浅谈势能曲线及其应用

后者:V=mgL(1-cosθ )， 有可以越过的势垒，所 以相图可以分岔。 也有时，相图的分岔原因是系统自身的改变， 即相同的初速度也会由于其他参数的不同产生 不同的相图。
3.在左图这样的光滑导轨上分别从（1）、（2） 位置释放相同的小球，会得到完全不同的相 图：（以A点为原点建立坐标系）
中图关于原点对称而右图则不然。从右图的 势能曲线来考虑，小球陷入了关于原点不对 称的势陷之中。由于参数V的改变引起了对 称性的自发破缺。
七.势能与运动方程
为了便于与（牛顿）运动方程联系，必须实 现从能量到时间等运动学量的转化： —————— ——————— √2Ek/m =V=dx/dt=√E – U(x)， ————————— dt=dx /√2[E-U(x)]/m，这样就导出了物体从势 能曲线上一点运动到另一点的时间公式。 例：U(x)=-1/x (m=2kg，E=0 J，X:1→2) ∫dt= ∫√xdx，所以t=—x dU(x) 另外：F= - ———。于是运动方程问题迎刃而 dx 解。
②当0<ω ≤√g/L时，对称轴 ≥1，Ep在(0,1]上单调递减， 故cosθ=1，即：θ=0时，能 量最低。 但以上考虑为重锤作r≠0转动的情况，但如重 锤原地打转也无不可，故θ=0恒成立，应将其 加入①情况的解中。注意：此时为不稳定平 衡，加以微小扰动，重锤立刻变为转动，跃 升到势能最低处。可见，用势能曲线加上参 数讨论来研究平衡十分方便。
三.存在极限的势能曲线
Mm 1. 二体万有引力：F引=G—— ，取U(+∞)=0则 2 r Mm ，当U=0（r→+∞）时，两物体 U(r)= - G—— r2
相距无穷远，即分离态。使两 物体从相距r0到相距无穷远， 所需能量|U(r0)|称为离解能。 即：在r0处如将A物体固定而B物体得到|U(r0)| 的动能（速度背离A物体）则两物体可分离。 limV=0，V越来越小，但恒不为0。
2.二体分子力：取 lim U(r)=0，因固体分子在 r→∞ r0附近做小能量振动，大小可忽略，故有类 似结论：离解能为：|U(r0)|。 建立类似于1的简单模型： 把固体内部分子力视为二体 分子力。如每kg该物质含n 个分子，则汽化热为： |U(r0)| * n (J/kg) 综合1、2，虽然两模型十分简单，但对 宇宙、分子势能状态的解释有很大帮助。 我们应该庆幸以上两种势能曲线是收敛 的，否则离解能、汽化热和膨胀宇宙就都不 存在，世界会因为没有气体而变得枯燥，我 们也会因为害怕大挤压而睡不着觉。
#小结
经过以上这些讨论，我们发现，从势能 角度，用图像，可以得出简单而易于理解的 结果。
但在应用图像时，也应该注意它的使用 范围。
可以说：势能曲线是一种重要工具。
#参考文献
《物理学》，马根源等著 《力学原理导论》，W· 豪瑟著 《物理学》，D· 哈里德著 《力学引论》，D· Kleppner著 《新概念物理教程》，赵凯华著 《理论力学》，朱照宣等著 《理论力学教程》，周衍柏著
#作者声明
《关于柔软长链（绳）在其自身重力作用下 所形成形状的讨论》（制作中……）和《浅 谈势能曲线及其应用》由南开大学2003级物 理学院物理学基地班“刘氏编写组”： 0310193刘 晨、310194刘加东、 0310195刘庆逊、0310196刘志勇 编写。
水平有限，错误难免，欢迎批评指教。
2. V0—X图或ω —θ 图等速度—位置图称为相 图。 如：简谐运动的相图为（这几条曲线 分别是相同振动系统中，不同振幅的振动 产生的图形）右图。 其中，振幅（或初速度）的改变仅引 起相图的量变，但永远不引起质变。
“硬杆—球”摆动模型相比之下更为复杂： 当初速度不同时，相图可能发生大改变，甚 至发生拓扑结构性变化——分岔。
Ep离= -
1 2L2sin2θ =— m ω 2
1 2 2 2θ) —m ω L (1-cos 2
1 2L2cos2θ–mgLcosθ+mgL Ep总=— m ω 2
-
12 2 —m ω L 2
此时应画出Ep总—cosθ图，但参数ω未定， b mgL g —— = ————— = ——— 故曲线不确定，而对称轴： 2a mω2L2 ω2L 因为0<cosθ ≤1，所以有以下两种情况： g ①当—— <1 时， cos θ 能取极值， 2 ωL ——— g 即： ω>√g/L时，cosθ=—— 2 ωL g θ=arccos—— ω2L
什么时候分岔呢？用势能曲线分 析：当外界系统（运动环境）不 变，仅由初速度或振幅影响相图 时，这种分岔必伴随着越过新势 垒。不越过新势垒，相图就不会 多出一个新的起伏，自然不会发 生质变。
→钉子 →硬杆
→球
为什么两个模型中一个会分岔而另一个不会呢？
1 2 前者：V= — 2 kx ；有一个无穷
势垒，不能超越，相图就不能 分岔。
以ω 转动的圆锥摆，F离=mω2x； 从轴线到θ 角位置（以轴线为离 心势能0点），离心力功W= - Ep离 12 2 1 2 2L2sin2α =∫mω xdx=—m2 ω x =—mω2
1 2 2 1 2 2 2 所以θ 处离心势能为- — 2 ω x 或=- — 2mω L sin α
3.许多转动中的平衡问题求解使人毛骨悚然， 无从下手，而能量最低原理（此处为势能和最 低点）能将其简化并使之容易理解，而处理转 动自然要引用2中的离心势能。离心势能与重 力势能之和最低，就是解题的主线。 例：质量为M的重锤挂在长为l的绳的下端，固 定在一根以角频率ω 旋转的棒上， 锤作匀速圆周运动，求平衡时绳 与铅直方向成的角θ 。 Ep重=mgL(1-cosθ)
r→∞
建立一个简单的模型：把宇宙的内部作 用视为二体万有引力，则在r0状态，宇宙势 能表示为U(r0)。
当宇宙处于r0状态时，如Ek= |U(r0)|则 limV=0 ，宇宙膨胀速度刚好大到避免引力塌 r→∞ 缩，但并无剩余动能时，宇宙为临界状态； 如Ek略大，即：Ek> |U(r0)|时，宇宙为 膨胀宇宙； 如Ek略小，即：Ek< |U(r0)|时，宇宙为 闭合宇宙，必以大挤压终结。
2 1 t 0 — 1.5 2 1.5 2 |= — （ 2 -1 ）≈1.2s 3 3
八.势能及其曲线的局限性
1.对一些绕原子核运动的电子，其能级是分立 的，具有量子化特点，它们的势能曲线不连续， 无法用来分析。 2.微观粒子具有明显的波动性，故遇到势垒时， 会像波碰到一层介质一样：部分透射，部分反 射。对同一位置的粒子，由不确定性关系，它 的能量会随时间产生不确定地变化。 可见能级分立、波粒二象性、不确定性关 系等微观特点活在微观下才变得明显的特点， 阻碍了势能曲线的应用。所以：在微观下慎用 势能曲线。
———
六.势阱中的领域振动：
我们知道，切线是一条与已知曲线最接近的 直线，曲率圆是一个与已知曲线最接近的圆， 而泰勒级数是一条与已知曲线最近的多项式 函数曲线。取最低点为原点，利用泰勒级数 的前三项，足以满足精确度，可以构造出 · · 的式子（简谐振动）。 Ax+Bx=0 1 2，移轴化简得： U(x)=U0+U0’x+— U ’’ x 0 2 1 U(x)=— U ’’x，F= - dU/dx =- U0’’x; 2 0 ———— 所以简谐振动：k=U0’’代入T=2π√m/k ———— 得到的T=2π√m/k 就是振动周期。
四.势垒、势阱、相图、分岔 和对称性自发破缺
1.简而言之：势垒就是图线中上突的部分，而 势阱则是下陷部分。 某物体或某结构之所以不稳定，是因为他们 位于势垒之上；相反，稳定则是因为处于势 阱之中。 在x0处的物体只具有 ≥U(x2) — U(x0)的动能， 才能越过势垒，否则它只 能在势阱中振动。
一.势能曲线的物理分 析
1. F = —U’(x)（一维），可推出在 图1-1与图1-2中，X0处物体分别 处于稳定平衡和不稳定平衡。 （用受力法分析） 2.E（总能量）决定了物体的活动 范围：物体在U(x)低于E0的范 围内活动（①②），但不能越 过势垒（③），故物体只能在 ①或②中某一个范围内运动， ③为物体运动的转向点。
浅谈势能曲线及其应用
作者：刘 晨、刘志勇 刘庆逊、刘加东
# 前言：
本文将用初等微积分的方法对势能曲线 进行一些研究。其中将涉及一些前沿的科学 名词，本文将以最简单的模型和通俗的方式 进行定性讨论。定性为主、定量为辅，关键 在于一些原理的解释。 有时，用牛顿定律解决物体运动问题十 分复杂，而用能量则十分简单，加以图像的 直观性，能量曲线，尤其是势能曲线，就成 为了分析问题的先进工具，本文研究对象为 一维势能曲线。
五.三种平衡状态
1.三种平衡状态：稳定平衡、不稳定平衡、随 遇平衡点都是势能曲线的驻点f ’(x)=0，其中： 稳定平衡，f ‘(x-0)<0、f ‘(x+0)>0，小范围运动 时，重心升高，导致物体回到原位。 不稳定平衡，f ‘(x-0)>0、f ‘(x+0)<0，小范围运 动时，重心降低，导致物体偏离原位。 随遇平衡，f ‘(x-0)=0、f ‘(x+0)=0，小范围运动 时，重心不变。
图1-1
图1-2
图1-3
二.一种与势能曲线等效的图形
如把势能认作重力势能，因其与高度保持 严格对应关系（Ep= mgh），便建立了与一维空 间内势能曲线相对应的模型：重力场中仅受重 力、支持力的沿光滑导轨滚动的小球。 于是，“一”中稳定与非稳定平衡又可从 小球趋向最低能量的角度解释，因为能量最低 原理很容易理解。另外，“一”中所说的转向 点，就是瞬时速度为0点。
我们崇拜他们……
另有一些特殊情况如：U=x3 U’(0)=0，所以x=0为曲线的一个驻点（平衡点）
向右小范围运动，重心升高； 向左小范围运动，重心降低， 表现为不稳定平衡。
2.在非惯性系中应用牛顿定律必须引入惯性力， 离心力就是其中之一。离心力是有心力，其大 小与位置有关，故可以找到一种与之对应的势 能——离心势能。