直角三角形全等判定HL

反例：
例1
已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD, 垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD.
证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD ∴∠C=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△BAD中
D
C
AB BA BC AD
A
B
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 B
P D C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
分析： △ABC≌△DEF ∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E
B
Rt△ABP≌Rt△DEQ
AB=DE,AP=DQ
E
P D
C
Q
F
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF
证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 ∴∠APB=∠DQE=90° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中 AB=DE AP=DQ ∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) ∴ ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中 ∠BAC=∠EDF AB=DE ∠B=∠E ∴△ABC≌△DEF (ASA)
∴ BD=CD
4、已知,如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC 求证：AD//BC.
证明： ∵ AB⊥BD，CD⊥BD ∴∠ABD=∠CDB=900 在Rt△ABD和Rt△CDB中， AB=CD(已知) ∠ABD=∠CDB (已证) BD=DB(公共边) ∴RtABC≌RtBAD（SAS)
5、已知：如图， △ABC中，AB=AC，AD是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD
（第 2 题）
3.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上， 另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗 杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。 解：BD=CD，理由如下： ∵∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ ADB和Rt△ADC中, AB=AC （已知） AD=AD（公共边） ∴Rt△ADB ≌Rt△ADC (HL)
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。 B 变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改 为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能 全等。试证明。
小结
P D
C
（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF A 全等 则△ABC与△DEF____ （填“全等”或“不全等”）,
D
SSS 根据_______ B C E F
已知：Rt△ABC,其中∠C为直角
求作： Rt△A’B’C’，使∠C’为直角， A’B’=AB, A’C’=AC 作法：
1、作射线C’N,以C’为圆心，CA为 半径作弧交C’N’于点A’;
(AAS)
2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应 相等的两个直角三角形全等.（ √ ）
( ASA)
3.两直角边对应相等的两个直角三角形全等 √ （ ）
( SAS)
4.有两边对应相等的两个直角三角形全等. （× ）
情况1：全等 (SAS)
情况2：全等 ( HL)
情况3：不全等
5.一个锐角及一边对应相等的
(2)证明 ： ∵△BED≌△CFD ∴ ∠B=∠C ∴AB=AC
(第 1 题)
2.如图，AC＝AD， ∠C＝∠D＝90°， 求证： BC＝BD
证明:∵ ∠C＝∠D＝90°
∴ △ABC与△ABD都是直角三角形
在Rt△ABC与Rt△ABD中 AB=AB（公共边） AC=AD（已知） ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL） ∴BC=BD(全等三角形对应边相等）
E
Q
F
小结
拓展
一般三角 形全等的 判定
“ “ “SAS”“ ASA ” AAS ” SSS ”
直角三角 形全等的 判定
“ “ SAS “ ASA ” AAS ” SSS “ HL ” ” “ ”
应用
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
A
{
B
P D
C
{
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ， △ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
B P D C
小结
E
Q
F
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
高、直角边
斜 边
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°

在Rt△ABC和Rt△ ABC中A
AB=AB
BC=BC
C B′
B′(HL) ∴Rt△ABC≌ Rt△A′C′ A ′
C′
一、判断命题真假
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的 √ 两个直角三角形全等. （ ）
全等三角形判定5 HL
知识点回顾：
1、判断两个三角形全等的条件：
定义、SAS、ASA、AAS、 SSS
2、如图，AB⊥BC于B，DE ⊥EF于E，
（1）若 ∠A= ∠D，AB=DE，则 △ABC与 △DEF 全等 ______, ASA （填“全等”或“不全等”）根据________.
全等 （2）若 ∠A= ∠ D，BC=EF，则 △ABC与 △ DEF_____ AAS （填“全等”或“不全等”）根据_________. 全等 （填 （3）若 AB=DE，BC=EF，则 △ABC与△DEF SAS “全等”或“不全等”）根据________
证明：∵AD是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 AB=AC（已知）
AD=AD（公共边） ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
{
A
等腰三角形三线合一
B
D
C
例2
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A
B′ Rt△ABC≌ Rt△A′ C ′
已知：如图，在△ABC和△A’B‘C’中， ∠ACB=∠A‘C’B‘=90°，AB=A’B‘，AC=A’C‘
求证： △ABC≌△A’B‘C’
A
A′
C
B
C′
B′
直角三角形全等的判定定理
有斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”定理 或“HL”
B
P C
M
Q
2、以C为圆心，任意长为半径作弧， 交CA、CB于P、Q两点
3、以C’为圆心，CP长为半径作弧， 交C’N于Q’点 4、以Q’为圆心，QP长为半径作弧， 两弧交于点P’，作射线C’M
A
B’ P’
C’
5、截取C’B’=CB
6、连接A’B’
Q’
A’
4
N
动动手 做一做 比比看
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比 看，这些直角三角形有怎样的关系呢？
巩固练 习 1.如图，在 △ABC 中，BD＝CD， DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF，求证： (1)△BED≌△CFD．
(2)求证：△ABC是等腰三角形。
(1)证明 ：∵ DE⊥AB， DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90° 在Rt△BED与Rt△CFD中, DE＝DF（已知） BD＝CD（已知）