浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质
1.3 二次函数的性质
1．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x ＝－2的是(A )
A. y ＝(x ＋2)2
B. y ＝2x 2－2
C. y ＝－2x 2－2
D. y ＝2(x －2)2
2．已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋1，当x >1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是(D )
A. m ＝－1
B. m ＝3
C. m ≤－1
D. m ≥－1 3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其自变量x 与函数y 的对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
则下列说法正确的是(D )
A. 抛物线的开口向下
B. 当x ＞－3时，y 随x 的增大而增大
C. 二次函数的最小值是－2
D. 抛物线的对称轴是直线x ＝－52 4．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A (1，0)，B (3，0)，则此抛物线的对称轴是直线x ＝2．
5．已知函数y ＝2x 2－4x －3，当－2≤x ≤2时，该函数的最小值是__－5__，最大值是__13__．
(第6题)
6．如图，在直角坐标系中，直线y ＝kx ＋1()k ≠0与双曲线y ＝2x
(x ＞0)相交于点P (1，m )．
(1)求k 的值．
(2)若点Q 与点P 关于直线y ＝x 对称，求点Q 的坐标．
(3)若过P ，Q 两点的抛物线与y 轴的交点为N ⎝⎛⎭
⎫0，53，求该抛物线的函数表达式及其对称轴．
【解】 (1)把点P (1，m )代入y ＝2x
，得m ＝2， ∴点P (1，2)．。
浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质
1.3 二次函数的性质学习目标1．从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质．2．了解二次函数与二次方程的相互关系．3．探索二次函数的变化规律，掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念，会求二次函数的最值，并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性．学习过程二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象有哪些性质？根据函数图象填空：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是_______________，对称轴是____________，在_________侧，即错误!未找到引用源。
_____错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
随着错误!未找到引用源。
的增大而增大；在_________侧，即错误!未找到引用源。
_____错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
随着错误!未找到引用源。
的增大而减小．当错误!未找到引用源。
______时，函数错误!未找到引用源。
最大值是__________．当错误!未找到引用源。
____错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
．根据函数图象填空：抛物线y＝2x2的顶点坐标是__________，对称轴是_____________，在________侧，即错误!未找到引用源。
______错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
随着错误!未找到引用源。
的增大而减小；在_________侧，即错误!未找到引用源。
______错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
随着错误!未找到引用源。
的增大而增大．当错误!未找到引用源。
______时，函数错误!未找到引用源。
最小值是__________．当错误!未找到引用源。
____错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质条件图象增减性最大(小)值【例】已知函数y＝x2－2x－3．错误!未找到引用源。
写出函数图象的顶点、对称轴，以及图象与坐标轴的交点，然后画出函数图象的草图；错误!未找到引用源。
浙教版数学九年级上-知识点汇总全章节
浙教版数学九年级上-知识点汇总全章节第1章 二次函数第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；①当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；①k ax y +=2；①()2h x a y -=；①()k h x a y +-=2；①c bx ax y ++=2. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。
①平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，①顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a bx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；①0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；①0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧，“左同右异”. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，①抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ①0>c ,与y 轴交于正半轴；①0<c ,与y 轴交于负半轴. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；①有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ①没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y nkx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ①方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；①方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第2章 简单事件的概率知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
浙教版九年级数学上册知识点汇总
九年级（上册）1. 二次函数1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。
函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。
2. 简单事件的概率2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。
2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，则事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
浙教版数学九年级上册1.3二次函数的性质ppt课件(共19张ppt)
x
y=2x2－4x－6
4 8 y=－ x2－ x－6 9 3
问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？
你还能发现：
这些函数是否存在最大值或 最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c （a≠0）中的那一个系数决定的吗？
y
6 4 2 0 -4 -2
y=2x2－4x－6
a
x
2 4
y=－0.5x2－2x－1.5
方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的
解是否存在有关。
归纳与探究 那么，进一步推想方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)解的存 b2 －4ac的正负性有关。 在性又与什么有关呢？
故而： ①当b2 －4ac ＞0 时，抛物线与x轴有 ②当b2 －4ac ③当b2 －4ac
两个
交点； 交点；
＝0 时，抛物线与x轴只有 一个 ＜0 时，抛物线与x轴 没有
交点。
1、抛物线与x轴的交点的个数：
⑴ y=2X２-X-1
2个
⑵ y=4X2+4X+1
1个
⑶ y=3X2+2X+5
0个
b2- 4ac﹥0
b2- 4ac=0
b2- 4ac<0
2、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（ D ）
（A）0个
（B）1个
（C）2个
（D）3个
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则
y
a__0，b__0，c__0
b - 4ac___0
2
o
x
2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ D ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
浙教版初中数学九年级上册 1.3 二次函数的性质 -课件
A C
9．(3分)二次函数y＝(x－1)(2－x)的一般式是 y＝－x2＋3x－2 ， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是 －1，3，－2 ．
10．(3分)某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的 营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长 率x之间的函数关系式为 y＝200x2＋600x＋600 ．
1.3 二次函数的性质
B C
3．(4分)如图，已知抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称 轴是直线x＝－1，则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ( B)
A．(－2，0) B．(－3，0) C．(－4，0) D．(－5，0) 4．(4分)在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大 而增大，则x的取值范围是 ( A ) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜－1 D．x＞－1
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
D
①③④
14．(8分)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x ＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若 有，请求出最大值．
解：∵当开口向下时函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最 大值，∴k－1＜0，解得k＜1.∴当k＝－1时函数y＝(k－ 1)x2－4x＋5－k有最大值，∴函数y＝－2x2－4x＋6＝－2(x ＋1)2＋8，故最大值为8
解：(1)y＝(x－1)2－4；开口向上；顶点坐标为(1，－4)；对 称轴为直线x＝1 (2)图略 (3)当x≥1时，y随x的增大而增大； 当x≤1时，y随x的增大而减小 (4)函数y有最小值，最小值 是－4 (5)当x＞3或x＜－1时，y＞0；当x＝3或x＝－1时y ＝0；当－1＜x＜3时，y＜0
10．(8分)已知抛物线y＝a(x－3)2＋2经过点(1，－2)． (1)求a的值； (2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的 大小． 解：(1)a＝－1 (2)y1＜y2
新浙教版九年级上册知识点及典型例题
新浙教版数学九年级上册知识点第一章 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a >向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a >向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当0a >向上 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．2b x a=-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b ac AB x x a-=-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 0∆> 抛物线与x 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：练习1、函数aaxy-=2与xay=在同一直角坐标系中的图象可能是（）A B C D2、反比例函数y = k -1x与一次函数y = k (x+1)在同一坐标系中的象只可能是（）3、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．（1）请写出每月销售该商品的利润y元与单价上涨x元的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？第二章简单事件的概率一、可能性1、必然事件：有些事件我们能确定它一定会发生，这些事件称为必然事件．2、不可能事件：有些事件我们能肯定它一定不会发生，这些事件称为不可能事件．3、确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的。
1.3 二次函数的性质九年级上册数学浙教版
知识点3 利用待定系数法确定二次函数的表达式 重点
表达式类型
函数表达式
适用条件
一般步骤
一般式
已知抛物线上任意三个点的坐标.
①设：根据已知条件，设出合适的二次函数表达式；②代：把已知条件代入，得到关于待定系数的方程（组）；③解：解方程（组），求出待定系数的值；④写：写出二次函数的表达式.
顶点式
典例4 （2022·温州中考）已知点 ， ， 都在抛物线 上，点 在点 左侧，下列选项正确的是( )
D
A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则
[解析] 方法一 抛物线 ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线 ，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小.又 , ,点 在点 左侧， .若 ，则点 , 在抛物线的对称轴左侧， , ， ；若 ，则点 ， 在抛物线的对称轴右侧， , ， ，故选项D正确.
没有实数根.
拓展（1）一元二次方程 <m></m> 的解是抛物线 <m></m> 与直线 <m></m> 的公共点的横坐标.（2）抛物线 <m></m> 与直线 <m></m> 的交点的坐标是方程组 <m></m> 的解.
典例2 已知二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，则该函数的图象与 轴的另一个交点的坐标为_______.
[解析] 方法一 二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ， 是一元二次方程 的一个根， ，解得 ， ，解得 ， ， 该函数的图象与 轴的另一个交点的坐标为 .方法二 二次函数 的图象的对称轴是直线 ，且与 轴的一个交点为 ， 该函数的图象与 轴的另一个交点的坐标为 .
浙教版数学九年级上册1.3二次函数的性质
1.3二次函数的性质一、选择题1在二次函数221y x x =-++的图像中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是（ ）（A ）1x < （B ）1x > （C ）1x <- （D ）1x >-2若抛物线y=x 2﹣2x+c 与y 轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ） A ． 抛物线开口向上 B ． 抛物线的对称轴是x=1C ． 当x=1时，y 的最大值为﹣4D ． 抛物线与x 轴的交点为（﹣1，0）（3，0）3、（2013•资阳）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是（ ）A ． ﹣4＜P ＜0B ． ﹣4＜P ＜﹣2C ． ﹣2＜P ＜0D ． ﹣1＜P ＜04、已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2≠++=a c bc ax y 上，点),(00y x C 是该抛物线的顶点，若021y y y ≥>，则0x 的取值范围是（ ）A ．50->xB ．10->xC ．150-<<-xD ．320<<-x★5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．ac ＞0 B． 当x ＞1时，y 随x 的增大而减小 C． b ﹣2a=0D． x=3是关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的一个根二、填空题 6.请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________7.抛物线21y x =+的最小值是 ．8.如果二次函数16的图象顶点的横坐标为1，则的值为 . 9.某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是y =60x -1.5x 2，该型号飞机着陆后需滑行 m 才能停下来.★10.如图12，一段抛物线：y ＝－x(x －3)（0≤x ≤3），记为C1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C1绕点A 1旋转180°得C2，交x 轴于点A 2；将C2绕点A 2旋转180°得C3，交x 轴于点A 3；……如此进行下去，直至得C13．若P （37，m ）在第13段抛物线C13上，则m =________．三、解答题11.当k 分别取-1，1，2时，函数y =（k -1）x 2-4x +5-k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．12.已知二次函数y =(t +1)x 2+2(t +2)x +在x =0和x =2时的函数值相等13.已知一次函()()2322++++-=m x m x m y 的图象过点（0，5） ⑴ 求m 的值，并写出二次函数的关系式；⑵ 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．14.已知抛物线2y ax bx c =++ 经过（-1，0），（0，-3），（2，-3）三点．⑴求这条抛物线的表达式；⑵写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．★15.已知抛物线的顶点是C(0，a )（a >0，a 为常数），并经过点(2a ，2a )，点D(0，2a )为一定点．(1)求含有常数a的抛物线的解析式；(2)设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD＝PH；(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点．若DA＝2DB，且S△ABD＝42，求a的值．答案：１.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6. y ＝x 2＋1 7.1 8.-2 9.600 10.211. （1）当k =1时，函数y =-4x +4为一次函数，无最值.（2）当k =2时，函数y =x 2-4x +3为开口向上的二次函数，无最大值.（3）当k =-1时，函数y =-2x 2-4x +6=-2(x +1)2+8为开口向下的二次函数，对称轴为直线x =-112. （1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y =kx +6的图象与二次函数的图象都经过点A （-3,m ），求m 和k 的值.解：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，则-=1，∴ t =-.∴ y =-x 2+x +.(2)∵ 二次函数图象必经过A 点，∴ m =-×(-3)2+(-3)+=-6.又一次函数y =kx +6的图象经过A 点，∴ -3k +6=-6,∴ k =4.13. (1)将x =0，y =5代入关系式，得m +2=5，所以m =3，所以y =x 2+6x +5；(2)顶点坐标是(-3，-4)，对称轴是直线x =-3．14. （1）由已知，得30423c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩，，解得a =1，b =-2，c =-3．所以y =x 2-2x -3．(2)开口向上，对称轴x =1，顶点(1，-4)． 15.(1)214y x a a =+ (2)略 (3)a ＝2初中数学试卷灿若寒星 制作。
浙教版九年级上数学同步训练(5) 第一章二次函数1.3二次函数的性质(Word版含答案)
本文由一线教师精心整理/word 可编辑1 / 41.3 二次函数的性质1.抛物线 y=x 2+2x+3 的对称轴是（ B ）A.直线 x=1B.直线 x=-1C.直线 x=-2D.直线 x=22.二次函数 y=x 2-2x-1 图象的顶点位于（ D ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知二次函数 y=a （x-1）2+3，当 x ＜1 时，y 随 x 的增大而增大，则 a 的取值范围是（ D ）A.a ≥0 B .a≤0 C.a ＞0 D.a ＜04.若二次函数 y=-x 2+2x+m 2+1 的最大值为 4，则实数 m 的值为（ A ）A ．2B ．3C ．±2D ．±1 【解析】∵y=-x 2+2x+m 2+1=-（x-1）2+m 2+2，二次函数 y=-x 2+2x+m 2+1 的最大值为 4，∴m 2+2=4，解得 m=±2.故选 A.5.已知二次函数 y=-x 2+2x+3，当 x ≥2 时，y 的取值范围是（ B ）A. y ≥3B. y ≤3C. y ＞3D. y ＜3【解析】当 x=2 时，y=-4+4+3=3.∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4，∴当 x ＞1 时，y 随 x 的增大而减小.∴当 x ≥2 时，y 的取值范围是 y≤3.故选 B.6.已知抛物线 y=x 2+bx+3 的对称轴为直线 x=1，则实数 b 的值为 -2 .7.抛物线 y=2（x-3）（x+2）的顶点坐标是（12，25-2） ．8.已知函数 y=x 2+2x+1，当 y=0 时，x= -1 ；当 1＜x ＜2 时，y 随 x 的增大而 增大 （填“增大”或“减小”）.9.已知二次函数 y=-2x 2+8x-6.（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴.（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于 0 时 x 的取值范围.【解析】（1）∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2，∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线 x=2.（2）图象如图所示： 函数值不小于 0 时，1≤x ≤3.10.我们称顶点相同的两条抛物线为同位抛物线，已知抛物线 C 1：y=2x 2-4x+3.（1）下列抛物线中，与抛抛物 C 1 是同位抛物线的是 B .A. y=2x 2-4x+4B. y=3x 2-6x+4C. y=-2x 2-4x+3D. y=2x 2（2）若抛物线 C 2：y=ax 2-2ax+c （a≠0）与 C 是同位抛物线，则 a 与 c 需满足什么关系？【解析】（1）将抛物线 C 1 配方，得y=2x 2-4x+3=2（x 2-2x+1-1）+3=2（x-1）2+1，∴抛物线 C 1 的顶点为（1，1）.故选 B.（2）将抛物线C2 配方，得y=ax2-2ax+c=a（x2-2x+1-1）+c=a（x-1）2-a+c，∴抛物线C2 的顶点为（1，-a+c）.∵抛物线C 2：y=ax2-2ax+c（a≠0）与C 是同位抛物线，∴-a+c=1，即c-a=1.∴a与c 需满足的函数关系为c-a=1.11.已知二次函数y=ax2+bx+c，自变量x 与函数y 的对应值如下表所示：x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …下列说法中，正确的是（ B ）A.抛物线的开口向下B.抛物线的对称轴是直线x=-5 2C.二次函数的最小值是-2D.当x＞-3 时，y 随x 的增大而增大12.若二次函数y=x2+mx 的对称轴是直线x=3，则关于x 的方程x2+mx=7 的解为（ D ）A.x1=0，x2=6B.x1=1，x2=7C.x1=1，x2=-7D.x1=-1，x2=7【解析】∵二次函数y=x2+mx 的对称轴是直线x=3，∴-=3，解得m=-6.∴关于x 的方程x2+mx=7 可化为x2-6x-7=0，即（x+1）（x-7）=0，解得x =-1，x =7.故选D.1 213.已知二次函数y=x2+（m-1）x+1，当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ D ）A. m=-1B. m=3C. m≤-1D. m≥-1【解析】抛物线的对称轴为直线x=-1 2 m-∵当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，∴-12m-≤1，解得m≥-1.故选D.14.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=-x2+bx+c 上的两点，那么该抛物线的顶点坐标是（1，4）. 【解析】∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=-x2+bx+c 上两点，∴代入得3423cb c=⎧⎨-++=⎩解得23bc=⎧⎨=⎩∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，顶点坐标为（1，4）.15.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A（-3，0），对称轴是直线x=-1，则a+b+c= 016.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c 经过点A（2，0），B（0，2），点P 是抛物线上一动点，连结BP，OP.（1）求这条抛物线的函数表达式.（2）若△BOP是以BO 为底边的等腰三角形，求点P 的坐标.【解析】（1）将点 A （2，0），B （0，2）代入 y=-x 2+bx+c ，得4202b c c -++=⎧⎨=⎩解得12b c =⎧⎨=⎩∴这条抛物线的函数表达式为 y=-x 2+x+2.（2）∵△BOP 是以 BO 为底边的等腰三角形，且 B （0，2），∴点 P 的纵坐标为 1.当 y=1 时，-x 2+x+2=1， 解得 x 1=5+12，x 2=5+12-. ∴点 P 5+1，15+1- 1.） 17.已知抛物线 y=x 2+bx+c 的对称轴为直线 x= -1 ，且经过点（-4，5）.（1）求抛物线的函数表达式.（2）抛物线 y 存在最小值吗？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.（3）当-2＜x ＜3 时，求 y 的取值范围.【解析】（1）∵抛物线的对称轴为直线 x=-1，∴x =21b -⨯=-1，解得 b=2. ∵抛物线 y=x 2+2x+c 经过点（-4，5）， ∴5=（-4）2+2×（-4）+c ，解得 c=-3.∴抛物线的函数表达式为 y=x 2+2x-3.（2）∵a=1＞0,∴抛物线 y=x 2+2x-3 有最小值， 最小值为 y=（-1）2+2×（-1）-3=-4.（3）∵y=x 2+2x-3，当 x=-2 时，y=-3；当 x=3 时，y=12.∵对称轴为 x=-1，最小值为 y=-4，∴当-2＜x ＜3 时，-4≤y ＜12.18.已知关于 x 的函数 y=kx 2+（2k-1）x-2（k 为常数）.（1）试说明：不论 k 取何值，此函数图象一定经过（-2，0）.（2）当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围.（3）该函数是否存在最小值-3？若存在，请求出此时 k 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）将 x=-2 代入，得 y=k ·（-2）2+（2k-1）·（-2）-2=0，∴不论 k 取何值，此函数图象一定经过点（-2，0）.（2）①若 k=0，此函数为一次函数 y=-x-2，当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴k=0 符合题意.②若 k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（-2，0）,（0，-2），∴要使当x＞0 时，y 随x 的增大而减小须满足k＜0 且x=-212kk-120122k-+=-∴k＜0. 综上所述，k 的取值范围是k≤0.（3）若k=0，此函数为一次函数y=-x-2，∵x的取值为全体实数，∴y无最小值.若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为-3，则28(21)34k kk-----，且k＞0，解得k=232±符合题意.∴当23±时，函数存在最小值-3.。
浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质.docx
1．3 二次函数的性质1．对于二次函数y ＝(x ＋2)2－3的最大(小)值，叙述正确的是(D)A ．当x ＝2时，有最大值－3B ．当x ＝－2时，有最大值－3C ．当x ＝2时，有最小值－3D ．当x ＝－2时，有最小值－32．若抛物线y ＝x 2－x ＋2c 与x 轴无公共点，则c 的取值范围是(B)A ．c ＜18B ．c ＞18C ．c ≤18D ．c 为任何实数 3． 已知抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ，k 是常数，且a >0)上三点P 1(－2，y 1)，P 2(－1，y 2)，P 3(1，y 3)，则(A)A ． y 1>y 2>y 3B ． y 3>y 2>y 1C ． y 3>y 1>y 2D ． y 2>y 1>y 34． 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A(1，0)，B(3，0)，则此抛物线的对称轴是直线x ＝2．5．已知二次函数y ＝x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－1的最小值为0，则k 的值为－54． 6．抛物线y ＝x 2＋4x －5的顶点是__(－2，－9)__，对称轴是__直线x ＝－2__．当x __≤－2__时，y 随x 的增大而减小．7． 抛物线y ＝x 2－5x ＋4与x 轴的交点坐标为(1，0)，(4，0)，与y 轴的交点坐标为(0，4)．8．根据下列条件，求二次函数的表达式．(1)图象过点(－1，0)，(5，0)，(2，1)；(2)对称轴为直线x ＝1，过点(3，0)，(0，3)；(3)顶点为(－2，－4)，过点(5，2)．【解】 (1)设二次函数的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)．把点(2，1)的坐标代入y ＝a (x ＋1)(x －5)，得1＝a (2＋1)(2－5)，解得a ＝－19． ∴此二次函数的表达式为y ＝－19(x ＋1)(x －5)． (2)设二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2＋k ．把点(3，0)，(0，3)的坐标代入y ＝a (x －1)2＋k ，得⎩⎪⎨⎪⎧a （3－1）2＋k ＝0，a （0－1）2＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，k ＝4. ∴此二次函数的表达式为y ＝－(x －1)2＋4．(3)设二次函数的表达式为y ＝a (x ＋2)2－4．把点(5，2)的坐标代入y ＝a (x ＋2)2－4，得a (5＋2)2－4＝2，解得a ＝649． ∴此二次函数的表达式为y ＝649(x ＋2)2－4．9．抛物线y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m 与y 轴交于点(0，3)．(1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求它与x 轴的交点坐标和抛物线的顶点坐标；(3)当x 取何值时，抛物线在x 轴的上方？(4)当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？(第9题解)【解】 (1)由题意，把点(0，3)的坐标代入抛物线y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m ，得m ＝3．∴y ＝－x 2＋2x ＋3．图象如解图所示．(2)令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3．∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)．(3)当－1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方．(4)当x ≥1时，y 随x 的增大而减小．10． 已知抛物线与x 轴的交点坐标是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)．求：(1)该抛物线的函数表达式；(2)该抛物线的顶点坐标．【解】 (1)设y ＝a (x ＋2)(x －1)，把点(2，8)的坐标代入y ＝a (x ＋2)(x －1)，得8＝a (2＋2)(2－1)，解得a ＝2．∴y ＝2(x ＋2)(x －1)．(2)在顶点处，x ＝－2＋12＝－12， y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝－92， ∴顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－92． 11．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，y 3为二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是(B)A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2【解】 ∵对称轴为直线x ＝－42＝－2，a ＝1>0， ∴离对称轴越近y 的值越小．∵－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝－2＋134＝54， －54－(－2)＝－54＋2＝34，1 4－(－2)＝14＋2＝94，∴y3>y1>y2．12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－32x＋3与x轴、y轴的交点，并且经过点(1，1)．求这个二次函数的表达式，并把表达式化成y＝a(x－m)2＋k的形式．【解】∵y＝－32x＋3，∴其与x轴的交点为(2，0)，与y轴的交点为(0，3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4a＋2b＋c＝0，c＝3，a＋b＋c＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝12，b＝－52，c＝3.∴y＝12x2－52x＋3＝12⎝⎛⎭⎪⎫x－522－18．13．已知抛物线y＝－12x2＋()5－m2x＋m－3与x轴有两个交点A，B，点A在x轴的正半轴上，点B 在x轴的负半轴上，且O A＝O B．(1)求m的值；(2)求抛物线的函数表达式，并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标；(3)问：在抛物线上是否存在一点M，使△M AC≌△O AC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解】(1)由已知，得⎩⎨⎧5－m2＝0，m－3＞0，解得m＝5．(2)抛物线的函数表达式为y＝－12x2＋2，对称轴是y轴，顶点坐标为C(0，2)．(3)当y＝0时，－12x2＋2＝0，解得x＝±2，∴A(2，0)．又∵C(0，2)，∴△O AC是等腰直角三角形．若△M AC≌△O AC，则M(2，2)．∵当x＝2时，y＝－12×4＋2＝0≠2，∴不存在点M，使△M AC≌△O AC．(第14题)14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结O A ，将线段O A 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段O B ．(1)求点B 的坐标；(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的函数表达式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△B O C 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时点P 的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．【解】 (1)过点B 作B M ⊥x 轴．∵∠A O B ＝120°，∴∠B OM ＝60°．∵A(－2，0)，∴O B ＝A O ＝2， ∴OM ＝1，B M ＝3．∴B(1，3)．(2) 设抛物线的函数表达式为y ＝ax (x ＋2)．将点B(1，3)的坐标代入y ＝ax (x ＋2)，得3＝3a ，解得a ＝33． ∴y ＝33x 2＋233x ． (3)如解图①，抛物线的对称轴是直线x ＝－1．∵点O 与点A 关于对称轴对称，∴O C ＝AC ．∴当点C 位于对称轴与AB 的交点时，△B O C 的周长最小．设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ．∵它过A(－2，0)，B(1，3)两点，∴⎩⎨⎧k ＋b ＝3，－2k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33，b ＝2 33.∴y ＝33x ＋2 33． 当x ＝－1时，y ＝33， ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，33． ,①),②),(第14题解)) (4)如解图②，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点D ．设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x 2＋2 33x ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，33x ＋2 33． ∴S △P AB ＝S △P AD ＋S △P DB＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫33x＋2 33－⎝⎛⎭⎪⎫33x2＋2 33x×3＝－32x2－32x＋ 3＝－32⎝⎛⎭⎪⎫x＋122＋9 38(－2＜x＜0)．∴当x＝－12时，△P AB的面积最大，为9 38，此时P⎝⎛⎭⎪⎫－12，－34．初中数学试卷。