博士生入学考试泛函分析考试大纲
博士入学考试大纲全解
博士入学考试大纲全解博士入学考试是评估考生能力和知识水平的重要环节，通过全面解读博士入学考试大纲，我们可以更好地准备和应对这一挑战，提高自己的考试成绩。
本文将全面解析博士入学考试大纲，帮助考生更好地理解考试内容和要求。
一、考试大纲概述博士入学考试大纲是考试的依据和指导文件，它明确了考试的目标、内容和要求。
考生在备考过程中，必须对大纲进行全面理解和准确掌握，以确保备考的针对性和高效性。
1.1 考试目标博士入学考试的目标是评估考生的学术能力、研究潜力和创新能力。
考试要求考生对所申请的学科领域有深入的理解和掌握，并具备独立开展科学研究的能力。
1.2 考试内容博士入学考试内容包括学科基础知识、专业知识和科研能力。
学科基础知识主要考查考生对所申请学科领域的基本理论知识和重要概念的掌握程度；专业知识主要考查考生对所申请学科领域的前沿知识和研究进展的了解程度；科研能力主要考查考生的科学研究思维和方法的应用能力。
二、学科基础知识解析学科基础知识是博士入学考试的重要组成部分，它是考生顺利通过考试的基础。
学科基础知识主要包括以下几个方面的内容。
2.1 基础理论知识基础理论知识是考生在所申请学科领域必须具备的基本知识。
考生需要掌握学科的核心理论、基本概念和基础原理，并能够应用于研究和实践中。
2.2 方法和技能方法和技能是考生在博士研究中必备的能力。
考生需要了解和掌握相关学科领域的研究方法和技术，并能够熟练运用于具体研究项目中。
2.3 学科前沿进展学科前沿进展是考生对所申请学科领域的了解程度的重要评判标准。
考生需要关注学科领域的最新研究成果和前沿进展，了解国内外学术界的最新动态。
三、专业知识解析专业知识是博士入学考试中的重要一环，它考查考生对所申请学科领域的深入了解和掌握程度。
专业知识主要包括以下几个方面的内容。
3.1 专业核心知识专业核心知识是考生在博士研究中必须具备的知识体系。
考生需要掌握学科领域核心的理论、方法和技术，并能够灵活应用于科学研究中。
博士研究生入学考试数学考试大纲
博士研究生入学考试数学考试大纲
（2014年3月修订）
试卷结构
一、考试时间为180分钟，试卷满分为100分。
二、内容比例
矩阵理论：约50%；概率论与数理统计：约50％。
（一）矩阵理论
矩阵的特征值与特征向量，对称矩阵特征值的极性，矩阵的谱分解，矩阵的QR（正交三角）分解，矩阵的奇异值分解。
向量范数与矩阵范数，矩阵的谱半径及其性质，矩阵序列，矩阵级数，矩阵函数，矩阵的微分与积分。
广义逆矩阵，线性方程组的相容性、通解，相容线性方程组的极小范数解，矛盾线性方程组的最小二乘解，矛盾线性方程组的极小范数最小二乘解。
（二）概率论与数理统计
随机事件和概率，一维随机变量及其概率分布，多维随机变量及其概率分布，随机变量的数字特征，大数定律和中心极限定理。
数理统计的基本概念，估计量与估计值，矩估计法，最大似然估计法，估计量的评选标准，边缘分布，独立性与条件独立性，特征函数，充分统计量与完备统计量，点估计与区间估计，非参数统计推断，
多个正态总体的均值差和方差比的区间估计，单个及多个正态总体的均值和方差的假设检验单个正态总体的均值和方差的区间估计，两个正态总体的均值差和方差比的区间估计，显著性检验，假设检验的两类错误，单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
参考书目：
1、程云鹏，张凯院，徐仲：矩阵论，第3版，西北工业大学出版社，2006。
2、陈希孺：概率论与数理统计，中国科学技术大学出版社，2009。
3、吴喜之,赵博娟：非参数统计(第4版)，中国统计出版社，[全国统计教材编审委员会“十二五”规划教材]，2013。
博士生入学专业基础课考试大纲-理学院
理学院数学系博士入学考试——导师考核及专家小组考核大纲一、导师考核部分导师考核内容自定，可以采用笔试或面试方式，满分100分。
二、专家小组考核部分数学系专家小组考核采用笔试、面试相结合的考试方式。
面试考试部分满分为50分，全面考评考生的基本专业知识掌握、基本原理掌握及分析问题和解决问题的能力。
主要考评考生的表达能力、逻辑思维能力、外语能力，以及所从事的工作或研究经历等内容。
笔试考试满分为50分，考试大纲如下：（一）考试要求1．在以下6个科目中选择二个科目（专业基础与专业综合不能选同名的科目），每科25分，共50分：泛函分析、抽象代数、现代数值分析、概率论、常微分方程、偏微分方程。
2．各科目要求：要求考生全面系统地掌握所选科目的基本知识，具备较强的分析问题与解决问题的能力。
（二）考试内容1．泛函分析：1) 度量空间、赋（准）范线性空间、内积空间的基本定义，基本定理，基本性质及这些空间的具体例子；凸集与Minkowski泛函的定义及基本性质。
2) 算子和泛函的线性性、有界性、连续性的定义、关系、基本性质；Riesz定理及应用。
3) 纲，开映像定理与闭图像定理及推论（含Banach逆算子定理等），共鸣定理及应用。
4) 线性泛函的延拓定理及其几何形式。
5) 共轭空间（含例子）与共轭算子，以及二次共轭空间与空间的自反性，弱收敛及弱* 收敛，弱列紧性及弱*列紧性。
6) 线性算子的譜的定义和例；紧算子的定义和基本性质。
2．抽象代数：1) 群论：在掌握群、子群、正规子群、商群等概念和有关性质及群同态基本定理的基础上，要求应试者进一步了解与掌握：作用在集上的群；p群•Sylow子群；可解群与Jordan-Holder定理；有限生成Abel群的结构。
2) 环论：在掌握环、子环、理想、商环等概念和有关性质及环同态基本定理的基础上，要求应试者进一步了解与掌握：交换环中的素理想、极大理想的基本性质，交换环中的可逆元，幂等元，零因子等的基本性质；交换环的大根与小根；有关交换环的局部化理论；链条件；分式理想与类群。
2015南京大学考博真题泛函分析
f ( x ) g ( x )dx M
g ( x ) dx q ，
q
1
1 1 1 ，证明 f Lp () 并且 ‖f‖ M. Lp ( ) p q
第1页
试题编号
共 2 页
5． （15 分）设 X 为紧的度量空间，证明在 X 上存在 Borel 测度 使得对 X 上的任何非负连 续函数 f ，并且 f 0 ，有
Ax, x x ，
其中 , 表示 H 中的内积，证明对任何 y H ，方程
2
Ax y
有唯一的解. 4． （15 分）设 为 n 中的有界开集， f 为 上的 Lebesgue 可测函数，并且存在 M 0 ， 使得对 上的任何有界连续函数 g ，有
其中 1 q ，
X
f d 0 .
6． （15 分）设 (, , ) 为正测度空间，如果存在一列可测子集 {En } 使得当 n m 时，
En Em ，并且 0 ( En ) ，证明 Banach 空间 L1 (, ) 不是自反的.
第2页
p
证明：⑴ f Lp (, ) ； ⑵ lim
p
x | f n ( x )| M
f n ( x ) dx .
p
n
f n ( x ) f ( x ) d 0 .
3． （20 分）设 H 为 Hilbert 空间， A : H H 为有界线性算子，并且存在 0 使得对任 何 x H ，有
2． （20 分）设 (, ) 为正测度空间， () ，再设 { f n } L (, ), 1 p ，满 足如下条件： （i）存在 上的可测函数 f 使得 { f n } 在 上几乎处处收敛于 f ； （ii）对任意 0 ，存在 M 0 ，使得对任何 n 有
博士研究生入学考试《数值分析(机电院)》考试大纲
博士研究生入学考试《数值分析（机电院）》考试大纲第一部分考试形式和试卷结构一、考试方式：考试采用闭卷笔试方式，试卷满分为100分。
二、考试时间：180分钟。
三、试卷内容结构：约占 60%，主观题约占 40%。
四、试卷题型结构：试卷由三部分组成：选择/判断、填空、分析/计算。
其中：1、选择/判断题，约占20%。
测试考生对本课程基本概念、基本知识和数值计算常用算法设计与分析方法的掌握程度。
2、填空题，约占40%。
测试考生运用数值计算相关基础知识和基本方法，开展计算、简要分析以及求解实际问题的能力。
3、分析、计算题，约占40%。
测试考生综合运用数值计算理论、典型方法解决综合问题，并开展相关计算方法收敛性以及误差分析等能力。
第二部分考察的知识及范围1.误差度量与数值算法设计误差基本概念：误差来源与分类，截断误差、舍入误差、绝对误差、相对误差，有效数字以及数值稳定性。
函数计算误差分析：一元函数误差估计，四则运算误差估计。
数值算法设计原则：简化计算步骤以节省计算量（秦九韶算法）、减少有效数字损失，选择数值稳定的算法。
2.函数的插值方法以及误差估计插值问题的基本概念：插值问题的描述，插值多项式的存在和唯一性，差商、差分的概念以及性质。
拉格朗日插值：线性插值与抛物插值，n次拉格朗日插值，插值余项公式。
牛顿插值：均差的概念与性质，牛顿插值公式及其余项，差分的概念与性质。
埃尔米特插值：两点三次埃尔米特插值及其余项，n点埃尔米特插值，非标准埃尔米特插值及其余项。
分段低次插值：分段线性插值，分段三次埃尔米特插值。
三次样条插值：三次样条函数建立，三次样条插值方法。
3.函数逼近与曲线拟合正交多项式：函数内积、欧几里德范数，正交函数序列，正交多项式，勒德让多项式，切比雪夫多项式。
最佳平方逼近：最佳平方逼近问题及解法，基于正交函数、勒德让多项式、切比雪夫多项式的最佳平方逼近。
最小二乘法：最小二乘曲线拟合问题的提出和解法，最小二乘计算，最小二乘法的应用（算术平均、超定方程组）。
天津大学博士研究生入学考试业务课 实分析与复分析 考试大纲 考博信息
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育明教育徐老师赠言：你考试初试进入复试基本分数要求 Ⅰ学术型 单 科 （满分>100 分） 90 90 90 180 90 80 85 80 340 365 330 320 350 310 325 320 1 / 14 官 方 网 站 ： 总分
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映射；分式线性变换；Riemann 映照定理；全纯开拓 三、考试的题型及比例 试卷共含6-8个大题（无选择、填空题） ，其中实分析与复分析部分各占50% 。 四、考试形式 面试 。
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3、俄译汉 20%； 4、写文 10%。 四、 考试形式及时间 考试形式：笔试。考试时间：3 小时。 （满分 100 分）7 246 二外日语 一、考试的总体要求： 掌握日语基本词汇 3000 左右，熟练应用日语基础语法，能够准确阅读现代日语文章，具备 一定的日汉和汉日的互译能力。 二、考试形式与考试时间： 考试形式是笔试，卷面总分 100 分，考试时间为 180 分钟。考试为闭卷考试，考试过程中 不允许使用任何参考资料。 三、考试试题基本分为如下四个部分： 第一部分：文字与词汇（大约 30 分） 测试考生对日语词汇及日语汉字的掌握程度。 参考题型： 1 ）根据试题上的日文假名写出对应的日文汉字； 2 ）根据试题上的日文汉字写出对应的日文假名。 第二部分：语法（大约 25 分） 测试考生对基本日语语法（主要为日语的用言活用、助词、助动词）及短语、惯用句型等的 掌握程度。 参考题型：
理工大学博士研究生入学考试数学考试大纲
招收攻读博士学位研究生入学考试数学考试大纲解放军理工大学研究生招生办公室编理工大学招收攻读博士学位研究生入学考试数学考试大纲第一部分考试说明一、考试性质《数学》是理工大学为招收我校各学科专业博士研究生而设置的数学水平考试，由我校自行命题，它的评价标准是高等学校优秀硕士毕业生应达到的基本数学水准，以保证录取者具有基本的数学素养和数学能力。
二、学科范围考试分必考与选考两部分，必考部分为下列两门课程的内容：1．微积分与常微分方程2．线性代数选考部分为下列课程之一：3．概率论与数理统计4．随机过程5. 数值分析6．数学物理方法7．泛函分析8. 大气科学中的数学物理问题（报考大气科学必选）三、考核重点重点考察考生对数学基本知识、基本理论及基本方法的把握，同时考查考生的数学思维能力和分析问题、解决问题的能力，对纯理论证明不作要求。
第二部分考试形式与试卷结构一、答卷方式闭卷、笔试二、答卷时间180分钟三、试卷结构试卷题型分为选择题、填空题、解答题。
满分100分，各学科分值比例如下：1．微积分与常微分方程，20分2．线性代数，20分3．概率论与数理统计，随机过程，数值分析，数学物理方法，泛函分析，大气科学中的数学物理问题（报考大气科学必选）（任选一门），每门60分第三部分考试范围一、微积分与常微分方程1．函数与极限：映射与函数；数列的极限；函数的极限；无穷小与无穷大；极限运算法则；极限存在准则；两个重要极限；无穷小的比较；函数的连续性与间断点；连续函数的运算与初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质；一致连续性2．一元函数微分学：导数概念；函数的求导法则；高阶导数；隐函数及由参数方程所确定的函数的导数；相关变化率；函数的微分；罗尔定理；拉格朗日中值定理；洛必达法则；函数的单调性与曲线的凹凸性；函数的极值与最大值最小值3．一元函数积分学：不定积分的概念与性质；定积分的概念与性质；换元积分法；分部积分法；有理函数的积分；微积分基本公式；反常积分；反常积分的审敛法；定积分在几何学上的应用4．多元函数微分学：多元函数的基本概念；偏导数；全微分的定义；多元复合函数的求导法则；隐函数的求导公式；多元函数微分学的几何应用；方向导数与梯度；多元函数的极值及其求法5．多元函数积分学：二重积分的概念与性质；二重积分的计算法；三重积分；重积分的几何应用；对弧长的曲线积分；对坐标的曲线积分；格林公式及其应用；对面积的曲面积分；对坐标的曲面积分；高斯公式；斯托克斯公式6．无穷级数：常数项级数的概念；收敛级数的基本性质；正项级数及其审敛法；交错级数及其审敛法；绝对收敛与条件收敛；绝对收敛级数的性质；幂级数；函数展开成幂级数；函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质；傅里叶级数；周期为2l的周期函数的傅里叶级数7．常微分方程：微分方程的基本概念；可分离变量的微分方程；齐次方程和可化为齐次的方程；一阶线性微分方程；伯努利方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的结构；常系数齐次线性微分方程；常系数非齐次线性微分方程；欧拉方程二、线性代数1．行列式：二阶与三阶行列式；全排列及其逆序数；n阶行列式的定义；对换；行列式的性质；行列式按行（列）展开；克拉默法则2．矩阵及其运算：矩阵；矩阵的运算；逆矩阵；矩阵分块法3．矩阵的初等变换与线性方程组：矩阵的初等变换；矩阵的秩；线性方程组的解4．向量组的线性相关性：向量组及其线性组合；向量组的线性相关性；向量组的秩；线性方程组的解的结构；向量空间5．相似矩阵及二次型：向量的内积、长度及正交性；方阵的特征值与特征向量；相似矩阵；对称矩阵的对角化；二次型及其标准形；用配方法化二次型成标准形；正定二次型6．线性空间与线性变换：线性空间的定义与性质；维数、基与坐标；基变换与坐标变换；线性变换；线性变换的矩阵表示式三、概率论与数理统计1．概率论的基本概念：随机试验；样本空间、随机事件；频率与概率；等可能概型；条件概率；独立性2．随机变量及其分布：随机变量；离散型随机变量及其分布律；随机变量的分布函数；连续型随机变量及其概率密度；随机变量的函数的分布；二维随机变量；边缘分布；相互独立的随机变量；两个随机变量的函数的分布3．随机变量的数字特征：数学期望；方差；协方差及相关系数；矩、协方差矩阵4．大数定律及中心极限定理：大数定律；中心极限定理5．数理统计的基本概念：随机样本；抽样分布6．参数估计与假设检验：点估计；估计量的评选标准；区间估计；正态总体均值与方差的区间估计；(0-1)分布参数的区间估计；单侧置信区间；7．假设检验：假设检验；正态总体均值的假设检验；正态总体方差的假设检验；置信区间与假设检验之间的关系四、随机过程1．预备知识：概率空间；特征函数、母函数；n维正态分布；条件期望2．随机过程的概念与基本类型：随机过程的基本概念；随机过程的分布律和数字特征；几种重要的随机过程3．泊松过程：泊松过程的定义和例子；泊松过程的基本性质；非齐次泊松过程；复合泊松过程4．马尔可夫链：马尔可夫链的概念及转移概率；马尔可夫链的状态分p n的渐近性质与平稳分布类；状态空间的分解；()ij5．连续时间的马尔可夫链：连续时间的马尔可夫链；柯尔莫哥洛夫微分方程；生灭过程。
《泛函分析》教学大纲
《泛函分析》教学大纲一、课程概述《泛函分析》是数学专业的研究生核心课程之一，主要介绍泛函空间中线性算子、拓扑空间、紧算子、测度及积分、特征值问题等内容。
本课程的学习目标是让学生掌握泛函分析的基本理论和方法，培养学生独立分析和解决问题的能力。
二、教学目标1.掌握泛函空间的基本概念及性质；2.熟悉线性算子的定义、性质和范数；3.熟练运用拓扑空间的知识进行分析；4.理解紧算子的定义、性质和应用；5.熟悉测度及积分的基本概念和性质；6.能够解决特征值问题并应用于实际问题。
三、教学内容及课时安排1.泛函空间的基本概念与性质（3课时）1.1线性空间的定义和基本性质1.2赋范线性空间的定义和范数1.3内积空间的定义和内积2.线性算子的定义、性质和范数（3课时）2.1线性算子的定义和性质2.2算子的闭图像定理2.3范数的定义和性质3.拓扑空间及其性质（4课时）3.1拓扑空间的概念和性质3.2开集、闭集和邻域的定义3.3连通性、紧性与局部紧性4.紧算子的定义、性质和应用（4课时）4.1紧算子的定义和性质4.2 Arzelà-Ascoli定理4.3 Fredholm算子的性质和应用5.测度及积分的基本概念和性质（4课时）5.1测度的定义和性质5.2积分的定义和性质5.3可测函数的性质和分解6.特征值问题及其应用（4课时）6.1特征值问题的定义和基本性质6.2特征值问题的解法6.3特征值问题在物理和工程学中的应用四、教学方法1.讲授与讨论相结合，理论和实例相结合，拓展学生的思维；2.通过实例分析和讲解提高学生的应用能力；3.鼓励学生进行课外阅读和综合研究，提高学生的自主学习能力；4.组织学生进行小组讨论和展示，提高学生的合作和表达能力。
五、考核方式1.平时表现（10%）：包括课堂参与、作业完成情况等；2.课程论文（30%）：要求学生选择一个泛函分析领域的研究课题进行深入阅读和分析，并撰写一篇学术论文；3.期末考试（60%）：考核学生对泛函分析的理论知识和应用能力。
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博士生入学考试《泛函分析》考试大纲
第一章度量空间
§1 压缩映象原理
§2 完备化
§3 列紧集
§4 线性赋范空间
4.1 线性空间
4.2 线性空间上的距离
4.3 范数与Banach空间
4.4 线性赋范空间上的模等价
4.5 应用（最佳逼近问题）
4.6 有穷维*
B空间的刻划
§5 凸集与不动点
5.1 定义与基本性质
5.2 Brouwer与Schauder不动点原理*
5.3 应用*
§6 内积空间
6.1 定义与基本性质
6.2 正交与正交基
6.3 正交化与Hilbert空间的同构
6.4 再论最佳逼近问题
第二章线性算子与线性泛函
§1 线性算子的概念
1.1 线性算子和线性泛函的定义
1.2线性算子的连续性和有界性
§2 Riesz定理及其应用
Laplace方程f
∆
-狄氏边值问题的弱解
u=
变分不等到式
§3 纲与开映象定理
3.1 纲与纲推理
3.2 开映象定理
3.3 闭图象定理
3.4 共鸣定理
3.5应用
Lax-Milgram定理
Lax等价定理
§4 Hahn-Banach定理
4.1线性泛函的延拓定理
4.2几何形式----凸集分离定理
§5 共轭空间·弱收敛·自反空间
5.1 共轭空间的表示及应用（Runge）
5.2 共轭算子
5.3弱收敛及*弱收敛
5.4弱列紧性与*弱列紧性
§6 线性算子的谱
6.1 定义与例
6.2 Γелbφaнд定理
第三章紧算子与Fredholm算子
§1 紧算子的定义和基本性质
§2 Riesz-Fredholm 理论
§3 Riesz-Schauder理论
§4 Hilbert-Schmidt定理
§5 对椭圆方程的应用
§6 Fredholm算子
参考文献
1．张恭庆林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。
2．黄振友杨建新华踏红刘景麟《泛函分析》，科学出版社， 2003。