数学思想讲座6-数学文化

e = 2.71828182845904523536L
猜测：1.每隔10位数就会出现同样的 数字; 2. π的数字中必有e的前n位数字, e的数字中必有π的前n位数字。
2.2 e与π
π +π = e .
4 5 6
e + 1 = 0. 数学美的象征
1：实数单位 i：虚数单位 0：唯一中性数
iπ
i：来源于几何
2
86243
− 1是一个25000多位的数,
需要用30页A4纸. 是通过高性能 计算机来检验它是一个素数的.
Mersen数在代数编码（密 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700
素数个数 25 21 16 16 17 14 16
2.2 e与π
因此 cos θ + i sin θ 与e 具有同样的结构，
iθ
我们认为它们是相等的。这种思想来源于 法国伟大的哲学家和数学家Leibniz. 这种 思想在代数、几何等领域得到了许多发展。 在同构的观点下，人们能看到不同现象的 ]同一本质（规律），并能从已有的规律去 推断其他领域或事实的类似物。这是多么 美妙的方法啊！
古希腊数学十分繁荣，与艺术和哲学 紧密相连的。古希腊哲学（毕达哥拉 斯流派）对数（正整数）和对世界的 思考是不可分割的。他们认为： 万物皆数，数生万物，1最神圣 古中国：一生二、二生三、三生万物
2.对无理数的品位 无理数的发现打破了古希腊数 学与哲学的和谐，产生了数学 （也是哲学）的第一次危机
正方形对角线长与其边长之比 2： 5 +1 ： 正五边形对角线长与其边长之比 2
2.1 黄金分割
问题：在直线AB 上找一点C，使得 AC AB = CB BC
A
x
若AB = 1，AC = x， 那么 1 x = 1− x x 于是 (1)
C
5 −1 x= ≅ 0.618. 2 B
2.1 黄金分割
方程（）等价于 A 1 x2 + x − 1 = 0 它的两个根为 5 +1 x1 = 2 5 −1 x2 = 2
因
数: xi | a, i = 1,L, n. 1 ≤ xi < a
完美数: 素 数:
a = 1+ x1 + x2 +L+ xn
n 的因数之和恰好为 n +1 即n =1×n
完美数有多少?
6的 因 数 为1, 2, 3 6 = 1+ 2 + 3
2 8的 因 数 为 1, 2 , 4 , 7 ， 4 1 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
1.正整数的美学审视 2.对无理数的品位 3.无限世界的美妙
美学的基本内涵： 行为的基本准则——审美动机 社会进步的标准——发展需要 高级的心理活动——精神需求
数学的价值： 历史证明：“一个国家的科 学水平可以用它消耗的数学来度 量” （A.N.RAO） 繁荣的中国需要数学。
1.正整数的美学审视 你对正整数有感觉吗？ 你喜欢哪个（些）正整数？ 你知道数论 数论吗？ 数论 正整数优美吗？
素数个数π(n) 25 168 1229 9592
π(n)/n< 1/4 1/5 1/8 1/10
ln n lim =1 n →∞ n / π ( n)
n
10
100
1000
10000
100000
1000000
π(n)/n
2.5
4
5.95
8.14
10.42
12.05
ln n
2.3
4.6
6.9
9.2
11.5
2.2 e与π
无理数的定义说明它们不可以用有 限个有理数来表示。微积分的无穷 级数提供了无理数的有理数的无限 和表示。例如
1 1 1 π = 4 1 − + − + L 3 5 7 1 1 1 e = 1 + 1 + + + + L 2 ! 3 ! 4 !
2.2 e与π
π = 3.14159265358979323846 L
区间 1-100 1-1000 1-10000 1-100000
比例 1/4 1/6 1/8 1/10
19世纪有一位数学爱好者观 察了600000内的素数，发现 在n和2n之间至少有1个素数。 9年后一位俄国数学家证明了 猜想的正确性。
1-n的区间 n n n n 100 1000 10000 100000
π ：来源于分析
2.2 e与π
cos θ + i sin θ
cos x = 1 −
乘法运算形式一致
e
iθ
1 1 1 x2 + x4 − x6 + L 2! 4! 6! 1 1 1 3 5 s in x = x − x + x − x7 + L 3! 5! 7! 1 1 1 2 3 x e = 1+ x + x + x + x4 + L 2! 3! 4! 得 到 e ix = c o s x + i s i n x
x = 0.618 C C点称为黄金分割
B
正五边形对角线长与 边长之比 正五边形边长与对角 线长之比
2.1 黄金分割
人体: 躯干部分的宽与长之比 肚脐、膝盖 植物：相邻两叶在与茎垂直的平面 上的投影的两夹角的比 利于通风采光
2.1 黄金分割
名曲: 高潮出现在全曲的黄金分割点 名画：充分利用了0.618 建筑: 如建筑物的特征点、门窗等 黄金分割点体现了美与实用，沟通 了人与自然
2.2 e与π
无理数分类 代数无理数：整系数多项式的根
5 −1 2 如 是x + x − 1 = 0的根. 2
超越无理数：代数无理数以外的 无理数 如e, π 证明它们是超越 无理数是相当困难的。
2.2 e与π
π 与几何有关
e与物理学、经济学、生物学 e与物理学、经济学、生物学 等有关。它可以刻画天体运 动、衰变和利率、生物繁殖
496的因数为1, 2, 4,8,18,31, 62,124, 248 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 18 + 31 + 62 + 124 + 248
第四个完美数是8,128(1000多年前)
第五个完美数是33,550,336(1538年)
第六个完美数是8,589,869,056(1588年)
物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别 用途，但优美数的奇异和美丽吸引了许 多人
当n = 2,3,5, 7,13,17时, Cn确实是前6个完美数.
Euclid在探寻完美数的时候发现： 完美数可能的公式：
Cn = 2 (2 − 1)
n
n −1
并猜想当 n 和 2 − 1 都是素数时,
n
Cn是完美数. 此猜想被18世纪的一 位数学家所证明.
13.1
1800年一位德国数学家猜想这 一等式成立，96年后，两位法 国数学家同时独立地证明了猜 想的正确性。 数学在法国地位崇高，视数 学为国学。
n π ( n) ≈ ln n
猎奇——审美，它们之间是相 通的。 在杂乱无章的素数分布上， 人们发现了许多奇特的规律， 犹如万树丛中的鸟语花香
2.对无理数的品位
形 如 2 − 1的 素 数 称 为 M ersen 素 数 ,
n
记为 M
n
= 2 −1
n
共 有 28个 M ersen素 数 被 发 现 : n = 2 , 3 , 5 , 7 ,1 3 ,1 7 ,1 9 , 3 1, 6 1, 8 9 1 0 7 ,1 2 7 , 5 2 1, 6 0 7 ,1 2 7 9 , 2 2 0 3 2 2 8 1, 3 2 1 7 , 4 2 5 3 , 4 4 2 3 , 9 6 8 9 9 9 4 1,1 1 2 1 3 ,1 9 9 3 7 , 2 1 7 0 1, 23209,44497,86243