圆的轨迹问题 ppt课件
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81.圆与圆的位置关系、轨迹方程 课件-广东省惠来县第一中学2021届高三数学一轮复习
内切
|dr=_1_-__r_2_|_(r1≠r2)
内含
≤ < 0___d__|r1-r2|(r1≠r2)
代数法:两圆方程联立 组成方程组的解的情况
无___解 一组_____实数解 两组__不___同___的___实数解
一组实数解
无解
第一方面：圆与圆的位置关系的判定方法
问题1：若圆x2+y2-2mx+m2-4=0与圆x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相切, 则实数m的取值集合是________.
A．相交
B．相切
C．相离
D．与k 取值有关
3.已知圆 C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆 C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆的
公共弦所在的直线方程为__________．
4.已知点 P（2,2），圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两
点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
解得m=1-2 或m=2,或m=0或m2 =- .
5
5
所以实数m的取值集合是{12 , 2 ,0答, 2}案:
55
{12 , 2 ,0, 2} 55
【规律方法】 处理两圆位置关系多用圆心距与半径
和或差的关系判断,一般不采用代数法.
变式1： 若圆x2+y2-2mx+m2-4=0与 圆x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相交,则 实数m的取值范围是________.
法一：因为圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)关于直线 x-y=0的对称图形是圆C3:(x-1)2+y2=r2,由题 意可知圆C3与C2有公共点, 又因为两个圆有公共点的充要条件为圆心距不
课件用信息技术探究直线与圆相关的轨迹问题
1
l l l
2
l
动4.gsp 画
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问题3 和两定圆相切的动圆圆心轨迹
已知：两个定圆⊙O1 、⊙O2 ，半径分别为r1 、r2 ，一动 圆M和它们都外切. (1)如果两个定圆⊙O1 、⊙O2 相离、外切、相交、 内切、内含，圆心M的轨迹是什么？ (2)如果动圆M和这两个定圆相切(即可以内切),思考 (1)的情况又会怎么样? (3)当两圆都内切于动圆M时,动点M的轨迹又会怎么 样? M
动2.gsp 画
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(3)线PQ定长为l , 两个端点分别在坐标轴 上,那么中点M轨迹是什么样?
y
P O
M Q
x
动 3.gsp画
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问题2 直线和两圆的位置关与方程的关系
作两个相交圆⊙O1,⊙O2,半径分别为 r1, r2，交点为M，N，过点M，N作直线， 在直线（线段MN外）上取一点P，过点P l 分别作两个圆的切线PE、PF. (1)显然直线l⊥O1O2，测量|PE|，|PF|， E M F 猜想它们之间的关系，并加以证明； (2)测量⊙O1,⊙O2以及直线的方程， O O 观察并猜想它们之间的关系. N (3)证明（2）的结论； (4)如果两圆距离或相切或内含，验证： 是否存在一条直线，具有上述（1）中的 性质，如果存在，它的方程与两圆有什么 关系.
O1
O2
动题
(1)点P在定圆O上运动,Q是定点,取PQ中 点M,当点P在定圆上运动时,追踪点M,点M将 会留下什么痕迹(也称为点M的轨迹)?
P
M
O Q
动1.gsp 画
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(2)线段PQ定长为l,动点P在定圆上运动,Q 在过圆心的定直线上运动,那么中点M轨迹是 什么样?
l l l
2
l
动4.gsp 画
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问题3 和两定圆相切的动圆圆心轨迹
已知：两个定圆⊙O1 、⊙O2 ，半径分别为r1 、r2 ，一动 圆M和它们都外切. (1)如果两个定圆⊙O1 、⊙O2 相离、外切、相交、 内切、内含，圆心M的轨迹是什么？ (2)如果动圆M和这两个定圆相切(即可以内切),思考 (1)的情况又会怎么样? (3)当两圆都内切于动圆M时,动点M的轨迹又会怎么 样? M
动2.gsp 画
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(3)线PQ定长为l , 两个端点分别在坐标轴 上,那么中点M轨迹是什么样?
y
P O
M Q
x
动 3.gsp画
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问题2 直线和两圆的位置关与方程的关系
作两个相交圆⊙O1,⊙O2,半径分别为 r1, r2，交点为M，N，过点M，N作直线， 在直线（线段MN外）上取一点P，过点P l 分别作两个圆的切线PE、PF. (1)显然直线l⊥O1O2，测量|PE|，|PF|， E M F 猜想它们之间的关系，并加以证明； (2)测量⊙O1,⊙O2以及直线的方程， O O 观察并猜想它们之间的关系. N (3)证明（2）的结论； (4)如果两圆距离或相切或内含，验证： 是否存在一条直线，具有上述（1）中的 性质，如果存在，它的方程与两圆有什么 关系.
O1
O2
动题
(1)点P在定圆O上运动,Q是定点,取PQ中 点M,当点P在定圆上运动时,追踪点M,点M将 会留下什么痕迹(也称为点M的轨迹)?
P
M
O Q
动1.gsp 画
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(2)线段PQ定长为l,动点P在定圆上运动,Q 在过圆心的定直线上运动,那么中点M轨迹是 什么样?
2.4.2 圆的一般方程(与圆有关的轨迹问题) (教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)
三、典型例题
例3 已知圆O的直径AB=4，动点M到点A的距离是它到点B的距离的 2 倍,试探究动点M的轨迹.
三、典型例题
如果把本例中的“ 2倍”改 为“k(k>0)倍”，你能分析并解 决这个问题吗?
四、课堂小结
求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法： 设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,
(其中圆心为4（F->0D2),-
E 2
），半径为
Hale Waihona Puke 1 2D2 + E2 - 4F )
二、轨迹问题
点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式．轨迹是指 点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形 看作点的轨迹（集合).
三、典型例题
例1 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
M
B
O
x
三、典型例题
方法归纳 求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程; 2.代入法(相关点法): 找到所求动点与已知动点的关系,代入 已知动点所在的方程.
三、典型例题
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、 Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
第二课时 (与圆有关的轨迹问题)
一、知识回顾
1.圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (1)(a，b)表示圆心坐标, r表示圆的半径. (2)确定圆的标准方程必须具备三个条件.
4.1.2圆的一般方程(轨迹问题)(第二课时)
一、代入法求轨迹方程：
例4：已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
方法总结
代入法也称相关点法：
如果轨迹上的动点P（x,y）依赖于另一动
点Q(a,b)，而Q又按某一个规律运动，则可 先用x,y表示a,b，再把a,b代入点Q所满足
圆的一般方程 （轨迹问题）
学习目标：
由已知条件求出圆的方程及轨迹方程
学习重难点:
根据已知条件求轨迹方程
预备知识：轨迹与轨迹方程 1、什么是轨迹？
符合一定条件的动点所形成的图形，或者 说，符合一定条件的点的全体所组成的集 合，叫做满足该条件的点的轨迹． 2、轨迹与轨迹方程有区别吗？ 轨迹是图形，轨迹方程实际上就是轨迹 曲线的方程，即动点坐标(x,y)满足的关 系式．
2 2
轨迹方程为x 3y 4( x 1)．
10
的条件便得到动点P的轨迹方程。
简记为：先有未知表示已知，再有 已知表示未知
练习：
1、已知点P在圆C： 2 2 x y 8x 6 y 21 0
上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。
2、一个动点在圆：x2+y2=1上运动时，
它与定点（3,0）所连线段的中点P的 轨迹方程是什么？
F 2,0 为
2
二、直接法求轨迹方程：
1.(2010 上海卷)若动点P到点F 2, 0 的距离与它到直线 x 2 0的距离相等，则点P的轨迹方程为 __________
程为y 8x.
方法总结
直接法也称直译法： 将已知条件直接翻译为关于动点的几何关 系，再利用解析几何有关公式（如两点间
圆的一般方程轨迹问题解析ppt课件
例5.已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2).
证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
解法一：求圆心、求半径 •P
解法二：相关点法
P点满足PA⊥PB
A
• C
B
即 yy1 yy2 1
xx1 xx2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
【分析】设M(x,y), A(x0,y0)
因为M是AB的中点，
所以
x
y
x0 4 2
y0 3 2
解得
x0 y0
2x 2y
4 3
又因为点A在圆(x+1)2+y2=4上，
y
M(x,y) B(4,3)
A (x0,y0)
o
x
所以(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,
得 (x3)2(y3)2 1为所求。
【变式】过点P (4,0)作直线与圆x2+y2=4相交于不同 两点A、B ，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说 明轨迹的形状。
(x-2)2+y2=4
(0≤x< 1)
y
A M B
o
Px
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
∴端点C的轨迹方程是
(x-4)2+(y-2)2=10(
x y
35且xy
5 -1
).
故端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 1 0 为半径的圆,
圆的轨迹方程ppt课件
x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）
[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m
1
(
m
1)
2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1
小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系
高中数学《直线与圆相关的轨迹问题》课件1 北师大版必修2.ppt
y
PM Q
O
x
问题2 直线和两圆的位置关与方程的关系
作两个相交圆⊙O1,⊙O2,半径分别为
r1, r2，交点为M，N，过点M，N作直线，
在直线（线段MN外）上取一点P，过点P 分别作两个圆的切线PE、PF.
l
(1)显然直线l⊥O1O2，测量|PE|，|PF|， 猜想它们之间的关系，并加以证明；
E
MF
(1)如果两个定圆⊙O1、⊙O2相离、外切、相交、 内切、内含，圆心M的轨迹是什么？
(2)如果动圆M和这两个定圆相切(即可以内切),思考
(1)的情况又会怎么样?
(3)当两圆都内切于动圆M时,动点M的轨迹又会怎么
样?
M
O1
O2
l l l
(2)测量⊙O1,⊙O2以及直线的方程， 观察并猜想它们之间的关系.
O1
O2
l
(3)证明（2）的结论；
N
(4)如果两圆距离或相切或内含，验证：
是否存在一条直线，具有上述（1）中的
性质，如果存在，它的方程与两圆有什么
关系.
问题3 和两定圆相切的动圆圆心轨迹
已知：两个定圆⊙O1、⊙O2，半径分别为r1、r2，一动 圆M和它们都外切.
问题1 中点轨迹问题
(1)点P在定圆O上运动,Q是定点,取PQ中 点M,当点P在定圆上运动时,追踪点M,点M将 会留下什么痕迹(也称为点M的轨迹)?
P M
O Q
(2)线段PQ定长为l,动点P在定圆上运动,Q 在过圆心的定直线上运动,那么中点M轨迹是 什么样?PFra bibliotekM QO
(3)线PQ定长为l , 两个端点分别在坐标轴 上,那么中点M轨迹是什么样?
PM Q
O
x
问题2 直线和两圆的位置关与方程的关系
作两个相交圆⊙O1,⊙O2,半径分别为
r1, r2，交点为M，N，过点M，N作直线，
在直线（线段MN外）上取一点P，过点P 分别作两个圆的切线PE、PF.
l
(1)显然直线l⊥O1O2，测量|PE|，|PF|， 猜想它们之间的关系，并加以证明；
E
MF
(1)如果两个定圆⊙O1、⊙O2相离、外切、相交、 内切、内含，圆心M的轨迹是什么？
(2)如果动圆M和这两个定圆相切(即可以内切),思考
(1)的情况又会怎么样?
(3)当两圆都内切于动圆M时,动点M的轨迹又会怎么
样?
M
O1
O2
l l l
(2)测量⊙O1,⊙O2以及直线的方程， 观察并猜想它们之间的关系.
O1
O2
l
(3)证明（2）的结论；
N
(4)如果两圆距离或相切或内含，验证：
是否存在一条直线，具有上述（1）中的
性质，如果存在，它的方程与两圆有什么
关系.
问题3 和两定圆相切的动圆圆心轨迹
已知：两个定圆⊙O1、⊙O2，半径分别为r1、r2，一动 圆M和它们都外切.
问题1 中点轨迹问题
(1)点P在定圆O上运动,Q是定点,取PQ中 点M,当点P在定圆上运动时,追踪点M,点M将 会留下什么痕迹(也称为点M的轨迹)?
P M
O Q
(2)线段PQ定长为l,动点P在定圆上运动,Q 在过圆心的定直线上运动,那么中点M轨迹是 什么样?PFra bibliotekM QO
(3)线PQ定长为l , 两个端点分别在坐标轴 上,那么中点M轨迹是什么样?
高二数学动圆圆心轨迹(共10张PPT)
她只知这是宝音回屋的必经之路，而且没什么人，估算宝音一定会回屋整装，就于此处守株待兔。
探求2 ：与直线 相切，⊙ B (x-5)2+y2=r2相切 的动圆圆心S的轨迹
〔1〕当两定圆外离时 宝音也没有那样尝试，只是放在布套上让她看见，给她一个警告。
例１：与⊙A(x+5)2+y2=49，⊙ B (x-5)2+y2=1
第二页，共10页。
探求与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 圆圆心到两定点的间隔的和与差不放。
C S AB
A SB
S
A
B
第三页，共10页。
二、构建平台：
例１：与⊙A(x+5)2+y2=49，⊙ B (x-5)2+y2=1
相切 的动圆圆心S的轨迹。
y
〔1〕与两圆均外切 y
〔2〕与两圆均内切
A Bx
A Bx
〔4〕与圆A外切、与圆B内切
再回想开去，木屐里的那块石子，要是搁到明秀碗里，说不定戳破明秀的嘴、硌掉明秀的牙！
亲生姐妹尚且可以争得他死我活呢！
dapingtai888/ 时时方案群 hxh69kyd 〔4〕与圆A外切、与圆B内切
〔3〕当两定圆相交时
问题１：与⊙A(x+5)2+y2=169相切，且过B(5,0)点的动圆圆心S的轨迹。
〔4〕当两定圆内切时
〔5〕当两定圆内含时
第五页，共10页。
当两定圆 〔1〕外离
y
A Bx
〔2〕外切
y
A Bx
〔3〕相交
y
A Bx
〔5〕内含
y A Bx
〔4〕内切
y
A Bx
第六页，共10页。
第七页，共10页。
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程
小测试：测一测你的计算能力与上节课的掌握情况 ❖ 过点(1,2)和点（2,3）且半径为2的圆的方程
例题分析
例1、求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
例题分析
例 2 ， 圆 C 过 A 1 ,2 、 B 3 ,4 ， 且 过 x 轴 上
4、 圆的标准方程有哪些特点？
①方程明确给出了圆心坐标和半径;
②确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。
点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外 的条件是什么？
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M0在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆外
知识点回顾：圆的一般方程
任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的
形式，反过来，当D2+E2-4F>0时，方程表示一个圆.
圆心：D2 ,E2
半 径 ： r=1D2E24F 4
(1)圆的一般方程和Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
比较，在形式上有什么突出的特点?
(2)要求出圆的一般方程，必须先求出什么？ 可用什么方法求？
探索研究一
二元二次方程 A x 2 B x y C y 2 D x E y F 0
表示圆的条件是
AC 0
B0
D 2 E 2 4 AF 0
练习
1、求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径
(1) x2+y2-6x=0
(2) x2+y2-2ax-2 3 ay+3a2=0
(3) x2+y2+2ax-b2=0 (1) C(3,0) r=3
本课小测试：看看你学会了没有？
如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点
A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的
轨迹方程.
y
M
B
A
o
x
线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点， 曲线上是否有遗漏的点。
例题分析
例3、已知一曲线是与两个定点O(0,0)， A(3,0)距离的比为1:2的点的轨迹， 求这个曲线的方程，并说出它Байду номын сангаас轨迹.
巩固练习
❖一动点到 A4,0 的距离是到 B 2, 0 的距离的2倍，求动点的轨迹方程
P
题型二 求轨迹方程的方法
圆的方程的基本应 用
Company LOGO
知识点回顾：圆的标准方程
圆心是C(a,b)，半径是r的 圆的标准方程。
y
r
M(x,y)
C
1、圆是 平面内与定点距离等于定长__O的点的集合； x 2、推导中利用了 两点间的距_离__公式
3、圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 .
❖代入法，一般步骤为：
①设出动点坐标 P x, y 及已知曲线上的点的坐标
Ax0, y0 ;
②由题中条件建立 x 0 , y 0 与 x , y 的方程组；
③解关于 x 0 , y 0
的二元一次方程组，求解
x0 y0
f g
x, x,
y y
④将 x0 f x,y ，y0 gx,y 代入已知曲线方程，
化简得所求动点 的P轨迹方程。
例题分析
例 4、一动点到 A4,0 ，P 点是圆 x2 y2 4 上一动点，
点是 AP 的中点，求 Q 点的轨迹方程。
题型三 求有关最值问题
例 5、已知实数 x、y 满足方程 x2 y2 4x 1 0 （1）求 y 的最大值和最小值；
x （2）求 y x 的最小值 （3）求 x2 y2 的最大值和最小值
截 得 的 弦 长 为 6 ， 求 圆 C 的 方 程 。
题型二 求轨迹方程的方法
❖直接法，一般步骤为：
①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上一
点坐标 M x, y ②几何点集：写出满足题设的点 M 的集合 PMPM ③翻译列式：将几何条件 P M 用坐标表示，写出
方程 f x, y 0
④化简方程：通过同解变形化简方程。 ⑤查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲
(2)Ca,( 3a) r|a| (3)Ca(,0)- ra2b2
题型一 求圆的方程的方法
❖ 求圆的方程的基本方法是待定系数法，用待定系 数法求圆的方法的步骤是：
1、根据题意选择方程的形式： 标准方程、一般方程
2、根据题意列出关于 a , b , r 或 D, E, F 的方程组 3、解出 a , b , r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方
小测试：测一测你的计算能力与上节课的掌握情况 ❖ 过点(1,2)和点（2,3）且半径为2的圆的方程
例题分析
例1、求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
例题分析
例 2 ， 圆 C 过 A 1 ,2 、 B 3 ,4 ， 且 过 x 轴 上
4、 圆的标准方程有哪些特点？
①方程明确给出了圆心坐标和半径;
②确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。
点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外 的条件是什么？
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M0在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆外
知识点回顾：圆的一般方程
任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的
形式，反过来，当D2+E2-4F>0时，方程表示一个圆.
圆心：D2 ,E2
半 径 ： r=1D2E24F 4
(1)圆的一般方程和Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
比较，在形式上有什么突出的特点?
(2)要求出圆的一般方程，必须先求出什么？ 可用什么方法求？
探索研究一
二元二次方程 A x 2 B x y C y 2 D x E y F 0
表示圆的条件是
AC 0
B0
D 2 E 2 4 AF 0
练习
1、求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径
(1) x2+y2-6x=0
(2) x2+y2-2ax-2 3 ay+3a2=0
(3) x2+y2+2ax-b2=0 (1) C(3,0) r=3
本课小测试：看看你学会了没有？
如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点
A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的
轨迹方程.
y
M
B
A
o
x
线，重点检查方程表示的曲线是否有多余的点， 曲线上是否有遗漏的点。
例题分析
例3、已知一曲线是与两个定点O(0,0)， A(3,0)距离的比为1:2的点的轨迹， 求这个曲线的方程，并说出它Байду номын сангаас轨迹.
巩固练习
❖一动点到 A4,0 的距离是到 B 2, 0 的距离的2倍，求动点的轨迹方程
P
题型二 求轨迹方程的方法
圆的方程的基本应 用
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知识点回顾：圆的标准方程
圆心是C(a,b)，半径是r的 圆的标准方程。
y
r
M(x,y)
C
1、圆是 平面内与定点距离等于定长__O的点的集合； x 2、推导中利用了 两点间的距_离__公式
3、圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 .
❖代入法，一般步骤为：
①设出动点坐标 P x, y 及已知曲线上的点的坐标
Ax0, y0 ;
②由题中条件建立 x 0 , y 0 与 x , y 的方程组；
③解关于 x 0 , y 0
的二元一次方程组，求解
x0 y0
f g
x, x,
y y
④将 x0 f x,y ，y0 gx,y 代入已知曲线方程，
化简得所求动点 的P轨迹方程。
例题分析
例 4、一动点到 A4,0 ，P 点是圆 x2 y2 4 上一动点，
点是 AP 的中点，求 Q 点的轨迹方程。
题型三 求有关最值问题
例 5、已知实数 x、y 满足方程 x2 y2 4x 1 0 （1）求 y 的最大值和最小值；
x （2）求 y x 的最小值 （3）求 x2 y2 的最大值和最小值
截 得 的 弦 长 为 6 ， 求 圆 C 的 方 程 。
题型二 求轨迹方程的方法
❖直接法，一般步骤为：
①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上一
点坐标 M x, y ②几何点集：写出满足题设的点 M 的集合 PMPM ③翻译列式：将几何条件 P M 用坐标表示，写出
方程 f x, y 0
④化简方程：通过同解变形化简方程。 ⑤查漏除杂：验证方程表示的曲线是否为已知的曲
(2)Ca,( 3a) r|a| (3)Ca(,0)- ra2b2
题型一 求圆的方程的方法
❖ 求圆的方程的基本方法是待定系数法，用待定系 数法求圆的方法的步骤是：
1、根据题意选择方程的形式： 标准方程、一般方程
2、根据题意列出关于 a , b , r 或 D, E, F 的方程组 3、解出 a , b , r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方