2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二下学期期末数学试题(解析版)
合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】
x y 0 解：由 x ， y 满足不等式 2x y 10 0 作出可行域如图，
x y 5 0
令 z 2x y ，
目标函y
0 5
，解得
A
5 2
,
5 2
时
z
得最小值，
∴ ＜ ， ＜ ， ＞ ， ＜ ， 可得 是最小角， 是最大角，
故选：C． 【点睛】 本题考查线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、填空题
6
2020 高二数学阶段检测
11．
4 9
1
2
________； lg 5
则数量积 a a 2e1 2e2 =（ ）
A．定值－1
B．定值 1
C．最大值 1，最小值－1
D．最大值 0，最小值－1
【答案】A
【解析】由题意可设 e1 (1,0),e2 (0,1) ，a (x, y) ，再表示向量的模长与数量 积， 【详解】
由题意设 e1 (1,0),e2 (0,1) ，则向量 a xe1 ye2 (x, y) ，且 a e1 e2 1， 所以 a e1 e2 (x 1, y 1) ， 所以 (x 1)2 ( y 1)2 1 ，
故答案为：(1). 3 2
【点睛】
(2). －3
本题考查分数指数幂与对数的运算规则，是基础题。
12．双曲线 x2 y2 1 的离心率 ________；焦点到渐近线的距离 ________. 3
【答案】 2 3 1 3
【解析】由双曲线 x2 y2 1 得 a 3, b 1，再求出 c ，根据公式进行计算 3
就可得出题目所求。
【详解】
由双曲线 x2 y2 1 得， a 3, b 1， 3
c 3 1 2 ， 一个焦点坐标为 (2, 0) ，
离心率 c 2 2 3 ， a33
又其中一条渐近线方程为： y 1 x ，即 x 3y 0 ， 3
焦点到渐近线的距离 2 1 1 3
故答案为：(1). 2 3 3
cos
6
cos
sin
6
)
3 cos
，
3 sin cos 3cos, 3 sin 2 cos tan 2 3
3
又 sin2 cos2 1,sin2 4 , 7
cos 2 1 2sin2 1 2 4 1 77
故答案为：(1). 2 3 3
【点睛】
(2). 1 ， 7
14．若
2 sin
6
3 cos
，则
tan
________；
cos
2
________.
【答案】 2 3 3
1， 7
【解析】用两角和的正弦公式将
2
sin
6
3 cos
展开，即可求出
tan
，
再结合同角三角函数的基本关系及倍角公式，可求出 cos 2 。
【详解】
2 sin
6
3 cos ， 2（sin
A．
B．
C． 是最小角， 是最大角
D．只能确定 ，
【答案】C
5
2020 高二数学阶段检测
【解析】过 P 作 PO⊥平面 ABC，垂足为 O ，过 O 作 OD⊥AB，交 AB 于 D，过 O 作 OE⊥BC，交 BC 于 E，过 O 作 OF⊥AC，交 AC 于 F，推导出 OA＜OB＜OC，AB ＝BC＝AC，OD＜OF＜OE，且 OE＜OB，OF＜OA，由此得到结论． 【详解】 解：如图，过 P 作 PO⊥平面 ABC，垂足为 O ， 过 O 作 OD⊥AB，交 AB 于 D， 过 O 作 OE⊥BC，交 BC 于 E， 过 O 作 OF⊥AC，交 AC 于 F， 连结 OA，OB，OC，PD，PE，PF，
z
15 2
．
目标函数经过 B 点时取的最大值，
联立
x y 2x y
10
0
，解得
B(10,10)
，此时
z
取得最大值，
z
30
．
所以，z＝2x＋y
的取值范围是
15 2
,
30
．
故答案为：
15 2
,
30
【点睛】
8
2020 高二数学阶段检测
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
极大值和极小值．
【详解】
解：由已知得
f '(x) x2 x 1 2x 1 ex x2 x 2 ex (x 2) (x 1)ex ，
的图形向左平移
个单位后得到的图像关于
y
轴
对称，则正数 的最小正值是（）
A．
3
【答案】D
B．
12
C． 5
6
D． 5 12
【解析】由题意利用函数 y Asin(x ) 的图象变换规律，三角函数的图象
的对称性，得出结论．
【详解】
解：将函数
y
sin
2x
2 3
的图形向左平移
个单位后，
可得函数
y
sin
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【详解】
解：设 x 是实数，若“| x 1| 2 ”则： 2 x 1 2 ， 即： 3 x 2 1，不能推出“| x 2 | 1” 若：“| x 2 | 1”则： 1 x 2 1，即： 0 x 1 2 ，能推出“| x 1| 2 ” 由充要条件的定义可知： x 是实数，则“| x 1| 2 ”是“| x 2 | 1”的必要
10．已知三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是等边三角形，点 P 在平面 ABC 上的
射影在 ABC 内（不包括边界）， PA PB PC .记 PA ， PB 与底面所成角为
， ；二面角 P BC A， P AC B 的平面角为 ， ，则 ， ， ，
之间的大小关系等确定的是（）
【点睛】
(2). 1
本题考查双曲线的相关性质的计算，是基础题。
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2020 高二数学阶段检测
x y 0 13．若 x ， y 满足不等式 2x y 10 0 ，则 2x y 的取值范围是________.
x y 5 0
【答案】
15 2
,
30
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结
【详解】
解： i2 1，
2i 2i(1 i) 2 2i 1 i ， 1 i (1 i)(1 i) 2
故选：A．
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．椭圆
的焦点坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据
求 的值.
n k 1时，左边最后一项为1 2 3 .. (k 1) (k 1)(k 2) ， 2
∴从 n k 到 n k 1，等式左边需要添加的项为一项为 (k 1)(k 2) 2
故选：D．
【点睛】
本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
7．将函数
y
sin
2x
2 3
lg2 2 5log5 2 ________.
【答案】 3 －3 2
【解析】利用分数指数幂与对数的运算规则进行计算即可。
【详解】
4
1 2
9
9 3， 42
lg 5 lg2 2 5log5 2 lg 5 lg 2 2 lg 5 lg 2 2 lg(5 2) 2 1 2 3
2x
2
2 3
的图象，
再根据得到的图象关于 y 轴对称，可得 2 2 k , k Z ，即
3
2
k ， 2 12
3
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令 k 1，可得正数 的最小值是 5 ，
12 故选：D． 【点睛】 本题主要考查函数 y Asin(x ) 的图象变换规律，三角函数的图象的对称 性，属于基础题． 8．某几何体的三视图如图所示，当 a b 4 时，这个几何体的体积为（）
A． k(k 1) 2
B． k(k 1) 1 2
C．
k(k 1) 2
1
(k
1)(k 2
2)
【答案】D
D． (k 1)(k 2) 2
【解析】写出 n k 时，左边最后一项， n k 1时，左边最后一项，由此即 可得到结论
【详解】
解：∵ n k 时，左边最后一项为1 2 3 k k(k 1) ， 2
又 a 2e1 2e2 (x 2, y 2) ， 所以数量积
a a 2e1 2e2 x(x 2) y( y 2) (x 1)2 ( y 1)2 2 1 2 1 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用
坐标运算会更加方便。
不充分条件；
故选：B．
【点睛】
本题考查了充分条件和必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．
6．用数学归纳法证明：
“1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n) n(n 1)(n 2) ”，由 n k 到 6
2
2020 高二数学阶段检测
n k 1时，等式左边需要添加的项是（）
2 所以 a b 4， 当且仅当 a b 2 时等号成立，此时 x 3, y 3 ，
2020年浙江省绍兴市数学高二下期末调研试题含解析
2020年浙江省绍兴市数学高二(下)期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若对于实数x ，y 有，则的最大值是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是（ ） A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ={1，取出白球；0，取出红球}D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X3．已知函数()()f x x R ∈满足()()=f x f a x -，若函数25yx ax =--与()y f x =的图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，且12mi i x m ==∑，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．命题P ：“关于x 的方程220x ax ++=的一个根大于1，另一个根小于1”；命题q ：“函数1()1xx h x e +=-的定义域内为减函数”.若p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3-+∞， B ．()3-∞-， C ．(]3-∞，D ．R5．如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )A ．B ．C ．D ．6．已知等差数列{}n a 的等差0d ≠，且 1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则 2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．232D ．927．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A ．1B ．2C ．3D ．48．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式系数之和为（ ）．A ．81B ．16C ．27D ．329．已知i 为虚数单位，则复数1z ii=+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立('()f x 是函数()f x 的导函数), 若11(sin )(sin )22a f =，(2)(2)b ln f ln =，1212()4c f log =, 则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>12．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X 服从正态分布2(4,)N σ，且(26)0.98P X <≤=,则(2)P X <=_______． 14．若幂函数()m f x x =的图像过点(2,2，则(4)f 的值为__________.15．已知双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则该双曲线的方程为__________．16．设函数222()()x xx a e e f x x a-++-=+，已知()26f =，则()2f -=_________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线60x y --=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 是轨迹C 上位于第一象限且在直线1x =右侧的动点，若以M 为圆心，线段2MF 为半径的圆M 与y 有两个公共点．试求圆M 在右焦点2F 处的切线l 与y 轴交点纵坐标的取值范围． 18．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道甲组题和3道乙组题）不放回地依次任取3道作答. （1）求该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率； （2）规定理科考生需作答2道甲组题和1道乙组题，该考生答对甲组题的概率均为23，答对乙组题的概率均为14，若每题答对得10，否则得零分.现该生已抽到3道题（2道甲组题和1道乙组题），求其所得总分的分布列与数学期望.19．（6分）已知函数()2f x x a x =++-. （1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m n A ∈，时，求证：|4|2||mn m n ++…. 20．（6分）已知z C ∈，且满足()252z z z i i ++=+. （1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求w 的取值范围.21．（6分）假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.（1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.22．（8分）设函数3()44f x ax x =-+过点(3,1)P ．（Ⅰ）求函数的极大值和极小值．（Ⅱ）求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】【分析】将表示成，利用绝对值三角不等式得到答案.【详解】当或是等号成立.故答案选C【点睛】本题考查了绝对值三角不等式，将表示成是解题的关键.2．A【解析】【分析】-分布，所有的实验结果有两个，B，C，D满足定义，A不满足.两点分布又叫01【详解】-分布，所有的实验结果有两个，B，C，D满足定义，两点分布又叫01而A，抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X，则X的所有可能的结果有6种，不是两点分布．故选：A．【点睛】本题考查了两点分布的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．3．D【解析】【分析】求出f（x）的对称轴，y=|x2-ax-5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解方程可得所求值．【详解】∵f（x）=f（a-x），∴f （x ）的图象关于直线x=2a对称， 又y=|x 2-ax-5|的图象关于直线x=2a对称，当m 为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=2a对称， ∴x 1+x 2+x 3+…+x m =2m•a=2m ，解得a=1． 当m 奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=2a 对称，另一个交点在对称轴x=2a上， ∴x 1+x 2+x 3+…+x m =a•-12m +2a=2m ． 解得a=1． 故选D ． 【点睛】本题考查了二次型函数图象的对称性的应用，考查转化思想以及计算能力． 4．B 【解析】 【分析】通过分析命题q 为假命题只能P 真，于是可得到答案. 【详解】命题P 真等价于(1)120f a =++<即3a <-；由于()h x 的定义域为{}|0x x ≠，故命题q 为假命题，而p q ∨为真命题，说明P 真，故选B.【点睛】本题主要考查命题真假判断，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力，难度中等. 5．A 【解析】 【分析】观察已知中的三个图形，得到每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，由此即可得到答案． 【详解】由题意，观察已知的三个图象，每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角， 根据此规律观察四个答案，即可得到A 项符合要求，故选A ． 【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中熟记归纳的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某项相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），合理使用归纳推理是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．B【解析】 【分析】由题意得（1+2d ）2＝1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得2163n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13 成等比数列， ∴（1+2d ）2＝1+12d ． 得d ＝2或d ＝0（舍去）， ∴a n ＝2n ﹣1， ∴S n ()1212n n +-==n 2，∴2216216322n n S n a n ++=++．令t ＝n+1，则2163n n S a +=+t 9t+-2≥6﹣2＝1当且仅当t ＝3，即n ＝2时，∴2163n n S a ++的最小值为1．故选：B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题． 7．B 【解析】∵a 1＋a 5＝10，a 4＝7，∴⇒d ＝28．B 【解析】由题意得二项式系数和为01234444444C C C C C 216++++==．选B ．9．A 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得结果.详解：：由于复数，1iz i =+()()()i 1i 1+i 11i 1i 1i 222-===++-， 在复平面的对应点坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭， ∴在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．A 【解析】 【分析】 【详解】 由2017i 1iz=-，得()()()50420174i 1i i i 1i 1z i =-=-=+，则1i z =-，故选A. 11．A 【解析】 【分析】由导数性质推导出当x ∈（﹣∞，0）或x ∈（0，+∞）时，函数y=xf （x ）单调递减．由此能求出结果． 【详解】∵ 函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，∴()y f x =关于y 轴对称， ∴函数()y xf x =为奇函数.因为()()()''xf x f x xf x ⎡⎤=+⎣⎦，∴当(),0x ∈-∞时，()()()''0xf x f x xf x ⎡⎤=+<⎣⎦，函数()y xf x =单调递减， 当()0,x ∈+∞时，函数()y xf x =单调递减.Q 110sin 22<<，11ln22>>=，121log 24= 12110sin ln2log 24<<<，∴ a b c >>，故选A 【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=， ()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 12．A 【解析】【分析】 【详解】根据附表可得2107.879K =>,所以有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．0.01 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，求得(2)P X <的值. 【详解】根据正态分布的对称性有1(26)10.98(2)0.0122P X P X -<≤-<===.【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，属于基础题. 14．12【解析】 【分析】将点代入解析式，求出a ，再求f （4）即可． 【详解】由题意f （2）=12222a -==，所以a=﹣12，所以f （x ）=12x -，所以f （4）=12142-=故答案为12【点睛】本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．15．2217x y -=【解析】分析：根据题意，求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得若双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则有18m +=，解得m 的值，将m 的值代入双曲线的方程，即可得答案.详解：根据题意，椭圆221124x y +=的焦点在x 轴上，且焦点坐标为()±，若双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则有18m +=，解得7m =，则双曲线的方程为2217x y -=.故答案为2217x y -=.点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的标准方程的形式. 16．4- 【解析】 【分析】对()f x 分离常数后，通过对比()2f 和()2f -的表达式，求得()2f -的值.【详解】依题意()2221x x ax e e f x x a -+-=++，()222222222222216,522a e e a e e f a a --⋅+-⋅+-=+==++，()222222211542a e e f a-⋅+--=-=-=-+. 【点睛】本小题主要考查函数求值，考查运算求解能力，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）22143x y +=；（2）(0,15．【解析】分析：（1）由题知，原点到直线20x y --=的距离，求得b =12e =，求得2a = ，即可得到椭圆的标准方程；（2）设00(,)M x y ，由圆的方程和性质22200(1)x x y <-+，又由椭圆的方程得22003(1)4x y =-，代入可得222000(1)3(1)4x x x <-+-，求得0413x <<，又由切线l 方程为001(1)x y x y -=--，令0x =得001x y y -==，令01t x =-，利用二次函数的性质，即可求解得y 的范围，即可得到结论． 详解：（1）由题知，原点到直线20x y --=的距离226311d ==+3b ∴=又12e =22112b a -= 2a ∴= ∴椭圆C 方程为22143x y +=………………4分 （2）设()00,M x y ，点M 到y 轴的距离为0d x =，()22001r x y =-+ ∵圆M 与y 轴有两个交点，∴d r <， 即()220001x x y <-+，∴()2220001x x y <-+，又2200143x y +=，即2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()2220001314x x x ⎛⎫<-+- ⎪⎝⎭，∴20038160x x +-<，∴0443x -<<， ……………………7分 又012x <≤，∴0413x << ……………………8分切线l 方程为()0011x y x y -=--，令0x =得001x y y -== 令0041,1,3t x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭y ∴===……………10分 10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，则()13,t ∈+∞，2321y x x =--在()3,+∞上为增函数∴()232120,t t--∈+∞ 0,15y ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭∴切线l与y 轴交点纵坐标的取值范围为⎛ ⎝⎭……………………12分 (转化为求2MF 的斜率范围得到更为简便) 解法2：上面步骤相同 又012x <≤，∴0413x << ……………………8分 切线l 方程为()211MF y x k =--，令0x =得21MF yk =又23,413MF k ⎛⎫ ⎪ ⎪∈+∞ ⎪-⎪⎝⎭即)AM k ∈+∞21MF y k ⎛∴=∈ ⎝⎭∴切线l 与y 轴交点纵坐标的取值范围为⎛ ⎝⎭……………………12分 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．18．（1）()()1|()5P AB P B A P A ==；（2）见解析. 【解析】分析：（1）利用条件概率公式，即可求得该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）先明确X 的可能取值，求出相应的概率值，得到X 的分布列，进而得到数学期望 详解：（1）记“该考生在第一次抽到甲组题”为事件A ，“该考生第二次和第三次均抽到乙组题”为事件B ，则所以该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率为()()()1|5P AB P B A P A ==（2）X 的可能取值为：0,10,20,30，则()()21211312131113010334123343436P X P X C ⎛⎫==⨯⨯===⨯⨯⨯+⨯=⎪⎝⎭， ()2112223121420343349P X C C ⎛⎫==⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()11341301123699P X ==---=， X ∴的分布列为X 0102030P112133649 19的数学期望为点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得. 19．（1）1或5-；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）利用绝对值不等式得到|2|3a +=，计算得到答案.（2）去绝对值符号，解不等式()4f x ≤得到集合[]2,2A =-，利用平方作减法判断大小得证. 【详解】（1）因为()|||2||()(2)||2|f x x a x x a x a =++-+--=+…（当且仅当()(2)0x a x +-„时取“=”）. 所以|2|3a +=，解得1a =或5-.（2）当2a =时，2,2()224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-<⎨⎪⎩„….当2x <-时，由()4f x ≤，得24x -≤，解得2x ≥-，又2x <-，所以不等式无实数解； 当22x -≤<时，()4f x ≤恒成立，所以22x -≤<；当2x ≥时，由()4f x ≤，得24x ≤，解得2x ≤，又2x ≥，所以2x =； 所以()4f x ≤的解集为[]2,2A =-.()()222222(4)4()81642mn m n m n mn m n mn +-+=++-++22221644m n m n =+--()()22224164m n m n =-+- ()()2244m n =-- .因为[],2,2m n ∈-，所以224040m n --，≤≤，所以22(4)4()0mn m n +-+…， 即22(4)4()mn m n ++…，所以|4|2||mn m n ++…. 【点睛】本题考查了绝对值不等式，绝对值不等式的证明，讨论范围去绝对值符号是解题的关键. 20．（1）12z i =±；（2）1w ≥. 【解析】 【分析】 【详解】分析：（1）利用复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义即可解出； （2）利用复数模的计算公式即可证明．详解：（1）设z a bi a b R =+∈（，），则222()2z a b z z i ai =++，＝， 由()252zz zi i ++=+得22252,a b ai i ++=+ 利用复数相等的定义可得22522a b a ⎧+⎨⎩＝＝，解得1 2a b ⎧⎨⎩＝＝或1 2a b ⎧⎨-⎩＝＝．12z i ∴=+ 或12z i =- ． （2）当12z i =+时，2(12)2(2)11w zi m i i m i m m +++-++-+≥＝＝＝＝， 当12z i =-时，|()2(12)2|211w zi m i i m i m m +-+++++≥＝＝＝＝，综上可得：1w ≥.点睛：熟练掌握复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义是解题的关键． 21．（1）；（1）见解析.【解析】 【分析】（1）设A i （i=1，1，3）表示第i 次投篮命中，表示第i 次投篮不中，设投篮连续命中1次为事件A ，则连续命中1次的概率：P （A ）=P （+），由此能求出结果．（1）命中的次数X 可取0，1，1，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望． 【详解】 （1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中1次为事件，则=．（1）命中的次数可取0，1，1，3；，，,,0 1 1 3所以答：的数学期望为1． 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．22． (Ⅰ) ()f x 的极大值283,极小值43- (Ⅱ) ()()423min f x f ==- ()()2313max f x f =-= 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题意求得13a =，根据导函数的符号判断出函数()f x 的单调性，结合单调性可得函数的极值情况．（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的结论可知，函数()f x 在区间[)1,2-上单调递减，在区间[]2,3上单调递增，故()()2min f x f =，再根据()1f -和()3f 的大小求出()max f x 即可．试题解析：（Ⅰ）∵点()3,1P 在函数()f x 的图象上， ∴ ()3271242781f a a =-+=-=，解得 13a =， ∴ ()31443f x x x =-+，∴ ()()()2422f x x x x =-=+-'，当2x <-或2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当22x -<<时，()0f x <，()f x 单调递减．∴ 当x 2=-时，()f x 有极大值，且极大值为()()128288433f -=⨯-++=， 当x 2=时，()f x 有极小值，且极小值为()14288433f =⨯-+=-．（Ⅱ）由（I ）可得：函数()f x 在区间[)1,2-上单调递减，在区间[]2,3上单调递增．∴()min f x ()423f ==-， 又()12314433f -=-++=，()391241f =-+=，∴ ()max f x ()2313f =-=．。
浙江省绍兴市诸暨中学 2019-2020学年高二数学文下学期期末试卷含解析
浙江省绍兴市诸暨中学 2019-2020学年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数（）A．在区间内均有零点 B．在区间内均无零点C．在区间内有零点，在区间（1，e）内无零点D．在区间内无零点，在区间（1，e）内有零点参考答案：D略2. 已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n 达到最大值的n是( )A．21 B．20 C．19 D．18参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴S n=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，S n达到最大值400．故选：B．【点评】求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．3. 设、是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则参考答案：B4. 在等比{a n}数列中，a2a6=16，a4+a8=8，则=（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．﹣1或3参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知结合等比数列的性质求得a4、a8的值，进一步求出q2=1，再由等比数列的通项公式求得a10，a20，则答案可求．【解答】解：在等比{a n}数列中，由a2a6=16，a4+a8=8，得，解得，∴等比数列的公比满足q2=1．则，，∴．故选：A．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．5. 下面的程序运行后第3个输出的数是（）A．2 B．C．1 D．参考答案：A第一次：，第二次：，故选A6. 设函数f（x）在R上存在导数，，有，在(0, +∞)上，，若，则实数m的取值范围为（）A．[2,+∞) B．[3,∞) C．[－3，3] D．(－∞,－2]∪[2,+∞)参考答案：B7. 在等比数列中,则( )A B CD参考答案：A8. 已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（）A．公差； B．在所有中，最大；C．满足的的个数有11个； D．；参考答案：C略9. 函数的递增区间为（）A. (0,1)，(3,+∞)B. (1,3)C. (－∞,1)，(3,+∞)D. (3,+∞)参考答案：A分析：直接对函数求导，令导函数大于0，即可求得增区间.详解：，，增区间.故答案为：A.点睛：本题考查了导数在研究函数的单调性中的应用，需要注意的是函数的单调区间一定是函数的定义域的子集，因此求函数的单调区间一般下，先求定义域；或者直接求导，在定义域内求单调区间.10. 有10件产品，其中2件次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．参考答案：【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【分析】先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a=2，即可求双曲线的方程．【解答】解：由题得，双曲线的焦点坐标为（，0），（﹣，0），c=：且双曲线的离心率为2×==?a=2．?b2=c2﹣a2=3，双曲线的方程为=1．故答案为： =1．12. 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线．参考答案：①③⑤考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：①举一例子即可说明本命题是真命题；②举一反例即可说明本命题是假命题；③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；④根据③为真命题，把直线l的解析式y=kx上下平移即不能得到y=kx+b，所以本命题为假命题；⑤举一例子即可得到本命题为真命题．解答：解：①令y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；②若k=，b=，则直线y=x+经过（﹣1，0），所以本命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1﹣y2=k（x1﹣x2），则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立．则③正确，④不正确；⑤令直线y=x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．综上，命题正确的序号有：①③⑤．故答案为：①③⑤点评：此题考查学生会利用举反例的方法说明一个命题为假命题，要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，以及考查学生对题中新定义的理解能力，是一道中档题．13. 数列是等差数列，若构成公比为的等比数列，则参考答案：114. 在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点在第______象限．参考答案：二【分析】求解出复数，写出对应点的坐标，根据坐标得出象限.【详解】解：，故复数对应点的坐标为，故复数对应点在第二象限.【点睛】本题考查了复数的运算，复数的几何意义，运算正确与否是解题正确与否的关键，属于基础题.15. 函数的图象在处的切线方程为，则．参考答案：－316. 数列前n项的和为（）A．B．C． D．参考答案：B17. 设数列{a n}是公差d＜0的等差数列，S n为其前n项和，若S6=5a1+10d，则S n取最大值时，n= ．参考答案：5或6【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由S6=5a1+10d，可得6a1+=5a1+10d，化为a6=0．又公差d＜0，即可得出．【解答】解：由S6=5a1+10d，可得6a1+=5a1+10d，化为a1+5d=0，∴a6=0．又公差d＜0，因此S n取最大值时，n=5或6．故答案为：5或6．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年绍兴市数学高二下期末质量检测试题含解析
2020年绍兴市数学高二下期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm 的金属球，将它浸没底面半径为2cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（） A ．43cm B ．316cm C ．34cm D ．13cm【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积法求水面下降高度。
【详解】球的体积等于水下降的体积即43π3212h π⋅=⋅⋅，13h =．答案：D ．【点睛】利用等体积法求水面下降高度。
2．已知x ，y 为正实数，则（ ） A ．2lgx+lgy =2lgx +2lgy B ．2lg （x+y ）=2lgx •2lgy C ．2lgx•lgy =2lgx +2lgy D ．2lg （xy ）=2lgx •2lgy【答案】D 【解析】因为a s+t =a s •a t ，lg （xy ）=lgx+lgy （x ，y 为正实数）， 所以2lg（xy ）=2lgx+lgy =2lgx •2lgy ，满足上述两个公式，故选D ．3．下面是关于复数1z i =+（i 为虚数单位）的四个命题：①z 对应的点在第一象限；②2z =；③2z 是纯虚数；④z z >．其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】求出z 的坐标判断①；求出z 判断②；求得2z 的值判断③；由两虚数不能进行大小比较判断④． 【详解】∵1z i =+，∴z 对应的点的坐标为（1，1），在第一象限，故①正确；z z ==()2212z i i =+=，为纯虚数，故③正确；∵两虚数不能进行大小比较，故④错误． ∴其中真命题的个数为2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题． 4．设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()UA B =（ ）A ．[1,2]-B ．(0,2)C ．[1,)-+∞D ．[1,1)-【答案】B 【解析】由题得={|1}A x x <-,22{|log 1log 2}{|02}B x x x x =<==<<, 所以{|1}U C A x x =≥-,()UA B ⋂={|02}x x <<,故选B.5．下列说法正确的是（ ）A ．命题“,0x x R e ∀∈>”的否定是“,0x x R e ∃∈>”B ．命题“已知,x y R ∈，若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题C ．命题“若1,a =-则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”2min min (2)()x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立【答案】B 【解析】 【分析】A ．注意修改量词并否定结论，由此判断真假；B ．写出逆否命题并判断真假，根据互为逆否命题同真假进行判断；C ．写出逆命题，并分析真假，由此进行判断；D ．根据对恒成立问题的理解，由此判断真假. 【详解】A ．“,0x x R e ∀∈>”的否定为“,0x x R e ∃∈≤”，故错误；B ．原命题的逆否命题为“若2x =且1y =，则3x y +=”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；C ．原命题的逆命题为“若函数2()21f x ax x =+-只有一个零点，则1a =-”， 因为0a =时，()21f x x =-，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“min2x a x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立”，故错误.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到函数零点、含一个量词的命题的真假判断、不等式恒成立问题的理解等内容，难度一般.注意互为逆否命题的两个命题真假性相同.6．复数2(1)1izi+=-的共轭复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】通过化简2(1)1izi+=-，于是可得共轭复数，判断在第几象限即得答案.【详解】根据题意得2(1)2111i iz ii i+===-+--，所以共轭复数为1i--，对应的点为()1,1--，故在第三象限，答案为C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度不大.7．已知函数，满足且，，则当时，有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】设，求出直线AB的方程，根据的开口方向可得到与直线AB的大小关系，从而得到答案.【详解】设，则直线AB的方程为，即A,B为直线与的图像的两个交点，由于图像开口向上，所以当时，，即，故选A.本题主要考查二次函数与一次函数的关系，求出AB 直线是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力及计算能力，难度中等.8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极大值，则函数()y xf x '=的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近()f x '>0，-2的右侧()f x '<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，()'0xf x >排除BC ，当x<-2且在-2的左侧附近时，()'0xf x <，排除AC ， 故选D9．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （ ） A ．22320x y x +++= B ．22320x y x +-+= C ．22320x y y +++= D ．22320x y y +-+=【答案】B 【解析】 【分析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可. 【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22(23)(2)1x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+= 故选：B 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.10．（2018年天津市河西区高三三模）已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b -=>>，的虚轴长为8，右顶点()0a ，到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．2212516x y -=D ．2211625x y -=【答案】A 【解析】分析：由虚轴长为8可得4b =，由A 到渐近线的距离为125可解得3a =，从而可得结果. 详解：由虚轴长为8可得4b =，右顶点(),0A a 到双曲线M 的一条渐近线0bx ay -=距离为125，125=，解得3a =， ∴则双曲线M 的方程为221916x y -=，故选A.点睛：用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程22221x y a b -=或22221y x a b -=；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 11．已知()(){|0},{|0},A fB f ααββ====若存在,A B αβ∈∈，使得1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“1度零点函数”，若()f x = 231,20231,01x x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪-+⎩与()2ln (0)g x x a x a =->互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()0,2eB ．[)2,e +∞ C ．92,ln3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．92,ln3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】通过题意先求出函数()f x 的零点，根据1αβ-<计算出函数()g x 的零点范围，继而求出实数a 的取值范围 【详解】令()0f x =，当3102x -+=时，12x =-或52x =- 20x -<≤，12x ∴=-当23101x x -+=-+时，解得11x =-，22x = 0x >，2x ∴=若存在2z 为 “1度零点函数”，不妨令()00g x = 由题意可得：0112x +<或21x -< 即03122x -<<或013x << ()20000g x x alnx =-= 200x a lnx ∴=设()2x xh x ln =，()220xlnx x h x lnx -=='当0x <<()0h x '<，()h x 是减函数当x >()0h x '>，()h x 是增函数2he =，当1x时，()h x +∞，由题意满足存在性∴实数a 的取值范围为[)2e +∞，故选B 【点睛】本题给出了新定义，按照新定义内容考查了函数零点问题，结合零点运用导数分离参量，求出函数的单调性，给出参量的取值范围，本题较为综合，需要转化思想和函数思想，有一定难度。
2020年浙江省绍兴市诸暨大唐镇中学高二数学理期末试卷含解析
2020年浙江省绍兴市诸暨大唐镇中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数满足约束条件，则目标函数的取值范围为（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、[3,5]参考答案：A2. 若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数在复平面内所对应的点位于( ).A. 第一象限.B. 第二象限.C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B【详解】因为A，B是锐角△ABC的两个内角，所以即>0,因此点位于第二象限，选B.3. 已知点A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a等于()A．2 B．C．1 D．参考答案：A4. 已知双曲线，两渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．或参考答案：A略5. 已知a=，b=log2，c=，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】判断a、b、c与1，0的大小，即可得到结果．【解答】解：a=∈（0，1），b=log2＜0，c=log＞1．∴c＞a＞b．故选：C．6. 已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是( )参考答案：D7. 执行如图１所示的程序框图，如果输入的N是4，那么输出的是（）A．6 B．10 C．24 D．120参考答案：C8. 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】先由题意根据独立事件的概率乘法公式求得两人都击不中的概率，再用1减去此概率，即为目标被击中的概率．【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，故目标被击中的概率为1﹣=，故选：D．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．9. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1的中点为M，CD的中点为N，则异面直线AM与D1N 所成角为 ( )A． 300 B． 450 C． 600 D．900参考答案：D10. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8参考答案：C【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，则甲恰好击中目标2次且乙至少击中目标2次的概率为.参考答案：12. 一束光线从点出发经轴反射到圆C ：上的最短路程是.参考答案：4 略13. 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________。
浙江省绍兴市2020年高二第二学期数学期末综合测试试题含解析
浙江省绍兴市2020年高二第二学期数学期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若x ，y 满足条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】A 【解析】作出约束条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩对应的平面区域（阴影部分），由z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，平移直线y=2x ﹣z ，由图象可知当直线y=2x ﹣z ， 经过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最大，此时z 最小． 由 220y x y =⎧⎨-+=⎩ 解得A （0，2）．此时z 的最大值为z=2×0﹣2=﹣2， 故选A ．点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．2．用反证法证明命题：“若,a b ∈R ，且220a b +=，则a ，b 全为0”时，要做的假设是（ ） A ．0a ≠且0b ≠ B ．a ，b 不全为0 C ．a ，b 中至少有一个为0 D ．a ，b 中只有一个为0【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项.【详解】根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a ，b 全为0的否定是a ，b 不全为0，故选B. 【点睛】本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题.3．在区间[1,2]-上随机取一个数k ，使直线(4)y k x =-与圆224x y +=相交的概率为（ ） A ．3 B ．3 C ．23D ．36【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线和圆相交时k 的取值范围，然后根据线型的几何概型概率公式求解即可． 【详解】由题意得，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，直线方程即为40kx y k --=，所以圆心到直线40kx y k --=的距离241k d k=+，又直线与圆224x y +=相交， 所以2421k d k=<+，解得3333k -<<． 所以在区间[]1,2-上随机取一个数k ，使直线()4y k x =-与圆224x y +=相交的概率为3323()2333333P --===． 故选C ． 【点睛】本题以直线和圆的位置关系为载体考查几何概型，解题的关键是由直线和圆相交求出参数的取值范围，然后根据公式求解，考查转化和计算能力，属于基础题． 4．函数，，且，，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数，根据函数的单调性得到在上恒成立，参数分离得到，计算的最小值得到答案.【详解】 不妨设，，可得：.令，则在单调递减，所以在上恒成立，，当时，，当时，，则，所以在单调递减，是，所以.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数是解题的关键.5．6(x x展开式中常数项为( )A ．160-B ．160C ．240-D ．240【答案】D 【解析】 【分析】 求出6(x x展开式的通项公式，然后进行化简，最后让x 的指数为零，最后求出常数项.【详解】 解:36622166(2)(2)r r r rrr rr TC xxC x---+=-=-，令4r =得展开式中常数项为446(2)240C -=，故选D.【点睛】本题考查了求二项式展开式中常数项问题，运用二项式展开式的通项公式是解题的关键.6．已知函数f(x)＝a x ，其中a>0，且a ≠1，如果以P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f(x 1)·f(x 2)等于( ) A ．1 B ．a C ．2 D ．a 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得120x x +=，再根据指数运算性质得解. 【详解】因为以P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，所以120x x +=. 因为f(x)＝a x ，所以f(x 1)·f(x 2)=121201x x x x a a a a +⋅===. 故答案为：A 【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质和指数运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平. 7．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x≠1”B ．“x＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y”的逆否命题为真命题D ．命题“∃x 0∈R 使得20010x x ++<”的否定是“∀x∈R，均有x 2＋x ＋1<0”【答案】C 【解析】命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x≠1”，A 不正确；由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或6，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，B 不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y”为真命题，其逆否命题为真命题，C 正确；命题“∃x 0∈R 使得20x ＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，D 不正确．综上可得只有C 正确．8．内接于半径为R 的半圆且周长最大的矩形的边长为（ ）．A ．2R 和32RB ．45R 和75RC ．5R 和165RD ．5和5【答案】D 【解析】 【分析】作出图像,设矩形ABCD ,圆心为O ,AOB θ∠=,再根据三角函数关系表达矩形的长宽,进而列出周长的表达式,根据三角函数的性质求解即可.如图所示：设矩形ABCD ,AOB θ∠=, 由题意可得矩形的长为2cos R θ,宽为sin R θ,故矩形的周长为()4cos 2sin 25sin R R θθθϕ+=+,其中,sin ,cos 55ϕϕ==. 故矩形的周长的最大值等于25,此时,()sin 1θϕ+=.即cos sin 155θθ+=,再由22sin cos 1θθ+=可得cos ,sin 55θθ==, 故矩形的长为452cos R R θ=,宽为5sin RR θ=, 故选：D . 【点睛】本题主要考查了根据角度表达几何中长度的关系再求最值的问题,需要根据题意设角度,结合三角函数与图形的关系求出边长,再利用三角函数的性质求解.属于中档题. 9．设M 为曲线上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为，则点M横坐标的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，倾斜角的范围可转化为斜率的范围，斜率就是导数值，由可得的不等式，解之可得． 【详解】 由题意，切线倾斜角的范围是，则切线的斜率的范围是，∴，解得．故选D ．本题考查导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是其图象在该点处的切线的斜率．解题时要注意直线倾斜角与直线斜率之间的关系，特别是正切函数的性质．10．甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜 3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为（ ） A ．281B ．427C ．827D ．1681【答案】B 【解析】若是3:2获胜，那么第五局甲胜，前四局2:2，所以概率为2224121423327P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 11．在平面四边形ABCD ，(1,3)AC =，(9,3)BD =-，则四边形ABCD 的面积为（ ）A B ．272C ．15D 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据0AC BD =得到AC BD ⊥，再求四边形ABCD 的面积即可. 【详解】因为1(9)330AC BD =⨯-+⨯=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 的面积111522S AC BD =⨯==. 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于简单题. 12．若()0'4f x =，则()()0002lim x x x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．2B ．4C ．18D ．8【答案】D 【解析】 【分析】通过导数的定义，即得答案.根据题意得，()()()()()000000022lim2lim 2'82x x f x f f x f f x x x xx x x ∆→∆→+∆-+∆-===∆∆，故答案为D.【点睛】本题主要考查导数的定义，难度不大. 二、填空题：本题共4小题13．函数()ln f x x x =-的极值点为x =__________． 【答案】1 【解析】 【分析】 求出导函数'()f x ，并求出导函数的零点，研究零点两侧'()f x 的符号，由此可得．【详解】11'()1x f x x x-=-=，由'()0f x =得1x =， 函数定义域是0x >，当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >．∴1x =是函数的极小值点． 故答案为1． 【点睛】本题考查函数的极值，一般我们可先'()f x ，然后求出'()f x 的零点，再研究零点两侧'()f x 的正负，从而可确定是极大值点还是极小值点．14．已知函数()2242,0,0x x x x f x x e x ⎧-++≥=⎨-<⎩，若函数()()2g x f x a =+恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(]223,1e ⎧⎫--⋃⎨⎬⎩⎭【解析】分析：先根据导数研究2y ,0xx e x =-<图像，再根据()y f x =与y 2a =-图像交点情况确定实数a 的取值范围.详解：令2y ,0xx e x =-<，所以(2)0,02xy x x e x x =-+=<∴=-' 当2x <-时，240,[,0)y y e <-'∈；当20x -<<时，240,[,0)y y e>-'∈； 作()y f x =与y 2a =-图像，由图可得要使函数()()2g x f x a =+恰有两个不同的零点， 需224222263 1.a a a a e e-=-≤-<∴=--<≤-或或 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．15．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① (0)0f =；② 当R x ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12||||x x =时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：①11,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩；② 22()ln(1)f x x x =+； ③3()sin f x x x =；④24()x xf x e e x =--.则其中是“偏对称函数”的函数序号为 _______．【答案】①④. 【解析】分析：条件②等价于f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，条件③等价于f （x ）﹣f （﹣x ）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，依次判断各函数是否满足条件即可得出结论． 详解：由②可知当x ＞0时，f′（x ）＞0，当x ＜0时，f′（x ）＜0， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， f 2（x ）=ln 21x +﹣x ）21x x++f 2（x ）在R 上单调递减，不满足条件②，∴f 2（x ）不是“偏对称函数”； 又3f （2π）=3f （52π）=0，∴3f （x ）在（0，+∞）上不单调，故3f （x ）不满足条件②，∴3f （x ）不是“偏对称函数”； 又f 2（x ）=ln 21x +x ）21x x++，∴f 2（x ）在R 上单调递减，不满足条件②，∴f 2（x ）不是“偏对称函数”；由③可知当x 1＜0时，f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x ）﹣f （﹣x ）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，对于()1f x （x ），当x ＜0时，1f （x ）﹣1f （﹣x ）=﹣x ﹣e ﹣x +1，令h （x ）=﹣x ﹣e ﹣x +1，则h′（x ）=﹣1+e ﹣x ＞0，∴h （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，故h （x ）＜h （0）=0，满足条件③， 由基本初等函数的性质可知1f （x ）满足条件①，②， ∴1f （x ）为“偏对称函数”；对于f 4（x ），f 4′（x ）=2e 2x ﹣e x ﹣1=2（e x ﹣14）2﹣98， ∴当x ＜0时，0＜e x ＜1，∴f 4′（x ）＜2（1﹣14）2﹣98=0，当x ＞0时，e x ＞1，∴f 4′（x ）＞2（1﹣14）2﹣98=0，∴f 4（x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，满足条件②， 当x ＜0，令m （x ）=f 4（x ）﹣f 4（﹣x ）=e 2x ﹣e ﹣2x +e ﹣x ﹣e x ﹣2x ， 则m′（x ）=2e 2x +2e ﹣2x ﹣e ﹣x ﹣e x ﹣2=2（e 2x +e ﹣2x ）﹣（e ﹣x +e x ）﹣2，令e ﹣x +e x =t ，则t ≥2，于是m′（x ）=2t 2﹣t ﹣6=2（t ﹣14）2﹣498≥2（2﹣14）2﹣498=0， ∴m （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，∴m （x ）＜m （0）=0，故f 4（x ）满足条件③， 又f 4（0）=0，即f 4（x ）满足条件①， ∴f 4（x ）为“偏对称函数”． 故答案为：①④．点睛：本题以新定义“偏对称函数”为背景，考查了函数的单调性及恒成立问题的处理方法，属于中档题.16．8人排成前后两排，前排3人后排5人，甲、乙在后排，且不相邻的排法有几种______ 【答案】【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：，在除甲乙之外的6人中任选3人，与甲乙一起排在后排，满足甲乙不相邻，，将剩下的三人全排列，安排在前排，由分步计数原理计算可得答案。
2020年浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校高二数学理期末试卷含解析
2020年浙江省绍兴市诸暨中学暨阳分校高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=( )A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15参考答案：A【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解．【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3∴a1+a2+…+a10=5×3=15故选A．【点评】本题主要考查了数列求和．对于摇摆数列，常用的方法就是隔项取值，找出规律．2. 函数的最小正周期为A．B．C．D．参考答案：A略3. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．的分布列为因此E（X）==．故选B．【点评】正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．4. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为A．B．C．D．参考答案：A略5. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是（）A．B．1 C．2D．3参考答案：B6.参考答案：Ｃ7. 若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（）A．[0，5] B．[1，5] C．（1，5）D．[1，25]参考答案：B【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】根据两点间的距离公式，结合三角函数的恒等变换，求出||的取值范围．【解答】解：∵A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），∴=（3cosa﹣2cosb）2+（3sina﹣2sinb）2+（1﹣1）2=9+4﹣12（cosacosb+sinasinb）=13﹣12cos（a﹣b）；∵﹣1≤cos（a﹣b）≤1，∴1≤13﹣12cos（a﹣b）≤25，∴||的取值范围是[1，5]．故选：B．8. 若命题“”为假，且“”为假，则（）A c:\iknow\docshare\data\cur_work\全品或为假B c:\iknow\docshare\data\cur_work\全品假C c:\iknow\docshare\data\cur_work\全品真 D c:\iknow\docshare\data\cur_work\全品不能判断的真假参考答案：B9. 设函数则A．在区间内均有零点B．在区间内无零点,在区间内有零点C．在区间内均无零点D．在区间内有零点,在区间内无零点参考答案：B10. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…①②③按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ks5uA．B．C．D．参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.，则的最小值为______________.参考答案：6 略12. 设双曲线（,）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于_________.参考答案：略 13.= ．参考答案：2π【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的定义，找出根号函数f （x ）=的几何意义，计算即可．【解答】解：，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2π 故答案为：2π．14. 现有4个男生和3个女生作为7个不同学科的科代表人选，若要求体育科代表是男生且英语科代表是女生，则不同的安排方法的种数为 _________ （用数字作答）．参考答案：144015. 一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是 ．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，由P （B|A ）=能求出事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率．【解答】解：记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有P （B|A ）===．∴事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率是．故答案为：．16. 设m 为正整数，展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为b ，若，则m =______．参考答案：7 【分析】展开式中二项式系数的最大值，展开式中二项式系数的最大值，再根据且为正整数，解出的值．【详解】解：展开式中二项式系数的最大值为，展开式中二项式系数的最大值为，因所以即：解得：【点睛】本题考查了二项式定理及二项式系数最大值的问题，解题的关键是要能准确计算出二项式系数的最大值．17. 下列结论：①方程的解集为；②存在，使；③在平面直角坐标系中，两直线垂直的充要条件是它们的斜率之积为-1；④对于实数、，命题：是命题：或的充分不必要条件，其中真命题为．参考答案：④三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届浙江省绍兴市高二下期末考试数学试题及解析(加精)
绍兴高二第二学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，，则=A. B. C. D.【答案】C点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2. 已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的公比为A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，所以．由条件可知>0，故．故选D.3. 已知，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】，故选B.4. 已知，则的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．因为，所以，所以，故选A．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误5. 是恒成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A...【解析】设成立；反之，，故选A.6. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式的解集为R.可得：a2−3a−4<0,且△=b2−4ac<0，得：，解得：0<a<4，当a2−3a−4=0时，即a=−1或a=4，不等式为−1<0恒成立，此时解集为R.综上可得：实数a的取值范围为(0,4].本题选择D选项.7. 函数的图象大致是A. 1006B. 1007C. 1008D. 1009【答案】A8. 已知函数(、、均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0，f（0）=Asin=Asin＞0，又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asinx在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故选：B．9. 已知数列的前项和为，，当时，，则（）...A. 1006B. 1007C. 1008D. 1009【答案】D【解析】，故选D.10. 对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列” ．设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】由数列是“减差数列”，得，即，即，化简得，当时，若恒成立，则恒成立，又当时，的最大值为，则的取值范围是.故选C.点睛：紧扣“减差数列”定义，把问题转化为恒成立问题，变量分离转求最值即可，本题易错点是忽略了n的取值范围.二、填空题 (本大题共7小题，每小题3分，共21分)11. 已知，记：，试用列举法表示_____．【答案】{﹣1，0，1，3，4，5}【解析】{﹣1，0，1，3，4，5}.12. 若实数满足则的最小值为__________．【答案】-6【解析】在同一坐标系中，分别作出直线x+y−2=0，x=4，y=5，标出不等式组表示的平面区域，如图所示。
2020年绍兴市数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
2020年绍兴市数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知集合={22|}A x x x -≤，{|1B x x =＜－或3}x ＞，则A B =U （ ） A ．R B ．()4-∞，C ．()431⎡⎫∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭-，-，D ．()()13∞⋃+∞－，－， 【答案】C【解析】【分析】 首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.【详解】根据题意得，2|2|x x -≤等价于()222|2|,0x x x -≤≥，解得443x ≤≤， 于是()431A B ⎡⎫=∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭U -，-，，故答案为C. 【点睛】本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.2．某运动队有男运动员4名，女运动员3名，若选派2人外出参加比赛，且至少有1名女运动员入选，则不同的选法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．15种D ．21种【答案】C【解析】【分析】先求出所有的方法数，再求出没有女生入选的方法数，相减可得至少有1位女生入选的方法数.【详解】解：从3位女生，4位男生中选2人参加比赛，所有的方法有2721C =种， 其中没有女生入选的方法有246C =种， 故至少有1位女生入选的方法有21−6＝15种.故选：C .【点睛】本题主要考查排列组合的简单应用，属于中档题.3．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】【分析】根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果.【详解】（1）若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则（1）错误； （2）平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，（2）正确；（3）若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平面相交，（3）错误.本题正确选项：B【点睛】本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题.4．已知数列{}n a 为单调递增的等差数列，n S 为前n 项和，且满足11a =，1a 、3a 、9a 成等比数列，则10S =( )A ．55B ．65C ．70D ．75 【答案】A【解析】【分析】设公差为d ，0d >，()12239,1218a a d d a =+=+，解出公差，利用等差数列求和公式即可得解.【详解】由题：数列{}n a 为单调递增的等差数列，n S 为前n 项和，且满足11a =，1a 、3a 、9a 成等比数列，设公差为d ，0d >，()12239,1218a a d d a =+=+，解得1d =， 所以1010910552S ⨯=+=. 故选：A【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系求解公差，利用求和公式求前十项之和. 5．已知函数()2ln f x x ax =-，若()f x 恰有两个不同的零点，则a 的取值范围为（ ）A ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】 分析：求出函数的导数，通过导数判定函数的单调性，从而得到a 的取值范围详解：令()0f x =，20lnx ax -= 则2lnx a x =， 令()()20lnx g x x x =>，，()420x xlnx g x x '-==x =()g x 在(0单调增，在)+∞单调减 ()12max g x g e == a ∴的取值范围为102e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选B点睛：本题主要考查的是函数的零点问题，解决问题的关键是导数判断函数的单调性，然后通过数形结合的方法得到关于a 的范围6．倾斜角为α的直线l 经过抛物线C ：()220x py p =>的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A ，B 分别位于y 轴的左、右两侧），2BF AF=，则cos α的值是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3【答案】D【解析】【分析】设AF t =，则2BF t =，由抛物线的定义，得AC t =，2BD t =，进而可求BE 、AE ，最后由cos AE ABα=可求解.【详解】设AF t =，则2BF t =A 、B 两点到准线2p y =-的距离分别为AC 、BD ， 由抛物线的定义可知：AC AF t ==，2BD BF t ==过A 作AE BD ⊥，垂足为E.2BE BD DE BD AC t t t ∴=-=-=-= ()2222322AE AB BE t t t ∴=-=-= 2222cos cos 33AE t BAE AB t α=∠===. 故选：D【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了转化思想，属于中档题.7．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 【答案】C【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．8．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=aA ．100B ．99C ．98D ．97 【答案】C试题分析：由已知，1193627{,98a d a d +=+=所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C. 【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.9．已知 1.22a =，0.82b =，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为( )．A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a << 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解．【详解】显然 1.22a = 2>，0.82b =，12b <<，5log 41c =<，因此a 最大，c 最小，故选A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数性质的合理运用． 10．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3:5:7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n =（）．A ．70B ．90C ．40D ．60 【答案】B【解析】【分析】用18除以甲的频率，由此求得样本容量.【详解】 甲的频率为313575=++，故118905n =÷=，故选B. 【点睛】本小题主要考查分层抽样的知识，考查频率与样本容量的计算，属于基础题.11．如果点()sin 2,cos P θθ位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【分析】由二倍角的正弦公式以及已知条件得出cos θ和sin θ的符号，由此得出角θ所在的象限.【详解】由于点()sin 2,cos P θθ位于第三象限，则sin 22sin cos 0cos 0θθθθ=<⎧⎨<⎩，得cos 0sin 0θθ<⎧⎨>⎩， 因此，角θ为第二象限角，故选B.【点睛】本题考查角所在象限的判断，解题的关键要结合已知条件判断出角的三角函数值的符号，利用“一全二正弦，三切四余弦”的规律判断出角所在的象限，考查推理能力，属于中等题.12．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）A ．115B ．215C ．15D ．415【答案】B【解析】【分析】先求得二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.然后利用列举法求得在05:一共6个数字中任选两个，和为4的概率，由此得出正确选项.【详解】令1x =代入5(31)x -得5232=，即二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：01,02,03,04,05,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共15种，其中和为36324-=的有04,13共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为215，故选B. 【点睛】 本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查列举法求古典概型概率问题，属于基础题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()13,01(),03x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()27f f ⎡⎤--=⎣⎦______． 【答案】127. 【解析】【分析】由题设条件，先求出()273f -=-，()()273f f f ⎡⎤--=⎣⎦．【详解】由题()13,01,03x x x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，可得()()1327273,f -=-=- 则()()311273.327f f f ⎛⎫⎡⎤--=== ⎪⎣⎦⎝⎭ 即答案为127【点睛】本题考查分段函数的函数值求法，解题时要认真审题，仔细解答，是基础题．14．给出下列演绎推理：“自然数是整数， ，所以2是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写___________．【答案】2是自然数.【解析】分析：直接利用演绎推理的三段论写出小前提即可.详解：由演绎推理的三段论可知：“自然数是整数， 2是自然数，2∴是整数”，故答案为2是自然数.点睛：本题考查演绎推理的三段论的应用，考查对基本知识的掌握情况.15．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______．【答案】1【解析】【分析】 利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值.【详解】 由复数模的三角不等式可得()11111z i z i z i -+=--≤+-=+=因此，1z i -+的最大值是1+故答案为12+. 【点睛】 本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则总体方差的估计值是____________.【答案】2【解析】【分析】先求出样本平均数，由此能求出样本方差，由此能求出总体方差的估计值．【详解】解：从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，样本平均数为1(56789)75x =++++=， ∴样本方差为2222221[(57)(67)(77)(87)(97)]25S =-+-+-+-+-=，∴总体方差的估计值是1．故答案为：1．【点睛】本题考查总体方差的估计值的求法，考查平均数、总体方差等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知4a =v ，3b =v ，(23)(2)61a b a b -⋅+=v v v v .()1求a v 与b v 的夹角；()2若OA a =u u u v v ， OB b =u u u v v ， 12OC OA =u u u v u u u v ， 23OD OB =u u u v u u u v ，且AD 与BC 交于点P ，求||OP uuu v . 【答案】()123πθ=；()27OP =u u u v . 【解析】【分析】 ()1化简(23)(2)61a b a b -⋅+=r r r r 得到6a b ⋅=-r r ，再利用夹角公式得到答案.()22(1)(1)3x OP xOA x OD xa b -=+-=+u u u r u u u r u u u r r r ，根据向量关系化简得到1142OP a b =+u u u v v v ，再平方得到27||4OP =u u u r 得到答案. 【详解】()1Q (23)(2)61a b a b -⋅+=r r r r ，∴224||43||61a a b b -⋅-=v vv v .又||4a =r ，||3b =r ，∴6442761a b -⋅-=v v ，∴6a b ⋅=-r r. ∴61cos 432a b a b θ⋅-===-⨯v v v v . 又0θπ≤≤，∴23πθ=. ()2 2(1)(1)3x OP xOA x OD xa b -=+-=+u u u r u u u r u u u r r r 1(1)2y OP yOB y OC yb a -=+-=+u u u r u u u r u u u r r r ∴11,22y x y -==，∴12,(1)43x y x ==-， ∴1142OP a b =+u u u v v v ， ∴2221117||16444OP a a b b =+⋅+=u u u r r r r r ，∴2OP =u u u v . 【点睛】本题考查了向量的计算，将1142OP a b =+u u u v v v 表示出来是解题的关键，意在考查学生对于向量公式的灵活运用和计算能力.18．设函数()212f x x x =--+．（1）解不等式()0f x >；（2）若0x R ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1|33或x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭；（2）1522m -<<． 【解析】【分析】(1)把()f x 用分段函数来表示，令()0f x =，求得x 的值，可得不等式()0f x >的解集;(2)由(1)可得()f x 的最小值为12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据21422f m m ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，求得m 的范围． 【详解】 (1)函数()212f x x x =--+3,2131,2213,2x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=---≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 令()0f x =，求得13x =-，或3x =，故不等式()0f x >的解集为1{|3x x <-，或3}x >； (2)若存在0x R ∈，使得()2024f x m m +<，即()2042f x m m <-有解，由(1)可得()f x 的最小值为11531222f ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭， 故25422m m -<-， 解得1522m -<<． 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．19．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）．（1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边；（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起；（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻.【答案】（1）全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为4320种；（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起的方法总数为576种；（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻的方法总数为1440种；【解析】【分析】（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置。
绍兴市2020年高二(下)数学期末教学质量检测试题含解析
绍兴市2020年高二(下)数学期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．平面向量(1,2)a =r ，(4,2)b =r ，c ma b =+r r r （m R ∈），且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r 的夹角，则m =（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】()()4,22,422258c m m a c m m m =++⋅=+++=+r rv ,()()44222820b c m m m ⋅=+++=+v r,a b ===v vc r Q 与a r的夹角等于c r 与b r 的夹角 , c a c b c a c b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r r r,=,解得2m =, 故选D. 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.2．一个盒子里有7只好的晶体管、5只坏的晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回，在第一次取到好的条件下，第二次也取到好的概率（ ） A ．38B ．722C ．611D ．712【答案】C 【解析】 【分析】第一次取到好的条件下，第二次即：6只好的晶体管、5只坏的晶体管中取到好的概率，计算得到答案. 【详解】第一次取到好的条件下，第二次即：6只好的晶体管、5只坏的晶体管中取到好的概率611P =故答案选C 【点睛】本题考查了条件概率，将模型简化是解题的关键，也可以用条件概率公式计算. 3．在复数范围内，多项式241x +可以因式分解为（ ）A ．422i i x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．11422x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22i i x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．1122x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将代数式化为222414x x i +=-，然后利用平方差公式可得出结果. 【详解】2222241444422i i i x x i x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，故选A.【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题. 4．复数()21z i =+在复平面内对应的点在（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点的位置． 【详解】()221122z i i i i =+=++=Q ，对应的点的坐标为()0,2，所对应的点在虚轴上，故选B ．【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题． 5．已知113k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为1212,()x x x x <，函数()2121x kg x k =--+的零点分别为3434,()x x x x <，则4321()()x x x x -+-的最小值为（ ） A ．1 B ．2log 3C ．2log 6D ．3【答案】B 【解析】试题分析：由题知，，，，.，又故选B ．考点：1、函数的零点；2、指数运算；3、函数的最值.6．在区间[1,2]-上随机取一个数k ，使直线(4)y k x =-与圆224x y +=相交的概率为（ ） A 3B 3C 23D 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线和圆相交时k 的取值范围，然后根据线型的几何概型概率公式求解即可． 【详解】由题意得，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，直线方程即为40kx y k --=，所以圆心到直线40kx y k --=的距离241k d k=+，又直线与圆224x y +=相交， 所以2421k d k=<+，解得33k <<． 所以在区间[]1,2-上随机取一个数k ，使直线()4y k x =-与圆224x y +=相交的概率为3323(2333333P -===． 故选C ． 【点睛】本题以直线和圆的位置关系为载体考查几何概型，解题的关键是由直线和圆相交求出参数的取值范围，然后根据公式求解，考查转化和计算能力，属于基础题．7．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A ．0.2 B ．0.3C ．0.4D ．0.6【答案】B 【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=10.22(01)0.3,2P X -⨯∴≤≤== 故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.8．设i 为虚数单位，若复数z 满足(1)2i z i +=，则复数z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -C ．1i --D ．1i +【答案】D 【解析】 【分析】先由题意得到，21iz i=+，根据复数的除法运算法则，即可得出结果. 【详解】因为(1)2i z i +=，所以()()()()2121211112--====+++-i i i i i z i i i i . 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.9．已知函数21()()xf x a e x=+在(2,)+∞有极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．1(,)2-+∞ B ．13(,)28--C ．3(,0)8-D ．1(,0)4-【答案】C 【解析】 分析：令()'0fx =，得22210ax x +-=，()2,x ∈+∞，整理得2112a x x=-，问题转化为求函数2112a x x =-在()2,+∞山过的值域问题，令1t x =，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可. 详解：令()'0f x =，得22210ax x +-=，()2,x ∈+∞，整理得2112a x x=-， 令1t x =，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22a t t =- 令()212g t t t =-，则()g t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，∴()3,08g t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴3,08a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，经检验，满足题意． 故选C ．点睛：本题主要考查导数的综合应用极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大． 10．将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移6π个单位长度，则所得图象对应的函数的解析式为（ ） A ．cos4y x =- B ．sin 4y x =- C ．cos y x = D ．cos y x =-【答案】D 【解析】分析：依据题的条件，根据函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，得到相应的函数解析式，利用诱导公式化简，可得结果.详解：根据题意，将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的函数图像对应的解析式为sin()3y x π=-，再将所得图象向右平移6π个单位长度， 得到的函数图像对应的解析式为sin()cos 63y x x ππ=--=-，故选D. 点睛：该题考查的是有关函数图像的变换问题，在求解的过程中，需要明确伸缩变换和左右平移对应的规律，影响函数解析式中哪一个参数，最后结合诱导公式化简即可得结果. 11．已知复数23()z m m mi m =-+∈R 为纯虚数，则m = A ．0 B ．3 C ．0或3 D ．4【答案】B 【解析】因为复数()23z m m mi m R =-+∈为纯虚数，230m m -=，且0m ≠ ，所以3m =，故选B.12．)32301231a a x a x a x -=+++，则()()220213a a a a +-+的值为（ ）A ．2B ．-2C ．8D ．-8 【答案】D 【解析】试题分析：()32312331x a a x a x a x -=+++，所以当1x =时，()3012331a a a a -=+++；当1x =-时，()3012331a a a a --=-+-，故()()()()()()()33223021301230123313128a a a a a a a a a a a a +-+=+++-+-=---=-=-考点：二项式定理二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如果不等式24x x -()1a x >－的解集为A ，且{}02|A x x ⊆<<，那么实数a 的取值范围是 ____ 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】将不等式两边分别画出图形，根据图像得到答案. 【详解】不等式24x x -()1a x >－的解集为A ，且{}02|A x x ⊆<< 2224(2)4(0)y x x x y y =-⇒-+=≥1()y a x =－画出图像知：112a a -≥⇒≥故答案为：[2,)+∞ 【点睛】本题考查了不等式的解法，将不等式关系转化为图像是解题的关键.14．已知平面向量3,2,(21,4)2a b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭r r ，若//a b r r ，则||b =r __________. 【答案】5 【解析】 【分析】由向量平行关系求出b r，利用向量模的公式即可得到答案．【详解】因为//a b r r ，所以342(21)02x ⨯--=，解得2x =，则(3,4)b =r，故22345b =+=r ．【点睛】本题考查向量平行以及向量模的计算公式，属于基础题． 15．已知函数11()||||f x x m x a x m x=++-+--有六个不同零点，且所有零点之和为3，则a 的取值范围为__________． 【答案】5a > 【解析】根据题意，有()()=f x f m x -，于是函数()f x 关于12x m =对称，结合所有的零点的平均数为12，可得1m =，此时问题转化为函数()1111g x x x x x =++-+-，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上与直线y a =有3个公共点，此时()1111,1121121,11x x x g x x x x x ⎧++<<⎪⎪-=⎨⎪++->⎪-⎩，当112x <<时，函数()g x 的导函数()()2211'01g x x x =-+>-，于是函数()g x 单调递增，且取值范围是()5,+∞，当1x >时，函数()g x 的导函数()()2211'21g x x x =---，考虑到()'g x 是()1,+∞上的单调递增函数，且()()1lim ',lim '2x x g x g x +→+∞→=-∞=，于是()'g x 在()1,+∞上有唯一零点，记为0x ，进而函数()g x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，在0x x =处取得极小值n ，如图：接下来问题的关键是判断n 与5的大小关系，注意到，3321142522323n f ⎛⎫≤=+++=<⎪⎝⎭，函数()1111g x x x x x =++-+-，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上与直线y a =有3个公共点，a 的取值范围是()5,+∞,故答案为5a > .16．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______． 【答案】54 【解析】 【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共246C =种选法， 再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法， 故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝1种选法， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=,以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为()1221x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 .（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换2x x y y=⎧⎨=''⎩得到曲线C '，曲线C '上任一点为()00,M x y0012y +的取值范围．【答案】（1） 直线l10y +-=，曲线C 的直角坐标方程为224x y +=. （20012y +的取值范围是[]4,4-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用222x y ρ=+，将2ρ=转化成直角坐标方程，利用消参法法去直线参数方程中的参数t ，得到直线l 的普通方程；（Ⅱ）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示0012y +，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可．试题解析：（Ⅰ）直线l 的普通方程32310x y +--= 曲线C 的直角坐标方程为224x y +=（Ⅱ）曲线C 经过伸缩变换'{'2x xy y ==得到曲线'C 的方程为2244yx +=，即221416x y +=又点M 在曲线'C 上，则002cos {4sin x y θθ==（θ为参数）代入00132x y +，得0011332cos 4sin 2sin 23cos 4sin()223x y πθθθθθ+=⋅+⋅=+=+所以00132x y +的取值范围是[4,4]-． 考点：1、参数方程与普能方程的互化；2、圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、伸缩变换． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，60ABC ︒∠=，13BB =，4AB =，4BC =.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）若点M 是棱AC 的中点，求直线1B M 与平面ABC 所成的角的大小. 【答案】（1）123（2）3arctan 【解析】 【分析】（1）由直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝60°，BB 1＝3，AB ＝1，BC ＝1．能求出三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积．（2）点M 是棱AC 的中点，B 1M 在平面ABC 的射影为直线MB ，则∠B 1MB 就是直线B 1M 与平面ABC 所成的角的大小，由此能求出直线B 1M 与平面ABC 所成的角的大小． 【详解】（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， ∠ABC ＝60°，BB 1＝3，AB ＝1，BC ＝1． ∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积：V 23434=⨯⨯=123． （2）点M 是棱AC 的中点， B 1M 在平面ABC 的射影为直线MB ，则∠B 1MB 就是直线B 1M 与平面ABC 所成的角的大小， tan ∠B 1MB 1223242BB BM ===-，∴∠B 1MB ＝arctan32． ∴直线B 1M 与平面ABC 所成的角的大小为arctan32．【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知直角坐标平面上的点n n S P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，均在函数y x =的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若已知点()10M ，，()2n n A a =，，()21n n B b =-，为直角坐标平面上的点，且有∥n n MA MB ，求数列{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，若使1(1)01(1)--⋅+≤-++-⋅n n ntb n n对于任意*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）21n a n =-； （2）2221-=-n n b n ； （3）[1,2]t ∈. 【解析】 【分析】（1）先根据点在直线上得和项关系式，再根据和项与通项关系求通项； （2）根据向量平行坐标表示得,n n b a 关系式，代入（1）结论得结果；（3）分n 奇偶分类讨论，再根据参变分离转化为求对应函数最值，最后根据函数最值得结果. 【详解】（1）因为点n n S P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在函数y x =，所以2,nn S n S n n=∴= 当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，121,n n n a S S n -=-=-；211121n a n ⨯-=∴=-Q（2）(1,)(1,1)(1)1n n n n n n n n MA MB MA MB a b a b ∴∴-∴-=u u u u r u u u u rQ ∥∥∥1122112121n n n b a n n -∴=-=-=-- （3）n 为偶数时，122(1)001(1)2121n n nt n tb n n n n ---⋅+≤∴-+≤-++-⋅--Q 22t n ∴≤-，22222n n t ≥∴-≥∴≤Qn 为奇数时，122(1)001(1)21n n n t n b t n n n ---⋅+≤∴-≤-++-⋅-Q111111012121t n n n ∴≥-≥∴-<-=--Q ， 1t ∴≥ 因此12t ≤≤ 【点睛】本题考查由和项求通项、向量平行坐标表示以及不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 20．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件A 为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A 发生的概率；（2）用X 表示抽取的4人中文科女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）421；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可【详解】（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以()11241541040421021C C C P A C ⋅==⋅=. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，()4073410106C C P X C ⋅===， ()3173410112C C P X C ⋅===， ()22734103210C C P X C ⋅===， ()13734101330C C P X C ⋅===， X 的分布列为 X123P16 12 310 13001236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题21．现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进人高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试数学成绩预计同时有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x ，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为10x +（若10x +>100.则取10x +为100）.若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别都是由低到高进步的，定义X 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值.（I ）试预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？（计算结果四舍五入，取整数值）（Ⅱ）求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（I ）先依题意预测出高三的6次考试成绩，由平均数的公式，分别计算即可; （Ⅱ）由题意先写出随机变量X 的取值，以及对应的概率，即可求出分布列和期望. 【详解】（I ）由已知，预测高三的6次考试成绩如下：甲高三的6次考试平均成绩为788689969810019166+++++=，乙高三的6次考试平均成绩为818592949610019163+++++=所以预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别约为91，91. （Ⅱ）因为X 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值， 所以X =0，1，2，3 所以()106P X ==，()116P X ==，()21263P X ===，()21363P X ===. 所以X 的分布列为所以()012366336E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查平均数的计算以及离散型随机变量的分布列与期望，属于基础题型.22．已知函数2213()(2)ln (1)124f x x x x x a x =-+-++． （1）若()f x 在(1,)+∞为增函数，求实数a 的取值范围；（2）当11a -<<时，函数()f x 在(1,)+∞的最小值为()g a ，求()g a 的值域． 【答案】 (1) 1a ≤-.(2) 7(2ln 2,)4-. 【解析】分析：（1）原问题等价于()0f x '≥在()1,+∞上恒成立，据此可得实数a 的取值范围是1a ≤-； （2）由函数的解析式二次求导可得()'f x =在()1,+∞上是增函数，则存在唯一实数()1,2m ∈，使得()'0f m =，据此可得()f x 的最小值()()221321124f m m m lnm m a m ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭构造函数()()221321124g a m m lnm m a m ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭，讨论可得其值域为722,4ln ⎛⎫- ⎪⎝⎭.详解：（1）()()()'2230223f x x lnx x a x lnx x a =-+--≥⇒-+-≥在()1,+∞上恒成立， 设()()()332230x F x x lnx x F x lnx x'-=-+-⇒=+> 则()F x 在()1,+∞为增函数，()11a F ≤=-.（2）()()()32'2230''0x f x x lnx x a f x lnx x-=-+--≥⇒=+>， 可得()()'223f x x lnx x a =-+--在()1,+∞上是增函数， 又()'110f a =--<，()'210f a =-+>，则存在唯一实数()1,2m ∈，使得()'0f m =即()2230m lnm m a -+--=, 则有[)()()1,'0x m f x f x ∈⇒<⇒在(]1,m 上递减；[)()(),'0x m f x f x ∈+∞⇒>⇒在[),m +∞上递增；故当x m =时，()f x 有最小值()()221321124f m m m lnm m a m ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭则()f x 的最小值()()221321124g a m m lnm m a m ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭，又()223a m lnm m =-+-，令()()()223,1,2a m m lnm m m =-+-∈， 求导得()2'30a m lnm m=+->，故()a m 在()1,2m ∈上递增， 而()()11,21a a =-=，故()1,1a ∈-可等价转化为()1,2m ∈, 故求()f x 的最小值()g a 的值域，可转化为：求()22152124h m m lnm m m =--++在()1,2m ∈上的值域. 易得()22152124h m m lnm m m =--++在()1,2上为减函数，则其值域为722,4ln ⎛⎫- ⎪⎝⎭.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
浙江省诸暨市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题含答案
诸暨市2020-2021学年第二学期期末考试试题高二数学注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.请考生按规定用笔将所有试陋的答案涂､写在答题纸上. 参考公式：第I 卷(选择题，共40分)一､选择题(每小题4分，共40分){{}2,4A B x x =-=<∣，则A B⋂=（ ）A.{-B.C.{-D.i 为虚数单位，复数()3i 1i z =⋅+，则z =（ ）A.1 C.2 3.已知空间直角坐标系中，O 为坐标原点，P 的坐标为()1,2,3，则（ ）A.P 到原点OB.P 到平面xOy 的距离是1C.P 到平面xOy 的距离是2D.P 到平面xOy 的距离是34，以直线30()ax y a a ---=∈R 经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是（ ）A.222660x y x y +-++=B.222660x y x y ++-+=C.226260x y x y ++-+=D.226260x y x y +-++=,a b +∈R ，则“ln ln 0a b ⋅>”是“()()110a b -⋅->”的（ ）A.充分而不必可条件B.必要而不充分他件：()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位与函数()cos2g x x =的图像重合，则ϕ可以是（ ）A.8πB.78π C.4π D.34π ()()()22f x x x a x =--在0x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),0∞-B.()0,∞+C.()0,2D.()2,∞+12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 作b y x a =-的垂线分别交双曲线的左､右两支于,B C 两点(如图).若22CBF CF B ∠∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.y =B.y =C.)1y x =±D.)1y x =±9.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为线段1A D 的中点，N 为线段1CD 上的动点，则直线1C D 与直线MN 所成角正弦值的最小值为（ ）{}n a 满足：114,ln 1n a a +==，设12n n T a a a =，则（ ）A.91a e<B.9a e >C.()290,T e ∈ D.()94,T e ∞∈+ 第II 卷(非选择题，共110分)二､填空题(本大题有7个小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分)11.写出下列函数式的求导结果：()'sin x e x +=__________；'=__________.12.如图，所有楼长为2的正四梭锥P ABCD -(顶点P 的投影是底面正方形ABCD 的中心)，则该几何体的体积是__________；该几何体三视图中的正视图面积是__________.,,a b c 满足：()232,1,1,204a b a b c a b c ==⋅=--+⋅+=，则||a b -=__________；||a c -的取值范围是__________.t ∈R ，函数()2,,,.x x t f x x x t <⎧=⎨≥⎩若()f x 的值域为(),∞∞-+，则实数t ∈__________；若()f x 在(),∞∞-+上单调递增，则实数t ∈__________.著名的数学家，近代数学英基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数[],y x x =∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.11, 1.1 2.⎡⎤=-=-⎣⎦则点集{}22(,)[][]1P x y x y =+=∣所表示的平面区域的面积是__________.,a b +∈R 且22143a ab b +=+，则ab 的最小值是__________. ()22ln (0)f x x x x x =-->图象上恰好存在两个不同的点,A B 关于y 轴对称后在函数()21(0)g x x bx x =+-<的图象上，则实数b 的取值范围是__________.三､解答题(本大题有5个小题，共74分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤)18.(本题满分14分)已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭.（1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）在ABC 中，()2f A b c ===，求ABC 的面积. 19.(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和()2n S n n R λλ=+∈，且36a =，正项等比数列{}n b 满足：11b a =，2324b b a a +=+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2021n n c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.(本题满分15分)如图，四梭锥E ABCD -中，,,2AE AB AC BC BA AC ⊥⊥=，,AC AE AD CD M ===为CD 中点.（1）求证：AB EM ⊥；（2）若二面角E AB D --DE 与平面ABE 所成角的正弦值.21.(本题满分15分)如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是12，短轴长为､右顶点.过F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，与抛物线E 相交于,P Q 两点，点M 为PQ 的中点.（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）记1ABA 的面积为12,S MA Q 的面积为2S ，若123S S ，求直线l 在y 轴上截距的范围. 22.(本题满分15分)已知函数()()ln ln ,f x x a a x a =+-∈R . （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当0a >时，证明：()2e 22xa f x -≥-.2020学年诸暨市高二下期末试卷试题解析1解析：由题可知，{22}B x x =-<<∣，所以A B ⋂=，故选D2.解析：由题可知，()()33i 1i i 1i ==⋅+=⋅+=B.3.解析：由题可知，OP P ==到平面xOy 的距离是3，故选D . 4.解析：由题可知，直线过顶点()1,3-，所以圆方程为22(1)(3)4x y -++=，即222660x y x y +-++=，故选A .5.解析：由题，因为,a b +∈R ，所以ln ln 0a b ⋅>等价于()()110a b -->，即“ln ln 0"a b ⋅>是()()“110a b -⋅->"的充分必要条件，故选C.6.解析：由题可知，()()sin 2sin 2244f x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()cos2sin 22g x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以222242x x k ππϕπ+-=++，从而18k ϕππ=--，取1k =-，知78πϕ=，故选B . 7.解析：利用奇穿偶回法画图可知，当0a <时，在0x =处取得极大值，当0a >时在0x =处取得极小值，故选A8.解析：由22CBF CF B ∠∠=可设2BC CF m ==，由122CF CF a -=得，12BF a =，所以24BF a =，2222221122121124416cos 28BF F F BF a c a BF F BF F F ac∠++-+-==⋅⋅，又112tan F C a k BF F b ∠==得12cos bBF F c∠=， 22244168a c a bac c+-∴=，令1a =，化简得：2220b b --=，得1b =)1y x=±，故选C9.解析：以D为原点建立平面直角坐标系，()()()11,0,1,0,2,0,0,0,2M C D，则()10,2,2CD=-，由1CN CDλ=得()()0,22,2,1,22,21N MNλλλλ-+∴=--+-，1cos,MN C D ==≥，则16sin,3MN C D≤，选C10.解析：由1lnx x-≥得11ln1ln2n na a+=≥=，所以11111ln ln ln422n nna a--⎛⎫⎛⎫>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故9129112ln ln ln ln4112a a a⎛⎫- ⎪⎝⎭+++>-，即88811122122299ln ln44444T T e-->⇒>=⨯>，选D.11.解析：()'''sin cos1)x xe x e x x+=+=+=12.解析：由题意该几何体的高为h=133ABCDV S h=⋅=；该几何体三视图的正视图面积是13.解析：由题可知：22221||27,24a ba b a a b b c⎛⎫+-=-⋅+=-=⎪⎝⎭，则C是以22a b+为圆心，以12为半径的圆上的点，则11322a c⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦1122⎤⎥⎦14.解析：由题可知：值域为R则，2t t≤，则01t≤≤，单调递增则20t t≥>或2t t=即0t=或1t≥故填：{})0,1,01,∞⎡⎤⎡⋃+⎦⎣⎣15.解析：由题可得：1010x y -≤<⎧⎨-<≤⎩或0112x y ≤<⎧⎨≤<⎩由对称得另两组，即4S =，故填：416.解析：222222214(12)33a ab b a ab b a ab b++=≥⇒++≥+++当且仅当a b =时取等号 由22331a ab b ab ab ++≥≥⇒≥，当且仅当a b =时取等号 故填：117.()g x 关于y 轴对称即()()21(0)h x g x x bx x =-=-->，问题等价于()h x 与()f x 有两个交点，即222ln 112ln 0x x x x bx x bx x --=--⇒--+=()12ln (0)G x x bx x x =--+>，()21(0)G x b x x =-+>'.因为要有两个交点，即()G x 不单调，故()102210.1b G x b x x b ->⎧⎪⎨=-+=⇒=-'⎪⎩此时易知()G x 在20,1b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭单调递增，在2,1b ∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭max 2()01G x G b ⎛⎫=> ⎪-⎝⎭，即3222212ln 012111b b e b b b -⎛⎫--+>⇒<+ ⎪---⎝⎭.当0x →或x ∞→+时，()G x ∞→-. 故填写：32112b e -<<+. 18.（1）()112sin cos 2sin cos sin2sin 23223f x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 1122f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭. （2）由()sin 23f A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，得1sin 2,223236A A k ππππ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭或()526k k Z ππ+∈， 解得12A k ππ=-+，或4A k ππ=+，因此4A π=，或1112A π=；所以1sin 22ABCSbc A =⋅==1sin 22ABCS bc A =⋅==.19.（1）当2n ≥时，()221(1)121n n n a S S n n n n n λλλ-⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦，由36a =，得1λ=，即2n S n n =+，当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，2n a n =，所以2n a n =；设正项等比数列{}n b 的公比为(0)q q >，则()21123242,212b a b b a a q q ==+=+=+=，所以260q q +-=，解得2q =或3q =-(舍)；所以2n n b =.（2）()()20212,10202122021,11nn n nn c b n ⎧-≤⎪=-=⎨-≥⎪⎩，所以当10n ≤时，()()1212122021222202120212212nn n n T n n n +⨯-=-+++=-=-+-，当11n ≥时，()1112112102021222202122404202422021404222n n n n T n T n n +++=--++=-+-+-+=-+-，即()()1112220212,10.22021404222,11n n n n n T n n ++⎧-++≤⎪=⎨-+-≥⎪⎩ 20.（1）解析：线面垂直2BA AC =，,3AC BC BAC π∠⊥∴=，又,AC AD CD M ==为CD 中点，则有3BCD π∠=，/,,,AB CD CD AM CD AE AB ∴⊥⊥'∴⊥平面AME ，所以AB EM ⊥.（2）.由（1）知：AB ⊥平面AME ，EAM ∠∴即为二面角E AB D --的平面角，过点M 作MH EA ⊥于H ，记1AC AD CD ===，Rt MAH ∴中：sin MH MA EAM ∠=⋅==又//CD 面AEB ，D ∴到面AEB 的距离与M 到面AEB 的距离相等，以A 为原点，,AB AM 为x 轴，y 轴，垂直平面ABCD 向上方向为z 轴， 如图建立空间直角坐标系，令2AC =，则()()()0,0,0,4,0,0,A B D -；因为二面角E AB D --EH AM ⊥，则AH HE ==；所以E ⎛ ⎝⎭，则1,;DE ⎛=⎝⎭又()3130,,,4,0,022AE AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =，则400,x y z =⎧= 取y =0,x z ==(0,13,n =-， 令直线DE 与平面ABE 所成角为θ，则39sin cos ,45DE n DE n DE nθ⋅====⨯⋅由E ABD D AEB V V --=，得sin d d ED θ=∴===21.（1）根据题意得：222212b c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得2,a b ==，抛物线焦点()1,0F ，因此椭圆22:143x y C +=，拋物线2:4E y x =（2）设()()()()11223344:1,,,,,,,,l x ty A x y B x y P x y Q x y =+，联立l 与椭圆221:143x ty C x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()2234690t y ty ++-=，判别式：()()()222Δ(6)43491441t t t=-+-=+弦长公式：12112AB y y S AB =-===联立l 与抛物线24:1y x E x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得：2440y ty --=，判别式：()()22Δ(4)44161t t =---=+弦长公式：2342111222PQA PQ y y S S PQ =-===⋅⋅=因为123S S ，因此223134t t ++，解得：63t 在y 轴上截距162t --或162t-，因此在y 轴上截距取值范围是,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭. 22.（1）①当0a ≥时，()f x 的定义域为()()10,,0af x x a x∞+=+'>+恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递增； ①当10a -≤<时，()f x 的定义域为()()()()21,,0a x a a f x x x a ∞++-=+'+>在(),a ∞-+上恒成立，故()f x 在(),a ∞-+上单调递增；①当1a <-时，()f x 的定义域为()()()221,,,11a a a a a f x x a x x a a ∞⎛⎫+-+->-=+ ⎪+++⎝⎭'， 当2,1a x a a ⎛⎫∈-- ⎪+⎝⎭时()()0,f x f x '>单调递增，当2,1a x a ∞⎛⎫∈-+ ⎪+⎝⎭时()()0,f x f x '<单调递减；综上，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当10a -≤<时，()f x 在(),a ∞-+上单调递增；当1a <-时，()f x 在2,1a a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭单调递增，在2,1a a ∞⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭单调递减.①首先证明引理1：ln 1x x ≤-；令()()()()1ln 1,110p x x x p x p x p x '=-+=-⇒≤=，故ln 1x x ≤-得证；①接着证明引理2：[)21e 1,0,2x x x x ∞≥++∈+； 令()()()()()21e 1,e 1,e 1002x x x q x x x q x x q x q x q =--'''-=--=-⇒≥'='， 故()q x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00q x q ≥=在[)0,∞+上恒成立，故[)21e 1,0,2x x x x ∞≥++∈+. ①现在证明当0a >时，()2e 22xa f x -≥-； 此时，()f x 的定义域为()0,∞+，由故由引理1和引理2可得()()()2211e 111222x f x x x x a a x x ax a -≥++-+---=-++， 而2222211220()202222a a x ax a x ax a x a a -++≥-⇔-++≥⇔-+≥，显然恒成立， 故()221e 2222x a f x x ax a -≥-++≥-，证毕.。