近世代数题库

近世代数题库(总12页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除群一、填空题1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab_____.4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与______________同构.5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A 的元素间的一个等价关系.8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为 群.12.n 次对称群n S 的阶是____________.13.设G =<a >是10阶循环群，则G 的全部生成元有 ，G 的子群有 个，分别是 .14.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha .15.设G =<a >是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群3S 中，H ＝{(1),(123),(132)}是3S 的一个正规子群，则商群H S 3中的元素(12)H ＝{}.17．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .18.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛ ｝.21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 中的 .22. 设G 是一个pq 阶群，其中q p ,是素数，则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 .25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设G 是p 阶群（p 是素数），则G 的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“ ”适合如下运算律： .29. 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=bH aH .30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .31. 如果G 是一个含有15个元素的群，那么，G 有 个5阶子群，对于∀∈a G ，则元素a 的阶只可能是___________.32.设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是 ，G 的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ，则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .34. 设(G ，·)是一个群，那么对于∀∈b a ,G ，(ab )－1＝___________.k36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂，则G 称为 .37．5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .38．设G 为群，G N ≤，且对于任意的G a ∈，有 ，则N 叫做G 的正规子群.39. 设G 为乘群，G a ∈，则能够使得e a m =的最小正整数m ，叫做a 的___________.设G 为加群，G a ∈，则能够使得 的最小正整数m ，叫做a 的阶.40．设τ＝(1243)(235)∈5S ，那么1-τ＝___ _.τ是 (奇、偶)置换.41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类a ={ ｝.42. 设A ={d c b a ,,,}，则A 到A 的映射共有________个，A 到A 的一一映射共有 ________个，A A ⨯到A 的映射共有________个（A 上可以定义 个代数运算）.43. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个.44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.45. )125(=σ，)246(=τ，则στ的阶数等于 .46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.47. 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群><a G 的阶等于 .48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1 为 ;存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为 群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G 为 群.50. n 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为 群.55. n 元置换)(21k i i i 的阶为 ，=-12121)])([(m k j j j i i i .二、选择题1. 设R B A == (实数集)，如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B 的（ ）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.2.3S 中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素.3.设15Z 是以15为模的剩余类加群，那么15Z 的子群共有（ ）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）.A) 11--a bc B) 11--a c C) 11--bc a D) ca b 1-.5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(x x f =，则))1((1f f -=( ).A) {1，-1}; B) {i ，-i }; C) {1， -1，i ，-i }; D) 空集.6. 设A ={所有实数}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).A) x x 10→ B) x x 2→ C) x x → D) x x -→.7. 设G 是实数集，定义乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数,那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）.A) 1和x -； B) 1和0； C) -k 和k x 2-； D)k -和)2(k x +-.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A)ba ab , B) bac abc , C) 1,-bab a D) 1,-a a .10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下,( )是R 的等价关系.A)b a aRb ≤⇔; B) 0≥⇔ab aRb ; C) 022≥+⇔b a aRb ; D) ab aRb ⇔<0.11.设G 是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) G 中有左单位元，同时G 中的每个元素都有左逆元；B) 对于G 中任意元素a 和b ，G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y满足y a =b ；C) G 中有单位元，同时G 中的每个元素都有逆元；D) 在G 中两个消去律成立.12.设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6，那么G 的阶=G （ ）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群3S = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是( ).(1) 3S 是交换群；(2) 3S 的2阶互异子群有三个；(3) 3S 的3阶互异子群有两个；(4) 3S 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。

A) 2 B) 4 C) 6 D) 815.指出下列那些运算是二元运算（ ）A) 在整数集Z 上，ab b a b a += ； B) 在有理数集Q 上，ab b a = ；C) 在正实数集+R 上，b a b a ln = ；D) 在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= .16.设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z中（ ）.A) 不适合交换律；B)适合结合律；C) 存在单位元；D)每个元都有逆元.17. 设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）.A) f 的同态核是1G 的不变子群； B) 2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；C) 1G 的子群的象是2G 的子群； D) 1G 的不变子群的象是2G 的不变子群.18. 设G G ,是两个带有乘法的非空集合，且G ～G ，则下列结论不正确的是( ).A) G 是群时，G 也是一个群； B) G 是群时，G 也是一个群；C) G 是交换群时，G 也是交换群； D) G 的单位元的象是G 的单位元.19. 设A 为实数集，B 位正实数集，如果A 到B 的映射x x 2:→ϕ，∈∀x A ，则ϕ是从A 到B 的（ ）.A ）满射而非单射; B) 单射而非满射; C) 一一映射; D)既非单射也非满射.20. 设G 是实数集，定义乘法1:-+=b a b a ，那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）.A) 1和1x -； B) 1和x -2； C) 0和x -2； D) -1和1-x .21. 设N 是群G 的正规子群，且G 关于N 的商群N G为五阶群. 如果子群N 的阶是6，那么群G 的阶=G （ ）.A) 6 B) 36 C) 30 D)25.22. 设集合A 含有n 个元素，那么A 的子集共有( )个.A) n ! B) 2n C) n 2 D) 2)1(+n n . 23. 下列法则，( )是集合A 的代数运算. A) A =b a b a N -= , B) A =2,ab b a Z =C) A =ba b a Q = , D) A =π+=a b a R ,. 24. 设S则S 关于所给代数运算作成的代数系统中的单位元和可逆元素分别为( ).A) c ，a 与b B) c ，b 与cC) b ，c 与d D) a ，d 与a .25. p (素数)阶有限群的子群个数为( ).A) 0 B) 1 C) 2 D) p26. 6元置换（23）（1356）的阶数为（ ）A) 2 B) 4 C) 5 D) 827. M 是正有理数集合，下列规定不是M 的关系的是（ ）A) b a aRb +⇔是整数； B) 1<++⇔ca dbcd R a b 4 C) 1>-⇔b a aRb 5 D) 0<⇔ab aRb28. 设集合A 含有n 个元素，那么A 的代数运算共有( )个.A) n ! B) 2n C) n n D ) 2n n三、判断题（ ）1. 设N 是正整数集，N b a ∈∀,规定b a aRb ⇔，则R 是N 的元间的一个等价关系.（ ）2. 如果群G 中的每个元素都满足方程e x =2，则G 必是交换群.（ ）3. 一个非交换群至少要有6个元素．（ ）4. 群G 的任意个子群的交仍是G 的一个子群.（ ）5. 四次交代群中存在6阶子群.（ ）6. 设M 是非空集合，则M M ⨯到M 的每个映射都叫作M 上的二元运算.（ ）7. f 是A 到A 的单射，则f 有唯一的逆映射1-f .（ ）8. 如果循环群>=<a G 中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构.（ ）9. 如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群.（ ）10. 群G 的子群H 是正规子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,.（ ）11. 阶为两个互异素数乘积的交换群一定是循环群．（ ）12. 集合A 的一个关系可以决定A 的一个分类． （ ）13. 有限群G 的任一元素的阶整除G 的阶．（ ）14. 整数集按照普通乘法可以构成一个群.（ ）15. 循环群=G ﹤a ﹥中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构． （ ）16. 有限群G 的任一子群N 的阶都能整除G 的阶．（ ）17. G 是一个群，N 是G 的正规子群，则G a ∈∀与N 中元素相乘可交换． （ ）18. 在一个群G 中，消去律不一定成立.（ ）19. 任何一个-k 循环置换的阶是k .（ ）20. 集合A 的一个分类决定A 的元间的一个等价关系；反之，集合A 的元间的一个等价关系也决定A 的一个分类.（ ）21．阶为素数的群一定是循环群，循环群的阶也一定是素数. （ ）22．群G 的子群H 在G 中的指数为2，则H 一定是G 的正规子群. （ ）23．设φ为集合A 到A 的满射，则：若S 是S 的逆象,S 一定是S 的象;若S 是S 的象，S 也一定是S 的逆象. （ ）24．N 是群G 的正规子群，H 是N 的正规子群，则H 是群G 的正规子群. （ ）25．一个群同它的每一个商群同态.（ ）26．一个群G 的子群H 的左陪集个数和右陪集个数不一定相同. （ ）27．群G 的两个正规子群的交集还是正规子群.（ ）28．循环群的子群也一定是循环群. （ ）29．全体有理数作成的集合对于普通乘法来说做成一个群.（ ）30. 设G 为群，它的两个正规子群的交和乘积还是正规子群.（ ）31. 一个循环群一定是一个交换群.（ ）32. 一个群的两个不同的子集一定不会生成相同的子群.（ ）33. 有理数加群与非零有理数乘群同构.（ ）34. 无限循环群可与任何循环群同构.（ ）35. 设ϕ是集合X 到集合Y 的任意一个映射,A 为X 的非空子集,则A A =-))((1ϕϕ.（ ）36. 设ϕ是集合X 到集合Y 的任意一个映射,B 为Y 的非空子集,则B B =-))((1ϕϕ.（ ）37. 设ϕ是集合X 到集合Y 的任意一个映射,A ，B 为X 的两个非空子集,则)()()()2();()()()1(B A B A B A B A ϕϕϕϕϕϕ⋂⊆⋂⋃=⋃.（ ）38. G 为一个群,G b G a ∈∈,为有限阶元,ba ab =,则b a ab ≤.（ ）39. G 为交换群,且G 中所有元素有最大阶m ,则G x ∈∀有e x m .（ ）40. G 为一个群, G b G a ∈∈,为有限阶元,则ab 为有限阶元.（ ）41. 在一个有限群里,阶大于2的元素个数必为偶数.（ ）42. 偶数阶群必有2阶元.（ ）43. 设C B A ,,是群G 的3个子群,则AC AB C B A ⋃=⋃)(.（ ）44. 设C B A ,,是群G 的3个子群,则AC AB C B A ⋂=⋂)(.（ ）45. 交换群中所有有限阶元作成一个子群.（ ）46. 群G 中所有有限阶元作成一个子群.（ ）47. 任何群都不能是两个真子群的并.（ ）48. 任何群都不能是三个真子群的并.（ ）49. 有限群的元素的阶都有限.（ ）50. 无限群至少有一个无限阶元.（ ）51. 集合M 的变换群G 含有M 的单射变换,则G 必为双射变换群.（ ）52. 集合M 的变换群G 可能既含有M 的双射变换,又含有M 的非双射变换.（ ）53. 2≥M ,集合M 的全体非双射变换关于变换的乘法作成一个变换群.（ ）54. 互不同构的n 阶群只有有限个.（ ）55. 不相连的置换相乘可交换.（ ）97. 置换))((32121i i i i i 的阶为6]3,2[=.（ ）56. 当3≥n 时,n 次对称群n S 为无中心群.（ ）57.G 为一个群,,...},,{,c b a A G H =≤为G 关于H 的一个左陪集代表系,则A 也是G 关于H的一个右陪集代表系.（ ）58.设G 为一个群,,,G K G H ≤≤):(),:(K G H G 有限，则（ ）59.设G 为一个有限群,},{,,e K H G K G H =⋂≤≤则K H HK =.（ ）60.G 为n 阶群,n k ,则G 必有k 阶子群.（ ）61.pq 阶(q p ,为互异素数)交换群必为循环群.（ ）62.设ϕ为群G 到G 的同态满射,G a ∈与G a ∈)(ϕ有相同的阶.（ ）63.设G 与G 各有一个代数运算,且G ～G , G 是群,则G 也是群.（ ）64.素数阶群是单群.（ ）65.设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射,G H ≤,则H H =-))((1ϕϕ.（ ）66.设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射,则G 的含ϕker 的子群与G 的子群之间存在一一对应关系.（ ）67.任意一个无限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.（ ）68.存在有限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.（ ）69.两个有限集合之间存在双射的充要条件是它们的元素个数相等.（ ）70.设G 为群，它的两个子群的交和乘积还是子群.（ ）71.有限群中每个元素的阶都有限，无限群中必有无限阶元.（ ）72.一个置换群中要么都是偶置换，要么奇偶置换各半.（ ）73.设G G ,是两个群，且G ～G ，如果G 是有限群，则G 必是有限群，而且G 整除G . （ ）74. 整数加群和它的任意一个非零子群同构.（ ）75.在同构意义下,无限循环群只有一个.（ ）76.在同构意义下,n 阶循环群只有一个.环与域复习题一、填空题1. 模12的剩余类环Z 12的特征是_______，它的全部单位为___________.2. 设R 是有单位元的环,a 是R 中任一元素, 则由a 生成的主理想<a > =_____.3. 模8的剩余类环8Z 上的二次多项式12-x 在8Z 内的所有根为____________.4. 设R 是交换环，a 是R 的任意一个元素，则由a 所生成的主理想<a >的元素表达形式为______.5. 设高斯整数环{}Z b a bi a i Z ∈+=,][，其中2i ＝－1，则][i Z 中的所有单位______.6. 设Z 6＝{5,4,3,2,1,0}是模6的剩余类环，则Z 6中的所有零因子是_____.7.若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么IR 是一个域当且仅当I 是 .8. 设R 是一个无零因子的环，其特征n 是一个有限数，那么n 是______.9. 除环的理想共有____________个.10．一个无零因子的 称为整环.11. 设][x Z 是整系数多项式环，><x 是由多项式x 生成的主理想，则><x ＝_ _.12. 设F 是一含有4个元的域，则F 的特征是 .13. 剩余类环Z 6的子环S ={0, 2, 4}的单位元是____________.14. 一个环R 的一个不等于R 的理想U 叫做一个 ，假如除了R 同U 自己外，没有包含U 的理想.15. 一个交换除环叫做一个 .16. 实数域R 的全部理想是 .17. 一个环R 的非空子集S 做成一个子环的充分必要条件 .18. 剩余类环Z 7的零因子个数等于__ __， Z 12的零因子个数等于____________.19. 当R 是有单位元的交换环时,R a ∈生成的主理想><a = .20．整环R 的一个元ε叫做R 的一个 ，假如ε是一个有逆元的元.21．一个整环I 叫做一个 ，假如I 的每一个理想都是一个主理想.22．设R 为环，R b a ∈,，0,0≠≠b a ，且0=ab ，则a 叫做环R 的 ，b 叫做环R 的___________________.25. 一个无零因子环R 的非零元相同的（对于加法）阶，叫做环R 的 . .26. 设F 是一个含有2p 个元的域，则F 的特征是 .27. 剩余类环6Z 的子环S ={3,0},则S 的单位元是____________.28. R 是一个特征为p 的环，,a b R ∈,则()p a b +=____________.29. R 是一个单环，则R 有 时，R 是一个域.30. N 是环R 的理想，R N 是单环的充分必要条件是 . 31. R 是有单位元的整环, ，则R 有子环与整数环同构； ，则R 有子环与模p 剩余类环同构。