电子科技大学2018年泛函分析考博考博试题及答案

An A sup An A x
x 1
sup lim x 1 m
An Am x
lim sup m x 1
An Am x
lim m
An Am
0
当 n 。证毕。
4、证明：令 X1
X, 1
， X2
正定性：对任意的 A L(X ,Y ) ， x X ，
A sup Ax 0
x 1
A 0 当且仅当 A 0 。
齐次性：对任意的常数
A sup Ax sup Ax A
x 1
x 1
三角不等式：对任意的 A, B L(X ,Y ) ，
A B sup A B x sup Ax Bx sup Ax sup Bx A B
空间。
4、（20 分）设 X 为有限维赋范空间，证明： X 上任意两个范数都是
等价的。
5、（20 分）设 H 是 Hilbert 空间， (x, y)是 H 上有界的共轭双线性 泛函，证明：对任意的 x 与 y ，存在唯一的有界线性算子 A 满足 (x, y) (Ax, y) 。
泛函分析答案
x 1
x 1
x 1
x 1
从而 L(X ,Y ) 按算子范数形成赋范线性空间，下证 L(X ,Y ) 是完备的。
设
An
n1
是
L(
X
,Y
)
中的
Cauchy
序列，则对任何的
x

X
，从
An x Am x An Am x
可见 An
x n1
是Y
中Байду номын сангаас
Cauchy
序列，而Y
是完备的，故有唯一的
，


y y

就是正规正交集，由
Bessel
不等

式，
2
x,
y y

x2
即
x, y x y
且等号成立当且仅当
x
可由


y y

线性表出，即等号成立当且仅当
x

与 y 线性相关。
3、证明：首先证明 L(X ,Y ) 按算子范数形成赋范线性空间。
(x, y) ( y, Ax)
即
(x, y) (Ax, y) ，当 x, y H
不难验证，如此定义的 A 确是，当 H 上的有界线性算子，至于唯一
性是显然的。证毕。
电子科技大学 2018 年攻读博士学位研究生入学考试试题
科目：3043 泛函分析 注：请将答案写在答题纸上，在本试卷上作答一律无效。 1、（20 分）设 f (x) C[0,1] ， f (x) 可导且满足 f ' (x) a 1，证明 f (x)是压缩的。
2、（20 分）设 X 为内积空间，证明对 X 中任意两个向量 x, y 都有 (x, y) x y ，若等式成立当且仅当 x 与 y 线性相关。 3、（20 分）设 X 为赋范线性空间，Y 为 Banach 空间， L(X ,Y ) 是从 X 到Y 的全体有界线性算子，证明 L(X ,Y ) 按算子范数形成 Banach
y
Y
，
使
lim
n
An x

y
现在定义 Ax y 。易见 A 是线性的，又因为赋范线性空间中的 Cauchy
序列是有界的，故存在常数 M 0 ，使 An M ， n 1, 2,。则
Ax
lim n
An x
lim n
An
x M x
可见 A L(X ,Y ) 。又
X, 2
，显然必存在有一个范数
较强，不妨假设存在一个 M 0 ，使得
x M x
2
1
取单位算子 I L X1, X2 ，这时有
Ix M x
2
1
故 I 是有界线性算子，显然 I 是双射，由逆算子定理可知， I 存在逆
算子 I 1 ，且有界，因而
I 1x M x
1
2
所以 与 等价。
1、证明：根据微分中值定理，对 x, y 存在 f (x) f ( y) f '( ) x y a x y
而 a 1，所以映射 f (x)是压缩的。
2、证明：若 y 0，则 (x, y) (x,0y) 0(x, y) 0 x y
可见等式成立。若
y

0
1
2
5、证明：对任给的 x H ，令
f ( y) (x, y) ，当 y H
容易证明 f H * ，且由唯一确定。根据 5Reisz 表现定理，恰有一 个元 z f H ，使
f ( y) ( y, z f ) ，当 y H 这个 z f 是由 f ，从而由 x 唯一确定的。定义 Ax z f ，则