实变函数与泛函分析总复习题

第一章 复习题（一）一、判断题1、大人全体构成集合。

（× ）2、小个子全体构成集合。

（× ）3、所有集合都可用列举法表示。

（× ）4、所有集合都可用描述法表示。

（√ ）5、对任意集合A ，总有A ∅⊂。

（√ ）6、()A B B A -⋃=。

（× ）7、()()A B B A B B A A -⋃=⋃=-⋃。

（√ ） 8、若B A ⊆，则()A B B A -⋃=。

（√ ）9、c A A ⋂≠∅，c A A X ⋃=，其中X 表示全集。

（× ） 10、A B B A ⨯=⨯。

（× ）11、()c c c A B A B ⋃=⋃，()c c c A B A B ⋂=⋂。

（× ）12、()()()A B C A C B C ⋃⋂=⋂⋃⋂，()()()A B C A C B C ⋂⋃=⋃⋂⋃。

（√ ） 13、若A B ，B C ，则A C 。

（√ ） 14、若A B ，则A B =，反之亦然。

（√ ）15、若12A A A =⋃，12B B B =⋃，且11A B ，22A B ，则A B 。

（× ） 16、若A B ⊆，则A B ≤。

（√ ） 17、若A B ⊆，且A B ≠，则A B <。

（× ） 18、可数集的交集必为可数集。

（× ）19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。

（√ ） 20、因整数集Z ⊂有理数集Q ，所以Q 为不可数集。

（× ） 21、()c c A A =。

（√ ）第二章 复习题一、判断题1、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ=⇔P Q =。

（× ）2、设P ，n Q R ∈，则(,)0P Q ρ>。

（× ）3、设123,,n P P P R ∈，则121323(,)(,)(,)P P P P P P ρρρ≥+。

（× ）4、设点P 为点集E 的内点，则P E ∈。

（√ ）5、设点P为点集E的外点，则P E∉。

（√）6、设点P为点集E的边界点，则P E∈。

（×）7、设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。

（×）8、设点P为点集E的聚点，则P为E的边界点。

（×）9、设点P为点集E的聚点，且不是E的内点，则P为E的边界点。

（√）10、设点P为点集E的孤立点，则P为E的边界点。

（√）11、设点P为点集E的外点，则P不是E的聚点，也不是E的边界点。

（√）12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。

（√）13、开集中可以含有边界点和孤立点。

（×）14、E是开集⇔E E=的内部（开核）。

（√）15、任意多个开集的并集仍为开集。

（√）16、任意多个开集的交集仍为开集。

（×）17、有限个开集的交集仍为开集。

（√）18、闭集中的每个点都是聚点。

（×）19、E'和E都是闭集。

（√）20、E是闭集⇔E E'⊂。

（√）21、任意多个闭集的交集仍为闭集。

（√）22、任意多个闭集的并集仍为闭集。

（×）23、有限个闭集的并集仍为闭集。

（√）24、E 是开集⇔c E 是闭集。

（√ ）25、E 是完全集（完备集）⇔E E '=E ⇔是无孤立点的闭集。

（√ ）二、填空题1、设1n R R =，1E 是[0,1]上的全部有理点，则1E '=[0,1]；1E 的内部= 空集 ；1E =[0,1]。

2、设2n R R =，1E =[0,1]，则1E '=[0,1]；1E 的内部= 空集 ；1E =[0,1]。

3、设2n R R =，1E =22{(,)1}x y x y +<，则1E '=22{(,)1}x y x y +≤；1E 的内部=1E ；1E =22{(,)1}x y x y +≤。

4、设P 是康托（三分）集，则P 为 闭 集；P 为 完全 集；P 没有内 点；P = c ；mP = 0 。

5、设(,)a b 为1R 上的开集G 的构成区间，则(,)a b 满足(,)a b ⊂G ，且a ∉G ，b ∉G 。

6、设(1,2)(3,4)E =⋃，写出E 的所有的构成区间(1,2),(3,4)。

7、设(1,3)(2,6)E =⋃，写出E 的所有的构成区间(1,6)。

8、设E 为1R 上的闭集，0x 为E 的孤立点，则0x 必为E 的两个邻接区间的 公共 端点。

9、设E 为1R 上的闭集，则E 的邻接区间必为cE 的构成区间。

第三章复习题一、判断题1、对任意n E R ⊆，*m E 都存在。

（√ ）2、对任意n E R ⊆，mE 都存在。

（× ）3、设n E R ⊆，则*m E 可能小于零。

（× ）4、设A B ⊆，则**m A m B ≤。

（√ ）5、设A B ⊆，则**m A m B <。

（× ）6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑。

（× ）7、**11()n n n n mS m S ∞∞==≤∑。

（√ ）8、设E 为n R 中的可数集，则*0m E =。

（√ ） 9、设Q 为有理数集，则*0m Q =。

（√ ） 10、设I 为n R 中的区间，则*m I mI I ==。

（√ ） 11、设I 为n R 中的无穷区间，则*m I =+∞。

（√ ） 12、设E 为n R 中的有界集，则*m E <+∞。

（√ ） 13、设E 为n R 中的无界集，则*m E =+∞。

（× ） 14、E 是可测集⇔c E 是可测集。

（√ ）15、设{n S }是可测集列，则1n n S ∞=，1n n S ∞=都是可测集。

（√ ）16、零测集、区间、开集、闭集和Borel 集都是可测集。

（√ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。

（√ ） 18、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的并集。

（√ ） 19、若E =∅，则*0m E >。

（× ）20、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。

（× ） 21、若mE =+∞，则E 必为无界集。

（√ ）22、在n R 中必存在测度为零的无界集。

（√ ）23、若A ，B 都是可测集，A B ⊆且mA mB =，则()0m B A -=。

（× ） 24、∅和n R 都是可测集，且0m ∅=，n mR =+∞。

（√ ） 25、设12,E E 为可测集，则12()m E E -≥12mE mE -。

（× ）26、设12,E E 为可测集，且12E E ⊇，则12()m E E -=12mE mE -。

（× ）二、填空题1、若E 是可数集，则*m E = 0 ；E 为 可测 集；mE = 0 。

2、若12,,,n S S S 为可测集，则1n i i mS = 小于或等于 1ni i mS =∑；若12,,,nS S S 为两两不相交的可测集，则1ni i m S = 等于 1ni i mS =∑。

3、设12,E E 为可测集，则122()m E E mE -+ 大于或等于 1mE ；若还有2mE <+∞，则12()m E E - 大于或等于 12mE mE -。

4、设12,E E 为可测集，且12E E ⊇，2mE <+∞，则12()m E E - 等于12mE mE -。

5、设0x 为E 的内点，则*m E 大于 0。

6、设P 为康托三分集，则P 为 可测 集，且mP = 0 。

7、m ∅= 0 ，n mR = +∞ 。

8、叙述可测集与G δ型集的关系 可测集必可表示成一个G δ型集与零测集的差集 。

9、叙述可测集与F σ型集的关系 可测集必可表示成一个F σ型集与零测集的并集 。

第四章 复习题一、判断题1、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，如果对任意实数a ，都有[()]E x f x a >为可测集，则()f x 为E 上的可测函数。

（√ ）2、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，如果对某个实数a ，有[()]E x f x a >不是可测集，则()f x 不是E 上的可测函数。

（√ ）3、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a ， [()]E x f x a ≥为可测集。

（× ）4、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a =为可测集。

（× ）5、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a ， [()]E x f x a ≤为可测集。

（√ ）6、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对任意实数a 和b （a b <）， [()]E x a f x b ≤<为可测集。

（× ）7、设E 是零测集，()f x 是E 上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数。

（√ ）8、若可测集E 上的可测函数列{()n f x }在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x ，则{()n f x }在E 上“基本上”一致收敛于()f x 。

（× ） 9、设()f x 为可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则()f x 在E 上“基本上”连续。

（√ ）10、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x ⇒（x E ∈），则{()n f x }的任何子列都在E 上几乎处处收敛于可测函数()f x 。

（× ） 11、设E 为可测集，若E 上的可测函数列()()n f x f x →..a e 于E ，则()()n f x f x ⇒（x E ∈）。

（×）二、填空题 1、[]E f a > 等于11[]n E f a n∞-≥+，[]E f a ≥ 等于11[]n E f a n∞->-。

2、[]E a f b << 包含于[]E f a >，[]E a f b << 包含于[]E f b <；[]E a f b << 等于[][]E f a E f b ><，[]E a f b << 等于[][]E f a E f b >-≥。

3、设1n n E E ∞==，则[]E f a < 等于 1[]n n E f a ∞=<。