§1.7.1 分子间互作用势能曲线
分子间的相互作用势能与分子力
分子间的相互作用势能与分子力罗兴垅【摘要】引入相对距离R、相对势能U与相对力F,导出了米势的相对势能U（R）及其相应的相对力F（R）与参数n、m的关系,并精确地绘制了伦纳德-琼斯势的相对势能U（R）曲线及其相应的相对力F（R）曲线和平衡位置附近的近似相对势能U（X）曲线、近似相对力F（X）曲线.%The paper introduces the relative distance,relative potential energy and relative power,derives the relative potential energy of Mie potential and its corresponding relative force and the relationships of parameter n and m,and accurately draws the relative potential energy curve of Leonard-Jones potential and its corresponding relative force curve and near the equilibrium position the approximate relative potential energy curve and the approximate relative force curve.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2012(033)006【总页数】6页(P57-62)【关键词】米势;雷纳德—琼斯势;相对距离;相对势能;相对力【作者】罗兴垅【作者单位】赣南师范学院物理与电子信息学院,江西赣州341000【正文语种】中文【中图分类】O552物质由分子(或原子)组成，分子热运动和分子间的相互作用是决定物质各种热学性质的基本因素.分子间相互作用的关系很复杂，无法由实验直接测定，从理论(即使是量子理论)上也不容易得到一般性的解决，很难用简单的数学公式表示出来，通常采取的办法是在实验基础上采用简化模型来处理问题［1］.一种常用的模型是假设分子间的相互作用具有球对称性，1907年米(Mie)指出，分子或原子间相互作用势为其中α＞0，β＞0，n＞m ＞0，它们是通过实验确定的常数.式中第一项为排斥势，第二项为吸引势，且排斥势作用半径比吸引势作用半径小，式(1)简称为米势［2］. 在多数情况下，取m=6，n为9～12之间的整数，而以n=12为最佳［3］.1924年，伦纳德－琼斯(Lennard-Jones)又提出了半经验公式式中u0是在平衡位置(r=r0)时的势能的绝对值.式(2)简称为伦纳德－琼斯势［4］. 由于米势、伦纳德－琼斯势中均有一对参数(两种表式分别为α、β或u0、r0)是待定的，与物质有关，对于米势还需选定n、m的值.因此，热学、热力学与统计物理学和固体物理学教材［1－9］一般仅绘制定性的分子势能曲线与分子力曲线.本文探讨米势的相对势能U及其相应的相对力F与参数n、m的关系，并以雷纳德—琼斯势为例，精确地绘制分子势能曲线与力曲线.1 米势1.1 米势由式(1)，可得两分子间的相互作用力在平衡位置r0处，分子所受的力为零.令f(r0)=0，可解得式(4)代入式(1)得在平衡位置r0处，势能为u(r0)，由上式有代入式(6)得由上式可知，米势由四个参数(u0、r0、n、m)确定.若给定某种分子的四个参数(u0、r0、n、m)值，则可绘制该种分子的势能曲线.当时，u(σ)=0，排斥势与吸引势的绝对值相等，且等于根据式(9)、式(10)，可将式(8)改写成如下形式u(r)对r的一阶、二阶导数分别为由式(12)、(13)可知，在平衡位置r0处，势能有极小值u(r0)=－u0，势能曲线拐点位于由上述讨论可知米势的势能曲线特征为：（Ⅰ）当r→0时，u(r)→ +∞;当r→ +∞ 时，u(r)→0;在平衡位置r0(＞σ)处，势能有极小值u(r0)=－u0.（Ⅱ）当0＜r≤σ时，u(r)≥0;当σ ＜r＜+∞ 时，u(r)＜0.（Ⅲ）当0＜r≤r0时，即势能随r的增大而减小;当r0＜r＜+∞ 时，即势能随r的增大而增大.（Ⅳ）势能曲线拐点位于δ(＞r0)处，当0＜r＜δ时，曲线是凹的;当δ＜r＜+∞ 时，曲线是凸的.1.2 米势的相对势能令相对距离R=r/r0，相对势能U(R)=u(R)/u0，则式(8)变为上式表示米势的相对势能仅由二个参数(n、m)确定，与参数(r0、u0)无关.只要给定参数n、m的值，就可以绘制一类分子的相对势能曲线.1.3 米势的近似相对势能在讨论固体、液体中分子的热振动以及固体的热膨胀时，需要知道分子在平衡位置附近的势能曲线形状.为此，将米势u(r)在平衡位置r=r0处(即令r=r0+x)展开成泰勒级数式(8)对r的零阶、一阶、二阶与三阶导数在平衡位置r=r0处的值分别为代入米势u(r)的展开式，并保留到第四项，得上式为米势u(r)的近似式，其成立条件为x≪r0.若令相对距离X=x/r0，相对势能U(X)=u(x)/u0，则式(17)可改写为上式为米势u(r)的近似式，其成立条件为X≪1.若保留到第二项，则势能曲线为抛物线，分子应在平衡位置附近作简谐振动;若保留到第三项，则势能曲线不是抛物线，势能曲线在平衡位置附近不再对称，分子将在平衡位置附近作非简谐振动.1.4 米势的分子力式(4)代入式(3)得令 f0斥=mαr－(m+1)0 ，并由式(7)可得它是平衡位置r0处分子受到的斥力.于是，与米势相应的分子间的相互作用力为当r=r0时，f(r0)=0，排斥力与吸引力的大小相等.由(13)式可知，势能曲线拐点对应于力曲线的“极小值”令，可得力曲线拐点由上述讨论可知米势的力曲线特征为：（Ⅰ）当r→0时，f(r)→ +∞;当时r→ +∞，f(r)→0;在r=δ(对应于势能曲线拐点)处，f(r)有极小值.（Ⅱ）当0＜r≤r0时，f(r)≥0;当r0＜r＜+∞ 时，f(r)＜0.（Ⅲ）当0 ＜r≤ δ时，即f(r)随r的增大而减小;当δ＜r＜+∞ 时，即f(r)随r的增大而增大.（Ⅳ）力曲线拐点位于λ(＞δ)处，当0＜r＜λ时，曲线是凹的;当λ＜r＜+∞ 时，曲线是凸的.1.5 米势的相对分子力令相对距离R=r/r0，相对力F(R)=f(r)/f0斥，则式(20)变为上式表示米势的相对力仅由二个参数(n、m)确定，与参数(r0、u0)无关.只要给定参数n、m的值，就可以绘制一类分子的相对力曲线.1.6 米势的近似相对分子力由式(17)，可得米势的近似分子力为令相对距离X=x/r0，相对分子力F(X)=f(x)/f0斥，则式(24)可改写为(24)式与(25)式的成立条件均为X≪1.2 伦纳德—琼斯势2.1 伦纳德—琼斯势当米势中的m=6、n=12时，米势即为伦纳德－琼斯势令式(8)中的m=6、n=12，上式变为式(2)的形式令式(10)、式(11)中的m=6、n=12，则u斥(σ)=4u0，伦纳德－琼斯势可写成如下形式2.2 伦纳德—琼斯势的相对势能曲线令式(15)中的m=6、n=12，可得伦纳德－琼斯势的相对势能为根据上式，使用数学软件Matlab绘制雷纳德－琼斯势的相对势能曲线以及排斥势、吸引势的相对势能曲线，如图1所示.相对势能曲线是不对称的，平衡位置(R=1)的左边较陡，右边较平坦，势能曲线拐点位于R=1.108 7 处.图1 实线为雷纳德－琼斯势的相对势能曲线(右图中的上、下虚线分别为排斥势、吸引势的相对势能曲线)2.3 伦纳德—琼斯势的相对分子力曲线令式(20)中的m=6、n=12，可得伦纳德－琼斯势的分子力为式中f0斥=12u0/r0是平衡位置r0处分子受到的斥力.令式(23)中的m=6、n=12，可得伦纳德－琼斯势的相对分子力为根据上式，使用数学软件Matlab绘制雷纳德－琼斯势的相对力曲线以及排斥力、吸引力的相对力曲线，如图2所示.相对力曲线也是不对称的，平衡位置(R=1)的左边较陡，右边较平坦，力曲线拐点位于R=1.217 1 处.图2 实线为雷纳德－琼斯势的相对力曲线(右图中的上、下虚线分别为排斥力、吸引力的相对力曲线)表1 部分气体的参数值气体 He H2 Ne Ar Kr N2 O2 CO2 6 0.448 6 r0/nm0.295 2 0.322 2 0.312 1 0.382 2 0.404 1 0.415 1 0.388 4 0.503 6 u0/10 －20J 0.008 321 0.040 30 0.048 16 0.165 3 0.236 0 0.131 2 0.162 8 0.260 8 δ/nm 0.327 3 0.357 2 0.346 0 0.423 8 0.448 0 0.460 2 0.430 6 0.558 3 f(δ σ/nm 0.263 0.287 0.278 0.340 5 0.360 0.369 8 0.34 503 1 0.621 6)/10 －10N 0.007 586 0.033 66 0.041 54 0.116 4 0.157 2 0.085 04 0.112 8 0.139 4 f0斥 /10 －10N 0.033 82 0.150 1 0.185 2 0.519 1 0.700 8 0.379 2 0.根据文献［8］提供的气体参数u0(平衡位置的势能的大小)和σ(排斥势与吸引势的绝对值相等点)的值，利用关系式可计算出平衡位置r0、f(r)的极值点0.224 16)，平衡位置处分子受到的斥力f0斥的值，见表1.2.4 伦纳德—琼斯势的近似相对势能曲线令式(18)中的m=6、n=12，可得伦纳德－琼斯势在平衡位置附近的近似相对势能为其成立条件为X≪1.由它所绘制的雷纳德－琼斯势的近似相对势能曲线如图3中的实线所示.从图3可知，近似的相对势能曲线也是不对称的，平衡位置(X=0)的左边较陡，右边较平坦.2.5 伦纳德—琼斯势的近似相对分子力曲线令式(25)中的m=6、n=12，可得伦纳德－琼斯势在平衡位置附近的近似相对力为由它所绘制的绘制雷纳德－琼斯势的近似相对力曲线如图4中的实线所示.若略去式(32)的第二项，则近似相对力为线性恢复力，其相对力曲线如图4中的虚线所示.由图4可看出，恢复力在平衡位置两边也不对称.当X＞0时，恢复力比线性关系所预期的值小，则当X＜0时，恢复力比线性关系所预期的值大.即两分子间距增大时，吸引力比线性关系所预期的值小，两分子间距减小时，斥力比线性关系所预期的值大.图3 雷纳德－琼斯势的近似相对势能曲线(虚线为抛物线，对应于势能U(X)=－1+36X2)图4 雷纳德－琼斯势的近似相对力曲线(虚线为直线，对应于线性力F(X)=－6X) 本文引入相对距离R、相对势能U与相对力F，导出了米势的相对势能U(R)及其相应的相对力F(R)与参数n、m的关系，并精确地绘制了伦纳德－琼斯势的相对势能U(R)曲线及其相应的相对力F(R)曲线，形象直观准确地显示了它们的变化规律，弥补了热学、热力学与统计物理学和固体物理学教材中仅给出定性的势能曲线与力曲线的不足.结合文献［8］提供的气体参数u0和σ(r0=)的值，可得出一幅直观、清晰、定量的气体分子间势能u或分子力f随分子间距r变化的图像.另外，还导出平衡位置附近的近似相对势能U(X)，相对力F(X)表达式，精确地绘制了伦纳德－琼斯势的近似相对势能曲线、相对力曲线.用简谐近似的方法(F≈－6X)，可解释固体的比热问题.若计入非简谐效应(F≈－6X+63X2)，可定性或定量［10］解释固体的热膨胀现象.【相关文献】［1］黄淑清，聂宜如，申先甲.热学教程［M］.第2版.北京：高等教育出版社，1994：180－185.［2］秦允豪.普通物理学教程热学［M］.第3版.北京：高等教育出版社，2011：34－44. ［3］李洪芳.热学［M］.第2版.北京：高等教育出版社，2001：6－10.［4］汪志诚.热力学·统计物理［M］.第2版.北京：高等教育出版社，1993：335－336.［5］李椿，章立源，钱尚武.热学［M］.北京：高等教育出版社，1978：59－63.［6］常树人.热学［M］.天津：天津大学出版社，2001：89－95.［7］张玉民.热学［M］.第2版.北京：科学出版社，2006：6－9.［8］梁希俠，班士良.统计热力学［M］.第2版.北京：科学出版社.2008.114－115.［9］蒋平，徐至中.固体物理学简明教程［M］.上海：复旦大学出版社.2000.93－96.［10］夏清华.含x2项非线性振子运动的研究［J］.大学物理2005，24(4))：6－7.。
1.7分子间作用势能与真实气体物态方程讲解
当温度升高时，EK0 增加，横轴r’升高，d 将减小，说明 d 与气体温度
有关。温度越高，d 越小。
表示动能的横坐标
分子碰撞 有效直径 表示势能的横坐标
表示两 分子碰 撞时挤 压情况
关于分子的直径：
• 由于原子核外的电子呈电子云分布，因而原子或分子没有明确的边界， 也就谈不上有什么明确的直径。
分子力是一种电磁相互作用力，因此它是一 种保守力，具有势能，称为分子作用力势能。
二、分子间互作用势能曲线 1、分子间互作用势能曲线 • 分子力是一种保守力，具有势能，而保守力作功的负值 等于势能Ep的增量， • 故分子作用力势能的微小增量为
dE p (r ) F (r)dr
dr 若令分子间距离r 趋向无穷远时的势能为零，则
（2）另一种理解的分子直径是指:
分子碰撞有效直径 d —两分子相互作 对心碰撞时，两分子质心间最短距离。
图中r0 与 d 不相等，但通常情况下差异不大。 • 图中对分子间碰撞的分析限于两分子间对心碰撞（即两分子间的碰撞 均在分子联心轴线上发生）。
• 实际发生的分子间碰撞基本上都是非对心的，因而以后要引入分子碰 撞截面的概念。
只有两分子相互“接触”、“挤压”时才呈现出排斥力。
可简单认为排斥力作用半径就是两分子刚好“接触”时两质心间的距离， 对于同种分子，它就是分子的直径。
因为吸引力出现在两分子相互分离时，故排斥力作用半径 比吸引力半径小。
引力和斥力都随着分子间距离的增大而减小，随着分子间距 离的减小而增大，但是斥力变化更为剧烈。
f
斥
分
子
力
力
o
r
力
引
分子力曲线
2、分子力与分子热运动
热学公式
热学公式1.3.1物态方程：（1.1）1.3.2体积膨胀系数、压缩系数、压强系数：(1.3)(1.4)(1.5)1.3.3理想气体（压强趋于零的极限状态下的气体/能严格满足理想气体物态方程的气体）物态方程：pV=vRT (1.7)1.3.4混合理想去气体物态方程：(1.9)1.4.3温标：T(p)=(其中不变) （1.10）(1.11)=(体积不变) （1.12）(体积不变) （1.13）1.5.1物质由大数分子组成：(1.14)法拉第常量F=分子热运动：（1.15）1.6.1理想气体微观模型：洛喜密脱常量(1.16)1.6.2单位时间内在单位面积器壁上平均分子数(1.18) (1.19)1.6.3理想气体压强公式：(1.20)(1.21)P=P=(1.23)K=(1.24)1.6.4温度的微观意义：(1.25)气体分子的平均根速度：=(1.26) 1.7.1分子间互作用势能曲线：d(1.29)或F=(1.30)令r时=0 则(1.31) 1.7.2分子碰撞有效直径、固体分子热震动、固体热膨胀：d=分子碰撞有效直径（1.31）1.7.3范德瓦尔斯方程：p=(1.33) （1.34）方程为：(1.43)2.2.2等概率性与概率的基本性质:(2.1)2.2.3平均值及其运算法则：(2.2)n（2.3）2.3.2麦克斯韦速率分布：f(v)dv=4(2.13)三种速率：（1）平均速率：==(2.14)(2)平均根速度：(2.15)(3)最概然速率(2.16)三种速率的比：(2.17) 2.4.1速度空间：f((2.20)2.4.2麦克斯韦速度分布：(2.26) 2.6.1等温大气压强公式：p(z)=p(0)) (2.61)2.7.1理想气体热容：C=(2.75)2.7.3能量均分定理：(2.81)3.1.1牛顿粘性定律:f=3.2.1菲克定律(3.10)3.3.1傅力叶定律：(3.14)热流密度：(3.15)3.8.1气体黏性系数导出：=(3.62)3.8.2气体的导热系数：K=(3.67)气体的扩散系数：D=(3.69)4.2.2体积膨胀功：W=（对外界系统所做的总功）（4.3）理想气体在几种可逆过程中功的计算：(1)等温过程:W=(2)等压过程:W=(3)等体过程:W=04.3.2内能定理：（4.12）热力学第一定律一般表达式：无限小过程第一定律表达式：dU=dQ+dW准静态过程第一定律表达式：dU=dQ4.4.1定体热熔：(4,19) (4.20)4.4.2定压热熔与焓：H=U+pV (4.22)4.5.1理想气体内能：(4.33) 4.5.2理想气体的等体、等压、等温过程：（1）等体过程：(4.39)（2）等压过程：Q(4.40)（3）等温过程：(4.42)4.5.3一般绝热过程准静态绝热过程：理想气体绝热过程中功及温度变化：4.5.6多方过程方程：(4.68)多方过程热熔：4.6.1热机效率的定义：=（4.81）(4.82) (4.83) 4.6.2卡诺热机的效率：（4.90）4.7.1制冷系数：（4.99）卡诺制冷剂效率：（4.100）5.3.1克劳休斯等式：=05.3.2熵和熵的计算：TdS=（5.23）熵的微分表达式以熵来表示热熔(5.25)(5.26)理想气体的熵：(5.29)5.3.7热力学第二定律表达式：热力学基本方程：热学习题课(2007.4.18) Ⅰ教学基本要求气体动理论及热力学1.了解气体分子热运动的图象。
1.7分子间作用势能与真实气体物态方程
2、利用分子势能曲线解释固体内分子的运动是振动
分子振动 的平衡位
置曲线
表示总能量 不变的曲线
3、利用分子势能曲线解释固体的热膨胀
r
r'
r" 2
r0
r 随着温度上升而增加，因而产生线膨胀。
四、范德瓦耳斯方程
• 1873年荷兰物理学家范德瓦耳斯针对理想气体的两条基本 假定:
• 忽略分子固有体积、 • 忽略除碰撞外分子间相互作用力 • 作出了两条重要修正，得出了能描述真实气体行为的范德
• 气体分子每与器壁碰撞往返一次所导致器壁的冲量减少了2△k的数值 （往返各减少△k ）。
pi {单位时间内碰在单位面积上平均分子数} 2k
(1 / 6)nv 2k
△k与分子数密度n 成正比，设比例系数为K，1 nv 2Kn 6
( N A )2 v 2( K
排斥力 吸引力
用势能来表示相互作用要比直接用 力来表示相互作用方便有用，所以 分子互作用势能曲线常被用到。
势能极小值
平衡位置 平衡位置
三、碰撞有效直径、固体分子热振动、固体热膨胀 1、用分子势能曲线解释分子间对心碰撞
表示动能的横坐标
表示势能的横坐标
表示两分 子碰撞时 挤压情况
在图中a2向 a1靠近时,在相互距离为d 时,它们受到的挤压达到最大,然 后a2反向运动。所以
分子吸引力作用半径的存在:
只有当分子质心相互接近到某一距离内，分 子间相互吸引力才较显著，把这一距离称为 ---分子吸引力作用半径。
很多物质的分子引力作用半径约为分子直径的2-4倍左 右，超过这一距离，分子间相互作用力已很小，可予 忽略。
（2）排斥力 能说明排斥力的现象： ①固体、液体都很难压缩； ②气体分子经过碰撞而相互远离。 排斥力作用半径:
§1.7 分子间作用力势能与真实气体物态方程
与分子作用力曲线所对应的互作用势能曲线
r
E p ( r ) F ( r )dr ~ r
在平衡位置 r = r0处，分子 力F(r) = 0，势能有极小值 , 它是负的. 在r＞r0处，F(r)＜0， 势能曲线斜率是正的—吸引 力
图中的 d 是两分子对心碰撞时相互接近最短 质心间距离，故称 d = 分子碰撞有效直径 当温度升高时，EK0 也增加，因而横轴升高， d 将减小，说明 d 与气体温度有关。 温度越高，d 越小。
• 设分子在相互分离时的吸 引力为球对称分布， 吸引力作用半径为R0， • 每一分子均有以 R0 为半径 的吸引力作用球。 • 气体内部的分子在越过界面层向器壁运动， 以及在与器壁碰撞以后返回、穿过界面层过 程中，都受到一指向气体内侧的力。
分子吸引力修正
器壁实际受到压强要比气体内部的压强小， 使气体施于器壁的压强减少了一个量值pi ， 这称为气体内压强修正量。若仪器所测出的气 体压强为p, 则 p = p内 - pi 因气体内部分子受到其它分子吸引力的合力相 消，故气体的内部压强 p内 与分子吸引力无关. 气体内部压强等于理想气体压强 p内 = p理
（三） 范德瓦尔斯方程 （Van der Waals equation of state）
将△pi = a/Vm2 代入 p +△pi = RT/ (Vm-b)
得到
a ( p 2 )(Vm b) RT Vm
m 2 a m m [p( ) ( 2 )][V ( )b] RT Mm V Mm Mm
§1.7.1分子间互作用势能曲线
（一）分子作用力曲线 设分子是球形的，分子间的互作用是对称的 中心力场。 F(r) r r0 — 斥力 r r0 — 引力 r= r0 —无相互作用 r0称为平衡距离 分子的直径 d r0 r R — 几乎无相互作用 R:称分子的有效作用距离
§1.7.1分子间互作用势能曲线概要
图中的 d 是两分子对心碰撞时相互接近最短质 心间距离，故称 • d = 分子碰撞有效直径 • 当温度升高时，EK0 也增加，因而横轴升高，d 将减小，说明 d 与气体温度有关。 • 温度越高，d 越小。
• • • •
关于分子的直径： 由于原子核外的电子呈电子云分布， 因而原子或分子没有明确的边界，也就 谈不上有什么明确的直径。 通常提到的分子直径有两种理解： （1）一种指分子的大小，这主要是指由 它们组成固体时，最邻近分子间的平均 距离。 由于固体中的分子（或原子）处于密堆 积状态，分子（或原子）均在平衡位置 附近。 这相当于两个能扩张及收缩的弹性球相 互接触时所发生的情况，。
Vm-b = RT/p p = RT/(Vm-b)
Vm b
b等于分子固有体积的4倍.
b是气体无限压缩所达到的最小体积。 可以证明，b等于分子固有体积的4倍.
这是因为范德瓦耳斯方程描述的气体 不是十分稠密的气体。 范德瓦耳斯气体的分子只允许发生俩俩 成对分子的碰撞，而三个分子或更多分子 同时碰在一起的情况几乎不发生。 显然，若分子都静止不动，则当压强 趋于无穷大时，每个分子与很多分子同时 相接触，
固体中分子热振动和线膨胀的解释 (二)利用分子势能曲线解释固体内分子的运动是 振动。
（三）利用分子势能曲线解释固体的线膨胀。
r ' r" r r0 2
r0 随了温度上升而增加，因而产生线膨胀。
§1.7.3范德瓦斯方程
• 1873 年 荷 兰 物 理 学 家 范 德 瓦 耳 斯 （Waals,van der）在克劳修斯论文启发 下，对理想气体的两条基本假定: • 忽略分子固有体积、 • 忽略除碰撞外分子间相互作用力 • 他作出了上述两条重要修正，得出了能 描述真实气体行为的范德瓦耳斯方程。
分子动能和分子势能_课件
高中物理选择性必修3 第一章 分子动理论
子动能和分子势能
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教学目标
知道分子热运动的动能跟温度有关。知道温度是分子热运 动平均动能的标志。渗透统计的方法。 知道什么是分子势能，改变分子间的距离必须克服分子力 做功。知道分子势能跟物体体积有关
知道什么是内能，知道物体的内能跟温度和体积有关 能够区别内能和机械能
分子势能随分子间距离变化的特点
分子间的作用力表现为斥力，要减小分子 间的距离必须克服斥力做功 分子间作用力与分子距离的关系 因此，分子势能随分子间距离的减小而增大
分子势能随分子间距离变化的特点
所以说，分子在平衡位置处是分子势能最低点 规定无穷远处的分子势能为0，则
注意：
不能简单理解为距离越大，分 子势能越大； 距离越小，分子势能就越小
分子的动能
分子运动
存在分子动能
分子做无规则运 动而具有的能量
分子运动无规则
分子平均动能： 物体里所有分子动能的平均值
大量分子的运动速率不尽相同，动能也有大有小，而且在不断 改变，在研究热现象时，有意义的不是单个分子的动能，而是 大量分子动能的平均值。
分子动能的标志
温度越高，分子的无 规则热运动越剧烈
温度与分子平均动能的关系
温度升高时，每个分子的动能都增大吗？
温度是大量分子无规则热运动的宏观表现，具有统计意义 温度升高，分子的平均动能增大，但不是每一个分子的动能 都增大，个别分子的动能可能增大，也可能减小，但总体上 所有分子的动能之和一定是增加的。
温度与分子平均动能的关系
同一温度下，所有物质的分子的平均速率大小都相同吗？
内能
理解影响内能的因素 理解内能变化的三种方式 理解内能与机械能无关
§1.7.5 几种典型的分子作用力势能曲线
的关系，如图（a）所示，它们对应的物态方程是 理想气体方程。
（二）刚球模型
• 考虑到刚球分子占有一定体积，理想气体分子的势能 为
E p (r ) E p (r ) 0
r d r d
对应的方程是
*§1.7.5 几种典型的分子作用力势能曲线
• 由于分子间互作用的规律很复杂，很难用简单的数学 公式较精确地描述。
• 在统计物理中，一般是在实验基础上采用一些简化模 型来表示分子互作用势能的，
• 每一种模型都可有某一气体物态方程与之对应。下面
介绍几种典型的模型。
（一）体积趋于零的刚球模型
• 作为两分子质心距离r 的函数的势能满足
0
（四）米势
1907年米（Mie）提出了如下的分子或原子间势能的 表达式
A r
m
•
E p (r )
B r
n
• 其中A > 0,B > 0，n > m， • 式中第一项为吸引势，第二项为排斥 势，其排斥势作用半径比吸引势作用 半径小，其势能曲线由图（d）表示， 所对应方程为昂内斯方程。
p(Vm－b）= RT
（三）苏则朗模型
• 在刚球模型基础上，考虑到分子在相互分离时有吸引 力，其势能为 E ( r ) , 当 r d
p
E p (r ) Φ 0 (
r0 r
) ,当 r d
t
•其中t 是常数，
• 0 > 0， - 0 是 r = r0 时的势能， 通常t = 6 , 势能曲线如图（c）所示， 对应的物态方程是范氏方程。
•
1924年勒纳-琼斯提出如下的势能半
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下图是对真实气体测量画出的一条条等温线。
图中的纵坐标是 pVm /RT, 横坐标是 p 。
对于一定质量的理想气体, pVm/RT= 应该是不变的量,它
应和 p 的大小无关。
•也就是说,在图中所有的等温 线应该都是同一条水平直线。
•但是现在只有在 p = 0 的情况 下才满足理想气体条件。
在r＞r0处，势能曲线斜率 是正的， F(r)＜0（为什势能极小值
么? ）,显然这时是吸引力。
平衡位置
在r < r0处，F(r) > 0，势能曲线斜在平衡位置附近的吸 引和排斥，和弹簧在平衡位
排斥力
平衡位置
置附近被压缩和拉伸类似。 液体和固体中分子的振动可利
吸引力
用分子力这一特性来解释。
用势能来表示相互作用要比
直接用力来表示相互作用方
便有用，所以分子互作用 势能曲线常被用到。
势能极小值
平衡位置
理想气体,始 终满足
pVm/RT= = 常量
§1.7.1 分子间互作用势能曲线
• （一）分子作用力曲线 • 既然两分子相互“接触并且被压缩”时排斥力占优
势，相互分离时分子间吸引力占优势，
• 两分子质心间应存在某一平衡距离r0，在该距离分
子间相互作用力将达平衡。
• 为便于分析，常设分子是球形的，分子间的互作 用是球对称的中心力场。
• 以质心间距离ｒ 为横坐标，分子间作用力 F(r)为
纵坐标，画出两分子间互作用力曲线，
r = r0 时分子力为零，相当于两分子刚好“接触”。 r＜r0 时,两分子受到“挤压”过程中产生强斥力， • 这时F（r）＞0 [为什么大于零?], • 且随r0减少而剧烈增大。 r＞r0 时两分子分离，产生吸引力，F（r）＜0。
r
Ep ( p) F (r)dr
作出与分子作用力曲线所对应的互作用势能曲线
Ep (r) ~ r
注意:
r
Ep (r) F (r)dr
排斥力
显然在平衡位置 r = r0 处，
分子力 F(r) = 0，说明在
吸引力
r = r0 处的势能有极小值 ,
（为什么有极小值? ）。
平衡位置
而极小值是负的。
当r 超过某一数值时， F（r）接近于零，可认
为这一距离就是分子间 吸引力作用半径，简称 吸引力作用半径。
（二）分子互作用势能曲线
• 分子力是一种保守力，而保守力所作负功等于势能Ep
的增量，
• 故分子作用力势能的微小增量为
dEp (r) F (r)dr F dE p dr
若令分子间距离r 趋向无穷远时的势能为零，则