 各试验色样的数值称之为特殊显色指数。

我们平时说的“显色指数”, 即是一般显色指数的简称。

若某个试验色样在待评光源与参照光源照明下有颜色差Ei ∆那么:特殊显色指数10046i R Ei =-*∆；一般显色指数81/8a i R R ⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 一、根据待测光源的光功率谱分布, 计算待测光源的色度坐标k x ，k y ，k u ,k v 及相关色温C T 。

1、待测光源的色度坐标k x ，k y ，k u ,k v 的确定使用光谱仪测出待测光源的光谱功率分布函数()s P λ，计算光源的三刺激值X ，Y ，Z ：780380()()ms X K P x d λλλ=⎰，780380()()m s Y K P y d λλλ=⎰；780380()()m s Z K P z d λλλ=⎰; 其中: m K 为辐射量和光度量之间的比例系数,为常数,等于683 lm/ W 。

()x λ，()y λ，()z λ为CIE1931标准色度观察者光谱三刺激值（注：此处的三刺激值可由1931CIE-RGB 系统标准色度观察者光谱三刺激值()r λ，()g λ，()b λ来确定。

某一波长λ的光谱刺激()r λ，()g λ，()b λ与光谱色度坐标()r λ，()g λ，()b λ关系如下：r r r g b =++，g g r g b =++，b b r g b=++；某一波长λ的光谱刺激()r λ，()g λ，()b λ与()x λ，()y λ，()z λ色度坐标关系为：0.49000()0.31000()0.2000()()0.66697() 1.13240() 1.20063()r g b x r g b λλλλλλλ++=++， 0.17697()0.81240()0.01063()()0.66697() 1.13240() 1.20063()r g b y r g b λλλλλλλ++=++， 0.00000()0.0100()0.99000()()0.66697() 1.13240() 1.20063()r g b z r g b λλλλλλλ++=++，（该三式可由矩阵表示）。

在CIE1931标准观察者光谱三刺激值()r λ，()g λ，()b λ中，规定()g λ与明视觉光谱光效率函数一致，即()g λ=()V λ。

故使用已知的CIE1931色度图的光谱轨迹色度坐标()x λ，()y λ，()z λ和光谱光效率函数()V λ就可以球的光谱三刺激值()x λ，()y λ，()z λ ()()()()x x V y λλλλ=，()()y V λλ=，()()()()z z V y λλλλ=。

） 在实际测量中,在380nm ～780nm 区间的光源由此可以得出在x- y 色度图中x , y 的值X x X Y Z =++,Y y X Y Z =++，Z z X Y Z=++以及在CIE1960 均匀色度标尺图u - v 上色坐标u ,v 的值4153X u X Y Z =++,6153Y v X Y Z =++ 或42123x u x y =-++，62123y v x y =-++。

2、相关色温C T 的确定如果一个光源发射光的颜色( 即光色, 又称色品) 与某一温度下的黑体发射光的颜色相同。

那么，此时黑体的绝对温度值就叫做该光源的颜色温度（简称色温）。

黑体发射光的相对光谱功率分布由普朗克定律给出：2/511(,)(1)c T P T c e λλλ--=-，其中: T —黑体的绝对温度（K ）;λ-波长（nm ）；1c —第一辐射常数，1c =3.7417749x10-16Wm 2；l —第二辐射常数，2c =1.4388x10-2m.K 。

当光源发射光的颜色和黑体不相同时，常用“相关色温”的概念来描述光源的颜色。

相关色温的定义是：在某一确定的均匀色度图中，如果一个光源与某一温度下的黑体具有最接近相同的光色，此时黑体的绝对温度值就叫作光源的相关色温。

当表示光源光色的色坐标点落在黑体色轨迹上时，说明该光源的光色与某一温度下的黑体的光色相同，计算出的就是光源的色温值。

反之，当表示光源光色的色坐标点落在黑体色轨迹以外时，计算出的就是光源的相关色温值。

并且,，当表示光源的色坐标点（u,v ）在u~ v 图中偏离黑体色轨迹越远，相关色温的概念越弱。

a 、计算黑体的色坐标系数u 、v 值以及选择适当的若干条等相关色温线的斜率在CIE 1960 UCS 均匀色度图中, 一种光色对应一个点, 有独立的色坐标( u, v ) 。

当黑体 的温度从较低的值逐渐升温至∞K , 那么在UCS 色度图中, 代表黑体光色的色坐标点将会形成一段连续的曲线, 称为黑体色轨迹( 简称黑体迹)。

在均匀色度图中, 等相关色温线（下面简称等温线）是一系列垂直于黑体色轨迹（曲线） 的直线簇。

已知黑体相对光谱分布()P λ，求得黑体色坐标系数（u,v ）等温线的斜率用m 表示，它是相关色温值T 的函数，且有：1/m l =-。

式中:l 为黑体色轨迹与该等温线交点( 垂足) 处的切线的斜率:''''''''/()3()/2()10()dv dv dT XY X Y Y Z YZ l du du dT X Z XZ X Y XY -+-===-+- 式中: X 、Y 、Z 是黑体的三刺激值;'X 、'Y 'Z 为黑体三刺激值对于黑体温度T 的导数, 由下式给出:''/(,)()T X dX dT P T x d λλλ==⎰，''/(,)()T Y dY dT P T y d λλλ==⎰,''/(,)()T Z dZ dT P T z d λλλ==⎰,其中'(,)TP T λ是(,)T P T λ对λ的偏导数。

222//'6212(,)(,)//()1c T c T T P T dP T dT c c T e e λλλλλ-⎡⎤==•••-⎣⎦。

(b) 计算光源的( 相关) 色温如果已知光源色坐标( u, v ) , 便可以计算出光源的( 相关) 色温。

下面是三种( 相关) 色温的计算方法直接内插法设表示光源的色设表示光源的色品的坐标点( u, v ) 位于下图中画出的相邻两条等温线T 1 和T 2 之间。

d 1、d 2 为色品的坐标点到T 1、T 2 的距离, 轨迹上两点之间的距离d 1+ d 2 近似与( 1/ T 1) -( 1/ T 2) 成正比。

则光源相关色温T c 近似地可由下式计算得到:112121111c d T T d T T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；其中1d ，2d 由下式得到2()()1i i i i iv v m u u d m --•-=+。

上式中的m i 、u i 、v i 分别是第i 条等温线T i 的斜率与黑体色轨迹交点的色坐标系数。

在导出时使用了如下的近似成立的条件: 等温线T 1 和T 2 之间的黑体色轨迹曲线是一段圆弧，圆心为T 1 与T 2 线的交点; 夹角1θ2θ很小；倒色温值是沿弧方向上距离的线性函数。

具体计算时，首先要计算出黑体等相关色温线簇与黑体色轨迹交点( 垂足) 的u 、v 值。

将相关色温线簇的色温值或色温值倒数，及其与黑体色轨迹交点的u 、v 值做成一表格。

根据光源的u 、v 值查表找到最近邻的两条等温线T 1 和T 2。

再由上述公式计算光源的色温值。

三角形垂足法首先用与上述方法类似的步骤查表找到与光源色坐标S ( u, v ) 最近邻的两条等温线T 1和T 2, 设两色温线与黑体色轨迹的垂足分别为D 1 ( ub 1，vb 1 ) 、D 2 ( ub 2，vb 2) 。

从光源色温坐 标点S ( u , v ) 向D 1、D 2 做垂线，设垂足为D ( ub ，vb)。

设L 1= DD 1, L 2 = DD 2, 根据下面的内插方法可计算出过垂足点D ( ub ，vb ) 的等色温线T c ；111221111()c L T T T T L =--•； 22111()()L ub ub vb vb =-+-，22222()()L ub ub vb vb =-+-色温逐次逼近法色温逐次逼近法是根据实际情况，凭经验预先设置一起始温度T 1( 例如做2856 K 色温实 验时可设T 1= 2 000 K) 。

一方面T 1 的设置不能太接近预期值，需留有一定的余地；另一方面为了节省计算时间，不应偏差太大( 如T 1= 500 K) 。

此外，要预设增减步长STEP( 例如STEP= 40 K) 及最小阈值GATE( 如GATE= 0.000 1) 。

此阈值表示了光源色坐标点( u ，v ) 与待求色温线的接近程度。

阈值GATE 可根据精度要求适当调节。

从T 1 开始, 计算光源色坐标与该色温线的接近程度D 1, 如不满足所设的最小阈值条件( 如D 1 > GAT E) , 则T 以步长STEP 增减( T 2= T 1 + ST EP) 。

再计算光源色坐标与色温线T 2 的接近程度……, 依此循环进行，直到满足设定的条件。

计算期间, 步长STEP 值应随时进调节, T 的增减方式与它和光源色坐标( u ，v ) 的位置有关( 图4 为此算法的示意图) 。

色温逐次逼近法不受所查表中等色温线簇间隔大小的影响, 计算精度较高。

二、由待测光源的光功率谱分布和1- 14 试验色的光谱辐亮度因数,k i β, 计算待测光源下1- 14号试验色的色度坐标,k i x ，,k i y ；并计算相应的,k i u ，,k i v 。

,,,()()()k i k i k i X k P x d λβλλλ=⎰，,,,()()()k i k i k i Y k P y d λβλλλ=⎰，,,,()()()k i k i k i Z k P z d λβλλλ=⎰。