二年级专题第四讲：数几何图形的个数

第四讲：数几何图形的个数
“数几何图形的个数”是趣味图形问题的一种。

数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握方法和技巧。

一、数线段
1. 数出下列每条线段上线段的总条数。

分析与解：数线段的时候一定按一定的顺序数，否则就会出现重复或遗漏。

数时可以先数最
基本的小线段，再数两条基本线段组成的线段，再数三条基本线段组成的线段，……，最后
把各种“线段”条数相加起来。

法一：照下面的方法数(以第2小题为例)：
3+2+1=6（条）
法二：(规律) 线段总条数都是从1开始的几个连续自然数的和，而且最后一个加数正好和
最基本线段数相同。

（1）（条）
（2）（条）
（3）（条）
二、数角
2. 数出右图中总共有多少个角.
分析与解：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：
4＋3＋2＋1＝10（个）.
令狐老师注：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数. 【巩固】数一数右图中总共有多少个角？
分析与解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.
所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.
三、数三角形
3. 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？
分析与解：方法一：
(1)先数图中包含一个小三角形个数：
△ABD、△ADE、△AEF、△AFC 共4个三角形.
(2)再数由两个小三角形组合在一起的三角形个数：
△ABE、△ADF、△AEC 共3个三角形，
(3)以三个小三角形组合在一起的三角形：
△ABF、△ADC 共2个三角形，
(4)最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.
所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.
方法二：我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。

根据例1可知，BC边上的线段有6条，那么，以BC边上线段为第三边的三角形就有6个
令狐老师注：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.
【巩固】数出下面图中三角形的个数。

分析与解：仔细观察图形，可以发现，所构成的每个三角形中，有两条边是由A点引出的，而第三条边是BC或DE上的线段，BC和DE上有多少条线段就有多少个三角形，这样我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。

根据例1可知，BC边上的线段有15条，那么，以BC边上线段为第三边的三角形就有15个。

同理，DE边上的线段15条，以DE 边上的线段为第三边的三角形也有15个。

所以，图中共有三角形（个）
4. 数出下图（图1）中三角形的个数。

分析与解：明显地，这个图形与上一道例题中数三角形的个数有很大的区别，所以上例的解法不适合此题，为了便于数出三角形的个数，我们可以用分类的方法来数。

怎样分类呢？可以按三角形的构成来进行分类，为了叙述方便，我们把图中三角形编上号码，如图2所示。

由1个三角形构成的三角形有6。

由2个三角形构成的三角形有2个，即（1，2），（4，5）
由3个三角形构成的有4个，即（1，2，3），（4，5，6），（6，1，2），（3，4，5）
所以，此图中共有三角形：（个）
5. 数一数，下图中有多少个三角形？
分析与解：观察上面图形中这些三角形，可以分为尖朝上和尖朝下两大类，将尖朝上的三角形1—8依次编上序号，尖朝下的三角形用A、B、C、D、E、F、G、H依次标上字母（如下图）
（1）标上数字和字母的基本三角形共有：（个）
（2）由四个基本三角形组成的三角形，尖朝上的有3个，尖朝下的有3个，所以这个图形共有三角形：（个）
【巩固】数一数，下图中各有多少个三角形？
分析与解：
（1）基本三角形16个
由2个基本三角形组成的有16个
由4个基本三角形组成的有8个
由8个基本三角形组成的有4个
共有三角形：个。

（2）基本三角形有12个
由4个基本三角形组成的三角形有6个。

由9个基本三角形组成的三角形有2个。

共有三角形（个）
四、数长方形
6. 如下图，数一数下列各图中长方形的个数？
分析与解：
图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，
所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为：
4+3+2+1=10（个）.
图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上
的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，
所以图（Ⅱ）中共有长方形为：
（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）.
图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：
可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）.
令狐老师注：长方形的总数为：宽的线段条数×长的线段条数
五、数正方形
7. 如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）.
分析与解：
为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中
共有五类正方形.
①以一条基本线段为边的正方形个数共有：
6×5=30（个）.
②以二条基本线段为边的正方形个数共有： 5×4=20（个）.
③以三条基本线段为边的正方形个数共有： 4×3=12（个）.
④以四条基本线段为边的正方形个数共有： 3×2=6（个）.
⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有： 2×1=2（个）. 所以，正方形总数为： 6×5+5×4+4×3+3×2+2×1 =30+20+12+6+2=70（个）
【巩固】下图中有多少个正方形？
分析与解：按照方向数。

正方形的个数：
（1） 正方的：1×1的有8个；2×2的有2个； （2） 斜放的：九宫格，有2
2
21431
2++=个；
【巩固】下面的55⨯和64⨯图中共有____个正方形．。