第8章圆锥曲线专练14—探索性问题2-高三数学一轮复习

圆锥曲线专练14——圆锥曲线中的探索问题2（1）求椭圆的方程；（2）若动直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且恒有0OA OB =，是否存在一个以原点O 为圆心的定圆C ，使得动直线l 始终与定圆C 相切？若存在，求圆C 的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可得c e a ==， 设12F PF θ∠=，1||PF m =，2||PF n =，由椭圆的定义可得2m n a +=，由余弦定理可得2222242cos ()2(1cos )42(1cos )c m n mn m n mn a mn θθθ=+-=+-+=-+，所以22222222()2221cos ()2a c b b b mn mn m n aθ-+===+，当且仅当m n =（即P 为椭圆的短轴端点时）取得等号，且12F PF ∠取得最大值，此时△12PF F 的面积是122c b bc =②由222a b c =+，③，联立①②③解得2a =，1b =，c =则椭圆的方程为221:4x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程设为x n =，由0OA OB =，可得AOB ∆为等腰直角三角形，则可设(,)A n n ，所以2244n n +=，即245n =，此时原点到直线l 的距离为d =；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，原点O 到直线l 的距离为d ，所以d =，即为222(1)m d k =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=， △222(8)4(14)(44)0km k m =-+->，即2214k m +>，122814kmx x k +=-+，21224414m x x k -=+，2222222121212122224484()()()()141414m km m k y y kx m kx m k x x km x x m k km m k k k --=++=+++=+-+=+++，2222212122224445440141414m m k m k OA OB x x y y k k k----=+=+==+++，即225440m k --=，即2225(1)440d k k +--=恒成立，即22(54)(1)0d k -+=恒成立，所以2540d -=，所以d ， 所以定圆C 的方程为2245x y +=， 所以当0OA OB =时，存在定圆C 始终与直线l 相切，其方程为2245x y +=． 2．在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，若椭圆（1）求抛物线C 和椭圆M 的方程；（2）是否存在正数m ，对于经过点(0,)P m 且与抛物线C 有A ，B 两个交点的任意一条直线，都有焦点F 在以AB 为直径的圆内？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为抛物线2:2(0)C x py p =>经过点2(,)3E t ，且8||3EF =．所以28323p +=，解得4p =，所以抛物线2:8C x y =，焦点(0,2)F ，2163t =由题意知221641392a bb ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2264a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆22:164x y M +=； 故抛物线C 的方程为28x y =，椭圆M 的方程为22164x y +=．（2）假设存在正数m 适合题意，由题意知直线AB 的斜率一定存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，由28x yy kx m⎧=⎨=+⎩消去y ，整理得2880x kx m --= 因为直线与抛物线有两个交点且0m >，所以△264320k m =+> 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x k +=，128x x m =-，所以222222121212121212()2()82,8864x x x x x x x x y y k m y y m ++-+===+==因为1122(,2),(,2)FA x y FB x y =-=-，所以221212122()412416FA FB x x y y y y m m k =+-++=-+-由题意知0FA FB <恒成立， 所以2212416m m k -+<恒成立因为k R ∈，所以21240m m -+<，解得66m -<<+又因为0m >，所以66m -<<+故存在正数m 适合题意，此时m的取值范围为(6-+．A ，过原点O 的直线l 与椭圆G 交于P ，Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M ． （Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的3倍？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩．∴椭圆G 的标准方程为2214x y +=．（Ⅱ）设0(Q x ，0)y ，则0(P x -，0)y -，可知002x <<，001y <<． 若使BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的3倍，只需使得||3||OQ MQ =， 即00222(,)333OM OQ x y ==，即0022(,)33M x y ．由(2,0)A ，(0,1)B ，∴直线AB 的方程为220x y +-=．点M 在线段AB 上，∴00242033x y +-=，整理得0032x y =-，① 点Q 在椭圆G 上，∴220014x y +=，②把①式代入②式可得2081250y y -+=， 判别式小于零，该方程无解．∴不存在直线l ，使得BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的3倍．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A 是椭圆E 上的一个动点，求12AF AF 的最大值和最小值；（3）过椭圆E 的右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P ，Q 两点，线段2OF 上是否存在点(,0)M m ，使得OP MP PQ MQ =？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由(O 为坐标原点）．【解答】解：（1）以双曲线2213x y -=的右焦点为右顶点，2a ∴，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点3(1,)2，∴221914a b +=，b ∴∴椭圆E 的方程为22143x y +=，（2）设(2cos )A θθ，1(1,0)F -，2(1,0)F ，∴12(12cos AF AF θ=--，)(12cos θθ-，222)4cos 13sin cos 2θθθθ=-+=+，20cos 1θ，22cos 23θ∴+，即12AF AF 的最大值为2，最小值为3， （3）存在这样的点M 符合题意．设线段PQ 的中点为N ，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，0(N x ，0)y ， 直线PQ 的斜率为(0)k k ≠，注意到2(1,0)F ，则直线PQ 的方程为(1)y k x =-，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得：2222(43)84120k x k x k +-+-=， 所以2122843k x x k +=+，故2012214()243k x x x k =+=+，0023(1)43ky k x k -=-=+．又点N 在直线PQ 上，所以22443k N k +，23)43kk -+，由OP MP PQ MQ =可得()20PQ MP MQ PQ MN +==， PQ MN ∴⊥，22230143443MNk k k k km k ++∴==--+，整理得22211(0,)34344k m k k ==∈++， 所以，在线段2OF 上存在点(,0)M m 符合题意，其中1(0,)4∈．2OF FA =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点A 的直线与椭圆C 相较于P 、Q 两点，且以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ，若存在，求出直线PQ 的方程；不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由题意知，b =，(,0)F c ，10(A c c-，0)，则(,0)OF c=，10(2,0) FA cc=-，由2OF FA=，得204c cc=-，解得：2c=．2226a b c∴=+=，∴椭圆的方程为221 62x y+=，=；（2）(3,0)A，设直线PQ的方程为(3)y k x=-，联立22(3)162y k xx y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(13)182760k x k x k+-+-=，设1(P x，1)y，2(Q x，2)y，则21221813kx xk+=+，212227613kx xk-=+．∴22222121212222276543[3()9](9)131313k k ky y k x x x x kk k k-=-++=-+=+++．由已知得OP OQ⊥，得1212x x y y+=，即2222222763306131313k k kk k k--+==+++，解得：k=，符合△0>，∴直线PQ的方程为3)y x=-．6．在平面直角坐标系xOy中，过定点(0,)C p作直线与抛物线22(0)x py p=>相交于A、B 两点．（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB∆面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：法1:（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0,)N p -，可设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x py =联立得22x py y kx p ⎧=⎨=+⎩，消去y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-．于是1212||2ABN BCN ACN S S S p x x ∆∆∆=+=-12||p x x =-=2p =∴当0k =时，2()ABN min S ∆=．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，AC 的中点为O '，l 与AC 为直径的圆相交于点P ，Q ，PQ 的中点为H ，则O H PQ '⊥，O '点的坐标为111(,)22y p x +．1||||2O P AC '=111|||||2|22y p O H a a y p +'=-=--， 22222211111||||||()(2)()()442pPH O P O H y p a y p a y a p a ''∴=-=+---=-+-，221||(2||)4[()()]2pPQ PH a y a p a ∴==-+-．令02pa -=，得2p a =，此时||PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2p y =， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2:（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得22222222121212|||()4148212AB x x x x x x k p k p p k k -=+-=++=++，又由点到直线的距离公式得d =．从而22211||2122221ABN S d AB p k k p k ∆=⋅=++=+，∴当0k =时，2()ABN min S ∆=．（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y --+--=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=， 则2212111||4()()4[()()]2px x x a p a y a y a p a -=---=-+-．设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为3(P x ，3)y ，4(Q x ，4)y ，则有34||||PQ x x =-=．令02p a -=，得2p a =，此时||PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线．。