实变与泛函分析初步自学考试大纲
实变函数与泛函分析概要
实变函数与泛函分析概要第一章 集合 基本要求：1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、 会求已知集合的并、交、差、余集。
4、 了解对等的概念及性质。
5、 掌握可数集合的概念和性质。
6、 会判断己知集合是否是可数集。
7、 理解基数、不可数集合不可数集合不可数集合、、连续基数连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn 引理。
第二章 点集 基本要求基本要求：1、 理解n 维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。
掌握聚点的性质。
3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、 会求己知集合的开集和导集。
5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。
6、 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。
7、 了解Peano 曲线概念。
主要知识点主要知识点：：一、基本结论：1、 聚点性质§2 中T 1聚点原则：P 0是E 的聚点⇔ P 0的任一邻域内，至少含有一个属于E 而异于P 0的点⇔存在E 中互异的点列{P n }，使P n →P 0 （n →∞） 2、 开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A ⊂B ，则Aɓ⊂Bɓ， Ａ⊂ Ｂ，－Ａ⊂－Ｂ。
T3：（A ∪B ）′=A ′∪ B ′.3、 开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E ⊂R ⁿ，ö是开集，E ´和―Ｅ都是闭集。
（ö称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E 是开集，则CE 是闭集；设E 是闭集，则CE 是开集。
T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：（Heine-Borel 有限覆盖定理）设F 是一个有界闭集，ℳ是一开集族{U i }i єI 它覆盖了F （即F с ∪ｉєＩU i ），则ℳ中一定存在有限多个开集U 1，U 2…U m ，它们同样覆盖了F （即F ⊂ｍ∪ U i ）（i єI ）4、 开（闭）集类、完备集类。
《实变函数》考试大纲
《实变函数》考试大纲一、课程说明本大纲适用数学专业。
1 本课程的目的和要求实变函数是数学专业重要的分析基础课之一这一部分内容为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，通过本课程的学习，应使出学生较好的掌握测度和积分这个基本工具，特别是极限（或积分）和积分顺序的交换，并且在一定程度上掌握集的分析方法2 本课程的主要内容先介绍近代数学的基础——集与映射等有关概念，同时介绍实直线上的点集的性质，按着讲L-测度以及L-可测集的概念与性质，在介绍可测函数的概念与性质，接着是勒贝格积分的概念与性质，还有积分极限定理，R-积分与L-积分比较，Fubini定理，囿变函数，绝对连续函数及其中N-L公式，最后介绍Lp空间及其性质3 教学重点与难点本课程的重点是勒贝格测度与勒贝格积分。
实变函数的内容虽是微积分的继续深化，但在思想方法上确有较大的飞越，实变函数的一些概念比起数学分析来要抽象得多，这使得初学者对实变函数往往不太习惯，为使学生能较好地适应这一过度，教师在讲解时尽可能将主要概念的产生背景，以北及概念之间的内在联系加以介绍。
例如，教师应向学生交代，为什么要研究新的积分,为什么要研究可列可加测度等，讲解时既要严格论证又要形象说明，同时要配合典型例题，适当地加强对学生的基础训练，这是一个重要的学习环节，教师应当给学生布置一定数量的习题，使学生通过做习题，加深对课文的理解，也帮助学生提高自学能力和解题能力，并开阔思路。
4 本课程的知识范围与相关课程的关系本课是在数学分析的基础上发展而成，同时本课程又用到了高等代数和解析几何中的一些基本知识，故本课程应安排在第四学期或第五学期讲授。
5 教材的选用绍兴文理学院数学系主要选用下面的教材江泽坚、吴智泉编《实变函数论》(第二版)，北京：高等教育出版社，2001年(国优教材).该教材论证严谨，重点突出，思路清晰，是一本国优教材。
湖北省高等教育自学考试实变与泛函分析初步
湖北省高等教育自学考试《实变与泛函分析初步》自学考试大纲课程名称：实变与泛函分析初步课程代码：2012第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点《实变函数》课程是数学与应用数学专业的一门专业基础理论课程，同时也是现代数学的重要基础课程，是古典分析与现代分析之间的一座桥梁。
它的研究对象仍然是定义在一般集合上的实函数，而采用的思想和方法是集合论的思想和方法。
它的中心任务是建立勒贝格（Lebesgue）测度理论和较之传统积分理论更为优越的勒贝格（Lebesgue）积分理论。
二、课程目标与基本要求通过本课程的学习，初步了解近代抽象分析的基本思想；掌握勒贝格（Lebesgue）测度概念和基本性质、可测集类；掌握可测函数的基本概念与基本性质、依测度收敛的可测函数列及其性质；了解可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系、可测函数列依测度收敛与几乎处处收敛的关系、可测函数与连续函数的关系；掌握勒贝格积分的基本思想、基本性质以及勒贝格积分极限定理及其应用；了解绝对连续函数的可微性和牛顿-莱布尼兹公式。
通过本课程的学习，培养并提高用现代数学的思想方法分析、解决问题的能力，为后续课程的顺利学习提供保证，为今后学习、研究现代数学和从事数学教育工作奠定基础。
三、与本专业其他课程的关系本课程是数学与应用数学专业基础课程之一，它的先行课程是《数学分析》，而概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等都是与它有着密切联系的后续课程。
其中《数学分析》是学习本课程的基础，而本课程又是进一步学习概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等课程的基础。
第二部分考核内容与考核目标第一章集合一、学习目的与要求通过本章的学习，应理解集合的概念，熟练掌握集合的并、交、差、余这四种基本运算，掌握集合列的极限运算；了解康托假设的含义，理解一一映射、集合对等与势(基数)的概念，掌握证明集合对等的基本方法；理解可数集与不可数集的概念、熟练掌握基本性质以及判别R中集合的聚点、内点、外点、边界点的概念及互相之间的关系；方法；掌握n维欧氏空间n了解并掌握开集、闭集、完备集的定义及性质，以及直线上开集、闭集、完备集的构造；掌握康托集的构造和康托集的基本性质。
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110047课程名称：实变函数与泛函分析英文名称：Real variable analysis And Functional analysis课程类别：专业基础课学时：50学分：3适用对象：信息与计算科学专业本科考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％先修课程：数学分析和高等代数二、课程简介中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning.三、课程性质与教学目的本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
实变函数与泛函分析基础之课程论文提纲
∀ {xn} ⊂ U (x0, λ) ⊂ Df , xn → a, 成立：f (xn) → a
特别地，当 f (x) 在 x0 ∈ X 点连续，即：limx→x0 ∈ Y f (x) = f (x0) ∈ Y ，则上述去心领域均可 改成含心领域。
Theorem 1 复合映照极限定理 设有：
(1) limy→y0 ∈ Y g(y) = c ∈ Z
《实变函数与泛函分析基础》之课程论文提纲
2007 年 7 月 5 日1 赋范线性空间基本概念
Problem 1 (Ck(Ω) 空间) 设 Ω ⊂ Em，Ck(Ω) 表示 Ω 上具有有界连续的 k 阶各类偏导数
的 函 数 全 体 按 通 常 函 数 加 法 和 数 乘 所 成 的 线 性 空 间 。 用 p = (p1, · · · , pn) 表 示 非 负 整 数
注： 1. 上述可测简单函数列中的每一个均可取成具有紧支集的函数。 2. 若 f (x) 是有界的，则上述收敛是都是一致的。
Problem 8 按周民强著《实变函数论》整理 Rm 上测度理论的建立。 Problem 9 按夏道行等著《实变函数论与泛函分析》（上册）整理一般集类上测度理论的建 立。 Problem 10 按周民强著《实变函数论》或夏道行等著《实变函数论与泛函分析》（上册）进 行有关问题（习题）的解答。
注：本学期本课程采用课题论文形式进行考核。可参考上述的提纲进行相关内容的整理 （可以扩充内容或更改上述提纲所反映的思路）：（1）澄清概念；（2）完成性质的证明及 问题解答。要求：正本清源；思想清晰，证明推理严谨，并尽量体现微积分及线性代数的思 想和方法在本课程中的应用。
3
f (x0 + h) = f (x) + Df (x0) · h + o(|h|X ), h ∈ X
实变函数与泛函分析课程教学大纲汇总
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110047课程名称：实变函数与泛函分析英文名称：Real variable analysis And Functional analysis课程类别：专业基础课学时：50学分：3适用对象：信息与计算科学专业本科考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％先修课程：数学分析和高等代数二、课程简介中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning.三、课程性质与教学目的本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
泛函分析考试大纲科目代码2093
《泛函分析》考试大纲科目代码：2093
基本内容与要求：
一、线性距离空间
1.距离线性空间定义和例子;
2.距离空间可分性、完备性;
3.紧集的相关概念和性质；(Arzelá-Ascoli定理)及其应用;
4.有限维线性赋范空间的性质、Riesz引理;
5 . 压缩映像原理及应用.
二、Hilbert 空间
1．Hilbert空间概；Hilbert空间结构；
2．射影定理、Fréchet-Riesz表现定理；Hilbert空间共轭算子.
三、Banach空间上的有界线性算子
1. Hahn-Banach定理及其常用推论; 凸集分离定理;
2. Baire纲推理; 共鸣定理、逆算子定理、闭图形定理; 一致有界定理应用;
3. 对偶空间、具体空间上连续线性泛函的实例; 二次对偶; 自反空间；
4. Banach共轭算子概念、性质;
5.算子和它的共轭算子之间的值域和零空间关系、商空间及商映射；
6. 序列弱收敛与序列弱*收敛概念.
四、有界线性算子谱理论
1. 谱的概念和性质，谱半径公式;
2. 射影算子、不变子空间、约化子空间
3. 紧连续算子定义和性质
4. 有界自伴算子。
实变函数与泛函分析
实变函数与泛函分析长春理工大学数学研究生入学加试《实变函数与泛函分析》考试大纲一、总体要求考生应按本大纲的要求，掌握Lebesgue的测度论，实变量的可测函数理论，Lebesgue 积分理论与微分理论，掌握度量空间和赋范线性空间的概念和例子，有界线性算子和连续线性泛函的概念和例子，掌握Hilbert空间的基本性质。
较好的掌握测度论与抽象积分理论，并且在一定程度上掌握集合的分析方法。
二、教材《实变函数与泛函分析基础(第二版）》，程其襄等，高等教育出版社,2003.三、考试内容（一）集合1. 掌握集合的概念，集合的包含和相等的关系和判定方法；2. 熟练掌握集合的和、交、差、余的运算，掌握上限集、下限集和收敛集的定义3. 会求集合的和、交、差、余，会求集合族的上限集、下限集，会判定集合列是否收敛；4. 理解集合基数的概念，对等的概念，掌握Bernstein定理，会用Bernstein定理判定集合对等；5. 掌握可数集合与具有连续基数的不可数集合的概念、例子和运算性质，能够利用已知的例子和运算性质去确定集合为哪类无限集合；6. 知道不存在具有最大基数的集合。
（二）点集1. 理解距离和距离空间的概念，懂得Euclid空间是距离空间；2. 掌握邻域的概念与性质，掌握点列收敛、点集距离、有界集和区间的概念；3．深入理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的定义，理解并掌握集合的开核、导集、边界、闭包的概念及相关的性质；4. 熟练掌握开集、闭集的概念和相关性质，掌握紧集的概念，完备集的概念，掌握有限覆盖定理；5. 理解直线上开集、闭集的构造定理，掌握Cantor集的性质。
（三）测度论1.深入理解并熟练掌握外测度，L-可测集的定义和基本性质，并掌握典型的例子2.理解σ代数的定义，掌握Borel集、Gδ型集、Fσ型集的定义，明确可测集和Borel集、Gδ型集、Fσ型集之间的关系，掌握L-可测集类；（四）可测函数1. 理解并掌握可测函数的定义与等价条件，掌握简单函数的概念，几乎处处收敛的概念，理解简单函数与可测函数的关系；2. 理解Egorov定理，Lusin定理；3. 理解并掌握依测度收敛的定义，理解Riesz定理，Lebesgue定理，会利用这两个定理去解决实际问题。
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实变与泛函分析初步自学考试大纲第一章集合（一）重点集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、 D.Morgan 法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、满射、一一映射、映射基本性质、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集；R n中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；收敛点列、聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；G 集合、F 集合、G 集合和F 集合的性质、Borel 集；R1中开集与闭集的构造、R n中开集与闭集的构造。
识记：集合的概念、集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、 D.Morgan 法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；单射、满射、一一映射、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集；R n中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；收敛点列、聚点、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质、G 集合、F 集合、G 集合和F 集合的性质、Borel集；R1中开集与闭集的构造、R n中开集与闭集的构造。
理解：集合的表示、子集、真子集；集合的并、交、余、 D.Morgan 法则、集合的直积；上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集；一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、基数的比较、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质、有理数集；不可数集存在性、连续集及其性质；R n中的距离、邻域、开球、闭球、球面；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；G 集合和F集合的性质、Borel集；R1中开集与闭集的构造、R n中开集与闭集的构造。
应用：集合的并、交、余、 D.Morgan 法则；上限集、下限集、单调集列及其极限集；一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、伯恩斯坦定理；可数集、可数集性质；连续集及其性质；R n中的距离、邻域、开球、闭球；开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界；聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质；G 集合和F 集合的性质、Borel集；R1中开集与闭集的构造、R n中开集与闭集的构造。
（二）次重点完全集；开集与闭集构造的定理；开集与闭集构造的简单应用。
识记：完全集；开集与闭集构造的定理。
理解：完全集；开集与闭集构造的定理的含义。
应用：开集与闭集构造的简单应用。
（三）一般集合族（类）、环与环、代数（域）与代数（域）；环、环、代数（域）、代数（域）之间的关系；稠密集、疏朗集；R n中集合之间的距离以及集合之间距离的可达性，R n中闭集的隔离性；集合的特征函数、特征函数性质以及集合在研究函数性质中的简单应用。
识记：集合族（类）、环与环、代数（域）与代数（域）；稠密集、疏朗集；R n中集合之间的距离；R n中闭集的隔离性；集合的特征函数。
理解：环、环、代数（域）、代数（域）之间的关系；稠密集、疏朗集；R n中集合之间的距离以及集合之间距离的可达性，R n中闭集的隔离性；集合的特征函数、特征函数性质。
应用：集合在研究函数性质中的简单应用。
第二章测度论（一）重点外测度的定义；外测度的基本性质，即非负性、单调性、次可加性；可测集的定义、可测集的等价条件；可测集的基本性质，即可测集的并、交、余，可测集的可数可加性，可测集列的极限性质；可测集的判别方法；常见的可测集类，即零测集、区间、开集、闭集、Borel 集等；可测集与Borel 集的几种关系，即G 集与可测集、F 集与可测集，可测集与Borel 集的关系。
识记：外测度的定义；外测度的基本性质；可测集的定义；可测集的基本性质；常见的可测集类；可测集与Borel 集的几种关系。
理解：外测度的定义；外测度的基本性质以及简单的应用；可测集的定义及等价条件；可测集的基本性质及性质的简单应用；常见的可测集类；可测集与Borel 集的几种关系。
应用：外测度的基本性质以及简单的应用；可测集的定义及等价条件及可测集的判别方法；可测集的基本性质及性质的简单应用；常见的可测集类；可测集与Borel 集的几种关系。
（二）次重点勒贝格（Lebesgue）外测度的分离性；外测度与测度的计算；可测集与Borel集之间几种关系的简单应用。
识记：勒贝格（Lebesgue）外测度的分离性；几类典型集合的外测度或测度。
理解：勒贝格（Lebesgue）外测度的分离性；几类典型集合的外测度或测度的计算步骤。
应用：可测集与Borel 集之间几种关系的简单。
（三）一般乘积空间与乘积测度。
识记：乘积空间与乘积测度。
理解：乘积测度的计算公式。
应用：乘积测度的计算公式的简单应用。
第三章可测函数（一）重点简单函数、非负可测函数、一般可测函数的定义及可测函数的等价定义；可测函数的简单性质，比如：几乎处处性，可测函数的和、差、积、商，函数的正部、负部的可测性，可测函数列的上确界、下确界，可测函数列的极限的可测性；可测函数与简单函数的关系；可测函数列的几种收敛（几乎处处收敛，依测度收敛）的含义，可测函数的几种收敛性的关系，比如：几乎处处收敛与一致收敛的关系（包括依果洛夫（Egoroff ）定理、依果洛夫逆定理）、几乎处处收敛与依测度收敛的关系、依测度收敛的性质、勒贝格（Lebesgue）定理、黎斯（Riesz）定理；可测集上的连续函数、鲁津（Lusin）定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系，直线上连续函数的延拓。
识记：简单函数、非负可测函数、一般可测函数的定义及可测函数的等价定义；可测函数的简单性质；可测函数与简单函数的关系；可测函数列的几种收敛的含义；依测度收敛的性质、勒贝格定理、黎斯定理；鲁津定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系。
理解：可测函数的简单性质；可测函数与简单函数的关系；可测函数的几种收敛性的关系；依测度收敛的性质、勒贝格（Lebesgue）定理、黎斯（Riesz）定理；可测集上的连续函数、鲁津（Lusin）定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系，直线上连续函数的延拓。
应用：可测函数的判别方法；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及鲁津定理及逆定理的简单应用，依测度收敛的性质的简单应用。
（二）次重点可测函数与简单函数关系的证明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明思路；鲁津定理的证明思路。
识记：可测函数与简单函数关系的的条件和结论；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的条件和结论；鲁津定理及逆定理的条件和结论。
理解：可测函数与简单函数关系的证明思路；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明思路；鲁津定理及逆定理的证明思路。
应用：依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及鲁津定理的进一步应用。
（三）一般函数可测的进一步判断；可测函数与简单函数关系的证明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明；鲁津定理及逆定理的证明；依测度收敛的判断及依测度收敛性质的进一步应用。
识记：可测函数与简单函数关系；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理；鲁津定理及逆定理。
理解：可测函数与简单函数关系的证明；依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明；鲁津定理的证明。
应用：函数可测的进一步判断；依测度收敛的判断及依测度收敛性质的进一步应用。
第四章Lebesgue 积分（一）重点非负简单函数的勒贝格积分定义、狄利克莱函数的勒贝格积分；非负简单函数的勒贝格积分的基本性质，比如：的唯一性、单调性、线性、有限可加性、简单函数的勒贝格积分的极限性质；非负可测函数的勒贝格积分的定义；非负可测函数的勒贝格积分的基本性质，比如：唯一性、单调性、有限可加性；非负可测函数列的积分收敛性质，比如：勒维（Levi ）单调收敛定理、逐项积分定理、法都（Fadou）定理；函数的正部、负部；一般可测函数的勒贝格积分的定义；函数勒贝格可积与正部、负部勒贝格可积的关系；一般可测函数的勒贝格积分的基本性质，比如：绝对可积性、积分的线性性、可积函数的几乎处处有限性、积分的绝对连续性；勒贝格控制收敛定理（包括有界控制收敛定理）；黎曼（Riemann）积分与勒贝格积分的关系。
识记：狄利克莱函数的勒贝格（Lebesgue）积分；非负简单函数的勒贝格积分的基本性质；非负可测函数的勒贝格积分的基本性质；函数的正部、负部；函数勒贝格可积与正部、负部勒贝格可积的关系；非负可测函数列的积分收敛性质；一般可测函数的勒贝格积分的基本性质；勒贝格控制收敛定理（包括有界控制收敛定理）；黎曼（Riemann ）积分与勒贝格积分的关系。
理解：非负简单函数的勒贝格积分定义；非负可测函数的勒贝格积分的定义；一般可测函数的勒贝格积分的定义；非负简单函数的勒贝格积分的基本性质；非负可测函数的勒贝格积分的基本性质；非负可测函数列的积分收敛性质；函数勒贝格可积与正部、负部勒贝格可积的关系；一般可测函数的勒贝格积分的基本性质；勒贝格控制收敛定理（包括有界控制收敛定理）；黎曼（Riemann）积分与勒贝格（Lebesgue）积分的关系。
应用：非负可测函数列的积分收敛性质的简单应用；勒贝格（Lebesgue）积分的基本性质的简单应用；勒贝格控制收敛定理的简单应用。
（二）次重点维他利（Vitali ）控制收敛定理；函数在一点的振幅；连续函数的等价条件；函数黎曼（Riema nn）可积的充分必要条件。
识记：维他利（Vitali ）控制收敛定理；函数在一点的振幅；连续函数的等价条件；函数黎曼（Riemann）可积的充分必要条件。
理解：维他利（Vitali ）控制收敛定理；函数在一点的振幅；连续函数的等价条件；函数黎曼（Riemann）可积的充分必要条件。
应用：维他利（Vitali ）控制收敛定理的简单应用；函数黎曼（Riemann）可积的充分必要条件的简单应用。
（三）一般函数族的等度连续；托尼（Tonelli）定理、富比尼（Fubini）定理；富比尼定理的简单应用（包括函数卷积及其性质、分布函数）识记：函数族的等度连续；托尼（Tonelli）定理；富比尼（Fubini）定理。
理解：函数族的等度连续；托尼（Tonelli）定理、富比尼（Fubini）定理。
应用：富比尼（Fubini）定理的简单应用。
第五章微分与积分（一）重点有界变差函数的定义、变差、全变差、有界变差函数与有界函数的关系；有界变差函数的基本性质，比如：有界变差函数的线性性、有界变差函数列的极限性；变差函数、若当（Jorda n）分解定理；绝对连续函数的定义、绝对连续函数与有界变差函数的关系、不定积分的定义、不定积分与绝对连续函数的关系、牛顿莱布尼兹公式。