第二章 振动和波动讲解

两音叉
1 800HZ 2 798HZ
合振幅时强时弱的现象称为拍
x1 1 0.5 -0.5 -1
x1 20.5 -0.5 -1 2
x1 x2 1
-1
-2
20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
20
40
60
80
100
120
t
120
t
t
120
波动是振动的传播
机械波 电磁波
第四节 波的基本规律
tg A1 sin1 A2 sin2 A1 cos1 A2 cos2
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
讨论：两种特殊情况
(1)若两分振动同相
21=2k
(k=0,1,2,…)
则 A A1 A2 ，合振幅最大。
(2)若两分振动反相
速 度 v dx A sin( t ) dt
加速度 a dv A 2 cos(t ) 2 x
dt
x 1
av
0.5
2
4
6
8
10
12
14 ωt
-0.5
-1
三、 描述简谐振动的特征量
由 x Acos( t )
A, , 。
A 振幅（离开平衡位置的最大位移的绝对值）
（v

l
d dt
）
l
d 2 dt 2


g
即
d 2 dt 2

g l


0

g l
T

2

2

l g
四、 旋转矢量表示法 O
四、 旋转矢量表示法
x Acos(t )
tP
A
t A

ox
N

t 0
x
注意各量对应关系！
例2： 已知位相求状态
如：位相 t1 3 ，问状态？
2 4
t 0 0 Acos
-A sin 0
3
2
x 5.0102 cos(4t 3 )
2
, 3
22
判断某物体是否做简谐振动可以从以下几个方 面来进行
1.从受力情况看，物体在运动过程中，受力与位移反 向正比
2.从x-t曲线来看正弦或余弦曲线

沿 x 轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
y Acos[(t x) ]
u
（3）当 x ，t 都变，波函数表示不同时刻的波形，
即波形的传播。
y t t Δt
u
y

A cos
(t

x u
)



x uΔ t
x

A cos[(t


Δt )

(
x
uΔt u
)]
授课教师： 张敬晶
振动是与人类生活和科学技术密切相关的一种 基本运动形式。
广义的振动
一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
力学量（如位移）
机械振动
电磁量（如I 、U、 E、 B） 电磁振动
最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
第一节 简谐振动（simple harmonic vibration）
3.从振动方程看 ： A, , 都是常数
4.从旋转矢量看，矢量A的大小不变，旋转角度 不变
5.从加速度和位移看：正比、反向
例3.某质点的位移是x Asint Bsin 2t
写出质点速度、加速度的表达式，质点是否做 简谐振动。
解: V dx A cost 2B cos 2t
方向的射线。
研究波动抓住一条波线进行研究即可。
1、平面波（plane wave）
波线
波面
波前
2、球面波(spherical wave）
波前
波线
三、描述波动的物理量（波长、周期、频率、波速）
Ay
u
O

x
-A

波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位 差为 2π 的振动质点之间的距离，即一个完整波形
x
3 4
注意四个特殊状态的 值！
例4.有一质点作简谐振动，试分析在下列位置时 的位移、速度和加速度大小和方向。（1）平衡 位置，向正向移动（2）平衡位置，向负方向移 动（3）正方向端点（4）负方向端点
(1)x 0
（2）x 0
v A(sin 2k 3 ) A
2 v A sin(2k ) A
3、波动的特点
（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。 （2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相差。 （3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。 （4）振动状态、波形、能量向前传播。
二、波面和波线
波面（波阵面）： 振动相位相同的点组成的面。
波前： 传播在最前的波面。
波线： 发自波源，与波面垂直指向波的传播
u
则P 处质点运动方程：
y Acos[ (t x ) ]
u
波函数其它几种标准形式
2 2 T
uT u
y

A co s ( t

x u
)




Acos2
(t T

x)




Acos(t kx) k 2 称波数
t 的变化规律y ( x , t )。
1、波函数的建立
y
u
同一波阵面上各
点振动状态相同
O
x
t
y
u
P
O
x
x
t
设 t 时刻 O 点即x＝0处的振动方程：y0 Acos(t )
t时刻距O点为x处P点位移? 根据波的传播方向，从 O 点传播到
P
点需时：t

x
t时刻x处的位移等于O处质点在时刻 (t x ) 的位移，u
由
由初始条件决定。
角频率（2秒内振动的次数)。

2

2 T
。
d 2x dt 2
2x

0
定出 。
ν振动物体单位时间内完成的振动次数，叫频率。
1
T
T
振动物体完成一次完整振动所需要的时间， 叫周期
ω、ν、T完全取决于振动系统本身的性质称为 固有角频率、固有频率和固有周期
( t ) 位相（决定振动状态的物理量）。



表明：在 t Δt 时刻 x uΔt处质点振动状态与 t 时刻 x 处质点振动状态相同，即振动状态 在Δt 时间传播了uΔt距离，即波形以 u速度
传播。
2、波函数的物理意义
y
u
y

Acos (t

x u
)



y是 x 、t 的函数，分三种情况讨论：
o
xx0 p
x
t 0 ，位相为
称初位相。
由初始条件决定。 （重点！）
设 t0
，位移x0 ，速度v0
x0 Acos
v0 Asin
得
A x02 ( v0 )2
tg v0 x0
简谐振动问题类型： （1）证明为简谐振动，并求周期？ （2）写出振动方程？
例1：单摆摆长 l （1）证明小角度摆动为简谐振动，
P
分振动 :
x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)
Q A2
合振动 : x = x1+ x2 由矢量合成法 可得
2
1
A1
L
x =A cos( t+ ) 0 x2 x1 x
合振动是简谐振动, 其频率仍为，其中
t 0
M
NX
A A12 A22 2A1 A2 cos(2 1 )
解 x Acos( t )

2 T


( rad
s)
t 0

由旋转矢量图 得


2 3
A 2 o
x
x
0.1cos(
t

2 3
)
例6沿x轴做简谐振动的物体， A 5102m 2.0Hz
初始时刻，振动物体经平衡位置处沿x轴正方向运 动，求振动表达式。
解：设 x Acos(t )
x A 2 ,且向x 负向运动。
如：位相t2 3 2，问状态？
x 0 ，且向 x 正向运动。

A 3
o
例3： 已知状态求位相（特别是初位相）
如：t 0，x0 A 2，v0>0，求 ？
5 3 或 3
A2
如：t 0 ，x0 A 2 ，v0 <0,求 ？ A 2 o
t12
1 kA2 cos2 ( t )
2
总能
W Wk W p
1 mv 2 1 kx 2
2
2
1 kA2 1 m( A )2
2
2
简谐振动过程中机械能守恒！
第二节 阻尼振动、受迫振动和共振 （自学）
第三节 简谐振动的合成
一、 两同方向、同频率的简谐振动的合成
A

并求周期。
0

T
F
o

解：（1）摆沿圆弧运动，只需分 析任意角位移 处切向力：
切向力大小 F mg sin mg