四年级下册数学讲义-奥数讲练： 最短路线问题
小学数学思维训练之最短线路问题
5．A、B两村中间隔了一条小河（如 下图），现在要在小河上架一座小木 桥，使它垂直于河岸，请你在河的两 岸选择合适的架桥地点，使A、B两村 之间路程最短。
3．如下图，要在两条街道OA、OB上 设立两个邮筒，M处是邮局，问邮筒设 在哪里，能使邮递员从邮电局出发， 先到OA上的邮筒取信，再到OB上的 邮筒取信，然后再回到邮电所的路程 最短？
友选择了三条不同的路线（如图），试问 哪条线最短？
2．小马倌要从A处出发（如图），到河 边打水，并把水送到B处的马棚中，这 附近没有固定的路，也没有什么障碍， 那么，小马倌选择怎样的路线最好呢？ 请你在图中标出来.
例2．一牧人带马群从营房A点出发，到 草地MN（设其边界也叫MN）放牧。傍 晚到营房B点之前；先带马群到小河PQ去 给马饮水（如下图）.想想看，牧人应走
7．如下图，在圆柱形桶外有一只蚂蚁， 要从桶外A点爬到桶内B点去寻找食物。 如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎 么走？
例5．一个邮递员投递信件的街道如图， 他从邮局出发，走遍各街道，最后回到 邮局，怎样走，才能使他走的路程最短？
6．四班组织了一次有趣的赛跑，规则 是从A点出发（如下图），跑到墙边， 用手触摸墙壁，然后跑到B点，接着， 从B点再次跑到墙边，用手触摸墙壁后， 跑到C点。问选择怎样的路线最节省时 间？请在图中标出来。
哪条路线，才能使整个放牧的路程（即从 A→MN→PQ→B）最短？
例3．小猴子的家在河的左岸A点（如 图），隔河相望看到对岸远远的B点有一 棵果实累累的桃树，鲜嫩可口的桃子吸引 着猴子，可是河面上没有桥，它又不会游 泳，于是它想出一个好主意，用躺在河岸 旁的一棵枯树干搭一座桥，请小朋友想想， 这个独木桥搭在什么地方，使A、B两点 的通路最短？（假设河宽度不变，而枯木 的长度仅够搭一个垂直于河岸的桥）
最短路线(四年级)
最短路线姓名邮递员叔叔每天都要送信，而且要穿过数以百计的大街小巷。
怎样设计一种科学的走法，使他完成送信任务后回到邮局所走的路最短？这个问题叫做最短邮递路线问题。
最短的邮递路线当然是从邮局出发，走遍每条街巷而且只走一次，最后回到邮局。
这样的路线由于没有重复，是最短的。
实际生活中是不是有这样的理想路线呢？当然没有。
那么，在什么情况下才能达到这样理想的路线呢？这还得从一种有名的数学游戏“一笔画”谈起。
如果在画图形时，笔不离纸而且每条线都不许重复，这种画法称为“一笔画”。
下面三个图形，请你试一试能不能将它们一笔画成？任何图形都是由点和线组成的，图形中的点可以分为两大类：（1）凡是从这点出发的线的数目是偶数的，称为偶点。
（2）凡是从这点出发的线的数目是奇数的，称为奇点。
一个图形能否一笔画成，关键在于图中奇点的个数的多少。
它的规律是：（1）凡是图形中没有奇点的，一定可以一笔画成。
画时，可以从任意一个偶点为起点，最后仍回到这点。
（2）凡是图形中只有两个奇点，一定可以一笔画成。
画时，必须以一个奇点为起点，另一个奇点为终点。
（3）当一个图形中奇点的个数多于两个时，此图形不能一笔画成。
例1、下图是国际奥委会的会徽，你能一笔把它画出来吗？及时练：1、下面图形可以一笔画成吗？如果可以，请你用一笔画成。
（1）（2）（3）（4）（5）例2、试判断下图中，哪一幅能一笔画？为什么？？及时练：1、请将下列图形一笔画成，如果不行，请说明理由。
（1）（2）（3）（4）（5）（6）例3 下图是花园的平面图，你能走遍园中的小路，而路线不重复吗？及时练：1、下图是儿童游乐场的平面图。
要使游客能走遍每条路而不重复，在一张纸上出入口应设在哪里？甲例4、下图中线段代表小路，请你考虑一下，能够不重复地爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎样爬？乙及时练：1、在一张纸上用剪刀能否一次连续剪下下图中三个正方形和两个三角形？如可以，请设计一种剪法。
例5、下图是某学校兴趣小组活动室分布图，共有ABCDEFGHIJKL十二个房间。
四年级下册数学讲义-奥数讲练： 最短路线问题 全国通用
在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。
这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。
典型例题例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。
现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。
问：车站应该建在什么地方？分析 如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公路AB 画一条垂直线，交AB 于C 点，那么C 点是甲村到公路AB 最甲村 乙村AB 甲村乙村 图1图2最短路线近的点，但是乙村到C点就较远了。
反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。
但是这时甲村到公路AB的D点又远了。
因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。
解用直线把甲村、乙村连起来。
因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。
例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。
他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。
问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？3分析选择最短的路线最合理。
那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。
邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。
因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。
但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。
要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。
小学数学 最短路线问题
最短路线【例1】如右图，直线AB表示一条公路，公路两侧有甲、乙两村。
（1）甲村要修一条通往AB的小路，最短是哪一条？在图上表示出来。
（2）如果在公路上AB上修一个加油站，使两个村子到加油站的距离之和最短，加油站该建在哪里？在图上画出路线，用N表示加油站。
【例2】A、B两村来往很多，AB两村村民想在河上建一座桥。
请问，桥建在何处，才能使两村村民来往路程最近？【例3】小华和妈妈每天在小区里散步，小区的道路如右图，图上的数据表示各街道长度的米数。
一天，妈妈给小华出了道难题：要求从家出发，要走遍各条道路，最后回到家。
什么样的路线最短？最短是多少米？【例4】如图，从A点到B点，不走回头路，不走重复路的条件下，可以有多少种不同的路线？请用在交叉点上标数的方法算一下。
【例5】如右图是一个景点的路线图，从入口甲出发游览景点的最短路线，有多少不同的走法？从入口乙出发游览景点的最短路线，有多少不同走法？【强化训练】1、一种游戏，所有队员都必须从A地出发，先到河边，再到点。
张老师在小河边做了一个记号M，请队员们直接到河边的记号处，再出发到B点，这样总路程最近。
请在小河边标出M点。
2、下图是一个街区平面图，AB=300米，BE=600米，CH=450米。
一辆电影宣传车从电影院出发，到每条街上宣传至少一次，宣传车最短路线是多少米？3、养兔专业户养殖场内安置了5个兔笼（如下图）。
在饲料房配好食物后，为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路，但又不能漏掉一个兔笼，喂完食后还要回到原出发点。
你能替他设计一条最短的路线吗？算出每喂食一次，至少要走多少路。
4、某迷宫从A点到B点有很多道路，其中C点不通。
从A点出发到B点的最短路线有多少种？5、如右图，从小明家到学校，最短的路线有多少条？。
最短路线奥数解题技巧
最短路线奥数解题技巧最短路线问题是数学课程中一个非常重要的问题，它可以用于优化工程、计算机网络和其他领域中的问题。
解决最短路线问题有许多技巧，下面我们将介绍其中一些。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是解决最短路线问题的一种常见方法，它适用于有向有权图。
这个算法的实现方法很简单，可以按照下面的步骤来完成：- 找到从开始节点到第一个节点的最短路径- 标记这个节点为“已完成”- 重复以上步骤，以找到下一个最近的节点- 继续进行，直到到达目标节点，或者没有其他节点可以加入路径为止。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一个用于解决最短路线问题的方法，它可以被应用于带有负权边的图。
使用这个算法，你可以找到从起点到目标点的最短路线和任何其他边缘的最小距离。
3. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是解决所有对最短路线问题的完整解决方案。
使用这个算法，可以找到从任意一个节点到任何一个节点的最短路径。
然而，这个算法的速度随着图的大小而降低，并且主要用于较小的图像。
4. A*算法A*算法是一种启发式搜索算法，可以用于求解最短路径问题。
它使用一些规则来指导它搜索最快的路径，这样可以更快地找到最短路径。
使用A*算法时，您需要知道每个节点的邻居和路径的代价，然后您可以计算一个估计代价，在搜索过程中做出更明智的决策。
5. 贪心算法贪心算法是可用于一个特殊的最短路线问题——旅行推销员问题。
在这个问题中，你必须找到一个充分优化的路径，可以访问一系列城市，并且没有城市被重复访问。
贪心算法使用了一个简单的策略——尽可能的选择下一个最近的未访问的城市——来解决这个问题，尽管在选择时也有权衡。
以上就是解决最短路线问题的一些基本技巧，它们都将有助于你在实际应用中更好的解决问题。
当然，在实际应用中需要考虑不同场景下选择的合适的算法。
最短路线(4年级培优)学生版
寻找最短路线，关键在于不能走“回头路”（冤枉路），要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复不遗漏。
在日常生活和实际生产中，我们经常会遇到选择最短路线的问题，这种问题的类型较多。
这里我们将通过几个实例，着重介绍用对角相加法、取短舍长法，如何在不同的线路中选择最短的路线。
每一个小格右上角标的数正好是这个小格左上角与右下角的数的和，这个和就是从出发处A到这点处的所有最短路线的条数。
这样我们就可以由近及远，通过计算再逐次标数，来确定A处到B处的最短路线的条数。
我们把这种方法称为对角相加法。
要求从A地出发到D地的最短时间，我们可以把从A地到附近地点的最短时间一一算出，标在各点的旁边，再算出到后面的点的最短时间，标在各点旁边。
这样由近及远，顺着推算下去，最后就能求出从A地到D地的最短时间。
我们把这种方法称为取短舍长法。
下图的线段表示纵横的道路，如要从A处走到B处，问共有多少条最短路线？图图和壮壮到少年宫参加数学培训。
如果他们从学校出发，到少年宫共有多少种不同的最短路线？下图中，从甲地到乙地最短路线有几条？下图中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。
小明上学时走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。
那么小明从家到学校可以走多少条不同的路线？某城市的街道非常整齐，如下图所示，从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（因正在修路）。
共有多少种不同的走法？在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？下图是一个街道平面图，每段长度都是500米，现在有一辆汽车要从甲地到乙地，要求走最近的路，但不能通过十字路口A 、B 、C （正在修路），问共有多少条最短的路线？从甲地到乙地最少要行多少米？乙甲C BA下图是一个街道的平面图，C 处正在施工，不能通车，一辆汽车从A 地到B 地的最短路线共有多少条？如果横的每段200米，竖的每段150米，那么从A 地到B 地最少要行多少米？CBA如下图所示，是一张道路图，每段路上的数字是小明走这段路所需的分钟数，请问小明从A 地出发到D 地的最短时间是多少分钟？7331033I JH GFE DC BA533342221下图是一张城镇交通道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需要的时间（单位：分钟），请问小王从A 出发到E ，最快需几分钟？61710912185117171415O HG F E D CBA某乡七个村的位置如下图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点表示村的位置，线表示村与村之间的道路，旁边的数字表示相邻两个村的距离（单位：千米）。
最短路径问题-教案
最短路线问题一、教学对象：小学三四年级学生二、教学目标1.能够在理解的基础上准确运用“标数法”解决最短路线题目；2.能够运用“标数法”解决其他应用问题，提高学生综合运用知识解决问题的能力；3.在运用“标数法”解决最短路线问题的过程中，引导学生认识杨辉三角，通过找规律，体会数学的魅力；三、教学过程1.导入新知老师：同学们，在日常生活、工作中，我们其实经常会遇到有关行程路线的问题。
快递员送包裹，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求在走最少的路的同时能够游遍所有的景点。
而这些的问题，就是我们今天所要研究学习的“最短路线问题”2.讲解新知最短路线的选择老师：现在请大家看向讲义开头的那一张地图（图1）。
小明同学想从A点步行到达B点，怎么走才是最省时省力的呢？对，很好，在走的路线最短的情况下。
我们常常说两点之间直线最短，但同学们也应该注意到了，在现实生活中，我们的街道常常是纵横交错的，也就是说，小明是不可以直接从A飞到B的，而只能沿着地图上的街道行走。
为了解决这样的问题，我们不妨把问题简单化一下，假设我们要走的城市街道如图（图2）。
好的，现在请同学们拿出一支铅笔画一画从A到B的最短路径，并且尝试着数一数究竟有多少条可选择的最短路径，给大家一分钟的时间，现在开始。
老师：通过尝试，我们不难发现，像城市街道这样的道路布局，两点之间往往不止一条的最短路径，而这些最短路线也有着明显的相似之处。
B在A的右上（东北）方，我们其实只要在从A到B的过程中仅选择向右走或向上走，而不选择向左走或向下走，也就是我们常说的“不走回头路”，是不是就可以保证我们走的就是最短路线呀。
运用“标数法”计算最短路线数目老师：那么，从A到B到底有多少最短路径可供我们选择呢？现在请同学们看向例1，让我们一起来解决这一问题；老师：首先，我们在位于角上的起点标上1，因为只有一种方式选择起点；然后，我们将从这个点出发向东走或者向北走所有能够到达的点上标1。
四年级 数学最短路线问题
第四讲最短路线【例1】甲、乙两村之间隔一条河，如图．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示．要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短．即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最短折线的问题．直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，且桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以预先把这段距离扣除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了。
所谓预先将桥长扣除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C点，如下图，找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题。
解：如下图．过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽．连BC交与乙村的河岸于F点，作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB是两村的最短路线。
【例2】如下图，A、B两个学校都在公路的同侧．想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题，同例1一样关键在于转化成直线问题就好办了．采用轴对称（直线对称）作法。
答案：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B′，如下图，即过B点作公路（直线）的垂线交直线于O，并延长BO到B′，使BO=OB′．连结AB′交直线于点E，连BE，则车站应建在E处，并且折线AEB为最短。
为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1）因为B与B′关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有BE=B′E，所以AB′=AE+EB′=AE+EB（2）设E′是直线上不同于E的任意一点，如图13—5，连结AE′、E′B、E′B′，可得AE′+E′B=AE′+E′B′＞AB′（两点之间线段最短）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB．所以折线AEB最短。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问
题。
比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。
这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。
典型例题
例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。
现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。
问：车站应该建在什么地方？
分析 如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公
路AB 画一条垂直线，交AB 于C 点，那么C 点是甲村到公路AB 最
甲村 乙村
A
B 甲村
乙村 图1
图2
最短路线
近的点，但是乙村到C点就较远了。
反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。
但是这时甲村到公路AB的D点又远了。
因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。
解用直线把甲村、乙村连起来。
因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P 点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。
例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。
他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。
问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？
3
分析选择最短的路线最合理。
那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。
邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问
题，就是从偶点出发，回到偶点。
因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。
但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。
要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。
如果有不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。
为使8个奇点变成偶点，我们可以用图4的4种方法走重复的路
图4中添虚线的地方，就是重复走的路线。
重复走的路程分别为： （a ）
3×4=12（千米） （b ） 3×2＋2×2=10（千米） （c ） 2×4=8（千米） （d ） 3×2＋4×2=14（千米）
3
3
3
3
( a )
( b )
( c )
( d )
图4
当然，重复走的路程最短，总路程就最短。
从上面的计算不难找出最合理的路线了。
解 邮递员应按图4（c ）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理。
全程为： （1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4 =20＋18＋8 =46（千米）
例[3] 图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。
小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。
那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？
分析 为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图6）。
学校
小明家
A B F E
F D E
F
我们从小明家出发，顺序往前推。
由于从小明家到A 、B 、C 、D 各处都是沿直线行走，所以都只有一种走法。
我们分别在交叉点处标上“1”。
而从小明家到E 处，就有先到A 或先到D 的两种走法，正好是两个对角上标的数1+1的和。
从小明家到F 点，则有3条路线，又正好是两个对角上标的数1+2的和。
标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数。
从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两个对角上的数的和，正好等于下右角上的数。
解 从小明家到学校有13条不同的路线。
如图7所示。
图7
学校
H M
N
K
小学数学文化知识
圆田术
刘徽(大约1700年前)是我国魏晋时期的数学家，他在《九章算术》方田章“圆田术”注中提出把割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。
刘徽从圆内接六边形开始，将倍数逐次加倍，得到的圆内接正多边形就逐步逼近圆。