MATLAB仿真软件在现代控制理论课程教学中的应用
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
’ｔｆ
分项中 ｘＴ （ ｔ） Ｑｘ （ ｔ） ｄｔ 项表示在系统控制过程 ０
中， 对系统动态跟踪误差加权平方和的积分要
为在教学中加强实际背景介绍， 注重实际应 用， 选择倒立摆作为仿真示例， 用前面介绍的极点 配置控制和线性二次型最优控制理论设计状态反 馈控制器， 并应用于倒立摆的控制中， 进行仿真研 究， 培养学生的控制系统综合分析和设计能力。
地看到。
介 绍 代 数 Ｒｉｃｃａｔｉ 方 程 的 求 解 。 由 于 代 数 Ｒｉｃｃａｔｉ
在 ＭＡＴＬＡＢ 的 控 制 工 具 箱 中 提 供 了 求 解 极 方程的求解过程十分复杂， 在计算机技术飞速发
点配置控制器的函数 ｐｌａｃｅ（ ） ， 其调用格式如下：
展的今天， 完全可借助于计算机快速获得计算结
则有如下非线性状态方程：
为摩擦系数； ｇ 为重力加速度； ｕ（ ｔ） 为沿 ｘ 方向作
ｙ·１＝ｙ２
’ ) )
ｙ·２＝
（
ｍ１＋ｍ２）
ｇｓｉｎ（
ｙ１）
＋ｂｃｏｓ（ ｙ１） ｙ４－ ｍ２Ｌｓｉｎ（ ｙ１） ｃｏｓ（
Ｌ（
４（ ｍ１＋ｍ２） ３
－
ｍ２ｃｏｓ２（ ｙ１）
）
ｙ１）
ｙ２２－
ｃｏｓ（
ｙ１）
ｕ
) ) ) ) ) ) ) )
１．采用极点配置方法设计状态反馈控制器
将闭环极点配置在 Ｐ１＝［ － ５， － ６， － １±ｊ］ 。 调 用 ＭＡＴＬＡＢ 的控制工具箱中函数（ ２） ， 求得极点配置
状态反馈增益矩阵
Ｋ＝［ － ３９．１８４１， － ７．０９２９， － ２．７４５８， － ３．８５７５］
带入倒立摆系统（ ９） 进行仿真。系统（ ９） 的ＳＩＭＵ－
其中，
响应的振荡更严重（ 见图 ３） 。
０ !
"
１
"
"
" "
３１．１８４
０
Ａ＝
" "
０ "
"
０
"
"
－"
#
０．５９４７
０
０
０
$ %
%
%
０
０．２２２７
% %
%
%
０
１
% %
%
%
０
－ ０．０７２４
% &
! "
０
$ %
"
%
"
%
－"
"
２．２２６８
% %
Ｂ＝
" "
% %
" "
０
% %
"
%
"
%
" #
０．７４３２
% &
大， 使得学生较难掌握。ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件中包
含许多控制工具箱， 为控制系统的分析和设计提
供了极大的方便。借助于 ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件中一
个简单的语句就可以计算出极点配置控制器。教
学中， 为了阐明极点配置控制器的设计原理， 我
们首先给出必要的基本概念和基本设计方法， 然
后利用 ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件设计控制器， 并给出仿
ＬＩＮＫ 仿真模型结构图如图 １ 所示。
１ ｓ ｉｎｔｅｇｒａｔｏｒ
ｓｃｏｐｅ２
１ ｏｕｔ１
ｆ（ ｕ）
ｆ２（ ｕ， ｙ） Ｋ
图 １ 极点配置控制时倒立摆的 Ｓ ＩＭＵＬＩＮＫ 仿真结构图
真演示， 让学生直接观察到设计的结果， 增强学
生的感性认识， 帮助学生加深理解课堂所学理
论。例如， 某线性定常系统状态空间表达式为
! ｘ· （ ｔ） ＝Ａｘ（ ｔ） ＋Ｂｕ（ ｔ）
（ １）
ｙ（ ｔ） ＝Ｃｘ（ ｔ） ＋Ｄｕ（ ｔ）
其中， ｘ（ ｔ） 为系统的状态响应， ｙ（ ｔ） 为系统输出，
ｕ （ ｔ） 为 系 统 的 控 制 输 入 ， Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 为 已 知 系 数
０
闭环系统的极点。利用该函数学生可方便快捷地 求出状态反馈控制矩阵 Ｋ， 无需再进行繁杂的手 工计算。因此， 代数 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程的求解过程只需 简单介绍即可， 而重点应放在系统中权重系数 Ｑ、 Ｒ 对系统动态性能影响的分析上， 加强对学生系 统综合分析设计能力的培养。借助于 Ｍａｔｌａｂ 仿真 软件对系统的动态过程进行仿真研究， 通过对系 统具体运动过程的观察和对输出图形的分析， 学 生可进一步体会参数 Ｑ， Ｒ 的物理意义， 对理论知 识也会有更深的认识。
矩阵。极点配置控制方法就是通过设计状态反
馈控制器， 使得系统闭环极点（ 或闭环特征根）
配置在期望的位置， 获得期望的系统动态响应
特性。在这里需要着重指出的是当系统中闭环
收稿日期：２００７－ ０７－ ３１ 作者简介：郑艳（ １９６３－ ） ， 女， 辽宁沈阳人， 东北大学副教授， 博士； 高立群（ １９４９－ ） ， 男， 辽宁沈阳人， 东北大学教授， 博
中图分类号：Ｇ ６４２．０
文献标识码：Ａ
《现 代 控 制 理 论 》 作 为 自 动 化 专 业 本 科 的 专 业 基 础 课 程 ， 是 《自 动 控 制 原 理 》的 后 续 课 程 ， 也 是 硕 士 研 究 生 线 性 系 统 理 论 、最 优 控 制 理 论 等 学 位课程的基础， 因此， 《现代控制理论》课程在自动 控制专业的本科教学中占有十分重要的地位［１－ ２］ 。 如何在教学改革中提高该课程的教学质量是我 们面临的一个非常重要的课程［３－ ４］ 。《现代控制理 论》课程， 是将实际系统抽象为数学模型， 根据数 学模型去研究系统的各个方面， 概念抽象， 所用 数学知识较深， 学生在学习过程中常常感到抽象 难懂， 不易掌握。为了适应当今社会对人才素质 教育培养的要求， 注重对学生创新能力和综合素 质的培养， 必须对现代控制理论课程进行相应的 改革， 探索新的教学模式和教学方法。为此， 我们 尝 试 将 优 秀 的 仿 真 软 件— ——ＭＡＴＬＡＢ／ＳＩＭＵＬＩＮＫ 引 入 《现 代 控 制 理 论 》 课 程 的 教 学 中 ， 借 助 ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件作为教学工具， 进行仿真演示 和研究， 既节省了手工绘图的时间， 同时也通过 仿 真 演 示 使 得 抽 象 的 理 论 、概 念 变 得 更 加 通 俗 易 懂， 弥补了实验手段的不足［５］ 。通过对系统具体运 动过程的观察和对输出图形的分析， 使学生对理 论知识有了更深刻的认识。
)
ｙ·３＝ｙ４
) (
（ ９）
)
)
ｙ·４＝
４ ３
ｍ２Ｌｓｉｎ（ ｙ１） ｙ２２－ ｍ２ｇｓｉｎ（ ｙ１） ｃｏｓ（ ｙ１） －
４（ ｍ１＋ｍ２） ３
－
ｍ２ｃｏｓ２（ ｙ１）
４ ３
ｂｙ４＋
４ ３
ｕ
ห้องสมุดไป่ตู้
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) *
首 先 将 倒 立 摆 的 非 线 性 模 型 （ ９） 在 ｙＴ＝ 对于第一组极点由于极点－ ５， － ６ 远离虚轴， 其作
倒立摆的非线性动力学方程如式（ ８） ： ［６］
! " （ ｍ１＋ｍ２）
ｄ２ｘ（ ｔ） ｄｔ２
＋ｂ
ｄｘ（ ｔ） ｄｔ
＋（ ｍ２Ｌｃｏｓ!（ ｔ） ）
ｄ２!（ ｔ） ｄｔ２
＝ｕ（ ｔ） ＋ｍ２Ｌｓｉｎ!（ ｔ）
ｄ!（ ｔ） ｄｔ
# % % % %%
$
（ ８）
（ Ｊ＋ｍ２Ｌ２）
ｄ２!（ ｔ） ｄｔ２
＋（ ｍ２Ｌｃｏｓ!（ ｔ） ）
ＰＡ＋ＡＴＰ－ ＰＢＲ－１ＢＴＰ＋Ｑ＝０
（ ５）
解得：
ｕ（ ｔ） ＝－ Ｋｘ（ ｔ） ＝－ Ｒ－１ＢＴＰｘ（ ｔ）
（ ６）
式中， Ｋ 即为所设计的状态反馈矩阵。
在线性二次型最优控制部分的课堂教学中，
通过给小车底座水平方向施加一个控制力， 使 小车在有限长的导轨上运动， 以保持小车上的 倒立摆杆稳定在垂直向上的不稳定平衡点上。 由于倒立摆系统模型的特点， 它常常被用来检 验各种控制策略的实际效果。同时也能够全面 地满足自动控制教学的要求， 很适合学习现代 控制理论的学生使用它来验证所学的控制理 论。许多抽象的控制概念如系统稳定性、能控 性、能观性和系统抗干扰能力等都可以通过控 制倒立摆直观地表现出来。
本文以状态反馈极点配置控制方法及线性二 次型最优控制方法的教学为例， 介绍 ＭＡＴＬＡＢ 仿
真软件在《现代控制理论》课程教学中的应用。
一、极点配置控制方法
极 点 配 置 控 制 方 法 是 《现 代 控 制 理 论 》课 程
教学中重点介绍的系统设计方法之一， 它理论性
强 ， 且 控 制 器 设 计 中 推 导 过 程 比 较 复 杂 、运 算 量
士生导师； 李浚圣（ １９６３－ ） ， 男， 辽宁沈阳人， 沈阳大学教授， 博士。
第２期
郑 艳等： ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件在现代控制理论课程教学中的应用
９３
极点配置在不同位置时， 系统的动态响应是截 首先应重点介绍线性二次型最优控制的基本原
然 不 同 的 。 这 一 点 ， 通 过 仿 真 演 示 ， 学 生 可 清 楚 理， 线性二次型指标中各项的物理意义。其次简要
第１０卷 第２ 期 ２００８ 年 ４ 月
沈阳教育学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＨＥＮＹＡＮＧ ＣＯＬＬＥＧＥ ＯＦ ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ
文章编号：１００８－３８６３（２００８）０２－００９２－０５
Ｖｏｌ． １０，Ｎｏ． ２ Ａｐｒ． ２ ０ ０ ８
ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件在现代控制理论课程 教学中的应用
ｄ２ｘ（ ｔ） ｄｔ２
＝ｍ２Ｌｇｓｉｎ（ !（ ｔ） ）
% % % %% &
９４
沈阳教育学院学报
第 １０卷
其中， ｍ１ 为小台车的质量： 为 ｍ２ 摆杆的质量： Ｊ＝ ｍ２Ｌ２／３ 为转动惯量； Ｌ 为质心与节点的距离； ｘ（ ｔ） 为 小台车的位移； !（ ｔ） 为摆杆与垂直方向的夹角； ｂ
用于小台上的驱动力， 即控制输入。选取状态变量 ｙ（ ｔ） ＝［ !（ ｔ） ， !· （ ｔ） ， ｘ（ ｔ） ， ｘ· （ ｔ） ］ Ｔ＝［ ｙ１， ｙ２， ｙ３， ｙ４］ Ｔ
ｄｔ
（ ４）
三、倒立摆系统的仿真研究
最小化。其中 Ｑ， Ｍ 是半正定矩阵， Ｒ 是正定矩阵， 终止时间 ｔｆ 固定。
在线性二次型指标 Ｊ 的表达式中各项的物理 意 义 是 ： ｘＴ（ ｔｆ） Ｍｘ （ ｔｆ） 为 终 值 项 ， 表 示 在 控 制 过 程 结束以后， 对系统终止状态跟踪误差的要求： 积
郑 艳 １， 高立群 １， 李浚圣 ２
（ １．东北大学 信息科学与工程学院， 辽宁 沈阳 １１０００４； ２．沈阳大学 信息工程学院， 辽宁 沈阳 １１００４４）
摘
要：以实例介绍了 ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件在现代控制理论课程教学中的应用。为适应新形势下现代控制
理 论 课 程 的 教 学 ， 尝 试 将 ＭＡＴＬＡＢ 仿 真 软 件 中 的 ＳＩＭＵＬＩＮＫ 工 具 引 入 现 代 控 制 理 论 的 课 堂 教 学 中 ， 借 助 于
（ ７）
控制器为 ｕ（ ｔ） ＝－ Ｋｘ（ ｔ）
其中， 矩阵 Ａ， Ｂ， Ｑ， Ｒ 的意义如前所述， 返回的 Ｋ （ ３） 矩阵为状态反馈矩阵， Ｐ 为 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程的解， Ｅ 为
二、线性二次型最优控制方法
线性二次型（ ＬＱ－ Ｌｉｎｅａｒ Ｑｕａｄｒａｔｉｃ） 最优控制
是《现代控制理论》课程教学的重点和难点， 它理
倒立摆这一控制对象本身是一个固有不稳 定的非线性多变量复杂系统， 其控制的目标是
求， 是系统在控制过程中动态跟踪误差的总度
’ｔｆ
量； 积分项 ｕＴ（ ｔ） Ｒｘ（ ｔ） ｄｔ 表 示 系 统 控 制 过 程 中 ０
所消耗的能量。
对于线性定常系统最优控制 ｕ （ ｔ） 可通过求
解代数 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程：
ＳＩＭＵＬＩＮＫ 可视化的编程和仿真演示， 将抽象的理论和概念变得更为通俗易懂， 加深了学生对基础理论的认识和
理解， 也培养了学生系统综合分析设计的能力， 并且为学生今后使用 ＭＡＴＬＡＢ 进行控制系统设计打下了基础。
关 键 词：现代控制理论； ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件； 极点配置； 线性二次型最优控制
论性强， 且设计中运算量大， 学生常常感到抽象难
懂， 很难掌握设计思想的精髓。
线性二次型最优控制器的任务是在控制没有
约束的情况下， 设计一状态反馈控制律 ｕ（ ｔ） ， 使线
性二次型最优控制指标
’ Ｊ＝
１ ２
ｘＴ（
ｔｆ）
Ｍｘ
（
ｔｆ）
＋
１ ２
ｔｆ
(ｘＴ（ ｔ） Ｑｘ（ ｔ） ＋ｕＴ（ ｔ） Ｒｕ（ ｔ） )
＞＞［ Ｋ］ ＝ｐｌａｃｅ（ Ａ， Ｂ， Ｐ）
（ ２） 果。Ｍａｔｌａｂ 的控制工具箱中提供了求解代数 Ｒｉｃ－
其中， Ａ、Ｂ 的意义如前所述， Ｐ 为所要配置的闭环 ｃａｔｉ 方程的函数 ｌｑｒ（ ） ， 其调用方法如下：
极点的数值， Ｋ 矩阵为状态反馈矩阵。则状态反馈
＞＞［ Ｋ， Ｐ， Ｅ］ ＝ｌｑｒ（ Ａ， Ｂ， Ｑ， Ｒ）
［ ０， ０， ０， ０］ 附 近 进 行 近 似 线 性 化 ， 得 到 在 ｙＴ＝ 用可忽略， 此时极点－ １±ｊ 为主导极点， 系统响应主
［ ０， ０， ０， ０］ 附近的线性模型为：
要由它们决定。而与第一组极点相比， 对应第二组
ｙ· ＝Ａｙ＋Ｂｕ
（ １０） 极点的主导极点虚部的幅值更大， 因此对应系统
分项中 ｘＴ （ ｔ） Ｑｘ （ ｔ） ｄｔ 项表示在系统控制过程 ０
中， 对系统动态跟踪误差加权平方和的积分要
为在教学中加强实际背景介绍， 注重实际应 用， 选择倒立摆作为仿真示例， 用前面介绍的极点 配置控制和线性二次型最优控制理论设计状态反 馈控制器， 并应用于倒立摆的控制中， 进行仿真研 究， 培养学生的控制系统综合分析和设计能力。
地看到。
介 绍 代 数 Ｒｉｃｃａｔｉ 方 程 的 求 解 。 由 于 代 数 Ｒｉｃｃａｔｉ
在 ＭＡＴＬＡＢ 的 控 制 工 具 箱 中 提 供 了 求 解 极 方程的求解过程十分复杂， 在计算机技术飞速发
点配置控制器的函数 ｐｌａｃｅ（ ） ， 其调用格式如下：
展的今天， 完全可借助于计算机快速获得计算结
则有如下非线性状态方程：
为摩擦系数； ｇ 为重力加速度； ｕ（ ｔ） 为沿 ｘ 方向作
ｙ·１＝ｙ２
’ ) )
ｙ·２＝
（
ｍ１＋ｍ２）
ｇｓｉｎ（
ｙ１）
＋ｂｃｏｓ（ ｙ１） ｙ４－ ｍ２Ｌｓｉｎ（ ｙ１） ｃｏｓ（
Ｌ（
４（ ｍ１＋ｍ２） ３
－
ｍ２ｃｏｓ２（ ｙ１）
）
ｙ１）
ｙ２２－
ｃｏｓ（
ｙ１）
ｕ
) ) ) ) ) ) ) )
１．采用极点配置方法设计状态反馈控制器
将闭环极点配置在 Ｐ１＝［ － ５， － ６， － １±ｊ］ 。 调 用 ＭＡＴＬＡＢ 的控制工具箱中函数（ ２） ， 求得极点配置
状态反馈增益矩阵
Ｋ＝［ － ３９．１８４１， － ７．０９２９， － ２．７４５８， － ３．８５７５］
带入倒立摆系统（ ９） 进行仿真。系统（ ９） 的ＳＩＭＵ－
其中，
响应的振荡更严重（ 见图 ３） 。
０ !
"
１
"
"
" "
３１．１８４
０
Ａ＝
" "
０ "
"
０
"
"
－"
#
０．５９４７
０
０
０
$ %
%
%
０
０．２２２７
% %
%
%
０
１
% %
%
%
０
－ ０．０７２４
% &
! "
０
$ %
"
%
"
%
－"
"
２．２２６８
% %
Ｂ＝
" "
% %
" "
０
% %
"
%
"
%
" #
０．７４３２
% &
大， 使得学生较难掌握。ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件中包
含许多控制工具箱， 为控制系统的分析和设计提
供了极大的方便。借助于 ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件中一
个简单的语句就可以计算出极点配置控制器。教
学中， 为了阐明极点配置控制器的设计原理， 我
们首先给出必要的基本概念和基本设计方法， 然
后利用 ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件设计控制器， 并给出仿
ＬＩＮＫ 仿真模型结构图如图 １ 所示。
１ ｓ ｉｎｔｅｇｒａｔｏｒ
ｓｃｏｐｅ２
１ ｏｕｔ１
ｆ（ ｕ）
ｆ２（ ｕ， ｙ） Ｋ
图 １ 极点配置控制时倒立摆的 Ｓ ＩＭＵＬＩＮＫ 仿真结构图
真演示， 让学生直接观察到设计的结果， 增强学
生的感性认识， 帮助学生加深理解课堂所学理
论。例如， 某线性定常系统状态空间表达式为
! ｘ· （ ｔ） ＝Ａｘ（ ｔ） ＋Ｂｕ（ ｔ）
（ １）
ｙ（ ｔ） ＝Ｃｘ（ ｔ） ＋Ｄｕ（ ｔ）
其中， ｘ（ ｔ） 为系统的状态响应， ｙ（ ｔ） 为系统输出，
ｕ （ ｔ） 为 系 统 的 控 制 输 入 ， Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 为 已 知 系 数
０
闭环系统的极点。利用该函数学生可方便快捷地 求出状态反馈控制矩阵 Ｋ， 无需再进行繁杂的手 工计算。因此， 代数 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程的求解过程只需 简单介绍即可， 而重点应放在系统中权重系数 Ｑ、 Ｒ 对系统动态性能影响的分析上， 加强对学生系 统综合分析设计能力的培养。借助于 Ｍａｔｌａｂ 仿真 软件对系统的动态过程进行仿真研究， 通过对系 统具体运动过程的观察和对输出图形的分析， 学 生可进一步体会参数 Ｑ， Ｒ 的物理意义， 对理论知 识也会有更深的认识。
矩阵。极点配置控制方法就是通过设计状态反
馈控制器， 使得系统闭环极点（ 或闭环特征根）
配置在期望的位置， 获得期望的系统动态响应
特性。在这里需要着重指出的是当系统中闭环
收稿日期：２００７－ ０７－ ３１ 作者简介：郑艳（ １９６３－ ） ， 女， 辽宁沈阳人， 东北大学副教授， 博士； 高立群（ １９４９－ ） ， 男， 辽宁沈阳人， 东北大学教授， 博
中图分类号：Ｇ ６４２．０
文献标识码：Ａ
《现 代 控 制 理 论 》 作 为 自 动 化 专 业 本 科 的 专 业 基 础 课 程 ， 是 《自 动 控 制 原 理 》的 后 续 课 程 ， 也 是 硕 士 研 究 生 线 性 系 统 理 论 、最 优 控 制 理 论 等 学 位课程的基础， 因此， 《现代控制理论》课程在自动 控制专业的本科教学中占有十分重要的地位［１－ ２］ 。 如何在教学改革中提高该课程的教学质量是我 们面临的一个非常重要的课程［３－ ４］ 。《现代控制理 论》课程， 是将实际系统抽象为数学模型， 根据数 学模型去研究系统的各个方面， 概念抽象， 所用 数学知识较深， 学生在学习过程中常常感到抽象 难懂， 不易掌握。为了适应当今社会对人才素质 教育培养的要求， 注重对学生创新能力和综合素 质的培养， 必须对现代控制理论课程进行相应的 改革， 探索新的教学模式和教学方法。为此， 我们 尝 试 将 优 秀 的 仿 真 软 件— ——ＭＡＴＬＡＢ／ＳＩＭＵＬＩＮＫ 引 入 《现 代 控 制 理 论 》 课 程 的 教 学 中 ， 借 助 ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件作为教学工具， 进行仿真演示 和研究， 既节省了手工绘图的时间， 同时也通过 仿 真 演 示 使 得 抽 象 的 理 论 、概 念 变 得 更 加 通 俗 易 懂， 弥补了实验手段的不足［５］ 。通过对系统具体运 动过程的观察和对输出图形的分析， 使学生对理 论知识有了更深刻的认识。
)
ｙ·３＝ｙ４
) (
（ ９）
)
)
ｙ·４＝
４ ３
ｍ２Ｌｓｉｎ（ ｙ１） ｙ２２－ ｍ２ｇｓｉｎ（ ｙ１） ｃｏｓ（ ｙ１） －
４（ ｍ１＋ｍ２） ３
－
ｍ２ｃｏｓ２（ ｙ１）
４ ３
ｂｙ４＋
４ ３
ｕ
ห้องสมุดไป่ตู้
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) *
首 先 将 倒 立 摆 的 非 线 性 模 型 （ ９） 在 ｙＴ＝ 对于第一组极点由于极点－ ５， － ６ 远离虚轴， 其作
倒立摆的非线性动力学方程如式（ ８） ： ［６］
! " （ ｍ１＋ｍ２）
ｄ２ｘ（ ｔ） ｄｔ２
＋ｂ
ｄｘ（ ｔ） ｄｔ
＋（ ｍ２Ｌｃｏｓ!（ ｔ） ）
ｄ２!（ ｔ） ｄｔ２
＝ｕ（ ｔ） ＋ｍ２Ｌｓｉｎ!（ ｔ）
ｄ!（ ｔ） ｄｔ
# % % % %%
$
（ ８）
（ Ｊ＋ｍ２Ｌ２）
ｄ２!（ ｔ） ｄｔ２
＋（ ｍ２Ｌｃｏｓ!（ ｔ） ）
ＰＡ＋ＡＴＰ－ ＰＢＲ－１ＢＴＰ＋Ｑ＝０
（ ５）
解得：
ｕ（ ｔ） ＝－ Ｋｘ（ ｔ） ＝－ Ｒ－１ＢＴＰｘ（ ｔ）
（ ６）
式中， Ｋ 即为所设计的状态反馈矩阵。
在线性二次型最优控制部分的课堂教学中，
通过给小车底座水平方向施加一个控制力， 使 小车在有限长的导轨上运动， 以保持小车上的 倒立摆杆稳定在垂直向上的不稳定平衡点上。 由于倒立摆系统模型的特点， 它常常被用来检 验各种控制策略的实际效果。同时也能够全面 地满足自动控制教学的要求， 很适合学习现代 控制理论的学生使用它来验证所学的控制理 论。许多抽象的控制概念如系统稳定性、能控 性、能观性和系统抗干扰能力等都可以通过控 制倒立摆直观地表现出来。
本文以状态反馈极点配置控制方法及线性二 次型最优控制方法的教学为例， 介绍 ＭＡＴＬＡＢ 仿
真软件在《现代控制理论》课程教学中的应用。
一、极点配置控制方法
极 点 配 置 控 制 方 法 是 《现 代 控 制 理 论 》课 程
教学中重点介绍的系统设计方法之一， 它理论性
强 ， 且 控 制 器 设 计 中 推 导 过 程 比 较 复 杂 、运 算 量
士生导师； 李浚圣（ １９６３－ ） ， 男， 辽宁沈阳人， 沈阳大学教授， 博士。
第２期
郑 艳等： ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件在现代控制理论课程教学中的应用
９３
极点配置在不同位置时， 系统的动态响应是截 首先应重点介绍线性二次型最优控制的基本原
然 不 同 的 。 这 一 点 ， 通 过 仿 真 演 示 ， 学 生 可 清 楚 理， 线性二次型指标中各项的物理意义。其次简要
第１０卷 第２ 期 ２００８ 年 ４ 月
沈阳教育学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＨＥＮＹＡＮＧ ＣＯＬＬＥＧＥ ＯＦ ＥＤＵＣＡＴＩＯＮ
文章编号：１００８－３８６３（２００８）０２－００９２－０５
Ｖｏｌ． １０，Ｎｏ． ２ Ａｐｒ． ２ ０ ０ ８
ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件在现代控制理论课程 教学中的应用
ｄ２ｘ（ ｔ） ｄｔ２
＝ｍ２Ｌｇｓｉｎ（ !（ ｔ） ）
% % % %% &
９４
沈阳教育学院学报
第 １０卷
其中， ｍ１ 为小台车的质量： 为 ｍ２ 摆杆的质量： Ｊ＝ ｍ２Ｌ２／３ 为转动惯量； Ｌ 为质心与节点的距离； ｘ（ ｔ） 为 小台车的位移； !（ ｔ） 为摆杆与垂直方向的夹角； ｂ
用于小台上的驱动力， 即控制输入。选取状态变量 ｙ（ ｔ） ＝［ !（ ｔ） ， !· （ ｔ） ， ｘ（ ｔ） ， ｘ· （ ｔ） ］ Ｔ＝［ ｙ１， ｙ２， ｙ３， ｙ４］ Ｔ
ｄｔ
（ ４）
三、倒立摆系统的仿真研究
最小化。其中 Ｑ， Ｍ 是半正定矩阵， Ｒ 是正定矩阵， 终止时间 ｔｆ 固定。
在线性二次型指标 Ｊ 的表达式中各项的物理 意 义 是 ： ｘＴ（ ｔｆ） Ｍｘ （ ｔｆ） 为 终 值 项 ， 表 示 在 控 制 过 程 结束以后， 对系统终止状态跟踪误差的要求： 积
郑 艳 １， 高立群 １， 李浚圣 ２
（ １．东北大学 信息科学与工程学院， 辽宁 沈阳 １１０００４； ２．沈阳大学 信息工程学院， 辽宁 沈阳 １１００４４）
摘
要：以实例介绍了 ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件在现代控制理论课程教学中的应用。为适应新形势下现代控制
理 论 课 程 的 教 学 ， 尝 试 将 ＭＡＴＬＡＢ 仿 真 软 件 中 的 ＳＩＭＵＬＩＮＫ 工 具 引 入 现 代 控 制 理 论 的 课 堂 教 学 中 ， 借 助 于
（ ７）
控制器为 ｕ（ ｔ） ＝－ Ｋｘ（ ｔ）
其中， 矩阵 Ａ， Ｂ， Ｑ， Ｒ 的意义如前所述， 返回的 Ｋ （ ３） 矩阵为状态反馈矩阵， Ｐ 为 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程的解， Ｅ 为
二、线性二次型最优控制方法
线性二次型（ ＬＱ－ Ｌｉｎｅａｒ Ｑｕａｄｒａｔｉｃ） 最优控制
是《现代控制理论》课程教学的重点和难点， 它理
倒立摆这一控制对象本身是一个固有不稳 定的非线性多变量复杂系统， 其控制的目标是
求， 是系统在控制过程中动态跟踪误差的总度
’ｔｆ
量； 积分项 ｕＴ（ ｔ） Ｒｘ（ ｔ） ｄｔ 表 示 系 统 控 制 过 程 中 ０
所消耗的能量。
对于线性定常系统最优控制 ｕ （ ｔ） 可通过求
解代数 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程：
ＳＩＭＵＬＩＮＫ 可视化的编程和仿真演示， 将抽象的理论和概念变得更为通俗易懂， 加深了学生对基础理论的认识和
理解， 也培养了学生系统综合分析设计的能力， 并且为学生今后使用 ＭＡＴＬＡＢ 进行控制系统设计打下了基础。
关 键 词：现代控制理论； ＭＡＴＬＡＢ 仿真软件； 极点配置； 线性二次型最优控制
论性强， 且设计中运算量大， 学生常常感到抽象难
懂， 很难掌握设计思想的精髓。
线性二次型最优控制器的任务是在控制没有
约束的情况下， 设计一状态反馈控制律 ｕ（ ｔ） ， 使线
性二次型最优控制指标
’ Ｊ＝
１ ２
ｘＴ（
ｔｆ）
Ｍｘ
（
ｔｆ）
＋
１ ２
ｔｆ
(ｘＴ（ ｔ） Ｑｘ（ ｔ） ＋ｕＴ（ ｔ） Ｒｕ（ ｔ） )
＞＞［ Ｋ］ ＝ｐｌａｃｅ（ Ａ， Ｂ， Ｐ）
（ ２） 果。Ｍａｔｌａｂ 的控制工具箱中提供了求解代数 Ｒｉｃ－
其中， Ａ、Ｂ 的意义如前所述， Ｐ 为所要配置的闭环 ｃａｔｉ 方程的函数 ｌｑｒ（ ） ， 其调用方法如下：
极点的数值， Ｋ 矩阵为状态反馈矩阵。则状态反馈
＞＞［ Ｋ， Ｐ， Ｅ］ ＝ｌｑｒ（ Ａ， Ｂ， Ｑ， Ｒ）
［ ０， ０， ０， ０］ 附 近 进 行 近 似 线 性 化 ， 得 到 在 ｙＴ＝ 用可忽略， 此时极点－ １±ｊ 为主导极点， 系统响应主
［ ０， ０， ０， ０］ 附近的线性模型为：
要由它们决定。而与第一组极点相比， 对应第二组
ｙ· ＝Ａｙ＋Ｂｕ
（ １０） 极点的主导极点虚部的幅值更大， 因此对应系统