02.(简)振动波动第二章波动(2003)

第2章波动(Wave)前言：1.振动在空间的传播过程叫做波动。

波动是一种重要的运动形式。

2.常见的波有两大类:(1)机械波：机械振动在媒质中的传播。

(2)电磁波：变化电场和变化磁场在空间中的传播。

·此外，在微观中波动的概念也很重要。

3.各种波的本质不同，传播机理不同，但其基本传播规律相同。

本章讨论：机械波(Mechanical wave)的特征和有关规律，具体为，(1)波动的基本概念；(2)与波的传播特性有关的原理、现象和规律；(3)与波的叠加特性有关的原理、现象和规律。

§1 机械波的产生和传播一、机械波的产生1.产生条件：(1)波源；(2)介质(媒质)2.弹性波：机械振动在弹性介质中的传播(如弹性绳上的波)。

弹性介质的质元之间以弹性力(elastic force) 相联系。

3.简谐波：若媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律做简谐振动，此种波称为简谐波(simple harmonic wave)。

以下我们主要讨论简谐波。

二、波的传播1.波是振动状态的传播以弹性绳上的横波为例，由图可见：由图可见：t = T/4t = T/2t = 3T/4t = T弹性绳上的横波(1)媒质中各质元都只在自己的平衡位置附近振动，并未“随波逐流”。

波的传播不是媒质质元的传播。

(2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动(依靠质元间的弹性力)。

(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现，这就是“波是振动状态的传播”的含义。

(4)有些质元的振动状态相同，它们称作同相点。

相邻的同相点间的距离叫做波长(wave- length)λ，它们的相位差是2π。

2.波是相位的传播·由于振动状态是由相位决定的，“振动状态的传播”也可说成是“相位的传播”，即某时刻某点的相位将在较晚时刻重现于“下游”某处。

·于是沿波的传播方向，各质元的相位依次落 后。

图中b 点比a 点的相位落后即a 点在t 时刻的相位(或振动状态)经∆t 的时间传给了与它相距为∆x 的b 点，或b 点 在t +∆t 时刻的相位(或振动状态)与a 点在t时刻的情况相同( 即波的传播速度)。

∆x ∆t2π ∆ϕ = ( )∆x λx u 传播方向b 点和a 点的相位比较三、波形曲线(波形图)1.波形曲线(ξ−x 曲线) 波形曲线(wave formcurve) 是ξ−x 关系曲线)，·ξ－质元的位移·x －质元平衡位置的坐标 ·ξ--x 曲线反映某时刻t 各质元位移ξ 在空间 的分布情况。

(t 时刻用照相机为所有质元拍的团体相) ·波的传播在外貌上表现为波形的传播。

不同 时刻对应有不同的波形曲线。

每过一个周期 (质元振动一次)，波形向前传播一个波长的距 离。

ξx·在波形曲线上必须标明时刻t和波的传播方向。

·波形曲线不仅能反映横波也能反映纵波的位移情况。

2.注意区别波形曲线和振动曲线波形曲线：ξ−x曲线振动曲线：ξ−t曲线，反映某一质元的位移随t的变化。

(用摄像机为“舞姿优美”的某质元拍的一段特写镜头)。

·在振动曲线上应标明是哪个质元的振动曲线。

3.要求：应掌握，(1)由某时刻的波形曲线→画出另一时刻的波形曲线；(2)由某时刻的波形曲线→确定某些质元的振动趋势→画出这些质元的振动曲线；(3)由某质元的振动曲线→画出某时刻的波形曲线。

☆重要原则：不管是在波形曲线还是振动曲线上，同一质元在同一时刻的振动位移应相同(可用此原则检验所画曲线是否正确)。

练习：1.已知t = 0时刻的波形曲线如下图，(1)画出t +(T/4)，t +(T/2)，t +(3T/4)(2)在题图上用小箭x头示出a 、b 、c 、d 各质元的振动趋势，并 分别画出它们的振动曲线。

2.已知x =0处质元 的振动曲线如图，画出t = 0时刻的波形曲线(设波沿+x 方向传播)。

四、波的特征量1.波长λ：两相邻同相点间的距离。

波长—也即波形曲线上一个完整波形的长度，或 一个振动周期内波传过的距离。

2.波的频率ν ：即媒质质点(元)的振动频率。

·波的频率—也指单位时间传过媒质中某点的 练习题用图ξt波的个数。

·通常情况下有波的频率ν = 波源的振动频率νs3.波速u ：波速是振动状态的传播速度，数值 上等于单位时间内振动状态传播的距离。

·波速u 主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)。

·因振动状态由相位决定，所以波速也就是相位传播的速度，称相速度(phase velocity)。

·要注意区分波速u和 媒质质元的振动速度 。

∂ξ ∂t五、横波和纵波横波(transverse wave)：质元振动方向 ⊥ 波的传播方向纵波(longitudinal wave)：质元振动方向 ‖波的传播方向演示：横波、纵波模型§2 一维简谐波的表达式一、一维简谐波的表达式一维简谐波的表达式也称波函数(wavefunction) 讨论：沿+x 方向传播的一维简谐波(波速u ，振动角频率为ω)假设：媒质无吸收(质元振幅均为A )x o 任一点p 参考点a 波速u已知：参考点a 的振动表达式为ξa (t ) = A cos(ωt + ϕa )求写：任一点p 的振动表达式比较：p 点和a 点的振动·其A 和 ω均各相同·但p 点比a 点相位落后 任一点p 的振动表达式为一维简谐波的表达式 它即是任一点的振动表达式，反映任一点 (位置在x )在任一时刻t 的位移。

2π λ(x - d )★如果选 原点为参考点 (即d = 0)， 且其 初相 ϕa 为零，则可得表达式为此情形下波的表达式还有几种形式：式中 ω 1 λ λ 2π u k = = 称作角波数(圆波数) 称作波数 (wave number)。

(angular wave number)练习：如果波沿- x方向传播，请写出波的表达式？二、一维简谐波表达式的物理意义由ξ(x, t) =A cos(ωt -kx)从几方面讨论：1.固定x：如令x = x0，则波的表达式变为ξ(x0, t) = A cos(ωt - kx0)·即x0处质元的振动表达式(初相是-kx0)，·由它画出的曲线是x0处质元的振动曲线。

2.固定t：如令t = t0，则波的表达式变为ξ(x, t0) =A cos(ωt0 -kx)·反映t 0时刻各不同x 处质元的位移状况。

·由它画出的曲线即t 0时刻的波形曲线。

3.如看定某一相位，即令(ωt - kx ) =常数(x ，t 均为变量)，则此相位在不同时刻出现 于不同位置，它的传播速度(相速度) 可由上 式的微分得出为4.表达式也反映了波是振动状态的传播。

可以验证有 ξ(x +∆x , t +∆t ) = ξ(x , t )其中∆x = u ∆t 。

上式说明t 时刻x 处质元 的振动状态在t +∆t 时传到了x +∆x 处。

d x = u = d t ω k5.表达式还反映了波的时间、空间双重周期性。

(1)周期T代表了时间周期性·由质元运动看：每个质元振动周期为T ·由波形看：t时刻和t +T时刻的波形曲线完全重合。

(2)波长λ代表了空间周期性·由质元看：相隔λ的两点振动状态完全相同(同相点)。

·由波形看：波形在空间以λ为“周期”分布着。

λ称波的“空间周期”。

时间、空间两方面的周期性以相速u联系起来：=u =λTωk三、平面波和球面波1.波的几何描述·波线(wave line)：沿波传播方向的射线。

·波面(wave surface)：波在同一时刻到达的各点组成的面。

一个波面上各点是同时开始振动的，具有相同的相位，波面又称同相面。

·波前(波阵面) (wave front)：最前沿的波面。

·平面波(plane wave)：波面是一些平行平面的波。

·球面波(spherical wave)：波面是一些同心球面(可以是球面的一部分)的波。

在各向同性的媒质中波线 波面。

2.平面简谐波的表达式若平面简谐波(plane simple harmonic wave) 沿+x 向传播，空间任一点p(x , y , z )的振动相 位只和x 与t 有关，而和它空间坐标无关。

前面讲的一维简谐波的表达式就可以表示平面简谐波。

3.球面简谐波的表达式·设一各向同性的点波源，在各向同性媒质 中向四面八方发出球面波。

球面波平面波 波面和波线·各点的频率仍决定于波源，·但振幅和各点到波源的距离r 成反比(原因 见波的能量部分)，其表达式为式中A 0为距波源r 0处的振幅。

§3 波动方程和波速本节对媒质的波动行为作动力学分析，导 出连续弹性媒质中波所遵守的运动微分方 程−波动方程(wave function)。

一、平面波波动方程A 0r 0 r 为r 处的振幅，随r 的增大而减小。

1.一般形式·此即沿x 向传播的平面波(不限于平面简谐 波)的动力学方程，等号右端项的系数即波 速u 的平方。

·前面所讲的平面简谐波的表达式是此波动 方程的解(可用代入法检验)。

2.弹性绳上的横波·波动方程： ·波速： T -绳的初始张力 η-绳的线密度 3.固体棒中的纵波η√ u = T ∂ t 2 ∂ x 2 ∂2ξ∂2ξ = T η·波动方程：·波速： Y -杨氏弹性模量 ρ -体密度 ·相应形变：长变4.固体中的横波·波动方程：·波速： G -切变模量 ∵ Ｇ <Ｙ，固体中u 横波< u 纵波√u =G ρ∂2ξ ∂2ξ ∂ t 2 ∂ x 2= Y ρ ρ√u = Y = Y F S ∆ l l 0∂2ξ ∂2ξ ρ ∂ t 2∂ x 2 = G p 长变(拉、压)F 切F 切面积Sϕ固体的几种基本形变容变ppp 切变·相应形变：切变思考：如果发生地怎样的震感?5.流体中的声波·波动方程： ·波速： k -体积模量ρ0 -无声波时的流体密度 理想气体： ∂ t 2∂ x 2 ∂2ξ ∂2ξ = kρ0√u = k ρ0= G ϕF SγRT √u = μ家中的震感式中 μ−摩尔质量·相应形变：容变可见，波速取决于·媒质的性质(弹性和惯性，材料对不同 的形变有不同的抵抗能力即表现出不同的弹性)； ·波的类型(横波、纵波)。

二、固体棒中纵波的波动方程(推导) 思路：·由胡克定律(应力、应变关系) ·由牛顿第二定律 1.某截面处的应力、应变关系γ = C p C υ p = -k ( ∆V V 0 )在棒上取长为∆x 的一小段质元， ·t 时刻， x 处截面的位移：ξ(x , t ) x +∆x 处截面的位移：ξ(x +∆x , t ) ·波引起的∆x 段的平均应变：·当∆x →0时，得x 处截面t 时刻的应变 为 ·x 处截面的应力为 ·由胡克定律有∂ξ ∂xF (x , t ) S ξ(x +∆x , t ) - ξ(x , t )∆xxt ξ(x , t )ξ(x +∆x , t )有纵波时棒中质元t 时刻的位形与它原来位形的比较x 处截面的应力 、应变关系(待下面用) 2.波动方程·在棒上取质元∆x ，其质心位移为ξ(x , t )·由牛顿定律有，·将前述应力、应变结果代入有 ·令∆x →0，并取极限即得所求波动方程(ρS ∆x ) ∂2ξ∂t 2 = F 2 - F 1∂2ξ∂ t 2ρ F 2 S F 1 S - ∆x= ⇒ = Y F S ∂ξ ∂xξ(x , t )x 1截面 x 2截面截面S有纵波时棒中质元t 时刻的位形和受力情况§4 波的能量·前已讲：波是振动状态的传播， 相位的传播， 外观上有波形在传播。