复变函数发展历程
西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 复数与复变函数
z rei
三角表达式 指数表达式
说明： z r cos i sin
rei
复变函数
例1.将下列复数写为三角表达式与指数表达式
1)z 12 2i
2)z sin i cos
5
5
3)z 1 cos i sin
0
例2.求证 z1 z2 z1 z2
z2
x22 y22
复变函数
2.复数的运算法则
z1 z2 z2 z1, z1z2 z2 z1
(交换律)
z1 z1
(z2 z3) (z1 (z2 z3 ) (z1z2 )z3
z2
)
z3
(结合律)
z1(z2 z3 ) (z1z2 z1z3 ) (分配律)
复变函数
3.共轭复数
2k
n
其中 k 0,1, , n 1
例2.求 1) 1 i 6
2) 6 1
复变函数
本次课小结 本次课的内容要点
1.复数的概念 2.复数的代数运算 3.复数的几何表示 4.复数的乘幂与方根
作业：习题一 4(4)、8(1,3,6)、11 14(3、4)、16、21(4、6)
复变函数
说明：1) z 0 若z=0，则辐角不定
2） tan y ，即tan Argz y
x
x
3) 多值性 Argz 2k
4) 把满足 的辐角称为辐角主值
记为 arg z
arg z arctan y x
复变函数
arg z arctan y
x
arg z arctan y
x
arg z arctan y x
复变函数
复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主 要是围绕柯西 、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进 行的。
数学分析中的复变函数论
数学分析中的复变函数论复变函数论是数学分析中的重要分支领域，研究复数域上的函数。
它的发展起源于18世纪，由于其在实际应用中的广泛应用，它成为了现代数学的基础之一。
本文将介绍复变函数论的基本概念、性质、以及一些典型的应用。
一、复数与复平面复变函数论的基础是复数与复平面的概念。
复数是由实数部分与虚数部分构成的数，通常用a+bi的形式表示，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复平面是由实轴与虚轴构成的平面，通常用平面上的点来表示复数。
二、复变函数的定义与性质复变函数是以复数为自变量和因变量的函数。
对于复变函数f(z)，其中z=x+iy表示复数，可以拆分为实部和虚部。
复变函数的性质包括连续性、可微性、解析性等。
其中解析性是复变函数论的核心概念，表示函数在其定义域内处处可导。
三、复变函数的级数表示复变函数可以通过级数展开进行表示，这是复变函数论中的重要方法之一。
常见的级数表示包括泰勒级数、幂级数和傅里叶级数等。
这些级数展开形式可以用于研究复变函数的性质与特征。
四、复积分与复变函数的积分表示复积分是复变函数论中的重要概念，它是对复变函数在曲线上的积分。
复积分的性质包括路径无关性、柯西定理等，这些性质使得复积分能够方便地计算复变函数的积分表示。
五、复变函数的应用复变函数论在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
例如，在电动力学中，复变函数论被用于解析电场和磁场的分布；在信号处理中，傅里叶级数和傅里叶变换被应用于信号的频谱分析等。
六、复变函数论与实变函数论的比较复变函数论与实变函数论在概念和性质上存在许多相似之处，但也有一些明显的差异。
例如，复变函数论中的解析函数概念在实变函数论中并不存在。
研究复变函数论与实变函数论之间的联系与区别对于深入理解数学分析的基础理论具有重要意义。
总结：复变函数论是数学分析中的重要分支，它研究复数域上的函数。
本文简要介绍了复变函数论的基本概念与性质，包括复数与复平面、复变函数的定义与性质、复变函数的级数表示、复积分与复变函数的积分表示、复变函数的应用以及与实变函数论的比较。
复变函数-复分析历史
一，复数和复变函数1.复数在数学中，最早为人们所研究的一个纯数学问题，就是求解二次方程.四千多年前，古代巴比伦人就掌握了二次方程的解法.那时所发现的技巧，还基本上与今天在中学数学教科书中所用的方法相同.例如，解方程寸- 2x-15 = 0*用。
配方”法，将这个方程写成矛-2为+ 1 -16的形式，也就是（x-1）」16 = 0,即得到（x-1）3 = 16,所以X-l = 4或一牝因此x = 5或x= -3.但是，对有些二次方程，这个《配方”法就失灵了. 例如要解简单的二次方程屮+ 1 = 0,这导致我们要找这样的数礼它的平方等于- It x2= -1.这似乎是不可能的，因为一个数的平方好像不应是负的・想像如果有一个数，它的平方是「1,这将会发生什么情况呢？这个数，今天已习惯上采用亍来表示，并称之为“虚”单位;当有m出现时，就用-1代替之.这样，方程x' + i = o 就变成有解了，其解为x = i和 X=-礼另外，如方程 JC3-10^+ 40 = 0,即（*-5），= -15也变成有解了，其解为为二5+"商和x = 5- 5/场.要验证它,我们只须计算（5±10 （5± v'lBO + 40=（5± V15C（5 +VlSi） - 10（5+ + 40=25 士 5、/'套，± 5^/15® 十 15讣一 50 干 10*1京 + 40=25- 15- 50+ 40 = 0,但是，一个二次方程有一个* = 5 + "15i或X = 5 - 、/応的解,究竟有什么好处呢？归根结底i是一个“虚” 数.文艺复兴时期，意大利数学家卡尔达诺（G. Carda- no,被称为虚数之父）注意到在解三次方程时（例如方程 x B-12x + 16 = 0）,可发生这样的情况，虽然用了虚数来计算，而求出的根却仍是普通的蚌实”数,这个观察说明，对- 1的平方根，不管称它是虚数与否，它不单是一个玩物・直到十九世纪，数学家才解开复数的奥秘.他们将形如a + ib的数称为复数，把它解释为平面上的点.确切地讲，我们在平面上画两条互相垂直的直线，一条是水平的，称为x-轴或实軸；一条是铅直的，称为》-轴或虚轴I 两条直线的交点是O,称为原点.于是，每个复数。
复变函数的产生及发展意义
复变函数产生及意义班级：1434200102学号：143403030801姓名：胡玉秀千百年来，人们日日探索数学的奥妙，从几何到代数。
数学的魅力，梦幻了一代代的人。
从算筹的产生开始，从方程的出现开始，解决方程的答案的方法让众位数学家早早白了头发。
终于，一个名叫复数的东西诞生了，耀眼的光芒照耀着数学这片广袤的土地。
意大利米兰学者卡当也许可以称作复数的始祖了，把负数的平方根应用与三次方程，但不能算作最开始的那位，考虑金字塔的不可能问题的希腊数学家海伦或许是最初。
不管怎样，复数，虚数就这么产生了，一个伟大事物的出现总带着各种不可能，不对，不赞同的反对声。
如同日心说一般，真理慢慢就会被大众所接受，时间和空间的考验下，它有了四则运算，有了著名的各种定理公式，符号，生机勃勃的出现在了世人的眼球之下，旺盛的生命力让人为之倾服。
十八世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当时卡斯帕尔·韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。
数年后，高斯再提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。
诧异的是，早于1685年约翰·沃利斯已经提出此一观点。
卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年，以当今标准来看，也是相当清楚和完备。
他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。
1804年，以来表示平面上与实轴垂直的单位线段被提出。
1806年，罗贝尔·阿尔冈亦发表文章，复平面成了标准。
1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一篇备忘录，奠定复数在数学的地位。
柯西及阿贝尔的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名的。
复数吸引了著名数学家的注意，包括库默尔、克罗内、乔治·皮库克。
莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文，约翰·彼得·狄利克雷将很多实数概念，例如素数，推广至复数。
德国数学家阿甘得公布了复数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，复数也能用一个平面上的点来表示。
复变函数科普知识
复变函数科普知识1．简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现 了负数开平方的情况。
在复变函数 复变函数很长时间里，人们对这类数不能理解。
但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
2．历史复变函数 复变函数复变函数论产生于十八世纪。
1774年，欧拉在他 的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。
而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。
因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。
到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。
二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。
比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。
复变函数的产生及发展意义.doc
复变函数产生及意义班级：1434200102学号：143403030801姓名：胡玉秀千百年来，人们HH探索数学的奥妙，从几何到代数。
数学的魅力，梦幻了一代代的人。
从算筹的产牛开始，从方程的出现开始，解决方程的答案的方法让众位数学家早早白了头发。
终于，一个名叫复数的东西诞牛了，峨眼的光芒照峨着数学这片广袤的土地。
意大利米兰学者卡当也许可以称作复数的始祖了，把负数的平方根应用与三次方程，但不能算作最开始的那位，考虑金字塔的不可能问题的希腊数学家海伦或许是最初。
不管怎样，复数，虚数就这么产牛了，一个伟大事物的出现总带着各种不可能，不对，不赞同的反对声。
如同日心说一般，真理慢慢就会被大众所接受，时间和空问的考验下，它有了四则运算，有了著名的各种定理公式，符号, 牛机勃勃的出现在了世人的眼球之下，旺盛的牛命力让人为之倾服。
十八世纪末，复数渐渐被大多数人接受，当吋卡斯帕尔•韦塞尔提出复数可看作平面上的一点。
数年后，高斯再提出此观点并大力推广，复数的研究开始高速发展。
诧异的是，早于1685年约翰•沃利斯已经提出此一观点。
卡斯帕尔•韦塞尔的文章发表在1799年，以当今标准來看，也是相当清楚和完备。
他又考虑球体，得出四元数并以此提出完备的球面三角学理论。
怡04年，以来表示平面上与实轴垂直的单位线段被提岀。
1806年，罗贝尔•阿尔冈亦发表文章，复平面成了标准。
1831年高斯认为复数不够普及，次年他发表了一•篇备忘录，奠定复数在数学的地位。
柯西及阿贝尔的努力，扫除了复数使用的最后顾忌，后者更是首位以复数研究著名的。
复数吸引了著名数学家的注意，包括库默尔、克罗内、乔治•皮库克。
莫比乌斯发表了大量有关复数几何的短文，约翰•彼得•狄利克雷将很多实数概念，例如素数，推广至复数。
徳国数学家阿II得公布了复数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，复数也能用一个平面丄的点来表示。
在直角坐标系屮，横轴上取对应实数"的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于处标轴的直线，它们的交点C就表示复数。
学习复变心得
学习复变函数心得在这一学期，我学了复变函数这门课程，使我受益良多，也有挺多的学习心得感受。
所以，接下来，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。
我认为，在接触一门新的课程时，不妨先了解其发展历史，这样，对以后的深入学习也有一定的帮助，而且，在学了之后，也不至于连这一学科怎么来的，为何会产生都不清楚。
所以，在老师的讲解下及上网看的一些资料后，我也了解了一点点有关复变这门课程的发展历史。
复变函数，又称为复分析，是分析学的一个分支。
它产生于十八世纪，其中，欧拉、拉普拉斯等几位数学家对这门学科的产生做出了重大的贡献。
而到了十九世纪，这时，可以说是复变函数这门学科的黄金时期，在这段时期，它得到了全面的发展，是当时公认的最丰饶的一个数学分支，也是当时的一个数学享受。
其中，Riemann,Welerstrass及Cauchy这三位数学家为此作做了突出的贡献。
到了二十世纪，复变函数继续发展，其研究领域也更加广泛了。
而我国的老一辈的数学家也是在这一方面做出了一些重大贡献。
知道了复变函数这一学科简单的发展历程后，那么接下来，我给大家说说我在学习这门课程的一些感受吧。
复变函数课程从拓展数域至复数开始，在介绍复数与四则运算后，利用中学生已有知识引入概念，易于上手。
接着探讨复平面、复数模和辐角，并过渡至复变函数及其极限、连续性定义。
特别指出的是，复变函数既能为单值函数，也可能具有多值特性，这一区别对后续深入研究至关重要。
在学习接下来的第二章，主要讲的是解析函数及初等多值函数。
而在学习解析函数时，我觉得，最主要的就是掌握柯西—黎曼方程，它对于解析函数的微分及解析的判定都有着重要作用，就是到了第三章的复变函数的积分也是会用到的，所以掌握它还是挺重要的。
接下来就是初等多值函数，这一部分比较难，但也挺有意思的。
在老师讲解下及自己的研究后，对这一部分还是有点收获的。
学习这一部分的内容，首先要理解为什么要对平面进行切割，接着，就是要学会寻找支点及切割方法，还有就是那些辐角的变化也要搞清楚，只要将这几点掌握了，应该就没有大问题了。
复变函数发展及应用背景
=2
1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方 程时，首先产生了负数开平方的思想。后来， 数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。 这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出 了虚数的几何解析而逐渐好转。
2、1777年，瑞士数学家Euler建立了 系统的复数理论，发现了复指数函数和三 角函数之间的关系，创立了复变函数论的 一些基本定理，并开始把它们应用到水力 学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位， 也是Euler首创的。
即寻找方程 ax3 bx2 cx d 0 一般根式解。
很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大 的进展！
怪杰
卡丹诺 (Girolamo Cardano; 1501 1576)
一个多才多艺的学者,
• 一个放荡不羁的无赖 他精通数学、医学、 语言学、天文学、占星学
一生充满传奇，人们称 他为「怪杰」。
MATLAB基础
MATLAB 是一个为科学和工程计算而专门
从二次方程谈起
解方程 ax2 bx c 0, a 0
x1,2 b被巴比伦人发现和使用。
在中国的古籍《九章算术》中，亦有提及与二次方 程有关的问题。
由二次方程到三次方程 由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自 然地，人类就开始寻找三次方程的解法。
从而研究机翼的造型问题.
(5) 应用于计算渗流问题. 例如：大坝、钻井的浸润曲线.
(6) 应用于平面热传导问题、电(磁)场强度. 例如：热炉中温度的计算.
(8) 复变函数理论也是积分变换的重要基础.
积分变换在许多领域被广泛地应用，如电力 工程、通信和控制领域以及信号分析、图象处理 和其他许多数学、物理和工程技术领域．
积分变换就是通过积分运算把一个函数 变成另一个函数，同时，将函数的微积分 运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算 简单、快速完成。
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复变函数发展历程
复变函数论产生于十八世纪。
1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。
而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。
因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。
到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。
二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。
比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。
它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。
因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。
从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。
它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。
它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。
现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
校内发展的历史
《复变函数论》，又称《复分析》，是在《数学分析》的基础上，应用分析与积分方法研究复变量复值解析函数的一门分析数学，它是学习与研究《泛函分析》、《微分方程》等课程的重要基础。
复变函数论是数学专业的一门专业必修课程，是数学分析的后续课程。
它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
随着学校的升本成功，该门课程已在本科层面授课两届。
针对学生普遍基础薄弱的特点，在教学中，着力要求任课教师将基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，对学生的基本运算能力的训练也严格要求。
教材选用了国内较成熟且讲解较为简单明了的钟玉泉的复变函数论(第2版)，方便学生学习。
实际教学中注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。
在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学
生掌握主要方法。
要求学生对本课程的基本概念和基本理论要加深理解，并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。
本课程的教学时数定为60学时，周3学时，15周。
这样教学时数压缩了，教学要求提高了。
所以在内容的选取上应突出基本理论和基本方法，把重点放在单复变函数的微分、积分、级数展开式和保形变换上。
为了突出院校的师范特征，使学生以后教师工作中学以致用。
通过具体实例使学生了解到该课程在代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓朴学等数学分支上的广泛应用，为其以后的工作学习提供必要的基础知识。