挑战程序设计讲义竞赛求素数算法

验证一个自然数是否为素数，这个问题早在中世纪就 引起人们的注意，当时人们还在寻找一个公式可以一劳永 逸地解决求素数的问题，直到高斯提出了素数产生的பைடு நூலகம்确 定性后，人们才认识到没有一个公式可以简单确认素数， 从而人们才转去寻找各种验证素数的方法。
一、试除法 试除法是根据素数的定义得出的一种方法，用需要验证
for(i=2; i<=n; i++)
{
if( n%i==0 ) return 0; //判断n能否被i整除
}
return 1;
} 其实，可以对素数的定义进行进一步的分析。要判断数n
是否为素数，不需要用n一直除到n-1才能确认，而只需要除 到√n 而就可以了。例如，n=15，则能被15整除的除数有1、 3、5，对于除数5就不用判断，因为n被3整除时其商就是5， 也就表示n能被5整除了。
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挑战程序设计竞赛求素数算法
素数（prime number） ，又称质数，指在大于1的自 然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的 数（也可定义为只有1和本身两个因数的数）。
比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合 数。素数在数论中有着非常重要的地位。
最小的素数是2，也是素数中唯一的偶数；其他素数都 是奇数。素数有无限多个，所以不存在最大的素数。
for(int i=2;i*i<=n;i++) if(n%i==0) return 0;
return 1; }
int main() { int i, n=1000, num = 0;
for(i=2; i<=n; i++) {
if(is_prime(i)) printf("%3d ",i); } return 0; }
这时可考虑采用另一种寻找素数的算法：著名的筛法 (Eratosthenes)求素数方法。
二、 筛法 Eratoslhenes算法假设有一个筛子，用来存放2~100之
间的所有数。 由于偶数都能被2整数，因此偶数都不是素数(2除外)，
则将这些数筛去，得到如图-A所示的数据(设置了背景色的 数字将被筛去)
改进后的是否为素数的函数: int is_prime(int n) { int i; if (n<=1) return 0; //n不是素数，返回零 for(i=2; i*i<=n; i++) //for(int i = 2; i <= sqrt(n); ++i) { if( n%i==0 ) return 0; //判断n能否被i整除 } return 1; }
下面用图来演示如何用这种方法求100以内的素数。
图-A 将2的倍数筛去
图-B 将3的倍数筛去
图-C 将5的倍数筛去
图-D 将7的倍数筛去
从前面的图示中可看到，在使用Eratosthenes算法进行 筛选时，只需要执行4次筛选就完成了100以内的素数的筛 选，效率非常高。如果要筛选的数据范围更大，由于只需要 选择已经筛选过的素数对后面的数进行筛选，因此可快速筛 选出后面的素数。Eratosthenes算法比试除法的效率要高得 多。
接着再将3的倍数筛去，得到如图-B所示结果。 接下来继续将5的倍数筛去，得到图-C所示结果。 最后再将7的倍数筛去，得到如图-D所示结果，即可得 到100以内的所有素数。
原理很简单，就是当i是素数的时候，i的所有的倍数必 然是合数。如果i已经被判断不是素数了，那么再找到i后面 的素数来把这个素数的倍数筛掉。
在上面的代码中，通过is_prime()函数来验证指定区间 (2～1000)中的每一个数是否为素数，而is_prime()函数中又 通过循环进行验证。这种双循环会导致程序执行效率不高。
试除法求解n以内素数的算法。复杂度是o(n*sqrt(n))， 如果n很小的话，这种算法不会耗时很多。但是当n很大的时 候，比如n=10000000时，n*sqrt(n)>30000000000,数量级 相当大。在一般的电脑上它不是一秒钟跑不出结果，它是好 几分钟都跑不出结果的。
根据筛法所示的过程编写相应的程序，具体代码如下：
#include <cstdio> #define MAX 1000000 bool prime[MAX]; int main() { int i,j,num=0;
for (i=2;i<MAX;i++) prime[i]=true;
for (i=2;i<MAX;i++) { if(prime[i]) for(j=i+i;j<MAX;j+=i) }
的数n逐个除以从2开始至n-1中的所有数，若能被某一个数 整除，表示有一个因数，说明数n不是素数：若直到n-1都 不能被整除，则说明该数是素数。
根据以上思路，可编写以下的试除法函数：
试除法判断是否为素数的函数:
int is_prime(int n)
{ int i;
if (n<=1) return 0; //n不是素数，返回零
围绕著素数存在很多问题、猜想和定理。著名的有 “孪生素数猜想”和“哥德巴赫猜想”。
关于素数的算法是信息学竞赛和程序设计竞赛中经常出 现的基础算法，虽然题目各不相同，但都要涉及验证一个自 然数是否为素数的问题。下面探讨寻找一定范围内素数的几 个算法。
根据以上思路，可编写以下的试除法函豹：
其实，可以对素数的定义进行进一步的分析。要判断数 n是否为素数，不需要用n一直除到n-1才能确认，而只需要 除到√n 而就可以了。例如，n=15，则能被15整除的除数有 1、3、5，对于除数5就不用判断，因为n被3整除时其商就 是5，也就表示n能被5整除了。
prime[j]=false;
for(i=2;i<MAX;i++) { if(prime[i]==true) { num++; printf("%8d",i); } } printf("\n Total=%d ",num);
改进后的程序中，在for循环中以i*i既i的平方与n值进行 比较，就可以显著地减少循环的次数，提高验证的效率。
这里用了 i*i <= n 来代替 sqrt(n)，可以避免调用函数 sqrt()，其消耗时间较多，特别是在大量数据测试的时候消 耗很明显。
求出1000以内的所有素数: #include <cstdio> int is_prime(int n) {