柯西不等式的证明_柯西不等式
证明柯西不等式
证明柯西不等式证明柯西不等式柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它是用于描述内积空间下向量之间的一种关系，具有广泛的应用。
本文将从内积空间的定义、柯西不等式的表述、证明方法和应用等四个方面来说明柯西不等式。
一、内积空间的定义内积空间是指一个向量空间V，满足存在一个二元函数（内积）< , >，对任意两个向量x，y∈V，满足以下条件：1. 线性：对于任意的x1, x2 ∈ V，以及α, β ∈ R，有<αx1 + βx2, y > = α< x1, y > + β< x2, y >。
2. 对称性：对于任意的x, y∈V，有< x, y > = < y, x >。
3. 非负性：对于任意的x∈V，有< x, x > ≥ 0，且当且仅当x=0时，< x, x > = 0。
二、柯西不等式的表述对于内积空间V中的任意两个向量x，y∈V，有以下柯西不等式成立：其中< x, y >表示x，y的内积，||x||和||y||分别表示x和y的模长（或范数）。
三、证明方法柯西不等式可以有多种证明方法，这里介绍一种基于勾股定理的证明方法。
以二维欧几里得空间（平面）的情形为例，设有两个向量x=(x1，x2)，y=(y1，y2)，则它们的内积为< x, y >=x1y1+x2y2。
由勾股定理可知，x和y的模长之间的关系为：||x||^2 = x1^2 + x2^2||y||^2 = y1^2 + y2^2将这两个等式相加得到：||x||^2 + ||y||^2 = x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2 = (x1^2 +y1^2) + (x2^2 + y2^2)接下来，考虑将向量x和y相加，以及它们和原点O组成的三角形ABC。
这个三角形的三边分别为||x||、||y||和BC=||x+y||。
由勾股定理和三角形不等式可知：||x+y||^2 = x1^2 + 2x1y1 + y1^2 + x2^2 + 2x2y2 + y2^2≤ (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2) + 2||x|| ||y||将这个不等式中的||x||^2 + ||y||^2用前面的式子代替，化简后可得：x1y1 + x2y2 ≤ ||x|| ||y||即柯西不等式成立。
柯西不等式证明方法大全
柯西不等式证明⽅法⼤全定义对于任意实数a i,b i(i=1,2,⋯,n),有n ∑i=1a2in∑j=1b2j≥n∑i=1a i b i2,(n∈N+)(∗)当且仅当b i=0(i=1,2,⋯,n) 或∃k∈R,a i=kb i(i=1,2,⋯,n) 时,等号成⽴.法⼀、构造⼆次函数分析可通过⼆次函数的判别式证明.证明当a1=a2=⋯=a n或b1=b2=⋯=b n时,(∗) 式显然成⽴.设a1,a2,⋯,a n中⾄少有⼀个不为 0,令A=n∑i=1a2i,B=n∑i=1a i b i,C=n∑i=1b2i,则A>0.设⼆次函数f(x)=Ax2+2Bx+C=n∑i=1(a2i x2+2a i b i x+b2i)=n∑i=1(a i x+b)2≥0,∴Δ=(2B)2−4AC≤0⟺AC≥B2,则 (∗) 式成⽴.要使 (∗) 式取等号,即Δ=0,则f(x) 有唯⼀零点,即有唯⼀实数x使a i x+b i=0(i=1,2,⋯,n).若x=0,则b i=0(i=1,2,⋯,n),若x≠0,则a i=−1x bi(i=1,2,⋯,n).综上,(∗) 式成⽴,当且仅当b i=0(i=1,2,⋯,n) 或∃k∈R,a i=kb i(i=1,2,⋯,n) 时取等号.法⼆、向量内积分析⽤向量内积与向量模的积的⼤⼩关系即可证明.证明设n维空间直⾓坐标系中有向量\boldsymbol \alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol \beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n),且\boldsymbol \alpha与\boldsymbol \beta之间的夹⾓为\theta(0\le\theta\le\pi),则有\begin{aligned} &\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| \cos\theta\\\Longleftrightarrow &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| |\cos\theta|, \end{aligned}⼜|\cos\theta|\le 1,则\begin{aligned} &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| \le|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta|\\\Longleftrightarrow &\left| \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right| \le\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 } \sqrt{ \sum\limits_{j=1}^nb_j^2 }\\ \Longleftrightarrow &\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 \le \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^nb_j^2, \end{aligned}可得(*)式成⽴.易知当且仅当\boldsymbol \alpha与\boldsymbol \beta同线时,即\boldsymbol \beta=\boldsymbol 0或\exist~k\in\mathbb R,\boldsymbol \alpha=k\boldsymbol \beta时,|\boldsymbol \alpha\cdot\boldsymbol \beta|=|\boldsymbol \alpha||\boldsymbol \beta|,即()当且仅当b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,(*)式取等号.法三、作差法分析作差,然后配平⽅即可.证明易得\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n b_j^2 -\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 &=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_i^2b_j^2 -\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2) -\frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n2a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_ib_ja_jb_i)\\ &= \frac 12\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_ib_j-a_jb_i)^2\ge 0, \end{aligned}当且仅当a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2.\cdots,n),即b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,等号成⽴,即证.法四、排序不等式分析通过排序不等式的形式来表⽰柯西不等式.证明易知(*)式等价于\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j \ge\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j,由排序不等式可知上式成⽴,当且仅当a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2,\cdots,n),即b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbbR,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,等号成⽴.法五、数学归纳法分析与n相关的不等式⼀般都能⽤数学归纳法,这⾥就不多说了.证明设n=k.当k=1时,(*)式显然成⽴.当k\ge 2时,不妨设当n=k-1时(*)式成⽴,则\begin{aligned} \left( \sum\limits_{i=1}^k a_i^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^k b_i^2 \right) =&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 +a_k^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +b_k^2 \right)\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 -\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i+\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} (a_ib_k-a_kb_i)^2 +(a_kb_k)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1}a_ib_ia_kb_k\\ \ge&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i \right)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_ia_kb_k +(a_kb_k)^2\\=&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i +a_kb_k \right)^2\\ =&\left( \sum\limits_{i=1}^k a_ib_i \right)^2, \end{aligned}当且仅当\sum\limits_{i=1}^{k-1}(a_ib_k-a_kb_i)^2=0,即a_ib_k=a_kb_i(i=1,2,\cdots,n),且\sum\limits_{i=1}^na_i^2\sum\limits_{j=1}^nb_j^2=\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2时,等号成⽴.综上,(*)式成⽴,当且仅当b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i时,等号成⽴.Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js。
柯西不等式证明
柯西不等式证明柯西不等式是一个算数结构，具有特定的性质，能够有助于解决多元复杂的线性规划问题。
它是由美国数学家J.B.Coxeter于1934年提出的，并被广泛应用于模式优化、运筹学等领域。
柯西不等式证明的原理柯西不等式是一种数学证明，它是通过假设存在某种约束条件，利用所假设的约束条件，证明存在一个特定的不等式。
其原理如下：1、假设有一个满足约束条件的函数f(x)，其中约束条件可用来限制函数f(x)取值范围；2、若从函数f(x)中取出几个满足约束条件的特定点，就可以构成一组等式，使得这些等式能够描述一定的特定性质；3、通过分析等式中某些变量的特定性质，可以推出函数f(x)的结果在满足某种特定条件时，其大小有一定限制；4、这就构成了一组不等式，由此可以证明函数f(x)是满足某种特定约束条件的函数。
柯西不等式的应用由于柯西不等式的独特性质，它可以用来解决多元复杂的线性规划问题。
比如，在计算机科学中，它可以用来解决模式优化的问题，以及椭圆装订的线性程序问题，从而有助于实现高效的算法。
另外，柯西不等式在统计学中也有着深远的影响，可以帮助统计学家正确估算样本数据的分布和结果，从而进行定量分析。
此外，柯西不等式也有助于解决排列组合问题，例如给定几个数字的排列组合问题，柯西不等式可以为它提供准确的解法。
总之，柯西不等式具有多种应用，是一种重要的数学结构，为解决复杂问题提供了有效的方法。
结论柯西不等式是由美国数学家J.B.Coxeter于1934年提出的结构，它是一种有效的证明方法，能够帮助我们证明函数f(x)满足约束条件，这也是它被广泛应用的主要原因。
此外，柯西不等式有着重要的应用，它可以帮助我们解决多元复杂的线性规划问题和排列组合问题，以及模式优化、运筹学等方面的问题，从而有助于实现高效的算法。
总之，柯西不等式是一个重要的数学结构，它的解决复杂的问题的能力得到了广泛的应用，为许多学科和领域提供了有效的解决方案。
柯西施瓦茨不等式证明
柯西不等式的证明数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式；例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。
不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。
柯西不等式(Cauchy inequality)：对任意的实数a1,a2,⋯,a n,b1,b2,⋯,b n,都有(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2证明一:(数学归纳法)当n=2时,(a21+a22)(b21+b22)−(a1b1+a2b2)2=(a1b2−b1a2)2≥0所以n=2时,(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2假设n时命题成立,则n+1时(a21+a22+⋯+a2n+a2n+1)(b21+b22+⋯+b2n+b2n+1)≥((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|a n+1b n+1|)2又由条件假设(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2所以((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|a n+1b n+1|)2≥(|a1b1+a2b2+⋯+a n b n|+|a n+1b n+1|)2很明显有(|a1b1+a2b2+⋯+a n b n|+|a n+1b n+1|)2≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n+a n+1b n+1)2因此n+1时命题也成立,由数学归纳法,命题得证.证明二:(构造二次函数)如果a1,a2,⋯,a n都为0,那么此时不等式明显成立.如果a1,a2,⋯,a n不全为0,那么a21+a22+⋯+a2n>0构造二次函数f(x)=(a21+a22+⋯+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)x+(b21+b22+⋯+b2n)那么此时f(x)=(a1x+b1)2+⋯+(a n x+b n)2≥0对任意的实数x都成立,所以这个二次函数的判别式应该是不大于0的,也就是Δ=4(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2−4(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≤0从而不等式得证.证明三:(恒等变形)注意到恒等式(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2=∑1≤i<j≤n(a i b j−a j b i)2≥0所以不等式成立.证明四:(均值不等式)不妨设a i,b i不全为0,理由同证明二a21+a22+⋯+a2n=S,b21+b22+⋯+b2n=T那么由均值不等我们有a2iS+b2iT≥2∣∣aibi∣∣ST√对i从1到n求和,可以得到∑i=1n a2i S+∑i=1n b2i T≥2∑i=1n|a i b i|ST−−−√于是2≥2∑i=1n|a i b i|ST−−−√≥2∣∣∣∑i=1n a i b i ST−−−√∣∣∣得到(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2现在我们由证法二来得到等号成立条件,如果等号成立,那么f(x)能取到0,也就是说存在一个x使得a i x+b i=0对任意的i=1,2,⋯,n都成立,这就是等号成立条件,在a1a2⋯a n≠0时,可以将它写成b1a1=b2a2=⋯=b n a n.变形式(A)设a i∈R,b i>0(i=1,2⋯,n),则∑i=1n a2i b i≥(∑a i)2∑b i.变形式(B)设a i,b i同号且不为零(i=1,2⋯,n),则∑i=1n a i b i≥(∑a i)2∑a i b i.。
柯西不等式的证明
柯西不等式的证明几何证明：首先，我们来介绍几何证明柯西不等式的方法。
考虑两个非零向量a和b，它们的夹角记作θ。
我们通过构造一个新的向量c来证明柯西不等式。
我们可以将向量c定义为c = ta + kb，其中t和k是实数。
我们要使向量c的模长最小，即找到最小的t和k。
为了达到这个目标，我们可以考虑将向量c垂直于向量a。
这意味着c与向量a的夹角为90度。
通过这个条件，我们可以得到一个关系式(ta + kb)·a = 0。
根据向量点乘的性质，可以将这个等式展开为ta·a + kb·a = 0。
因为向量a不为零，所以ta·a不为零，这意味着kb·a = -ta·a。
这个等式可以重新排列得到k = -ta·a / b·a。
将k代入一开始的式子c = ta + kb中，我们得到c = ta - (ta·a / b·a) b。
现在，我们可以计算向量c的模长来确定最小t的值。
c的模长为，c，= sqrt((ta)² - (ta·a / b·a)²(b)²) =sqrt(t²(a·a - (a·a)² / b·a)).要使，c，取得最小值，我们需要使t²(a·a-(a·a)²/b·a）的值最小。
因此，此时t的值为-t(a·a)/b·a。
将这个t的值代入c = ta - (ta·a / b·a) b中，我们得到c = a - (a·b / b·a) b。
c的模长为，c，= sqrt((a)² - ((a·b)² / (b·a)²)(b)²) =sqrt(a·a - (a·b)² / b·a).因为，c，是t和k的函数，所以它的最小值等于在t=-t(a·a)/b·a时取得的值。
柯西不等式积分形式的证明
柯西不等式积分形式的证明首先，我们先回顾一下柯西不等式的表述：对于任意两个函数f(x) 和 g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 g(x) 不为零，则有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)g(x) dx ≤ √(∫[a,b] f(x)² dx) √(∫[a,b] g(x)² dx)。
证明柯西不等式的积分形式，我们可以按照以下步骤进行：步骤一，假设存在一个常数λ，使得∫[a,b] (λf(x)g(x))² dx = 0。
步骤二，根据积分的非负性，我们可以得出(λf(x) g(x))²= 0 在 [a, b] 上恒成立。
步骤三，根据函数的连续性，我们可以得到λf(x) g(x) = 0 在 [a, b] 上恒成立。
步骤四，由于 g(x) 不为零，所以我们可以得到λ =f(x)/g(x) 在 [a, b] 上恒成立。
步骤五，将λ = f(x)/g(x) 代入步骤三的方程中，我们可以得到 f(x)/g(x) f(x) g(x) = 0 在 [a, b] 上恒成立。
步骤六，整理上述方程，我们可以得到∫[a,b] f(x)g(x) dx∫[a,b] g(x)² dx = 0。
步骤七，根据步骤六的结果，我们可以得到∫[a,b] f(x)g(x) dx = ∫[a,b] g(x)² dx。
步骤八，由于∫[a,b] f(x)² dx 和∫[a,b] g(x)² dx 都是非负数，所以我们可以得到∫[a,b] f(x)g(x) dx ≤ √(∫[a,b] f(x)² dx) √(∫[a,b] g(x)² dx)。
综上所述，我们通过积分形式的证明，得到了柯西不等式的结论。
需要注意的是，上述证明过程中使用了一些基本的数学推理和性质，如积分的非负性、函数的连续性等。
这个证明只是柯西不等式的一种证明方法，还有其他的证明方法，比如基于向量空间的证明等。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用1.柯西不等式的证明：(x1,y1) + (x2,y2) + ... + (xn,yn)，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2)证明：设向量(x1,x2,...,xn)与(y1,y2,...,yn)的内积为A，则有：A = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn考虑不等式(，x1，^2/，A， + ，x2，^2/，A， + ... + ，xn，^2/，A，) * (，y1，^2A + ，y2，^2/，A， + ... + ，yn，^2/，A，) ≥ 1根据乘法交换律，可以将上式化简为：(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2) * (，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2) ≥ ，A，^2由于A是内积，其绝对值不超过向量的模的乘积，即，A，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ...+ ，yn，^2)将不等式化简可得：(x1,y1) + (x2,y2) + ... + (xn,yn)，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2)2.柯西不等式的应用：2.1内积空间中的角度和长度：根据柯西不等式，可以得出两个向量的内积的绝对值小于等于它们的模的乘积，即，A，≤ ，x，y，其中x和y是向量。
从而可以推出内积与向量的模的乘积的乘积的cosine值不超过1，即cosθ ≤ 1，其中θ是x和y之间的角度。
这表明柯西不等式可以用于计算向量的夹角。
2.2线性无关的证明：假设有n个非零向量(x1,x2,...,xn)，如果存在n维向量(a1,a2,...,an)，使得a1x1 + a2x2 + ... + anx_n = 0，其中a1,a2,...,an不全为零，则称向量组(x1,x2,...,xn)线性相关。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用(a1b1 + a2b2 + … + anbn)，≤ √(a1^2 + a2^2 + … + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + … + bn^2)其中a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn为实数或者复数。
下面将介绍几种柯西不等式的证明以及其应用。
证明1：使用向量的点乘形式证明柯西不等式。
设有两个n维向量A = (a1, a2, …, an)和B = (b1, b2, …, bn)，则根据向量的点乘定义：A·B， = ，a1b1 + a2b2 + … + anbn，≤ ，a1，b1， + ，a2，b2，+ … + ，an，bn根据向量的模的定义，有：A·B，≤ √(a1^2 + a2^2 + … + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + …+ bn^2)这就是柯西不等式的一种证明方法。
证明2：使用函数的积分形式证明柯西不等式。
设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，那么根据积分的定义，有：∫[a,b] (f(x)g(x)) dx ≤ √(∫[a,b] (f^2(x)) dx) * √(∫[a,b] (g^2(x)) dx)假设f(x) = 1，g(x) = sqrt(1/x)，那么有：∫[1,2] (sqrt(1/x)) dx ≤ √(∫[1,2] (1^2) dx) * √(∫[1,2] (sqrt(1/x))^2 dx)化简得：√(ln 2) ≤ √(∫[1,2] (1/x) dx)继续化简得：√(ln 2) ≤ √(ln 2)这也是柯西不等式的一种证明方法。
应用1：在实数范围内，柯西不等式可以用于证明其他不等式的成立。
例如，可以利用柯西不等式证明三角不等式，即，a+b，≤，a，+，b。
应用2：柯西不等式可以推导出协方差不等式，协方差是一种度量两个变量之间线性关系紧密程度的指标。
根据柯西不等式的形式，对于任意两个随机变量X和Y，有：Cov(X, Y)^2 ≤ Var(X) * Var(Y)其中Cov(X, Y)表示X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别表示X和Y的方差。
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柯西不等式的证明_柯西不等式
二维形式
(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1(柯西不等式)所以
(a^2+b^2+c^2)>=1/3(1式)又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...(平方的和的乘积不小于乘积的和的平方)
证明
|a|*|b|≥|a*b|,a=(x1，y1)，b=(x2，y2)
(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1]
推广
(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2≤(a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+.. .+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))
三角形式
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
等号成立条件：ad=bc
注：“√”表示根
向量形式
|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)
等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
一般形式
(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式
(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
(应为之积的几何平均之和)概率论形式
√E(X)√E(Y)≥∣E(XY)∣
二维形式的证明
(a²+b²)(c²+d²)(a,b,c,d∈R)
=a²·c²+b²·d²+a²·d²+b²·c²
=a²·c²+2abcd+b²·d²+a²·d²-2abcd+b²·c²
=(ac+bd)²+(ad-bc)²
≥(ac+bd)²，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
三角形式的证明
√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]
[√(a²+b²)+√(c²+d²)]²=a²+b²+c²+d²+2·√(a²+b²)·√(c²+d²)≥a²+b²+c²+d²+2|ac+bd|
≥a²+b²+c²+d²+2(ac+bd)
=a²+2ac+c²+b²+2bd+d²
=(a+c)²+(b+d)²
两边开根号即得√(a²+b²)+√(c²+d²)≥√[(a+c)²+(b+d)²]
注：||表示绝对值。
向量形式的证明
令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn)
m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√(a1^2+a2^2+…+an^2)×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)×cos<m,n>
∵cos<m,n>≤1
∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an)×√(b1+b2+…+bn)
注：“√”表示平方根。
一般形式的证明
(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2
证明：
等式左边=(ai·bj+aj·bi)+....................共n2/2项
=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共
n2/2项
用均值不等式容易证明等式左边≥等式右边得证
其中，当且仅当ai:bi=aj:bj(i,j∈[1,n])
推广形式的证明
推广形式为
(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)
证明如下
记A1=x1+y1+…，A2=x2+y2+…，….
由平均值不等式得
(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/ n)=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/ n)=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
……
上述m个不等式叠加得
1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…
即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…
即A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
即
(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n 因此，不等式(*)成立.
(注：推广形式即为卡尔松不等式)
代数形式
设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数
则(a1b1+a2b2+...+anbn)①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn(规定ai=0时，bi=0)时等号成立。
注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。
应用
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数证不等式
例：设a、b、c为正数且互不相等。
求证：
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
∵a、b、c均为正数
∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又9=3(1+1+1)∴只需证：
2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1 /(b+c)+1/(c+a)]≥3(1+1+1)=9
又∵a、b、c互不相等，故等号成立条件无法满足
∴原不等式成立
求某些函数最值
例：求函数y=3√(x-5)+4√(9-x)的最大值。
(注：“√”表示平方根)
函数的定义域为[5,9]，y>0
y=3√(x-5)+4√(9-x)≤√(3^2;+4^2;)×√{[√(x-5)]^2;+[√(9-
x)]^2;}=5×2=10
函数仅在4√(x-5)=3√(9-x)，即x=6.44时取到。
以上只是柯西不等式的部分示例。
更多示例请参考有关文献。
柯西简介
柯西(CauchyAugustin-Louis，1789-1857)，法国数学家，8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。
由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。
他在纯数学和应用数学的功底是相当深厚的，很多数学的定理、公式都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式(/wlist-36-
1.html"target="_blank">其它地方。
柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。
特别是，他弄清了弹性理论的基本数学结构，为力学奠定了严格的理论基础。