轨迹方程PPT教学课件
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《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
高中数学必修二《轨迹方程》课件
求“轨迹方程”是求什么？ 求点M的横坐标、纵坐标的关 系等式 归纳步骤：
方法一：直接法
如果已知动点满足的等量关系，那么直 接把动点的坐标代入等式，即得动点的 轨迹方程。
注意规范步骤
练习1：设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点，动 点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 a(a>0)，求P点的轨迹。Zxx``k
先求方程，再说轨迹。
结论：到两定点的距离之比为定 值的点的轨迹为直线或圆。
问题2：如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2=4， 过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N， 且使得|PM|=|PN|，问点P的运动轨迹是什么曲线
？
yP
无系先建系
(x-6)2+y2=33
M
O1 o
P的轨迹是圆
步骤：1、找到动点G与A的坐标关系； 2、把A的坐标用G的坐标表示； 3、把A的坐标代入A的方程； 4、化简后去多补少下结论 。
练习4：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，
r>0.P,B是圆上两点，作矩形PABQ，求点Q的
轨迹。
y
Q
P
GB
oA
x
问题5：已知动点P(x,y)的坐标满足下列关系， 求动点P(x,y)的轨迹方程和轨迹。
高中数学课件
灿若寒星整理制作
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
动点的横坐标 与纵坐标的关 系等式（曲线 方程）
动点的运动 路线（曲线 ）
专题二
《求点的轨迹与轨迹方程 》
F(x,y)=0
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
方法一：直接法
如果已知动点满足的等量关系，那么直 接把动点的坐标代入等式，即得动点的 轨迹方程。
注意规范步骤
练习1：设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点，动 点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 a(a>0)，求P点的轨迹。Zxx``k
先求方程，再说轨迹。
结论：到两定点的距离之比为定 值的点的轨迹为直线或圆。
问题2：如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2=4， 过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N， 且使得|PM|=|PN|，问点P的运动轨迹是什么曲线
？
yP
无系先建系
(x-6)2+y2=33
M
O1 o
P的轨迹是圆
步骤：1、找到动点G与A的坐标关系； 2、把A的坐标用G的坐标表示； 3、把A的坐标代入A的方程； 4、化简后去多补少下结论 。
练习4：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，
r>0.P,B是圆上两点，作矩形PABQ，求点Q的
轨迹。
y
Q
P
GB
oA
x
问题5：已知动点P(x,y)的坐标满足下列关系， 求动点P(x,y)的轨迹方程和轨迹。
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问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
动点的横坐标 与纵坐标的关 系等式（曲线 方程）
动点的运动 路线（曲线 ）
专题二
《求点的轨迹与轨迹方程 》
F(x,y)=0
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
解析几何第二章轨迹与方程PPT课件
①由 r t x te 1 y te 2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0at0 b 通过r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定
那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为 xyxytt,at b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹 该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
一、曲面的方程
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步 可省）；
2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出 等式；
4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简 得方程；
5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定
《》
－Chapter 2
§1 平面曲线的方程
Contents
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
函数关系. 注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值t0at0 b 通过r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定
那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为 xyxytt,at b
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上一定点的轨迹 该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
一、曲面的方程
求曲线方程一般需要下面的5个步骤：
1）选取适当的坐标系（如题中已给定，这一步 可省）；
2）在曲线上任取一点，也就是轨迹上的流动点；
3）根据曲线上的点所满足的几何条件写出 等式；
4）用点的坐标x,y,z的关系来表示这个等式，并化简 得方程；
5）证明所得的方程就是曲线的方程，也就是证明它符合定
《》
－Chapter 2
§1 平面曲线的方程
Contents
• 一、曲线的方程 • 二、曲线的参数方程 • 三、常见曲线的参数方程
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
函数关系. 注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
二、曲面的参数方程
x xu,v,
轨迹方程的求法PPT教学课件
的性质可得 : y0 1 1 , y0 1 2. x0 m,x0 Nhomakorabea22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '( x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m )2 5
4( 2m 5
3)2
4,
整理得2m m 3 0解得m 1或m 3 2
点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 3 , 2
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀 二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物 四.寻找金属的代用品
P
引直线x y 2的垂线,垂足为N . Q
求线段QN的中点P的轨迹方程.
O
x
人类生活离不开金属
金属元素在自然界中的存在
金属元素在自然界中分布很广，极少数不活泼的
金属（如金、银等）以单质形式存在；
金属元素在地壳中的含量
元素名称 质量分数/% 元素名称 质量分数/%
铝（Al）
7.73
镁（Mg）
例1.如图,已知动圆过定点(1, 0), 且与直线x 1相切。求 动圆圆心轨迹C的方程.
练习：
1.如图,已知定点A(2, 0),定圆 M : ( x 2)2 y2 25, P是M上 的动点, 线段AP的中垂线与MP 交于Q , 求Q的轨迹.
y P
Q MO A
x
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，AD边所在直线的方程 为3x+y+2=0. （1）求矩形ABCD外接圆的方程； （2）若动圆P过点N（-2，0）， 且与矩形ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程.
圆的轨迹方程ppt课件
x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）
[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m
1
(
m
1)
2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1
小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系
《高三数学轨迹方程》PPT课件
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【作业】教材P131闯关训练。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【典型例题选讲】 一、直接法题型：
例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
【作业】教材P131闯关训练。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
高三数学轨迹方程课件
详细描述
双曲线有两个分支，且关于其主轴对称。此外，双曲线还有 渐近线的概念，即随着点无限远离主轴，其轨迹将无限接近 于两条直线。
抛物线
总结词
抛物线是一个平面截取一个圆锥面得到的几何图形，其轨迹方程通常表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a 不等于 0。
详细描述
物理学
描述物体在重力、电磁 场等作用下的运动轨迹
。
工程学
在机械、航空、航海等 领域用于计算和预测物
体运动轨迹。
经济学
在统计分析中用于研究 数据点分布和变化趋势
。
02
轨迹方程的求解方法
直接法
定义
直接法是指通过直接代入或消元法， 将几何条件转化为代数方程，从而得 到轨迹方程的方法。
适用范围
步骤
1. 根据题意，设动点坐标为$P(x, y)$ ；2. 代入已知的几何条件，得到代数 方程；3. 化简代数方程，得到轨迹方 程。
实例分析
通过具体实例，如行星运动轨迹、电磁波传播等，展示极坐标系下 轨迹方程的应用。
参数方程与轨迹方程的关系
参数方程的概念
01
参数方程是一种描述轨迹的方法，通过引入参数，将轨迹上的
点的坐标表示为参数的函数。
参数方程与轨迹方程的转化
02
将参数方程转化为轨迹方程是解决许多数学问题的关键步骤。
通过消去参数，可以将参数方程转化为轨迹方程。
高三数学轨迹方程课件
contents
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求解方法 • 常见轨迹方程的解析 • 轨迹方程的实际应用 • 轨迹方程的拓展与提高
01
轨迹方程的基本概念
双曲线有两个分支，且关于其主轴对称。此外，双曲线还有 渐近线的概念，即随着点无限远离主轴，其轨迹将无限接近 于两条直线。
抛物线
总结词
抛物线是一个平面截取一个圆锥面得到的几何图形，其轨迹方程通常表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数，且 a 不等于 0。
详细描述
物理学
描述物体在重力、电磁 场等作用下的运动轨迹
。
工程学
在机械、航空、航海等 领域用于计算和预测物
体运动轨迹。
经济学
在统计分析中用于研究 数据点分布和变化趋势
。
02
轨迹方程的求解方法
直接法
定义
直接法是指通过直接代入或消元法， 将几何条件转化为代数方程，从而得 到轨迹方程的方法。
适用范围
步骤
1. 根据题意，设动点坐标为$P(x, y)$ ；2. 代入已知的几何条件，得到代数 方程；3. 化简代数方程，得到轨迹方 程。
实例分析
通过具体实例，如行星运动轨迹、电磁波传播等，展示极坐标系下 轨迹方程的应用。
参数方程与轨迹方程的关系
参数方程的概念
01
参数方程是一种描述轨迹的方法，通过引入参数，将轨迹上的
点的坐标表示为参数的函数。
参数方程与轨迹方程的转化
02
将参数方程转化为轨迹方程是解决许多数学问题的关键步骤。
通过消去参数，可以将参数方程转化为轨迹方程。
高三数学轨迹方程课件
contents
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求解方法 • 常见轨迹方程的解析 • 轨迹方程的实际应用 • 轨迹方程的拓展与提高
01
轨迹方程的基本概念
轨迹和轨迹方程 PPT
一个焦点F的轨迹方程是A( )
A.y2- x2 1(y-1) 48
B.y2- x2 1 48
C.y2- x2 -1
D.x2- y2 1
• 解：由题4意8|AC|=13,|BC|=15,|AB|=4184，
• 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，
• 所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.
• 解：(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10， • 即｜PA｜+|PB|=6>4=|AB|. • 故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4， • 即a=3，c=2，b=5. • 因此其方程为 x 2 y 2 (1y≠0). • (2)设圆P的半径为9r，则5 |PA|=r+1，|PB|=r， • 因此|PA|-|PB|=1. • 由双曲线的定义知， • P点的轨迹为双曲线的右支，
• 故点F的轨迹是以A、B为焦点，
• 实轴长为2的双曲线的下支. • 又c=7，a=1，所以b2=48， • 所以点F的轨迹方程为 y 2 - x 2 1(y≤-1).
48
题型1 直接法求轨迹方程
• 1.(2010•北京卷改编)在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称， P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等 于- 1 ，求动点P的轨迹方程．
• 3.为保证纯粹性和完备性，在求曲线方程时， 要注意分析其隐含条件，若是曲线的一部分，
则应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，
y的取值范围；若轨迹有不同的情况，应分别
_______________________.
• 2. 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是基 本的轨迹图形，其中：
•
A.y2- x2 1(y-1) 48
B.y2- x2 1 48
C.y2- x2 -1
D.x2- y2 1
• 解：由题4意8|AC|=13,|BC|=15,|AB|=4184，
• 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，
• 所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.
• 解：(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10， • 即｜PA｜+|PB|=6>4=|AB|. • 故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4， • 即a=3，c=2，b=5. • 因此其方程为 x 2 y 2 (1y≠0). • (2)设圆P的半径为9r，则5 |PA|=r+1，|PB|=r， • 因此|PA|-|PB|=1. • 由双曲线的定义知， • P点的轨迹为双曲线的右支，
• 故点F的轨迹是以A、B为焦点，
• 实轴长为2的双曲线的下支. • 又c=7，a=1，所以b2=48， • 所以点F的轨迹方程为 y 2 - x 2 1(y≤-1).
48
题型1 直接法求轨迹方程
• 1.(2010•北京卷改编)在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称， P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等 于- 1 ，求动点P的轨迹方程．
• 3.为保证纯粹性和完备性，在求曲线方程时， 要注意分析其隐含条件，若是曲线的一部分，
则应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，
y的取值范围；若轨迹有不同的情况，应分别
_______________________.
• 2. 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是基 本的轨迹图形，其中：
•
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动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
返回
59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
电离
电解
条件 电解质溶于水或 电解质电离后，
受热融化状态
再通直流电
过 程
电解质电离成为自 由移动的离子。 CuCl2=Cu2++2Cl-
阴阳离子定向移动， 在两极上失得电子成 为原子或分子。
通电
CuCl2==Cu+Cl2 ↑
已知动点M的坐标(x0 , y0)， 即得到x0=f(x,y)，y0=g(x,y)， 再将x0 , y0的表达式代入点M的方程F(x0 ,y0)=0中，即 得所求.
6.过椭圆x2/9+y2/4=1内一定点(1，0)作弦，求诸弦中
【解题回顾】解一求出
x0
9k 2 9k 2
4 后不必求y0，直接
利用点P(x0 , y0)在直线y=k(x-1)上消去k. 解二中把弦的
轨迹方程。（图见教材P129页例2）。
说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以 及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求 切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问 题。
小结
一、求轨迹的一般方法： 1．直接法，2．定义法，3．代入法，4．参数法， 5．交轨法，6．几何法，7.待定系数法， 8.点差法。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
二、注意事项： 1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵
活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方
程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
要将x1，y1用x、y表示后
代入曲线C方程中，即可得P点的轨迹方程.这种求 轨迹的方法称为相关点法(又称代入法).
5. M是抛物线y2=x上一动点，以OM为一边(O为原点)， 作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程.
【解题回顾】再次体会相关 点求轨迹方程的实质，就是 用所求动点P的坐标表达式
(即含有x、y的表达式)表示
4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参 数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。
5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去 参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
典型例题选讲
一、直接法题型： 例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图 形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然 而得出动点的轨迹方程。
7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方 程常用待定系数法求 .
8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个
端点设为 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 并代入圆锥曲线方程，
5.动点M(x,y)满足 x - 12 y - 32 3 x 4 y - 1 则点M轨迹是
( D)
5
(A)圆
(B)双曲线
(C)椭圆
(D)抛物线
返回
6.当θ∈［0,π/2］时，抛物线y=x2-4xsin θ-cos 2θ的顶 点的轨迹方程是_____X__2_=_-2_y_-_2_
7.已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
返回
2.在△ABC中，已知B(-3，0)，C(3，0)，AD⊥BC于D，
△ABC的垂心H分有向线段AD所成的比为1/8.
(1)求点H的轨迹方程； (2)设P(-1，0)，Q(1，0)那么 数列吗?为什么?
1 HP
，1 PQ
， 1 能成等差 HQ
【解题回顾】本小题充分利用了三角形垂心这一已知
条件由AD⊥BC得A、D坐标相同. 由BH⊥AC建立等
特 只产生自由移动 发生氧化还原反应
点 的离子
生成了新物质
联系
电解必须建立在电离的基础上
小结2 原电池和电解池知识总结比较表
内容
原电池
电极 较活泼金属做负极 规定
电极 负极发生氧化反应 反应
电子移 动方向
负极流向正极
能量 转变
化学能变为电能
电解池 阴极：连接电源负极 的一极 阳极氧化、阴极还原
阳极流向阴极
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
课前热身
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 P点的轨迹方程是____y_=_0_(_x_≥_1_)___.
2.已知O→P与O→Q是关于y轴对称，且2O→P·O→Q=1，则点P(x、y)
的轨迹方程是_________-2_x_2_+_y_2_=_1______
两端点坐标分别代入曲线方程后相减，则弦的斜率可
用中点坐标来表示，这种方法在解有关弦中点问题时
较为简便，但是要注意这样的弦的存在性
7. 过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA，OB， 求抛物线顶点O在AB上的射影M的轨迹方程.
【解题回顾】本题由题设OM⊥AB、
OA⊥OB及作差法求直线AB的斜率， 来寻找各参数间关系，利用代换及整体性将参数消去 从而获得M点的轨迹方程.
返回
延伸·拓展
1.已知动点P与双曲线x2/2-y2/3=1的两个焦点F1、F2的距离 之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-1/9. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上且DM=λDN , 求实数λ的取值范围.
【解题回顾】(1)本小题是由条件求出定值，由定值的取值情 况，由定义法求得轨迹方程. (2)本小题先设点的坐标，根据向量的关系，寻找各变量之间 的联系，从中分解主变量代入并利用辅助变量的范围求得λ 的范围
阳极：4OH—-4e—=O2↑+2H2O 阴极：4H++4e—=2H2↑
阳极2Cl—-2e— =Cl2↑ 阴极：4H++4e—=2H2↑
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如 圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。
3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
返回
59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
电离
电解
条件 电解质溶于水或 电解质电离后，
受热融化状态
再通直流电
过 程
电解质电离成为自 由移动的离子。 CuCl2=Cu2++2Cl-
阴阳离子定向移动， 在两极上失得电子成 为原子或分子。
通电
CuCl2==Cu+Cl2 ↑
已知动点M的坐标(x0 , y0)， 即得到x0=f(x,y)，y0=g(x,y)， 再将x0 , y0的表达式代入点M的方程F(x0 ,y0)=0中，即 得所求.
6.过椭圆x2/9+y2/4=1内一定点(1，0)作弦，求诸弦中
【解题回顾】解一求出
x0
9k 2 9k 2
4 后不必求y0，直接
利用点P(x0 , y0)在直线y=k(x-1)上消去k. 解二中把弦的
轨迹方程。（图见教材P129页例2）。
说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以 及求轨迹方程的常用方法，本题的关键是利用导数求 切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问 题。
小结
一、求轨迹的一般方法： 1．直接法，2．定义法，3．代入法，4．参数法， 5．交轨法，6．几何法，7.待定系数法， 8.点差法。
然而作差求出曲线的轨迹方程。
二、注意事项：
1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵 活动用定义；代入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方 程再直接消参；几何法要挖掘几何属性、找到等量 关系。
二、注意事项： 1．直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵
活动用定义；化入法要设法找到关系式x’=f(x,y), y’=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等 参数并学会消参；交轨法要选择参数建立两曲线方
程；几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后
说明：用交轨法求交点的轨迹方程时， 不一定非要求出交点坐标，只要能消 去参数，得到交点的两个坐标间的关 系即可。交轨法实际上是参数法中的 一种特殊情况。
六、点差法：
例6（2004年福建，22）如图，P是抛物线C：y 1 x 2
上一点，直线 l过点P且与抛物线C交于另一点Q。2 若直线 l 与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的
要将x1，y1用x、y表示后
代入曲线C方程中，即可得P点的轨迹方程.这种求 轨迹的方法称为相关点法(又称代入法).
5. M是抛物线y2=x上一动点，以OM为一边(O为原点)， 作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程.
【解题回顾】再次体会相关 点求轨迹方程的实质，就是 用所求动点P的坐标表达式
(即含有x、y的表达式)表示
4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参 数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。
5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去 参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。
2．要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后 的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
典型例题选讲
一、直接法题型： 例1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程
为 x 2 y 2 1 ，动点M到圆C的切线长与 MQ的
比等于常数( 0) ，求动点M的轨迹。
说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹 却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
6.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图 形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然 而得出动点的轨迹方程。
7.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方 程常用待定系数法求 .
8.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个
端点设为 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) 并代入圆锥曲线方程，
5.动点M(x,y)满足 x - 12 y - 32 3 x 4 y - 1 则点M轨迹是
( D)
5
(A)圆
(B)双曲线
(C)椭圆
(D)抛物线
返回
6.当θ∈［0,π/2］时，抛物线y=x2-4xsin θ-cos 2θ的顶 点的轨迹方程是_____X__2_=_-2_y_-_2_
7.已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑
练习：（待定系数法题型）在 PMN 中，
tan PMN 1 , tan MNP 2 ，且 PMN
2
的面积为1，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点， 且过点P的椭圆方程。
二、定义法题型： 例2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱 形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中 AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运 才能最省工？
返回
2.在△ABC中，已知B(-3，0)，C(3，0)，AD⊥BC于D，
△ABC的垂心H分有向线段AD所成的比为1/8.
(1)求点H的轨迹方程； (2)设P(-1，0)，Q(1，0)那么 数列吗?为什么?
1 HP
，1 PQ
， 1 能成等差 HQ
【解题回顾】本小题充分利用了三角形垂心这一已知
条件由AD⊥BC得A、D坐标相同. 由BH⊥AC建立等
特 只产生自由移动 发生氧化还原反应
点 的离子
生成了新物质
联系
电解必须建立在电离的基础上
小结2 原电池和电解池知识总结比较表
内容
原电池
电极 较活泼金属做负极 规定
电极 负极发生氧化反应 反应
电子移 动方向
负极流向正极
能量 转变
化学能变为电能
电解池 阴极：连接电源负极 的一极 阳极氧化、阴极还原
阳极流向阴极
的结果出来后，要注意挖去或补上一些点等。
课前热身
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 P点的轨迹方程是____y_=_0_(_x_≥_1_)___.
2.已知O→P与O→Q是关于y轴对称，且2O→P·O→Q=1，则点P(x、y)
的轨迹方程是_________-2_x_2_+_y_2_=_1______
两端点坐标分别代入曲线方程后相减，则弦的斜率可
用中点坐标来表示，这种方法在解有关弦中点问题时
较为简便，但是要注意这样的弦的存在性
7. 过抛物线y2=4x的顶点O作相互垂直的弦OA，OB， 求抛物线顶点O在AB上的射影M的轨迹方程.
【解题回顾】本题由题设OM⊥AB、
OA⊥OB及作差法求直线AB的斜率， 来寻找各参数间关系，利用代换及整体性将参数消去 从而获得M点的轨迹方程.
返回
延伸·拓展
1.已知动点P与双曲线x2/2-y2/3=1的两个焦点F1、F2的距离 之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-1/9. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上且DM=λDN , 求实数λ的取值范围.
【解题回顾】(1)本小题是由条件求出定值，由定值的取值情 况，由定义法求得轨迹方程. (2)本小题先设点的坐标，根据向量的关系，寻找各变量之间 的联系，从中分解主变量代入并利用辅助变量的范围求得λ 的范围
阳极：4OH—-4e—=O2↑+2H2O 阴极：4H++4e—=2H2↑
阳极2Cl—-2e— =Cl2↑ 阴极：4H++4e—=2H2↑
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如 圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。
3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。