2020高考数学专题-函数与导数测试题

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）1．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，若B＝{1，2}，则A ∩B为( )A．φB．{1} C．φ或{2} D．φ或{1}2．在△ABC中，条件甲：A＜B，甲乙：cos2A＞cos2B，则甲是乙的( )A．仅充分条件B．仅必要条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．若函数f(x)＝log a(x2－ax＋3)在区间(－∞，a2]上为减函数，则a的取值范围是( )A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(1，23) D．(0，1)∪(1，23)4．已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于点(－34,0)对称，且满足f(x)＝－f(x ＋32)，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2005)的值为( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．15．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{－1,0,1}，满足条件f(3)＝f(1)＋f(2)的映射f ：A →B 的个数是( ) A ．7B ．6C ．4D ．26．已知函数f(x)，g(x)，(x ∈R)，设不等式|f(x)|＋|g(x)|＜a(a ＞0)的解集为M ，不等式|f(x)＋g(x)|＜a(a ＞0)的解集为N ，则( )A ．N ⊂≠M B ．M ＝N C ．M ⊂≠N D ．M ⊂－N 7．已知f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋dA ．b ＜0B ．0＜b ＜1C ．1＜b ＜2D ．b ＞28．如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”。

在下面五个点M （1，1），N （1，2），P （2，1），Q （2，2），G （2，12）中，“好x点”的个数为 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9. 已知函数f(x)定义域为R ，则下列命题：①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图象关于y 轴对称. ②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图象关于直线12x =对称.④若f(x-2)=f(2-x)，则y=f(x)关于直线x=2对称. ⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图象关于x=2对称. 其中正确的命题序号是( )A 、①②④B 、①③④C 、②③⑤D 、②③④ 10. 设)(x f 、)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0)()()()(0>'+'<x g x f x g x f x 时, 且0)3(=-g ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ） A ．),3()0,3(+∞-YB ．)3,0()0,3(Y -C ．),3()3,(+∞--∞YD ．)3,0()3,(Y --∞11．如图是函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象， 则x 21＋x 22等于( )A ．89B ．109C ．169D ．28912．定义：对函数()y f x =，x D ∈。

若存在常数C ，对于任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C +=。

则称函数()y f x =在D 上的“均值”为C 。

已知：()lg ,f x x =[]10,100x ∈。

则函数()lg f x x =，在[]10,100上的均值为（ ）3.2A 3.4B 1.10C .10D 二.填空题(每小题4分,共16分)13.对任意实数x ，定义[]x 为不大于x 的最大整数（例如[3.4]3,[ 3.4]4=-=-等），设函数()[]f x x x =-，给出下列四个结论：①()0f x ≥②()1f x <③()f x 是周期函数④()f x 是偶函数。

其中正确结论的是14．定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”，则集合{1,3,5,7,9}的“孙集”的个数有＿＿＿＿＿个．15.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x 2、值域为{1,4}的“同族函数”共有______个.16.设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题：①b=0, c>0 时，方程f(x)=0只有一个实数根；②c=0时，y=f(x)是奇函数；③方程f(x)=0至多有两个实根.上述四个命题中所有的正确命题的序号为 .一.选择题： 1-5 6-10 11-12 二.填空题 13 14 15 16 三.解答题17、已知函数()2f x x mx n =++的图像过点()13，，且()()11f x f x -+=--对任意实数都成立，函数()y g x =与()y f x =的图像关于原点对称。

⑴ 求()f x 与()x g 的解析式； ⑵ 若()()x g x F =—()f x λ在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围；18.设函数22)1ln()1()(x x x f +-+=(1)求函数)(x f 的单调区间;(2)当]1,11[--∈e ex 时，不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围;(3)关于x 的方程]2,0[)(2在a x x x f ++=上恰有两个相异实根，求a 的取值范围.19．设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数x ，y ，总有f(x ＋y)＝f(x)f(y)，且当x ＞0时，0＜f(x)＜1．(1)求f(0)的值；(2)证明：当x ＜0时，f(x)＞1；(3)证明：f(x)在R 上单调递减；(4)若M ＝{y|f(y)·f(1－a)≥f(1)}，N ＝{y|f(ax 2＋x ＋1－y)＝1，x ∈R}，且M ∩N ≠φ，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分已知二次函数),,0(1)(2R b a bx ax x f ∈>++=设方程f (x )＝x 有两个实数根x 1、x 2.(Ⅰ)如果4221<<<x x ，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0,求证x 0>—1; (Ⅱ)如果201<<x ，且f(x)＝x 的两实根相差为2，求实数b 的取值范围.21．（本题满分12分）已知函数f （x ）在（－1，1）上有定义，1)21(-=f 且满足x 、y ∈（－1，1） 有)1()()(xyyx f y f x f ++=+．（Ⅰ）证明：f （x ）在（－1，1）上为奇函数；（Ⅱ）对数列,12,21211nnn x x x x +==+求)(n x f ； （Ⅲ）（理）求证;252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n Λ22.定义函数()(1)1n n f x x =+-，2x >-，n *∈N ，其导函数记为()n f x '。

（Ⅰ）求证：()n f x nx ≥；（Ⅱ）设0101()(1)()(1)n nn n f x f f x f ++'='，求证：001x <<；（Ⅲ）是否存在区间[,](,0]a b ⊂-∞，使函数32()()()h x f x f x =-在区间[,]a b 上的值域为[,]ka kb ？若存在，求出最小的k 值及相应的区间[,]a b ；若不存在，请说明理由。

DCCDA DADCD CA ②③④ 26 9 ①②17．解：⑴由题意知：a 1b 0==，，()222'f x x x ∴=+K K K设函数()y f x =图象上的任意一点()00Q x y ，关于原点的对称点为P （x,y ）,则00x x y y =-=-，，因为点()()00Q x y y f x =，在的图像上，()2222,,26'y x x y x x g x x x ∴-=-∴=-+∴=-+⋯⋯⑵()()()()22222121x x x x x x x λλλ=-+-+=-++-F()(]11-Q F x 在，上是增函且连续，()()()21210λλ=-++-≥'F x x 即(]1211λ-≤=--++在，上恒成立111x x x ，由(]-+21-111x在，上为减函数，当 =x 1时取最小值0，故(]λλ≤-∞K K K 所求的取值范围是，0012', 另解：()[]1,1F x -Q 在上是增函数，()()()[]'22221,1F x x λλ∴=--+--在上非负()()()()()22220221220λλλλ--+-≥⎧⎪∴⎨---+-≥⎪⎩，解得0λ≤18. (1)函数定义域为),1()1,(+∞---∞Y ,,1)2(2]11)1[(2)(++=+-+='x x x x x x f Θ由,0)(>'x f 得,012>-<<-x x 或 由,0)(<'x f 得.012<<--<x x 或则递增区间是),,0(),1,2(+∞--递减区间是).0,1(),2,(---∞ (2)由,01)2(2)(=++='x x x x f 得20-==x x 或.由（1）知, )(x f 在]0,11[-e上递减,在]1,0[-e 上递增.又212,2)1(,21)11(2222+>--=-+=-e e ee f eef 且.]1,11[--∈∴e ex 时, ,2)]([2max-=e x f 故22->e m 时,不等式m x f <)(恒成立.(3)方程,)(2a x x x f ++= 即0)1ln(12=+-+-x a x .记2)1ln(1)(x a x x g +-+-=,11121)(+-=+-='x x x x g 则.由,0)(>'x g 得,11>-<x x 或 由,0)(<'x g 得.11<<-x )(x g ∴在]1,0[上递减,在]2,1[上递增. 为使ax xx f ++=2)(在]2,0[上恰好有两个相异的实根,只须0)(=x g在)1,0[和]2,1(上各有一个实根,于是{.0)2(,0)1(,0)0(≥<≥g g g 解得3ln 232ln 22-≤<-a19．解：(1)显然，f(x)不恒等于0，令x ＝1，y ＝0时，得f(0)＝1；(2)令y ＝－x ≥0则1＝f(x －x)＝f(x)·f(－x)，即f(－x)＝1f(－x)．由题0＜f(－x)＜1 ∴f(x)＞1；(3)设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，由题得(2)知f(x)＞0． ∴f(x 2)－f(x 1)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]－f(x 1)＝f(x 2－x＝f(x 1)[f(x 2－x 1)－1]＜0 ∴f(x 2)＜f(x 1)． ∴f(x)在R 上单调递减；(4)由已知及(3)得：M ＝{y|y ≤a}，N ＝{y|y ＝x ∈R}显然，当a ≤0时，M ∩N ≠φ 当a ＞0时，N ＝{y|y ＝a(x ＋12a)2＋1－14a，x ∈R}要使M ∩N ≠φ，必须1－14a ≤a ．即4a 2－4a ＋1≥0⇒a ∈R 故所求的a 的取值范围是a ∈R ．20．(Ⅰ)设,0,1)1()()(2>+-+=-=a x b ax x x f x g 且∴由条件)4(0)2(,4221><<<<g g x x 且得……（2分）即.221443034160124a b a b a b a -<<-⇒⎩⎨⎧>-+<-+（4分）∴.81221443>-<-a a a 得……（5分）对可得a b a 221443-<<-.8322411a a b a -<-<-.18141141120-=⨯->->-=∴aa b x ……（8分）（Ⅱ）由.0101)1()(21212同号与即可知x x ax x x b ax x g >==+-+=1122102,24,2,x x x x x <<\<<<-=Q ……（11分）y ＝a.1)1(1244)1(4)()(22212212212+-=+⇒=--=-+=-∴b a a ab x x x x x x 由01240)2(<-+<b a g 即代入有.41231)1(22<⇒-<+-b b b ……（14分）21．证：（I ）令,0==y x 则2(0)(0)f f =令,x y -=则)()(,0)0()()(x f x f f x f x f -=-∴==-+ 为奇函数 （4分） （II ）1)21()(1-==f x f ，)(2)()()1()12()(21n n n n n nn nn n x f x f x f x x x x f x x f x f =+=⋅++=+=+ )}({.2)()(1n n n x f x f x f 即=∴+是以－1为首项，2为公比的等比数列．1()2n n f x -=-（III ）（理）2112111111(1)()()()222n n f x f x f x -+++=-++++L L2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n 而2511(2)22222n n n n +-=-+=--<-+++ 252)(1)(1)(121++->+++∴n n x f x f x f n Λ22.【略解】（Ⅰ）证明：令()()n n g x f x nx =-，则由1()(1)0n ng x n x n -'=+-=得0x =，且0x =是()n g x 的唯一极小值点，故min [()](0)0n n g x g ==，因此，有()n f x nx ≥；（Ⅱ）00101()(1)(1)21()(1)(1)(21)n n n n n n f x f n x f x f n ++'-+=⇒='+-：显然00x >，且10221(1)(21)n n n x n +---=-+-，而1101112(11)2n n n n C C n ++++=+>+=+，故001x <<；（Ⅲ）322()(1)(1)(1)h x x x x x =+-+=+令1()01h x x '=⇒=-，213x =-，且当(,1)x ∈-∞-时，()0h x '>；当11,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()0h x '<；当1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '>()h x下面考察直线y kx =（0k >）与函数()h x 的图像的相交问题：当直线y kx=在围绕原点旋转时，可以看到：当直线y kx =经过44,327B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，k 取得最小值404274903k +==+，且此时区间4[,],03a b ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦。