用配方法解一元二次方程
学以致用
在一块长35m，宽26m的矩形 地面上，修建同样宽的两条互相 垂直的道路，剩余部分栽种花草， 要使剩余部分的面积为850m2，道 路的宽应为多少？ 解：设道路的宽应为ym 35m (35-y)(26-y)=850 26m
回顾概括
这节课你学习了哪些知识？
用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1、将方程变为一般形式。 2、移项，把常数项移到等号的右边。 3、配方，方程的两边都加上一次项系数一 半的平方。 4、写成完全平方的形式。 5、利用直接开平方法进行开方求得两根。
-4x=2xb 12x=2xb
思考：你所填写的b、b2与一次项 的系数有怎样的关系？
共同探索
配 方 法
解方程： x2+8x-9=0
移项得： x2+8x=9
配方得：x2+8x+16=9+16
二次项和一次项在等号左边， 常数项移到等号右边。 两边同时加上一次项系数一 半的平方。
写成完全平方式： （x+4）2=25
x1=49/18, x2=41/18
知识准备二
a 2ab b (a b)
2 2 2
4 22 完成填空： 1、x2-4x+___=(x-__) 36 6 2 2、x2+12x+___=(x+__) 42 16 3、y2-8y+___=(y-__) 1/4 2 1/16=(x+___) 4、x2+1/2x+___
你还有哪些收获和体会？
自我测评
1、用配方法解下列方程 （1）x2 -3x-1=0 （3）(x-1)(x+2)=1
（2）x2 –1/2x-1/2=0
2、 关于x的二次三项式x2 +4x+k是一个 完全平方式。求k的值。 3、若x2 –mx+49是一个完全平方式，m=？
课后延伸
你会解下列方程吗？ 1、 x2 –5ax+6a2=0
x2-11x+30=0
知识准备一
解下列方程：
1、9x2＝9 x1=1, x2=-1 3、16x2-13=3 x1=1, x2=-1
2、 (x+5)2＝9
x1=-2, x2=-8
4、(3x+2)2-49=0
x1=-3, x2=5/3
5、2(3x+2)2=2
x1=-3, x2=-1/3
6、81(-5)2-16=0
开方得：x+4= +5
注意：正数的平方根有两个。
∴ x+4=5 x1=1
x+4=-5 x2=-9
自我尝试
解方程：
1、x2 +12x+25=0
∴x1=-3 x2=-9
2、x2+1/2x=1
∴x1=-1/4+ 17/4
x2=-1/4- 17/4
解决问题
读诗词解题：
（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物。 而立之年督东吴，早逝英年两位数。 十位恰小个位三，个位平方与寿符。 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为x，十位数字为x-3 x2=10(x-3)+x x2-11x+30=0
合作交流
用配方法解一元二次方程的一般步骤及注意问题：
1、将方程变为一般形式。 2、移项，把常数项移到等号的右边。（变号） 3、配方，方程的两边都加上一次项系数一 半的平方。（等式的性质） 4、写成完全平方的形式。 5、利用直接开平方法进行开方求得两根。
自我挑战
1、解下列方程
（1）、x2 -10x+25=7
（2）、x2+12x-15=0
2、若a2+2a+b2-6b+10=0,求a、b的值。
学以致用
如图，在一块长35m，宽26m的 矩形地面上，修建同样宽的两条 解：设道路的宽应为xm 互相垂直的道路，剩余部分栽种 26×35=35x+26x+850 -x2 花草，要使剩余部分的面积为850 x2_61x+60=0 m2，道路的宽应为多少？ 2_61x=-60 x 35m x2_61x+3721/4=-60+3721/4 (x-61/2)2=3481/4 x-61/2=+59/2 26m ∴x1=59/2+61/2=60(舍去） x2=-59/2+61/2=1 答：道路的宽应为1m。
用配方法解一元二次方程
李静
情境导入：
读诗词解题：
(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄。) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物。 而立之年督东吴，早逝英年两位数。 十位恰小个位三，个位平方与寿符。 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为x，十位数字为x-3
思 考 分 析
x2=10(x-3)+x
2、 3x2 =4x+1
再 见
21.2 解一元二次方程——配方法
解: 把常数项移到方程右边得：如何配方?
x 4x 1
2
2 2 2 两边同时加上2 得： x 4x 2 1 2
2
即
降次
( x 2) 5
2
x2 5
∴原方程的根为 x1 2 5, x2 2 5
例1.解下列方程 2 x 8x 2 0.
x2＋8x＋ 42 ＝( x＋4 )2 2 2 2 ＝ ( a +b ) a +2 a b ＋ b x2＋2．x．4 ＋ 42
配方依据：完全平方公式.
2 2 2 a ±2ab+b =(a±b) .
合作探究
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 2 (1) x 4 x 2 =( x + 2 )2 2 2 =(x - 3 )2 (2) x 6 x 3
系数一半的平方，得
x 4 x 1.
2
2 2 2
x 4x 2 1 2 .
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 降次，得
的形式，得
x 2
2
5.
x 2 5.
所以，原方程的根为
x1 2 5
x2 2 5.
练习:3x – 6x + 4 = 0
配方法的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（ ）2 的形式；
5、降次：化成一元一次方程；
6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
练习 题组
（1）
16 x 4 x 8x __ _ .
2.2.2用配方法求解一元二次方程(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用配方法求解一个具体的一元二次方程，从而直观地看到结果。
3.培养学生的数学运算能力，熟练运用配方法解一元二次方程，提高解题效率；
4.培养学生的数据分析能力，让学生在解决一元二次方程问题时，能够分析问题、提炼关键信息，并进行合理判断；
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在掌握配方法的基础上，探索和尝试新的解题方法，提高解决问题的灵活性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-实际问题的数学建模：培养学生将现实问题抽象成一元二次方程，并运用配方法求解的能力。
-重点细节：
-识别问题中的已知量和未知量，建立方程模型；
-将实际问题中的条件转化为方程的约束条件；
-运用配方法求解方程，得出问题的解答。
2.教学难点
-配方法的推导过程理解：学生需要理解配方法背后的数学原理，这对于逻辑思维能力有一定的要求。
-难点举例：
-学生可能会对为什么要添加和减去同一个数感到困惑；
-对于如何将方程转化为完全平方公式感到不熟悉。
-配方法在实际问题中的应用：将配方法应用于解决实际问题，需要学生具备一定的分析能力和创造性思维。
-难点举例：
-在实际问题中，学生可能难以找到合适的方程模型；
-在应用配方法时，可能会出现计算错误，导致最终答案错误。
-配方法的步骤及应用：配方法是一元二次方程求解的重要方法，本节课的核心是让学生掌握配方法的步骤，并能将其应用于求解实际问题。
22.2解一元二次方程配方法
22.2 解一元二次方程(配方法)第1课时教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（18x）2+12整理得：x2-64x+768=0问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500整理，得：x2-36x+70=0（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768两边加（642）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024左边写成平方形式→（x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16解一次方程→x1=48，x2=16可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．学生活动：例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=±，x-18=或x1≈34，x2≈2．可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．例2．解下列关于x的方程（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6x-1=6，x-1=-6x1=7，x2=-5可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．（2）x2-2x-12=0 x2-2x=12x2-2x+12=12+1 （x-1）2=32x-1=±2x-1=2x-1=-2x1x2可以验证：x 1=1+2x 2=1-2三、巩固练习教材P 38 讨论改为课堂练习，并说明理由． 教材P 39 练习1 2．（1）、（2）． 四、应用拓展例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．C A QP分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式． 解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 五、归纳小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程． 六、布置作业1．教材P 45 复习巩固2．22.2.2 配方法 第2课时教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程． 教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备 小黑板 教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x 2-8x+7=0 （2）x 2+4x+1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x 的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：（1）x 2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9 x-4=±3即x 1=7，x 2=1（2）x 2+4x=-1 x 2+4x +22=-1+22（x+2）2=3即x+2=x 1，x 2二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 例1．解下列方程（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x-2=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方． 解：（1）移项，得：x 2+6x=-5配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54由此可得x+32=x 132，x 232（3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0移项，得x 2+4x=1 配方，得（x+2）2=5x+2=x 1，x 2三、巩固练习教材P 39 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）． 四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53五、归纳小结本节课应掌握：配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．六、布置作业1.教材P45复习巩固3．。
《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)
知2－讲
(2) 移项，得
2x2－3x＝－1.
x2
二次项系数化为1，得
3
1
x .
2
2
2
2
3
1 3
3
x x .
2
2 4
4
2
配方，得
2
3
1
x
=
.
4
16
3
1
x ,
4
4
由此可得
x1 1, x2
1
2
知2－讲
(3)移项，得
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－
p ，x
2＝－n＋
p；
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．
知2－练
1 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时 加上4的
是(
)
12.在实数范围内定义一种新运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则求方程( 2x1 )※( -4 )=0的解.
解:根据新定义得( 2x-1 )2-( -4 )2=0,
即( 2x-1 )2=( -4 )2,
5
3
∴2x-1=±4,∴x1=2,x2=-2.
-41-
第二章
2.2 用配方法求解一元二次方程
2
3
1
A.x,-4
B.2x,-2
3
3
C.2x,D.x,2
2
C )
10.已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5,则m的值为( B )
初中数学 如何求解一元二次方程的小数解
初中数学如何求解一元二次方程的小数解要求解一元二次方程的小数解，我们可以使用配方法、求根公式或图像法。
下面将详细介绍这三种方法的步骤和应用。
方法一：配方法配方法是一种通过变换方程的形式来求解一元二次方程的方法。
它的基本思想是将方程转化为完全平方形式，然后求解。
步骤：1. 将方程表示成标准形式：ax² + bx + c = 0，其中a，b和c是已知的实数常数，且a ≠ 0。
2. 如果方程的系数a不为1，则将方程两边都除以a，使得方程的首项系数为1。
3. 将方程的常数项c分解为两个数的乘积，这两个数的和等于方程的一次项系数b。
假设这两个数为m和n。
4. 重新排列方程，将一次项bx拆分为mx + nx。
5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + m)(x + n) = 0。
6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + m = 0和x + n = 0。
7. 解这两个方程，得到x的值。
这些值即为方程的小数解。
举例来说，考虑方程2x² + 5x - 3 = 0。
1. 将方程表示成标准形式，得到2x² + 5x - 3 = 0。
2. 系数a为2，不为1，所以我们将方程两边都除以2，得到x² + (5/2)x - 3/2 = 0。
3. 将常数项-3/2分解为两个数的乘积，这两个数的和等于5/2。
我们可以将-3/2分解为1/2和-2，因为1/2 + (-2) = 5/2。
4. 重新排列方程，得到x² + (1/2)x - 2x - 3/2 = 0。
5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + 1/2)(x - 2) = 0。
6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + 1/2 = 0和x - 2 = 0。
7. 解这两个方程，得到x = -1/2和x = 2。
这两个值即为方程的小数解。
方法二：求根公式求根公式是一种通过直接计算方程的根的公式来求解一元二次方程的方法。
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-配方法考点一．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．考点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．题型1：配方法解一元二次方程1．用配方法解一元二次方程2620x x -+=，此方程可化为（ ）A ．2(3)7x -=B ．2(3)11x -=C ．2(3)7x +=D ．2(3)11x +=【答案】A 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案．2222()a ab b a b ±+=±【解析】解：2620x x -+=Q ，262x x \-=-，则26929x x -+=-+，即()237x -=，故选：A ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．2．用配方法解一元二次方程23610x x +-=时，将它化为()2x a b +=的形式，则a b +的值为（ ）A ．103B ．73C ．2D ．433．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．22990x x --=化为2(1)100x -=B ．2890x x ++=化为2(4)25x +=C ．22740t t --=化为2781416t æö-=ç÷èøD ．23420x x --=化为221039x æö-=ç÷èø【答案】B【分析】根据配方的步骤计算即可解题．【解析】()2222890,89,816916,47x x x x x x x ++=+=-++=-++=故B 错误．且ACD 选项均正确，故选：B【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可．4．关于y 的方程249996y y -=，用___________法解，得1y =__，2y =__．【答案】 配方 102 98-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【解析】249996y y -=，24499964y y -+=+，2(2)10000y -=，2100y -=±，1002y =±+，12102,98y y ==-，故答案为：配方，102，98-．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程即可得，熟练掌握配方法是解题关键．5．用配方法解方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（ ）A ．2224()24b ac b x a a -+=B ．2224()22b b ac x a a -+=C ．2224()24b b ac x a a -+=D ．2222()22b b ac x a a ++=6．用配方法解方程22103x x -+=，正确的是（ ）A ．212251()1,,333x x x -===-B ．224(),39x x -==C ．238(29x -=-，原方程无实数解D ．2()1839x -=-，原方程无实数解7．用配方法解下列方程：(1)2352x x -=；(2)289x x +=；(3)212150x x +-=；(4)21404x x --=；(5)2212100x x ++=；(6)()22040x px q p q ++=-³．8．ABC D 的三边分别为a 、b 、c ，若8+=b c ，21252bc a a =-+，按边分类，则ABC D 是______三角形【答案】等腰【分析】将8+=b c ，代入21252bc a a =-+中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a 与c 的值，进而求出b 的值，即可确定出三角形形状．【解析】解：∵8+=b c ∴8b c =- ，∴()288bc c c c c =-=-+，∴2212528bc a a c c =-+=-+，即2212361680a a c c -+++-=，整理得：()()22640a c -+-=，∵()260a -³，()240c -³，∴60a -=，即6a =；40c -=，即4c =，∴844b =-=，则△ABC 为等腰三角形．故答案是：等腰．【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．如果一个三角形的三边均满足方程210250x x -+=，则此三角形的面积是______10．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【解析】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．题型3：配方法的应用2-比较整式大小与求值问题11．若M =22x -12x +15，N =2x -8x +11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N 【答案】A【解析】∵M=22x -12x +15，N=2x -8x +11，∴M-N=222222(21215)(811)2121581144(2)x x x x x x x x x x x -+--+=-+-+-=-+=- .∵2(2)0x -³，∴M-N ³0，∴M ³N.故选A.点睛：比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“0”来比较两者的大小.12．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．不确定【答案】A【分析】把x =a 代入3个方程得出a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，3个方程相加即可得出（a +b +c ）（a 2+a +1）=0，即可求出答案．【解析】把x =a 代入ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0得：a •a 2+ba +c =0，ba 2+ca +a =0，ca 2+a •a +b =0，相加得：（a +b +c ）a 2+（b +c +a ）a +（a +b +c ）=0，13．已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-14．若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【解析】配方得：226(3)9x x c x c -+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴90c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．15．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2－2x －4y+16的值总是_______数．【答案】正【解析】x 2+y 2－2x －4y +16=（x 2－2x +1）+（y 2－4y +4）－1－4+16=（x －1）2+（y －2）2+11，由于（x －1）2≥0，（y －2）2≥0，故（x －1）2+（y －2）2+11≥11，所以x 2+y 2－2x －4y +16的值总是正数.故答案为正.点睛：要证明一个式子的值总是正数，可以用配方法将式子写成多个非负数之和与一个正数的和的形式即可证明.16．不论x ，y 为什么数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值（ ）A ．总大于7B ．总不小于9C ．总不小于﹣9D ．为任意有理数【答案】C【分析】先将原式配方，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于−9即可．【解析】解：4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7＝4x 2＋8x ＋4＋3y 2−12y ＋3＝4（x 2＋2x ＋1）＋3（y 2−4y ＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y 2−4y ＋4−4＋1）＝4（x ＋1）2＋3（y −2）2−9，∵（x ＋1）2≥0，（y −2）2≥0，∴4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7≥−9．即不论x 、y 为什么实数，代数式4x 2+3y 2+8x ﹣12y +7的值总不小于−9．故选：C ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法．17．若12123y z x +--==，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）A ．3B ．5914C ．92D ．618．关于代数式12a a ++，有以下几种说法，①当3a =-时，则12a a ++的值为-4.②若12a a ++值为2，则a =③若2a >-，则12a a ++存在最小值且最小值为0.在上述说法中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积S =．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若3p =，2c =，则此三角形面积的最大值是_________．20．已知y=x，y均为实数），则y的最大值是______．21．已知152a b c +--=-，则a b c ++=____________22．已知212y x x c =+-，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，则c 的取值范围_______.【答案】c ＜−1【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c 的范围．【解析】原式分母为：x 2＋2x−c ＝x 2＋2x ＋1−c−1＝（x ＋1）2−c−1，∵（x ＋1）2≥0，无论x 取任何实数，这个式子都有意义，∴−c−1＞0，解得：c ＜−1．故填：c ＜−1【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．23．（1）设220,3a b a b ab >>+=，求a b a b+-的值．（2）已知代数式257x x -+，先用配方法说明：不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？24．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++¹中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(4)x x x x -+=+-或2242((4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．25．若实数x ，y ，z 满足x ＜y ＜z 时，则称x ，y ，z 为正序排列．已知x =﹣m 2+2m ﹣1，y =﹣m 2+2m ，若当m 12＞时，x ，y ，z 必为正序排列，则z 可以是( )A ．m 14+B ．﹣2m +4C ．m 2D ．1A．甲B．乙C．丙D．丁故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．7．代数式243x x -+的最小值为（ ）．A ．1-B ．0C ．3D ．5【答案】A【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案．【解析】代数式()2224344121x x x x x -+=-+-=--∵()220x -³，∴()2211x --³-即代数式2|431x x -+³-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解．8．已知625N m =-，22M m m =-(m 为任意实数)，则M 、N 的大小关系为（ ）A ．M N<B ．M N >C ．M N =D ．不能确定【答案】B 【分析】求出M N -的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知()22226258169490M N m m m m m m -=--+=-++=-+>，所以M N >．故选：B ．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．9．若22242021p a b a b =++++，则p 的最小值是（ ）A ．2021B ．2015C ．2016D ．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：22242021p a b a b =++++2221442016a ab b =++++++()()2221442016a ab b =++++++()()22120162a b ++=++，∵()210a +³，()220b +³，∴p 的最小值为2016，故选：C ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．10．新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x m k -+=与22()0a x m k -+=称为“同族二次方程”．如22021(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程22(1)10x -+=与()()22480a x b x ++-+=是“同族二次方程”，那么代数式22021ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2013B ．2014C ．2015D ．2016【答案】D【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=Q 与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x \++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a \++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+ìí=+î，解得：510a b =ìí=-î．∴()22220215102021512016ax bx x x x ++=-+=-+\当1x =时，22021ax bx ++取最小值为2016．故选：D ．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．将一元二次方程2410x x -+=变形为()2x h k +=的形式为______三、解答题。
2 用配方法求解一元二次方程
(2)－3x2＋5x＋1的最大值．
1.学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，实现教学目标．
2．知识的综合与拓展，提高应考能力.
（续表）
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．课本P39中的随堂练习
【拓展提升】
例1[安徽中考]解方程：x2－2x＝2x＋1.
例2解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.
1.对本节知识进行巩固练习，可让学生进一步熟悉用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤.
2.知识的综合与拓展，提高应考能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.课本P37中的随堂练习
④[习题反思]
好题题号________________________________________
错题题号_______________________________________
反思，更进一步提升.
第
课题
第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程
授课人
教
学
目
标
知识技能
会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．通过经历配方法解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能．
④x2＋10x＋________＝(x＋________)2.
(2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别.
①x2＋6x＋8＝0；
②3x2＋18x＋24＝0.
探讨：方程②应如何去解呢？
2.复习提问：用配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的步骤是什么？
一元二次方程的解法--配方法
ax bx c 0a 0配方成ax m n后，
2
利用配方法求代数式的值
• 例1若x 4x y 6 y z 6 13 0, 求xy 的值 解： x 2 4 x y 2 6 y z 2 13 0
2 2 z
x2 4x 4 y2 6 y 9 z 2 0 x 2 y 3 z 2 0 x 2 0, y 3 0, z 2 0 x 2, y 3, z 2
•本节课你又学会了哪些新知识呢？ •用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1、把方程化为一般形式 •2.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数 ); 3.移项:把常数项移到方程的右边; 4.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 5.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 6.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 7.求解:解一元一次方程; 8.定解:写出原方程的解. •用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问 题(即列一元二次方程解应用题).简而言之：一化二移 三配四开方。
2 2
xy 6 36
z 2
方法规律：
• 当一个方程出现多个未知数，且方程中具 备 完全平方数的雏形时，可以考虑凑完全 平方式，将方程化成几个非负数的和为0的 情形，从而将一个方程化成多个方程分别 求解。
• 1、已知
a b 4a 2b 5 0
2 2
1.x2
– 2 = 0;
1 -3x- 4 =0 ;
2.x2
3.x2－6x＋1＝0 ；
你想到了什么办法?
师生合作
1
解 : 3x 8x 3 0.
一元二次方程的解法(配方法)
在下列横线上填上适当的数
(1) x2 2x __1_2__ (x __1_)2
(2) x2 8x __4_2__ (x__4_)2
注意:配方时, 等式两边同时加上的是 一次项系数一半的平方.
2.用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
P 1、书 93习题4.2 2
P 2、《数学补充习题》 50
(1)x 2 12 x 9 (2)x2 x 1 (3) x2 4x 3 0(4)x2 2x 1 0
(5)x2 3x 5 0
配方时, 等式两边同时加上的是一 次项系数一半的平方
问题解决
群益中学教学楼前正在建造一长方形花园，
x x 要求长比宽多10m，面积是 200m2 ，若设
3、预习配方法解一元二次方程第2课时
x2 6x 32 4 32
左边写成完全平方的形式
(x 3)2 5
开平方
变成了(x+h)2=k 的形式
x3 5
x3 5,x3 5 得: x1 3 5, x2 3 5
以上解法中,为什么在方程 x2 6x 4
两边加9?加其他数行吗?
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式, 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法.
解一元二次方程的基本思路
降次
二次方程
一次方程
把原方程变为(x+h)2＝k的形式 (其中h、k是常数）。
用配方法解一元二次方程
教师板书协助总结，特别强调：配方前的移项整理、二次项系数化1；配方后的分情况处理等步骤。
四、课堂练习
教科书P83练习1、2，A组习题3
五、当堂作业
1、在横线上填上适当的数
（1）x2-2/5x+ =（x-）2
（2）x2+8x+ =（x+）2
（3）y2-3/4y+ =（y-）2
学生继续讨论，并发表见解。学生在教师的引导下归纳出：需要利用等式的性质将二次项系数化为1。
之后，学生自己完成这个方程的求解。
②解方程3x2-6x+4=0
学生分组解答，会发现：配方后出现完全平方式等于负数的情况。
教师提示：这种情况是存在的，它说明这个一元二次方程无实数根。
三、全课总结
教师提问：用你的语言描述一下配方法解一元二次方程的基本步骤和需注意的问题。
二、合作探究
1、教师提出：如何解上面这个方程？
①所列方程与复习题的第（1）个方程有何联系和区别？
学生观察，找到联系与区别，请三到四名同学回答，教师注意其观察能力和语言的准确性，并引导其得出：方程x2+6x+9=2的等号左边是一个完全平方式，可用直接开方法解决；方程x2+6x-16=0的等号左边不是一个完全平方式，但其二次项与一次项和方程x2 +6x+9=2中相应部分完全相同。
2、用配方法解方程
（1）x2+12x+5=0
（2）2x2+3=7x
（3）x2+4x+9=2与4a2-2a-5互为相反数，求a。
（2）若x2-mx+4是一个完全平方式，求m的值。
（3）小圆半径为5㎝，圆环面积为96πc㎡，求圆环的宽。