常微分方程考试大纲

常微分方程考试大纲

Ⅰ. 课程性质

本课程是高等师范院校数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的一门重要的核心基础课，是进一步学习泛函分析、数学物理方程、微分几何的必要准备，本身在工程力学、流体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化工，生物、医学、经济、管理等领域有广泛的应用。通过本课程的学习，不仅为后续课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力。是数学系数学与应用数学、信息与计算科学两个本科专业的必修课。

Ⅱ. 课程设置目的与要求

通过常微分方程的教学，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的了解，培养学生分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。

Ⅲ. 课程内容与考核目标

第一章 绪论

（一）学习目的和要求

通过本章的学习，掌握从实际问题建立常微分方程模型的基本过程和常用方法，理解初值条件的实际含义。掌握微分方程的基本概念，特别是解、通解、初值问题、特解等概念及其关系。理解一阶常微分方程的积分曲线与方向场之间的关系，并初步了解其中所包含的定性思想。

（二）课程主要内容

1．微分方程：某些物理过程的数学模型

2．基本概念

（1）常微分方程和偏微分方程。

（2）线性和非线性。

（3）解和隐式解。

（4）通解和特解。

（5）积分曲线和方向场。

（三）考核知识点

1．微分方程的数学模型。

2．微分方程的基本概念。

（四）考核要求

1．微分方程：某些物理过程的数学模型

（1）理解：微分方程的数学模型。

2．基本概念

（1）理解：微分方程的基本概念。

第二章 一阶微分方程的初等解法

（一）学习目的和要求

通过本章的学习，掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法。理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程。掌握四类典型的一阶隐方程的解法。

（二）课程主要内容

1．变量分离方程与变量变换

（1）变量分离方程。

（2）可化为变量分离方程的类型、应用举例。

2．线性方程与常数变易法

3．恰当方程与积分因子法

4．一阶隐方程与参数表示

（三）考核知识点

1．变量分离方程与可化为变量分离方程的解法。

2．线性方程的常数变易法。

3．恰当方程与积分因子法。

4．一阶隐方程的参数方法。

（四）考核要求

1．变量分离方程与变量变换

（1）熟练掌握：变量分离方程与变量变换。

2．线性方程与常数变易法

（1）熟练掌握：线性方程与常数变易法。

3．恰当方程与积分因子法

（1）掌握：恰当方程与积分因子法。

4．一阶隐方程的参数方法

（1）掌握：一阶隐方程的参数方法。

第三章 一阶微分方程的解的存在定理

（一）学习目的和要求

通过本章学习，掌握一阶常微分方程初值问题的解的存在唯一性定理和证明方法。理解常微分方程初值问题的解的延拓和解对初值以及参数的连续依赖性和可微性定理。了解一阶常微分方程奇解的概念和求奇解的方法。

（二）课程主要内容

1．解的存在唯一性定理与逐步逼近法

（1）存在唯一性定理。

（2）近似计算与误差估计。

2．解的延拓

3．解对初值的连续性和可微性定理

4．奇解

（1）包络和奇解。

（2）克莱罗（Clairaut）方程。

（三）考核知识点

1．解的存在唯一性定理与逐步逼近法

2．奇解

（四）考核要求

1．解的存在唯一性定理与逐步逼近法

（1）掌握：解的存在唯一性定理与逐步逼近法。

2．奇解

（1）理解：求奇解。

第四章 高阶微分方程

（一）学习目的和要求

通过本章学习，掌握线性微分方程的解的性质和通解结构。掌握常系数齐次线性微分方程的解法和欧拉方程的解法。掌握常数变易法、比较系数法求特解。理解高阶常微分方程的降阶解法的思想，掌握二阶常微分方程的降阶解法。了解二阶齐线性微分方程的幂级数解法的思想。

（二）课程主要内容

1．线性微分方程的一般理论

（1）齐线性方程的解的性质与结构。

（2）非齐线性方程与常数变易法。

2．常系数线性方程的解法

3．高阶方程的降阶和幂级数解法

（三）考核知识点

1．线性微分方程的一般理论

2．常系数线性方程的解法

3．高阶方程的降阶和幂级数解法

（四）考核要求

1．线性微分方程的一般理论

（1）掌握：齐线性方程的解的性质与结构。

（2）掌握：非齐线性方程与常数变易法。

2．常系数线性方程的解法

（1）熟练掌握：常系数线性方程的解法。

3．高阶方程的降阶和幂级数解法

（1）理解：高阶方程的降阶法。

（2）理解：高阶方程的幂级数解法。

第五章 线性微分方程组

（一）学习目的和要求

通过本章学习，掌握线性微分方程组的向量、矩阵表示法，以及与高阶线性常微分方程的关系。理解一阶n维向量常微分方程初值问题的解的存在唯一性定理和证明方法。掌握线