泛函分析论文
泛函分析课程论文
泛函分析课程论文数学与计算科学学院 09数本2班 黄丽萍 2009224725大四新学年开始了，我们也开始学习了一门综合性及专业性强的课程——泛函分析。
首先，理解下“泛函分析”这个概念。
泛函分析是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。
在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。
所以在接下来的两章内容的学习中，我们将先学习“两大空间”——度量空间和赋范线性空间及其相关知识（第七章和第八章）。
在学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。
第七章的标题已经明确给出了学习任务——度量空间和赋范线性空间。
§1 度量空间§1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X XR ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。
【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。
§1.2 度量空间的进一步例子例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k ki d x y y x ∞=∑是度量空间§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间§1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n l im (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。
泛函分析课程总结论文
泛函分析课程总结论文第一部分：知识点体系第七章：度量空间和赋范线性空间度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。
一、度量空间的进一步例子 1、度量空间的定义定义1.1 设X 为一个集合，一个映射X X R ⨯→d ：.若对于任何x,y,z 属于X ，有1°d(,)0x y ≥，且d(,)0x y =当且仅当x y =（非负性）； 2°(,)(,)d x y d y x =（对称性）；3°(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式） 则称d 为集合X 的一个度量，同时称(),X d 为一个度量空间（课本第二章第一节中已经讲解了度量空间的定义，第七章第一节接着讲解度量空间，下面介绍六种度量空间。
）2、常见的度量空间 例2.1 离散的度量空间设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称为离散的度量空间。
例2.2 序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令 称为序列空间。
例2.3 （3）有界函数空间B(A ）,x y X ∈1,(,)0,if x yd x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i id x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义例2.4 可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。
纯数学泛函分析大学期末论文
纯数学泛函分析大学期末论文摘要：本文主要介绍了纯数学泛函分析的基本概念和应用。
首先，我们从泛函分析的起源和发展历程入手，介绍了泛函和泛函空间的概念。
接着，我们详细讨论了泛函分析的基本理论，包括线性算子、Banach空间和Hilbert空间等。
最后，我们探讨了泛函分析在实际问题中的应用，包括偏微分方程的解析和数值方法等。
1. 引言泛函分析作为现代数学的重要分支，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
它既是函数论的延伸，又是数学分析的发展。
纯数学泛函分析是泛函分析中的一个重要分支，主要研究无穷维线性空间的性质和结构。
本文将系统地介绍纯数学泛函分析的基本内容，以期对读者有所启发。
2. 泛函分析的起源和发展历程泛函分析是20世纪初发展起来的数学分支，源于对函数序列收敛性的研究。
随着对无穷维空间和泛函的研究深入，泛函分析逐渐形成了自己独特的理论体系。
通过对泛函的定义和性质的研究，人们逐渐发现了泛函分析在实际问题中的广泛应用。
3. 泛函和泛函空间的概念泛函是定义在一个函数空间上的函数。
泛函空间是所有满足一定条件的函数的集合。
泛函和泛函空间是泛函分析的核心概念。
在本节中，我们将详细介绍泛函和泛函空间的定义和性质，并给出一些常用的泛函空间的例子。
4. 线性算子和算子空间线性算子是将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。
算子空间是所有满足一定条件的线性算子的集合。
线性算子和算子空间是研究泛函分析中线性性质的基本对象。
在本节中，我们将讨论线性算子和算子空间的定义和一些重要性质，并给出一些经典的算子空间的例子。
5. Banach空间和Hilbert空间Banach空间是一个完备的赋范线性空间，Hilbert空间是一个完备的内积空间。
它们是泛函分析中最重要的两类空间。
在本节中，我们将详细介绍Banach空间和Hilbert空间的定义和性质，并讨论它们的一些重要的特征和例子。
6. 泛函分析的应用泛函分析作为数学的一种工具，具有广泛的应用领域。
泛函分析论文
泛函分析论文泛函分析是现代数学的一个分支，其研究的主要对象是函数构成的空间它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论主要内容有拓扑线性空间等泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数巴拿赫是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉对泛函分析的广泛应用有重要贡献泛函分析是二十世纪三十年代从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学下面结合这学期的学习和内容从以下几个方面来浅谈泛函分析：一、度量空间和赋范线性空间1、度量空间现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间19世纪末叶，德国数学家G康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础20世纪初期法国数学家M-R弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来都涉及函数间的距离关系从而抽象出度量空间的概念度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R若对于任何xyz属于X，有d(xy)≥0且d(xy)=0当且仅当 x = y； d(xy)=d(yx)；d(xz)≤d(xy)+d(yz）则称d 为集合X的一个度量称偶对为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间2、赋范线性空间泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间、希尔伯特空间希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间该问题在某些特定情况下的答案是肯定的2、巴拿赫空间理论是O年由波兰数学家巴拿赫是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材从外尔斯特拉斯﹐K()以来﹐人们久已十分关心闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的一致收敛性甚至在19世纪末﹐G阿斯科利就得到[a﹐b ]上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中二、线性算子出现在各个数学领域中具有线性性质的运算的抽象概括它是线性泛函分析研究的重要对象关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一中国物理学界习惯上把算子称为算符线性算子与线性泛函设x、Y是两个线性空间，T是x到Y的映射T的定义域和值域分别记为D(T )、R(T )如果对任何数α、β和x1、x2∈D(T)，满足αx1+βx2∈D(T)，并且，则称T是以D为定义域的x到Y的线性算子特别当D(T)=x，Y是实数域或复数域时，称T是x上的线性泛函例1设x=C(上的连续函数全体) K(ts)是×上的二元连续函数，定义则T是x到x的线性算子例3设x=C则，T2x=x(t0)(t0是中取定的一个点)都是x上的线性泛函线性算子的运算设T1、T2是x 到Y的线性算子它们的定义域分别是D(T1)、D(T2)对任一数α规定αT1表示以D(T1)为定义域，而对任何x∈D(T1)(αT1)x=α(T1x)的算子规定T1+T2表示以D(T1)∩D(T2)为定义域，而对任何的算子易知αT1T1+T2(称T1与T2的和)仍是线性算子又设T3是以D(T3)为定义域的Y到Z的线性算子，规定T3·T1表示以为定义域而对任何的算子三．泛函分析的主要定理包括：1 一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质2 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用3 罕-巴拿赫定理研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间另一个相关结果是对偶空间的非平凡性4 开映射定理和闭图像定理四．四泛函分析与选择公理泛函分析所研究的大部分空间都是无穷维的为了证明无穷维向量空间存在一组基，必须要使用佐恩引理此外，泛函分析中大部分重要定理都构建与罕-巴拿赫定理的基础之上，而该定理本身就是选择公理弱于布伦素理想定理的一个形式五．泛函分析的特点和内容泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。
泛函分析在控制系统及算法中的应用
课程:应用法泛函分析题目:泛函分析在控制系统及算法中的应用学院：自动化与电气工程学院专业：控制理论与控制工程姓名：学号：指导老师：二○一三年十二月十日泛函分析在控制系统及算法中的应用【摘要】泛函分析的理论、思想和方法在应用数学、物理理论、现代工程技术等众多领域都有广泛的应用。
它不仅为控制算法优化以及系统性能分析等建立了严密的理论体系，而且为控制工程实用的数值计算和控制算法的建立，提供了明确的理论依据，并对算法实现的有效性、收敛性提供了各种实用方法。
本文从遗传算法的优化，控制系统性能分析和最优控制三方面简要分析了泛函在控制理论与控制工程中的应用。
【关键词】泛函分析控制理论与控制工程遗传算法最优控制【中图分类号】O177.92- TL361Through the study of functional analysis, knowing that functional analysis is widely used in many fields, it not only builds a strict theoretical system for the optimization of controlling algorithm and the analysis of systematic performance but also provides a definite theoretical basis for the establishment of numerical calculation and control algorithm of the useful Controlling Engineering.At the same time,a variety of practical methods are put into the algorithm’s effectiveness and convergence. In order to grasp and understand the application of the theory of functional analysis and learn the methods of application of functional analysis. From the point of genetic algorithm , the analysis of performance of controlling system and optimal control briefly analyse that functional is applied in the fields of controlling theory and controling engineering 一、遗传算法的优化设一个系统的种群为12,.....nX x x x⎡⎤=⎣⎦（1-1）满足约束条()()01,2,,01,2,,01,2,,jkiX j lX k mi nghx⎧≤=⎪⎪≤=⎨⎪≥=⎪⎩（1-2）使目标函数：()minW X→（1-3）上述问题称为遗传算法的一个优化问题，其中约束条件是一个工程结构中的各项参数，（如系统的动态性能指标、静态性能指标）应该满足的条件。
高馨泛函分析论文
泛函分析论文摘要:本文介绍了Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间的概念，通过一些典型例题论述它们空间之间的关系及算子定义和特征值关键词:Hilbert 空间、Banach 空间、距离空间、拓扑空间、算子一、空间每一个内积空间是赋范空间.我们称完备的内积空间为Hilibert 空间..一个内积空间必是一个赋范空间.反之,,每一个赋范空间都可以引进一个内积,使得由这个内积产生的范数是原来的范数,其中范数要满足平行四边形则.Hilbert space 是完备的线性赋范空间（Banach space ）的一个特例.1、Hilbert 空间有穷维线性空间可以引进各种种范数使它成为bananch 空间，但是通常欧式空间的一个重要特性是它上面定义了内积，借助于内积就可以定义向量的长和两个向量的正交性。
我们把这种方法推广到无穷维空间的情形，在下面里，我们引进内积空间Hilbert 空间的概念。
设H 是域K 上的线性空间，任意H y x ∈,,有一个K 中数(x,y)与之对应，使得对任意K a H z y x ∈∈,,,满足：⑴正定性：()(),0,;0,=≥x x y x 当且仅当;0=x⑵共轭对称性：()();,,x y y x =⑶对第一变元的线性性：()();,,y x a y ax =()()().,,,z y z x z y x +=+称（ ， ）是Ｈ上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。
()().,,y x a ay x =定理 1.1.1（Schwarz 不等式） 设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有()()().,,,2y y x x y x ≤称内积空间的这个范数是由内积产生的范数，因此每一个内积空间是赋范空间.以后凡说到内积空间是赋范空间都是指范数是由内积产生的.我们称完备的内积空间为Hilbert 空间.例1.1.1 n R 是（实）Hilbert 空间.在定义n R 中定义()k nk k y x ηξ∑==1, {}{}().,n k k R y x ∈==ηξ不难验证，（ ， ）是一个内积，且由这个内积产生的范数为2112⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n k x ξ {}().n k R x ∈=ξ 因此n R 是Hilbert 空间.例1.1.2 ]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间与2l 类似，由Holder 不等式，对任意]2,,x y L a b ⎡∈⎣，()()112222,(())(())b b b aa a x t y t dt x t dt y t dt ≤⎰⎰⎰ 在]2,L ab ⎡⎣上定义内积()()(),ba x y x t y t dt =⎰ 有这个内积产生的范数为 122(())b a x x t dt =⎰由此可知]2,L a b ⎡⎣是Hilbert 空间 定理1.1.2 设H 是内积空间，则内积()y x ,是x,y 的连续函数，即当()().,,,,y x y x y y x x n n n n →→→时，定理1.1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数.2、Banach 空间定义2.1.1 设X 是域K(实数域或复数域)上的线性空间，函数:R X →∙: 满足条件：1) 对任意0,0;0,==≥∈x x x X x 当且仅当；2) 对任意（齐次性）及,,x a ax K a X x =∈∈； 3) 对任意（三角不等式）,,y x y x X y x +≤+∈. 称 ∙是X 上的一个范数，X 上定义了范数 ∙称为赋范（线性）空间，记为() , ∙X ，有时简记为X .在一个赋范线性空间() , ∙X 中通过范数可以自然地定义一距离，(),,y x y x d -= .,X y x ∈ ()1.1.2事实上，由范数公理，对任意()()，当且仅当当且仅当且0,0,0,,0,,,,=-=-==≥-=∈y x y x y x d y x y x d X z y x ()()()+-≤-+-=-==-=-==z x y z z x y x y x d x y d x y y x y x d y x ,,,,,即()()y z d z x d y z ,,+=-.称赋范空间中这个距离是由范数诱导的距离.这样，赋范空间是一个距离空间，以后凡说赋范空间的距离如无特别说明都指的是由范数诱导的距离.因此，在第一张所讨论的涉及距离空间、拓扑空间的一般概念、性质（如完备性、可分性、紧性等）都可以移植到赋范空间中来.特别地，设{}n x 是赋范空间X 中的点列，X x ∈,如果()∞→→-n x x n 0，称{}n x 强（或按范）收敛于x ，记为()∞→→n x x n ，或x xn n =∞→lim .如果赋范空间是完备的称它为Banach 空间.例2.1.1 空间[],C a b 。
泛函分析线性赋范空间论文
泛函分析线性赋范空间论文摘要：本论文主要围绕泛函分析线性赋范空间的基本理论进行研究，介绍了线性赋范空间的定义、性质、范畴和代数结构等方面。
对于赋范空间中的基本概念如范数、内积、对偶空间、共轭性等，进行详细阐述，并以此为基础，引入了Banach空间、Hilbert空间、算子空间等重要概念和定理。
论文最后还介绍了一些经典的应用和发展趋势。
通过本论文的研究，可以更好地理解和应用泛函分析线性赋范空间的基本理论。
关键词：泛函分析；线性赋范空间；范数；内积；对偶空间；共轭性；Banach空间；Hilbert空间；算子空间一、引言泛函分析是数学中的一个重要分支，它主要研究无限维向量空间及其上的函数或算子。
线性赋范空间是泛函分析中一个重要的概念，它是带有范数（norm）的线性空间，具有加法、数乘和范数这三个运算，是泛函分析的基础。
本论文旨在对于泛函分析线性赋范空间的基本理论进行系统的阐述和探讨。
二、线性赋范空间的定义与性质线性赋范空间是一个带有范数的线性空间，它的定义包括线性空间的定义和范数的定义。
线性赋范空间具有很多性质，如唯一的零元素、范数的非负性、齐次性、三角不等式等，这些性质为后续的研究提供了基础。
三、范数、内积、对偶空间和共轭性范数、内积、对偶空间和共轭性是赋范空间中的基本概念，范数是一种测量距离的方式，内积是一种度量夹角的方法，对偶空间是指所有从X到标量域的线性连续映射组成的空间，而共轭性则是指内积或对偶空间的一些特殊性质。
四、Banach空间、Hilbert空间、算子空间等Banach空间是指完备的赋范空间，Hilbert空间是一种特殊的Banach空间，具有良好的几何性质和完备性质，是应用广泛的空间之一。
在算子理论中，算子空间则是指线性映射所组成的空间，它也具有重要的应用和意义。
五、经典应用和发展趋势泛函分析线性赋范空间在数学和物理等领域都有着广泛的应用，如偏微分方程、量子力学、信号处理、数据挖掘等。
泛函分析漫谈范文
泛函分析漫谈范文泛函分析是数学中的一个分支，研究的是无限维的数学空间上的函数和映射的性质。
它的应用范围非常广泛，包括物理学、工程学、经济学等等领域。
在这篇文章中，我将介绍一些泛函分析的基本概念和方法，并探讨一些相关的应用。
首先，我们需要了解什么是函数空间。
函数空间是一个由函数组成的集合，通常用符号X表示。
函数空间有时候被称为线性空间，因为它满足线性运算的性质，即任意两个函数的线性组合仍然是一个函数。
泛函分析中，我们经常考虑的是无限维函数空间，这些函数空间可以由一系列的函数基来表示。
一个常见的例子是L2函数空间，它包含了所有平方可积的函数。
泛函是一个从函数空间到实数或者复数的映射。
泛函可以看作是函数的函数，它把一个函数映射为一个数值。
泛函的定义和性质是泛函分析的核心内容。
在泛函分析中，我们经常研究线性泛函，即满足线性性质的泛函。
线性泛函的基本性质是齐次性和可加性，即f(ax+by)=af(x)+bf(y)，其中a和b是常数，f(x)和f(y)是函数空间X中的两个函数。
泛函分析中最重要的定理之一是泛函的极值定理。
根据该定理，如果一个泛函在函数空间中有界，并且对于任意的函数序列，如果函数序列趋向于一个极值点，那么这个极值点就是泛函的极值。
这个定理在最优化问题中有着非常重要的应用，可以帮助我们找到函数空间中的最优解。
另一个重要的概念是泛函的连续性。
在数学中，连续性是一个非常基本的性质，它意味着当输入变量趋近于一些值时，函数的输出值也趋近于一些值。
在泛函分析中，我们定义了一种新的连续性叫做弱连续性。
弱连续性与常规的连续性略有不同，它要求当函数序列弱收敛时，泛函的值也要弱收敛。
弱连续性的概念在泛函分析中是非常重要的，它为我们讨论一些特殊函数的性质提供了一个有效的工具。
泛函分析还有很多其他的重要概念和方法，如紧算子、谱理论、拓扑学等等。
这些概念和方法在不同的领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，泛函分析可以用来分析量子力学中的波函数和算符的性质。
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泛函分析作业
数学系08级5班 08020170
赵英杰
泛函分析主要内容
泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。
是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
主要内容有拓扑线性空间等。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。
他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。
一、度量空间和赋范线性空间
1、度量空间
现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。
19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。
20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。
度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。
这个空
间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。
定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。
若对于任何x,y,z属于X，有
（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y；
（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；
（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）
则称d为集合X的一个度量（或距离）。
称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
2、赋范线性空间
泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。
（一）、希尔伯特空间
希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。
对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。
对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。
希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。
该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。
（二）、巴拿赫空间
巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。
大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。
巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐人们久已十分关心闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的一致收敛性。
甚至在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上一族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来十分成功地用于常微分方程和复变函数论中。
二、线性算子
出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。
它是线性泛函分析研究的重要对象。
关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时也是量子物理的数学基础之一。
中国物理学界习惯上把算子称为算符。
线性算子与线性泛函设x、Y是两个（实数或复数域上的）线性空间，T是x到Y的映射。
T的定义域和值域分别记为D(T)、R(T)。
如果对任何数α、β和x1、x2∈D(T)，满足αx1+βx2∈D(T)，并且
，
则称T是以D（T）为定义域的x到Y的线性算子。
特别当D(T)=x，Y 是实数域或复数域时，称T是x上的线性泛函。
例1，设x＝C1【0,1】（【0,1】上连续可微函数全体）,Y＝B【0,1】(【0,1】上有界函数全体)，定义
，
则T是x到Y的线性算子。
例2,设x=C【α,b】(【α,b】上的连续函数全体), K(t,s)是【α,b】×【α,b】上的二元连续函数，定义
，则T是x到x的线性算子。
例3,设x=C【α,b】,则,T2x=x(t0)(t0是【α,b】中取定的一个点)都是x上的线性泛函。
线性算子的运算设T1、T2是x到Y的线性算子,它们的定义域分别是D(T1)、D(T2)。
对任一数α,规定αT1表示以D(T1)为定义域，而对任何x∈D(T1),(α T1)x=α(T1x)的算子;规定T1+T2表示以D(T1)∩D(T2)为定义域，而对任何的算子。
易知αT1（称T1的α倍）,T1+T2(称T1与T2的和)仍是线性算子。
又设T3是以D(T3)为定义域的Y到Z的线性算子，规定T3·T1（也记作T3T1）表示以
为定义域而对任何的算子。
易知T3·T1（称T3与T1的积）也是线性算子。
三、泛函分析与数学分析的区别
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。
比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间
数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。
它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。
这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。
数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。
学好数学分析（和高等代数）是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。