八年级上册数学 第十五章分式教案
3、如果 与 互为相反数，则 的值为
5、若关于 的方程 有增根，则 的值为
6、如果分式方程 无解，则 的值为
7、当 为何值时，关于 的方程 无解？
8、若关于 的分式方程 有正数解，则实数 的取值范围是
9、若 ，试求 的值.
10、解分式方程 时小甲采用了以下的方法：
检查
作业完成情况：优□良□中□差□
建议__________________________________________
过
程
第十五章：分式
知识点一：分式的定义
一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式，A为分子，B为分母。
知识点二：与分式有关的条件
分式有意义：分母不为0（ห้องสมุดไป่ตู้）
Ⅱ单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；
Ⅲ相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。
注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。
经典例题
1、分式 ， ， 的最简公分母是（）
A. B. C. D.
2、通分：① ； ② .
11、已知 ，求分式 的值.
12、计算： .
13、已知 ，那么 的值为（）
A. B.2 C. D.－2
14、已知 ，求 的值.
(20)分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
A.1个B.2个C.3个D.4个
15、在分式 中 为常数，当 为何值时，该分式有意义？当 为何值时，该分式的值为0？
知识点三：分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示： ， ，其中A、B、C是整式，C 0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
2、下列各式的计算结果错误的是（）
A. B. C. D.
4．计算：① ； ②
4、计算：① ； ② .
5、下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
6、计算：① ； ② .
7、计算： .
8、化简 .
9、当 ， ，则代数式 的值为（）
A.1 B.－1 C.4011 D.－4011
10、先化简，再求值： ，其中 .
知识点六：分式的通分
（1）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（2）分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
确定最简公分母的一般步骤：
Ⅰ取各分母系数的最小公倍数；
知识点八：整数指数幂
9．引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即
★ ★ ★ ★ （ ）
★ ★ （ ）★ （ ）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）
其中m，n均为整数。
科学记数法
若一个数x是0<x<1的数，则可以表示为 （ ，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如0.000000125=
(21)分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
12、分式 有意义的条件是（）
A. B. 且 C. 且 D. 且
13、如果分式 的值为1，则 的值为（）
A. B. C. 且 D.
14、下列命题中，正确的有（）
① 、 为两个整式，则式子 叫分式；② 为任何实数时，分式 有意义；
③分式 有意义的条件是 ；④整式和分式统称为有理数
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
知识点十：列分式方程
基本步骤
1、审—仔细审题，找出等量关系。
2、设—合理设未知数。
3、列—根据等量关系列出方程（组）。
4、解—解出方程（组）。注意检验
5、答—答题。
经典例题
1、已知方程① ；② ；③ ；④ ，其中是分式方程的有（）
A.①②B.②③C.①③D.①④
① ；② ；③ ；④ .
5、不改变分式的值，把分式 的分子与分母中的系数化为整数.
知识点四：分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
测试题(累计不超过20分钟)_____道；成绩______；教学需:加快□;保持□;放慢□;增加内容□
课后
巩固
签字
教学组长签字：学习管理师:
后记
解：设 ，则原方程可化为 ，解得
即 ，去分母得 ，所以
检验：当 时， ，所以 是原方程的解
上面的方法叫换元法，请用换元法解方程 .
11、已知 ，求 的值.
12、某中学要购买一批校服，已知甲做5件与乙做6件的时间相等，两人每天共完成55件，设甲每天完成 件，则下列方程不正确的是（）
A. B. C. D.
15.某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了 ，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了 ．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润 售价 进价，利润率 ）
课堂
检测
听课及知识掌握情况反馈：_______________________________________________________。
A.①③④B.③④C.②④D.④
6、当 时，分式 （）A.等于0 B.等于1 C.等于－1 D.无意义
7、使分式 的值为0，则 等于（）A. B. C. D.
8、若分式 的值为0，则 的值是（）
A.1或－1 B.1 C.－1 D.－2
9、当 时，分式 的值为正数.
10、当 时，分式 的值为负数.
11、当 时，分式 的值为1.
知识点七：分式的四则运算与分式的乘方
(18)分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为
(19)分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子
经典例题
1、下列运算正确的是（）A. B. C. D.
5、计算 的结果是（）A.－4 B.4 C. D.
6、化简 的结果是（）A. B.1 C. D.－1
7、计算：① ； ② ；
③ ；④ ； ⑤ .
8、设 ，则 等于（）
A. B. C. D.
9、若 ，求 的值.
10、已知 与 互为相反数，求 的值.
11、已知 为实数，且 ，设 ， ，你能比较 的大小吗？
13、某工地调来72人参加挖土与运土，已知3人挖出的土1人能恰好运走，怎样分配才能使挖出来的土能及时运走？设派 人挖土，其余运土，则可列方程为① ；② ；③ ；④ ，其中所列方程正确的有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
14.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的 ，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？
7个0
9个数字
若一个数x是x>10的数则可以表示为 （ ，即a的整数部分只有一位，n为整数）的形式，n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=
经典例题
1、计算：① ；② .
2、化简 的结果是（）A. B. C. D.
3、化简 的结果是（）A. B. C. D.
5．计算：① ； ② ； ③ .
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C 0这个限制条件和隐含条件B 0。
经典例题
1、把分式 的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（）
A.不变B.扩大2倍C.缩小2倍D.扩大4倍
2、下列各式正确的是（）
A. B. C. ，（ ）D.
3、下列各式的变式不正确的是（）
A. B. C. D.
4、在括号内填上适当的数或式子：
12、阅读命题：计算：
解：原式＝ ＝
请仿照上题，计算
知识点九：分式方程的解的步骤
去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）
解整式方程，得到整式方程的解。
检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：
如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
知识点五：最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
经典例题
1、约分：① ； ② ；
③ ； ④ .
2、下列化简结果正确的是（）
A. B. C. D.
3、下列各式与分式 的值相等的是（）
最新人教版八年级数学上册第十五章《分式方程》精品教案
施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工 30米才能按时完成任务.设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（ A ）
A. 1000 - 1000 2 x x 30
B. 1000 - 1000 2 x 30 x
C. 1000 - 1000 2 x x - 30
本题源自《教材帮》
拓展提升 2
解：（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人(20-a)台. 根据题意，得：150a+120(20-a)≥2800. 解得：a≥ 40 .
3
因为 a 是整数，所以a≥14. 答：至少购进A型机器人14台.
本题源自《教材帮》
课堂小结
1.同学们，今天你学到了什么呀？ 和同桌说说有什么收获。
分式方程
15.3.3 分式方程
知识回顾-课堂导入-新知探究-随堂练习-课堂小结-拓展提升 人教版-数学-八年级上册
知识回顾
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 分式方程必须满足的条件：（1）是方程；（2）含有分母； （3）分母中含有未知数.三者缺一不可.
分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程 x - 2 x（a为非零常数），分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，
为 s h，提速后列车平均速度为(x+v) km/h，提速后列车运行(s+50) km所用时
x
间为
s 50
h.
xv
根据行驶时间的等量关系，得： s 50 x xv
方程两边同时乘以x(x+v)，得s(x+v)=x(s+50)，解得：x sv .
检验：由v，s都是正数，得 x sv 时，x(x+v)≠0.
最新人教版初中八年级上册数学第十五章《分式》精品教案
判断一个式子是否为分式，不能将其化简后再判断，只需看原式的本 来“面目”是否符合分式的概念.
新知探究
知识点1 分式的概念
辨析：分数与分式 分式的概念可类比分数得到，分式的形式与分数类似，都有分子与分母，不同 的是分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，且分式的分 母中含有字母.
④ 2a - 5 3
⑧c 3(a - b)
解：分式有①③⑤⑥⑦⑧ 整式有②④
随堂练习 3
x-4 分式 x2 -16 中的字母满足什么条件时，分式无意义？
解：要使分式无意义，只要使分式的分母为0即可. x-4
∵分式 x2 -16 无意义, ∴分式的分母 x2 -16为0.
∴ x2 -16 0，则 x=4 或 x=-4.
x2 1
A.
x2
x -1
B.
x2 -1
x 1 C. x2 1
x -1
D.
x 1
解析：若使得分式有意义，则分式的分母不为0. 当x为任何实数时，分式都有意义，即是说明当x为任何实数时，分式的分母 都不等于0. 只要选项分式的分母能满足这个条件即是正确选项.
拓展提升 1
当x为任何实数时，下列分式一定有意义的是（ C ）
（2）由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性.
新知探究 知识点2 分式有意义、无意义的条件
分式有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式
的分母不能为0，即当B≠0时，分式
A B
才有意义.
分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B=0时，分式
A
无意义.
B
新知探究 知识点2 分式有意义、无意义的条件
人教版八年级数学第十五章《分式》全章教案
人教版八年级数学第十五章《分式》全章教案第十五章分式15.1.1从分数到分式教学目标1．了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系．2．能确定分式有意义的条件．教学重、难点分式的概念教学过程设计一、创设问题，激发兴趣XXX:一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？问题1顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？顺流航行的速度=轮船在静水中的速度+水流速度；逆流航行的速度=轮船在静水中的速度-水流速度．问题2这个问题的等量关系是什么？顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间．问题3应怎样设未知数？如何根据等量干系列出方程？解：设江水的流速为XXX.依题意得：追问式子与分数有甚么相同点和分歧点？它们与你学过的整式有甚么分歧？问题4填空：（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为cm.问题4填空：（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱描述器中，水面高度为cm；把体积为V的水倒入底面积为S 的圆柱描述器中，水面高度为.追问1上面问题中得到的式子，，，哪些不是我们学过的整式？追问2式子的特性？二、常识使用，巩固提高分式的定义：，，与以前学过的整式分歧，这些代数式有甚么配合一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那末式子叫做分式（fraction）.分式中，A叫做分子，B叫做分母.问题5我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为．要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？为什么？例1下列分式中的字母满足甚么条件时分式成心义？三、使用提高、拓展创新讲义128页操演1、2、3四、归纳小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）你能举例说明什么是分式吗？（3）如何确定分式有意义的条件？五、布置作业：教科书题15.1第1、2、3题.教后反思：15.1.2分式的基本性质（1）教学目标1．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．2．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．教学重、难点分式的基本性质和分式的约分教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题1下列分数是否相等？追问这些分数相等的依据是什么？问题2你能叙述分数的基本性质吗？分数的根本性质：一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为的数，分数的值不变．问题3你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？问题4类比分数的根本性质，你能想出分式有甚么性质吗？分式的根本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变．追问1如何用式子表示分式的基本性质？二、常识使用，巩固提高追问2应用分式的基本性质时需要注意什么？（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；（2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.例2填空：问题5观察上例中（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有甚么变化？类比分数的相应变形，你联想到甚么？像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．例3约分:追问1由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗？追问2如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？三、应用提高、拓展创新教科书132页操演1四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）运用分式的根本性质时应注意甚么？（3）分式约分的关键是甚么？如何找公因式？（4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？五、布置作业：教科书题15.1第4、6题.教后反思：15.1.2分式的基本性质（2）教学目标1．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母.2．经由进程类比分数的通分来探究分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.教学重、难点正确确定分式的最简公分母教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题1通分：追问1分数通分的依据是什么？追问2如何确定异分母分数的最小公分母？问题2填空：像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.追问1你认为分式通分的关键是什么？分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.追问2上面问题中的两个分式的公分母是甚么？为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.追问3两个分式的最简公分母是如何确定的？最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式算作一个团体，最后确定最简公分母．二、知识应用，巩固提高例通分：三、应用提高、拓展创新教科书132页练1四、归结小结（1）本节课研究了哪些首要内容？（2）分式通分的关键是什么？（3）分式通分时，确定最简公分母的办法是甚么？五、布置作业：教科书题15.1第7题教后反思：15.2.1分式的乘除（1）教学目标1．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想.2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理教学重、难点分式的乘除法法则的运用教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1一个水平放置的长方体，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当内的水占容积的m时，水面的高度为多少？n（1）这个长方体的高怎么表示？（2）内水面的高与内的水所占容积间有何关系？内水面的高与高的比和内的水所占容积的比相等.问题2大拖拉机m天耕地ahm2，小拖拉机n天耕地bhm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？（1）本题中出现的“工作效率”的含义是什么？（2）大拖沓机和小拖沓机的事情效率怎样表示？观察上述两个问题中所列出的式子中，其中涉及到分式的有哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？问题3计较：在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？如果将分数换成分式，那末你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？二、知识应用，巩固提高分式的乘除法法则如何用笔墨语言来描述？乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.例1计算：三、应用提高、拓展创新教科书138页练2四、归纳小结（1）本节课研究了哪些首要内容？（2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有甚么区别和联系？五、布置作业：讲义第144页第1题；第145页第10、11题．教后反思：15.2.1分式的乘除（2）教学目标1．能运用分式的乘除法法则进行复杂计算．2．能运用分式的乘除法解决一些简单的实际问题.教学重、难点用分式的乘除法法则进行计较，并解决一些实践问题．教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题1约分:分子与分母分别是多项式的分式如何约分？问题2计较:分子与分母都是单项式的两个分式如何乘除？二、知识应用，巩固提高例1计较：分子或分母是多项式的两个分式如何乘除呢？解题战略：对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．例2“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 XXX．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？考虑以下问题：①你能说出小麦的“单位产量”的含义吗？②如何表示这两块试验田的单位产量？③怎样确定哪类小麦的单位产量高？④你能列式表示（2）的问题吗？归结解题步调：（1）先根据题意分别列出表示两个量的代数式；（2）再根据题意列出相应的算式；（3）最后经由进程计较解决问题．三、使用提高、拓展创新教科书138页练3四、归纳小结运用分式的乘除法法则计算分子或分母含有多项式的分式主要步骤是什么？五、布置作业：教材第144页第2题．教后反思：15.2.1分式的乘方教学目标1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.教学重、难点分式的乘方及分式乘除、乘方夹杂运算教学过程设计一、创设问题，激起兴趣例1计算：2x3x.5x-325x2-95x+3练1计算:2m2n5p2q5mnp（）1；223q3pq4mn2m2-n2（n-m）m+n（2）；222m（m-n）mn16-a2a-4a-2（3）2．2a+8a+2a+8a+16考虑你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？（a2a3a10）=？（）=？（）=？bbba猜测：n为正整数时?b你能写出推导过程吗？试试看．你能用笔墨语言叙述得到的结论吗？分式的乘方法则：一般地，当n是正整数时，n这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．二、常识使用，巩固提高例2计较：例3计算：分式的乘除、乘方混合运算与分数的乘除、乘方混合运算有什么联系和区别吗？练2计算：三、应用提高、拓展创新教科书139页练2四、归纳小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）运用分式乘办法则计较的步调是甚么？它与整式的乘方运算有甚么区别和联系？（3）分式的乘方与乘除夹杂运算的运算顺序是甚么？五、布置作业：教科书题15.2第3（3）（4）题．教后反思：15.2.2分式的加减教学目标1．理解分式的加减法法则，体会类比思想．2．会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想．教学重、难点分式的加减法法则教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用3天才干完成这项工程，两队配合事情一天完成这项工程的几分之几？（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？问题年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年比拟，丛林面积增长率提高了多少？（1）甚么是增长率？（2）2010年、2011年的丛林面积增长率分别是多少？（3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同．观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．二、常识使用，巩固提高例计算：11（2）+．2p+3q2p-3q三、应用提高、拓展创新讲义141页操演1、操演2练：你能应用本节课所学知识解决“问题1”和“问题2”吗？四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）我们是怎么引出分式加减法法则的？（3）在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书题15.2第4、5题．教后反思：15.2.2分式的夹杂运算教学目标1．理解分式混合运算的顺序．2．会正确进行分式的混合运算．3．体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．教学重、难点分式的混合运算．教学过程设计一、创设问题，激起兴趣问题数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？分式的混合运算顺序：“从高到低、从左到右、括号从小到大”．例1计算：这道题的运算顺序是怎样的？经由进程对例1的解答，同学们有何播种？对于不带括号的分式混合运算：（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；（2）计算结果要化为最简分式．二、常识使用，巩固提高例2计算：52m-4（） 1m+2+3-m；2-mx+2x-1x-4（2）-．x2-2xx2-4x+4x通过对例2的解答，同学们有何收获？对于带括号的分式夹杂运算：（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计较；（2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（3）计算结果要化为最简分式．三、应用提高、拓展创新练1计算：四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）分式混合运算的顺序是什么？我们是怎么得到它的？（3）在进行分式混合运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书题15.2第6题．教后反思：15.2.3整数指数幂教学目标1．了解负整数指数幂的意义．2．了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算．3．会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1的正数．教学重、难点幂的性质（指数为全体整数），并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数．教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”，这些性质还适用吗？问题2am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那末负整数指数幂am表示甚么？（1）根据分式的约分，当a≠时，如何计较a（2）如果把正整数指数幂的运算性质中的条件m >n去掉，即假设这本性质对于像a数学中规定：当n是正整数时，a这就是说，XXXXXX33a5？（a≠，m，n是正整数，m >n）a5景遇也能使用，如何计较？1aaa是an的倒数．问题3引入负整数指数和指数后，am an am n（m，n是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？问题4类似地，你可以用负整数指数幂或指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是不是还适用？（1）am an am n（m，n是整数）；n（am）amn（m，n是整数）（2）；（ab）ab（n是整数）（3）；mnm n（4）a a a（m，n是整数）；XXXa（5）bnann（n是整数）．b二、知识应用，巩固提高例1计算：三、应用提高、拓展创新问题5能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：（1）am an am n（m，n是整数）；n（am）amn（m，n是整数）（2）；（ab）ab（n是整数）（3）；探索：XXX110 1101.0110 21001.00110 310001.000110 40.1归纳：如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？规律：对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个算起至小数点后第一个非数字前有几个，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几．例2用科学记数法表示下列各数：（1）0.3；（2）-0.000 78；（3）0.000 020 09.例3纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm =10-9m．把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．1mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体（物体之间的间隙忽略不计）？四、归结小结（1）本节课研究了哪些首要内容？（2）整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的运算性质有什么区别和联系？五、布置作业：教科书题15.2第7、8、9题教后反思：15.3分式方程（1）教学目标1．了解分式方程的概念．2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．教学重、难点利用去分母的方法解分式方程教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1为了解决弁言中的问题，我们得到了方程程，未知数的位置有甚么特点？追问1方程9060．仔细观察这个XXX30v30vx2x;2;1与上面的方程有甚么共2xx3x5x25x13x 3同特征？分母中含有未知数．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．追问2你能再写出几个分式方程吗？注意：我们以前研究的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．9060吗？30v30v问题3这些解法有什么共同特点？总结：这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？问题2你能试着解分式方程（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．（2）利用等式的性质2可以在方程双方都乘同一个式子——各分母的最简公分母．追问你得到的解v=6是分式方程二、常识使用，巩固提高问题4解分式方程：9060的解吗？30v30v110=2.x-5x-25110的解吗？该如何验证呢？x=5是原2x5x25分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．追问2上面两个分式方程的求解进程当中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为追问1你得到的解x=5是分式方程（30-v）=60（30+v）甚么整式方程90的解v=6是分式方程整式方程x+5=10的解x=5却不是分式方程9060的解，而30v30v110的解？2x5x25原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右双方是不是相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为．显然，第2种方法比较简便！问题5你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？根本思绪将分式方程化为整式方程一般步调：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：因为去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，以是需要检修．三、使用提高、拓展创新例解下列方程：四、归纳小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？五、布置作业：教科书题15.3第1（1）～（4）题．教后反思：15.3分式方程（2）教学目标1．会解较复杂的分式方程和较简朴的含有字母系数的分式方程．2．能够列分式方程解决简朴的实践问题．3．经由进程研究分式方程的解法，体会转化的数学思想．教学重、难点分式方程的解法教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1解方程x3-1=.x-1（x-1）（x+2）解分式方程的步骤：（1）去分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验．用框图的方式总结为：二、知识应用，巩固提高例2解关于x的方程a+b=1（b1）.x-a例3两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？三、应用提高、拓展创新某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组工作效率高25％，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1 800个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？四、归结小结（1）本节课研究了哪些主要内容？（2）解分式方程的一般步调有哪些？关键是甚么？解方程的进程当中要注意的问题有哪些？（3）列分式方程解使用题的步调是甚么？与列整式方程解使用题的进程有甚么区别和联系？五、布置作业：教科书题15.3第1（2）（4）（6）（8）、4、5题．教后反思：。
人教版八年级上册数学第十五章 《分式》全章教学设计
人教版八年级上册数学第十五章《分式》全章教学设计第十五章分式15.1.1 从分数到分式在实际问题中，我们常常需要描述不同量之间的关系。
为了更好地描述这种关系，我们引入了分式的概念，并建立了数学模型。
学生需要理解分式的概念，并掌握分式有意义的条件和值为零的条件。
重点：理解分式有意义的条件和值为零的条件。
难点：熟练地求出分式有意义的条件和值为零的条件。
一、复引入1.整式、单项式和多项式的概念。
2.判断下列各式中，哪些是整式，哪些不是整式。
8m + nab + aba + b233x - 4.2①。
1 + x + y。
2/2.2/2^2.33/2x + 2x + 1a + b2x二、探究新知1.分式的定义1) 通过一个实际问题，我们可以得到以下分式：30 + v)/(30 - v) 和 90/(30 + v) = 60/(30 - v)观察这些式子，我们可以发现它们都像分数一样，都是A/B的形式。
分数的分子A和分母B都是整数，而这些式子中的A，B都是整式，并且B中都含有字母。
归纳：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2) 为了使分式有意义，分式中的分母应满足B≠0的条件。
例如，对于分式2x/(1x + y)，分母1x + y不能为0，即x≠ -y。
学生可以自学教材中的例1和思考题，巩固理解分式有意义的条件。
2.分式的值为零的条件对于分式A/B，当A=0时，分式的值为0.而当B=0时，分式无意义。
学生需要熟练地求出分式有意义的条件和值为零的条件。
巩固练：教材第129页练第2和第3题。
3.补充例题：当分式的分子为零时，分式的值为多少？分析：当分式的分子为零时，分式的值为0，因为分子为零，分式的值就是0/分母，即0.答案：分式的值为0的条件是分子为零。
三、归纳总结1.分式是分数的推广，分式由分子和分母组成。
2.当分式的分母不为零时，分式有意义；当分式的分母为零时，分式无意义。
第十五章 分式【教案】八年级上册数学
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“分式”.1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,“数与式”是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,现阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性.“数与式”的教学:教师应该把握“数与式”的整体性,一方面,通过负数、有理数和实数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表述,进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义,会进行实数的运算;另一方面,通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.2.本单元教学内容分析人教版教材八年级上册第十五章“分式”,本章包括三个小节:15.1分式;15.2分式的运算;15.3分式方程.“数与式”主题通过从计算物体个数的活动中抽象出整数的概念,从把一个具体物体分为若干份的活动中抽象出分数的概念,这是一种从实物到数的抽象;为更好地反映这个一般规律,在研究整数和分数的过程中,又抽象出整式和分式的概念,这是一种从数到式的抽象.分数与分式是具体与抽象、特殊与一般的关系,即相对于分式而言,分数是具体的、特殊的对象,分式是把具体的分数一般化后的抽象形式.本单元强调的是“从具体到抽象,从特殊到一般”的认识事物的一般规律,处处突出类比在本单元学习中的重要作用,在概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等方面,分数与分式均相对应,两者具有一致性,也可以说是数式通性.本单元自始至终重视分式与实际的联系,选择一些适合分式内容又接近学生生活的实际问题展开编写.一方面要体现与研究分数类似,研究分式同样也是实际需要;另一方面以分式为工具,分析、解决实际问题,提高学生把实际问题转化为数学问题的能力,让学生认识到代数式(包含分式)、分式方程是解决现实问题的数学模型,体会数学中的建模思想,进一步培养学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和意识,这将有助于培养学生的创新精神.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十五章分式,它是“数与代数”中重要的一部分,学生在前面已经学习了整数与整式、一元一次方程、二元一次方程组等知识,初步积累了一定的用字母表示数以及四则混合运算的数学学习经验,特别是对一元一次方程的解法及基本思路已经比较熟悉,因此本单元运用类比的数学思想来展开分式教学,大大降低了学生学习的难度,同时这种“从具体到抽象、由特殊到一般”的认识事物的基本方法,会潜移默化地引导学生养成良好的学习习惯.建立分式方程的模型来解决实际问题是本单元的一个重要任务,能否以分式方程为工具,分析和解决问题是对学生应用意识和模型观念的一个重要考量,也是教学的关键.虽然分式整章的学习接近学生的最近发展区,但利用分式方程解决问题的特殊性,对学生来说仍是一个难点,分式方程化整式方程的基本思路是基础,对解出的未知数进行检验确认是必不可少的步骤,所以在此体会解分式方程的基本思路是非常自然、合理的,这对学生认识水平的提高,知识体系的构建是不可缺少的.四、单元学习目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,在了解分式概念的基础上发展学生的抽象能力.2.能通过类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,并利用分式的基本性质进行约分和通分,提高学生的知识类比和迁移能力,发展学生的推理能力.3.通过类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算法则,能进行简单的分式加、减、乘、除运算,逐步提高学生的运算能力.4.结合分式的运算,将指数的范围从正整数扩大到全体整数,了解整数指数幂的运算性质;能用科学记数法表示小于1的正数,发展学生的抽象能力、运算能力和模型观念.5.掌握可化分式方程为一元一次方程的解法,体会解分式方程过程中的化归思想,发展学生的运算能力和推理能力.6.经历利用分式方程解决实际问题的过程,进一步体会方程是刻画实际问题中数量关系的一种重要模型,培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
人教版初中数学教科书八年级上册第15章《从分数到分式》教案
人教版中学数学教科书八年级上册第15章15.1.1从分数到分式一、学习目标1．了解分式的概念，能确定分式有意义的条件，能确定使分式的值为0的条件．2．通过解决实际问题，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式．3．体会类比等数学思想或方法，获得数学学习的成功经验．二、教学重难点教学重点：分式的概念，分式有意义的条件．教学难点: 分式有意义的条件，分式的值为0的条件.三、教学过程（一）课题导入猜谜语：考试成绩考试作弊考试不作弊七上八下我们已经学过了分数，现在我们就类比分数来学习分式，这就是今天我们要学习的内容：从分数到分式.(二）探究同学们，数学来源于生活又服务于生活，你能利用我们以前学过的知识完成下面两道填空题吗？1.长方形的面积是10cm2，长为7cm，则宽为( )cm；长方形的面积为S，长为a，则宽为( ) .2．把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，则水面高度为( )cm；把体积为V的水倒入底面积为（a+b）的圆柱形容器中，则水面高度为( ) .在上面的两个问题中，像这些与分数形式一样的式子，我们把它叫做分式，那么什么叫分式？它与我们之前学习的整式有什么区别呢？请同学们带着这些问题，自主学习课本127页-128页思考前的内容,并完成以下学习要求：1．能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式是一种刻画现实世界中数量关系的数学模型.2.了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式.3.完成第129页练习2.（三）解决在学生观察、归纳的基础上，教师板书分式定义：形如（A、B为整式，且B中含字母）的代数式叫做分式．并类比分数剖析分式概念——形式：与分数一样，分式也是由分子、分母和分数线组成.内容：分数的分子分母都是整数，分式的分子分母都是整式.要求：分式的分母中必须含字母；分子中可以含字母，也可以不含字母．下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是给定字母不同的值，得到的结果也不同.说明字母取值具有任意性，看来分式比分数更具有一般性，那字母是否可以取任何值呢？为什么？那么你认为分式有意义的条件是什么？板书(分式有意义的条件）巩固练习1： 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？x32)1(1)2(-x x b 351)3(-y x y x -+)4(教师板书（1）的解题步骤，同学们类比老师的做题步骤来做以下三道题. 师生共同总结：分式有意义，需要分母不为0，需要解一个带“≠”的不等式． 巩固练习2 ：在分式中，对分子有要求吗？在什么条件下，分式的值为0.x x --212)1((2)引导学生发现分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0. 1将其中2张卡片分别放在分子、分母上，它们组成的式子是分式吗？如果是分式，它什么时候有意义？x 1-x －3（五）评价总结感悟，发散思维作业：教科书习题15.1复习巩固第1、2、3题.课外作业：教科书习题15.1拓展探索第13题. x ²－1 1＋x。
人教版初中数学八年级上册第十五章：分式(全章教案)
人教版初中数学八年级上册第十五章：分式(全章教案)Chapter 15: nsThis chapter covers ns。
ns with ns。
and ___ ns。
as well as using our knowledge of ns to solve real-world problems。
In the middle school entrance exam。
the ___ ns。
___ ns。
___。
and their ns.Key Focus of this Chapter]Using the ___ and combine them。
performing mixed ns with ns。
and solving real-___.Challenges of this Chapter]Performing mixed ns with ns and solving real-___.Thinking Methods in this Chapter]1.Master ___。
___ ns。
and understanding the rules of ns with ___ to the rules of ns with ns.2.Master ___。
___。
___。
___.3.___ method。
For example。
when using ___ real-world problems。
it is ___ model based on the actual problem and then ___ it.15.1 ns15.2 ns with ns15.3 ___2 class hours5 class hours2 class hours15.1 ns15.1.1 From ___ (First Class Hour)I。
Basic ObjectivesKnowledge and Skills]1.___.2.___.3.___-___.Processes and Methods]___ processes。
数学八年级上册第15章分式 教案 新人教版
【预习速填】
第十五章 分式
15.1 分式
1.分式的概念.分式有三个要素:①形如 的式子;②A,B 都是 ;③分母 B 中含有 .满足 这三个条件的式子即为分式.区别整式和分式的唯一标准是看分母中是否含有字母,若分母 中含有字母,则式子就是分式,若分母中字母,则分子是整式.此外,在列分式表示实际问题中 的某个量时,一定要注量关系的转化. 2.分式有(无)意义及分式值为 0 的条件.理解时注意以下几点:①分式的分母表示除数,由于
a，则宽为 (2)把体积为 200 cm3的水倒入底面积为 33 cm2的圆柱形容器中，则水面的高度为
cm；把体积为 V 的水倒入底面积为 S 的圆柱形容器中，则水面的高度为 学生举手回答，教师与学生一起及时纠正学生出现的错误，并将正确答案填入横线中. 然后教师引入本节课题，并板书.
探究 1：分式的定义 让学生观察刚才的四个式子，看它们有什么相同点和不同点？
教师板书(1)(2)的解答过程，学生独立完成(3)(4).
解：(1)要使分式 有意义，则分母 3x≠0，即 x≠0.因此，当 x≠0 时，分式 有意 义.
(2)要使分式
有意义，则分母 x-1≠0，即 x≠1.因此，当 x≠1 时，分式
有
意义.
(3)要使分式 有意义.
有意义，则分母 5-3b≠0，即 b≠53.因此，当 b≠53 时，分式
教师引导学生总结：①定符号：只把负号留给分式；②定分子与分母的公因式：各项系 数的最大公因数和相同因式的最低次幂的积;③分式约分的最后结果应为最简分式或整式， 即分子、分母没有公因式.
学生先练习，教师再根据情况指导.
教师总结方法：如果分子或分母是多项式，要先分解因式，再找出分子、分母的公因式， 最后根据分式的基本性质进行约分.
人教版初中数学课标版八年级上册第十五章151分式教案
重点：了解分式的概念，能识别整式、分式；难点：会判断分式中的字母满足什么条件时分式有意义.六、教学过程教师活动预设学生活动设计意图导入新课探究一：分式的概念1.长方形的面积为5，一边长3，则另一边长为_________；2.长方形的面积为S，一边长3，则另一边长为_________；3.长方形的面积为S，一边长a，则另一边长为_________；4.长方形的面积为（），一边长（），则另一边长为____________.思考：观察所列式子，如何对它们进行分类？预设：生1：一类，式子中不含有字母，，，为一类，式子中含有分母；生2:，为一类，式子分母中不含有字母，，为一类，式子分母中含有字母.师：像第一个圈中的式子，我们称他们为整式，分母中都不含有字母，而第二个圈中的式子分母含有字母，你们想如何称呼它们呢？通过长方形的实际背景问题引入，让学生在具体情境中抽象出数量关系和变化规律，培养符号感，体会数学是源于生活的思想，增强数学的应用意识.同时，让学生认识到从分数到分式的发展.同时，让学生对所列式子分类，有助于学生理解分式与分数、分式与整式的区别和联系.形成概念分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式.分式中，叫做分子，叫做分母.思考：（1）分式与分数有何联系？①分数中不含有字母，分式中分母一定含有字母；②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性.（2）分式与整式区别是什么？整式分母不含有字母，分式的分母中含有字母.（3）既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称让学生了解分式的概念是一种形式概念，它与整式的本质区别是它的分母中含有字母.为什么呢？有理式小试牛刀例1.下列各式哪些是整式？哪些是分式？2.请你说出一个式子，让你的同桌判断是整式还是分式？设置小试牛刀这一环节，意在及时巩固刚刚学会的新知识，进行概念的辨析，能区分整式与分式.提炼方法归纳小结：1、判断时，注意含有的式子，是常数.2、式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如： .及时引导学生归纳易错点，提高认识.探究二探究二：分式有意义的条件例2.引例中的问题4 分式，（1）当时，分式的值是多少？当时，分式值为（2）当，能算出来吗？当，分式的分母（3）当x为何值时，分式有意义？通过给分式中的字母赋值，让学生体会分式比分数更具有一般性，从分式到分数，体现了从一般到特殊的应用过程.同时让学生发现分母为0的情况，通过与分数类比，得出分式有意义的条件，渗透类比的数学思想.提炼方法归纳：对于分式，当B≠0时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.引导学生及时对解题方法进行总结，提高认识.小试牛刀下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？（写出过程）（1）（2）（3）（4）通过练习，让学生巩固解题方法.探究三探究三：分式值为零的条件例3：已知分式，当为何值时，分式的值为0？解：分式的值为0，因此分子的值为0，又因为分式分母不能为0，则进一步与分数类比，得出分式值为0的条件，渗透类比的数学思想.提炼方法归纳小结对于分式，当时，分式值为0.引导学生及时对解题方法进行总结，提高认识.小试牛刀当下列分式中的字母满足什么条件时分式的值为0？（1）（2）（3）通过练习，让学生巩固解题方法.游戏环节环节一：各显神通游戏规则：在第一环节中，为必答题.看到题目后，每组选取一个代表，按照组的顺序依次答题，答题过程中其他组不得讨论.答对一题得10分，答错不得分.1.长方形的面积为Scm²,长为7cm.宽应为______cm;长方形的面积为S,长为a,宽应为______;2.把体积为200cm³的水倒入底面积为 33cm²的圆柱形容器中,水面高度为_____cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度为 ___ ;3、△ABC的面积为 S ，BC边长为 a，高AD为______4、某村有n个人，耕地 40 公顷，人均耕地面积为_____ 公顷；5、甲完成工作量为m的工作需t小时，则甲的工作效率为______，乙完成同样工作比甲少用1小时，则乙的工作效率为________.环节二：眼疾嘴快游戏规则：第二环节为抢答题，看到题目后，任何人都可以回答.回答时先举手，答对得10分，答错不得分.游戏环节再次提升学生的兴趣.教师鼓励学生开阔思路、大胆发言、不断出新，师生共同分享“突发奇想”、掌握知识的喜悦，培养学生参与竞争的意识.综上所述：1、一辆汽车行驶a 千米用b小时，它的平均车速为千米/小时；一列火车行驶a千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速为千米/小时.2.下列式子中，是分式的是_________①，②，③，④，⑤，⑥，⑦3.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（）A. B. C. D.4.一个分子为x－5的分式，且知它在x≠1时有意义.你能写出一个符合上面条件的分式吗？试试看.拓展提高 1.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？2.在什么条件下，分式的值为0？让学有余力的学生有拓展思维的空间.学生感悟与反思引导学生思考并回答以下问题：通过本节课我知道了……我能……需要注意的是……我感悟了....数学思想鼓励学生大胆发言，审视自己本节课的学习效果.教师引导课堂小结1、分式的概念；2、分式有意义的条件；3、分式值为零的条件；4、数学思想方法：类比思想、从特殊到一般、从一般到特殊、转化思想.小结本节课所学知识，引导学生建构自己的学习框架，升华认识.布置作业1、书本P133 习题 15.1 1，2，32、《优化设计》课时作业课后作业的布置，使课堂学习的知识得到巩固和延伸.。
人教版初中数学八年级上册第十五章：分式（全章教案）
人教版初中数学八年级上册第十五章：分式（全章教案）第十五章分式本章的内容包括：分式、分式的运算、分式方程．本章我们将类比分数学习分式，解一些分式方程，并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题．在中考中，本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用．【本章重点】利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章难点】分式的混合运算及列分式方程解决实际问题．【本章思想方法】1．掌握类比思想．如：类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质，类比分数的运算法则理解分式的运算法则．2．掌握转化思想．如：把除法转化为乘法，把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法，把分式方程转化为整式方程．3．体会数学建模思想．如：在利用分式方程解决实际问题时，需根据实际问题建立数学模型，从而列出分式方程求解．15．1分式2课时15．2分式的运算5课时15．3分式方程2课时15．1分式15．1.1从分数到分式(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式．2．能够确定一个分式有意义、无意义的条件．3．能用分式表示现实情境中的数量关系．【过程与方法】经历类比、探究的过程，理解分式的概念和分式有意义的条件，在此基础上，利用分式有意义的条件求分式中未知数的值．【情感态度与价值观】类比分数的概念理解分式的概念，养成类比思考的习惯，探究分式有意义的条件，形成缜密的思维方式．二、重难点目标【教学重点】分式的概念及分式有意义、无意义的条件．【教学难点】利用分式有意义的条件求未知数的值．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P127～P128的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】一、分式的概念1．式子S a 、V S 以及引言中的9030＋v ，6030－v ，有什么特点？(1)它们与分数的相同点：形式相同都有分子和分母； (2)不同点：分式中分母含有字母，而分数的分母不含字母.2．一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式，其中A 叫做分子，B 叫做分母.3．下列各式中，是分式的有①②④⑦.①2bs ；②3000300a ；③27；④V S ；⑤S 32；⑥2x 2＋15；⑦45bc ；⑧－5. 二、分式AB的相关知识1．当B ＝0时，分式AB 无意义．2．当B ≠0时，分式A有意义．3．当A ＝0且B ≠0时，分式AB 的值为零．4．当x 取何值时，下列分式有意义？ (1)3x ＋2；(2)x ＋53－2x.解：(1)x ≠－2. (2)x ≠32.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式值为零？(1)x ＋1x －1； (2)x －2x 2－1； (3)x 2－1x 2－x. 【互动探索】(引发学生思考)根据分式有、无意义所满足的条件进行判断．分式的值为0，则分母不为0，且分子等于0.【解答】(1)有意义：x －1≠0，即x ≠1. 无意义：x －1＝0，即x ＝1.值为0：x ＋1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1. (2)有意义：x 2－1≠0，即x ≠±1. 无意义：x 2－1＝0即x ＝±1.值为0：x －2＝0且x 2－1≠0，∴x ＝2. (3)有意义：x 2－x ≠0，即x ≠0且x ≠1；无意义x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1；值为0：x 2－1＝0且x 2－x ≠0，即x ＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的．活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列各式中，是分式的是( C ) A ．3x 2＋x －1 B ．x －23C.2x －3x －1D ．1(2x －1)2．分式xx 2＋1有意义，则x 的取值范围为( D )A ．x ≠1B ．x ≠－1C ．x ≠1或x ≠－1D ．全体实数3．若分式xx 2－16的值为0，则x 的值为0.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．1.2分式的基本性质(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解和掌握分式的基本性质．2．能运用分式的基本性质约分、通分．【过程与方法】经历观察、对比、猜想的过程，归纳出分式的基本性质，在理解分式基本性质的基础上对分式进行约分和通分，从中了解最简分式和最简公分母．【情感态度与价值观】通过对比归纳分式的基本性质的过程，养成对比的习惯，通过对分式进行约分和通分，加深对分式基本性质的理解．二、重难点目标【教学重点】分式的基本性质，最简分式．【教学难点】运用分式的基本性质对分式进行约分和通分．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P129～P132的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为A B ＝A ·C B ·C ，A B ＝A ÷CB ÷C(C ≠0)，其中A 、B 、C 是整式．2．分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.3．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.4．最简公分母：通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】填空： (1)x y ＝x 2y ( )； (2)x 2－y 2xy 2＋y 3＝x －y ( )； (3)x －1y ＝( )xy2.【互动探索】(引发学生思考)根据分式的基本性质，当分式的分子(分母)乘或除以一个不等于0的整式时，分母(分子)该怎么变化？【分析】(1)因为xy 的分子x 乘xy 才能化为x 2y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分母也需乘xy ，即x y ＝x ·xy y ·xy ＝x 2yxy 2.(2)因为x 2－y 2xy ＋y 3的分子x 2－y 2除以x ＋y 才能化为x －y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分母也需除以x ＋y ，即x 2－y 2xy 2＋y 3＝(x 2－y 2)÷(x ＋y )(xy 2＋y 3)÷(x ＋y )＝x －yy 2.(3)因为x －1y 的分母y 乘xy 才能化为xy 2，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘xy ，即x －1y ＝(x －1)·xy y ·xy ＝x 2y －xyxy 2.【答案】(1)xy 2 (2)y 2 (3)x 2y －xy【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式的基本性质对分式变形时，注意分子、分母乘(除以)同一个不等于0的整式．【例2】约分：(1)2bcac ； (2)(x ＋y )y xy 2； (3)x 2＋xy (x ＋y )2. 【互动探索】(引发学生思考)分式的约分步骤→找出分子分母的公因式→化简为最简分式．【解答】(1)2bc ac ＝2b c ÷c ac ÷c ＝2b a .(2)(x ＋y )y xy 2＝(x ＋y )y ÷y xy 2÷y ＝x ＋yxy .(3)x 2＋xy (x ＋y )2＝x (x ＋y )(x ＋y )2＝x x ＋y. 【互动总结】(学生总结，老师点评)如果分子或分母是多项式，先分解因式再约分，约分的结果是最简分式或整式．【例3】通分：(1)x ac 与y bc ； (2)2x x 2－9与x 2x ＋6. 【互动探索】(引发学生思考)分式的通分步骤→确定各分式的公分母→化为分母相同的分式．【解答】(1)最简公分母是abc . x ac ＝x ·b ac ·b ＝bx abc . y bc＝y ·a bc ·a ＝ay abc.(2)最简公分母是2(x ＋3)(x －3)． 2xx 2－9＝2x ·22(x ＋3)(x －3)＝4x2x 2－18. x 2x ＋6＝x (x －3)2(x ＋3)(x －3)＝x 2－3x 2x 2－18 . 【互动总结】(学生总结，老师点评)确定公分母时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母．活动2 巩固练习(学生独学)1．分式3aa 2－b 2的分母经过通分后变成2(a －b )2·(a ＋b )，那么分子应变为( C )A ．6a (a －b )2(a ＋b )B ．2(a －b )C ．6a (a －b )D ．6a (a ＋b )2．约分：(1)2－a a 2－4； (2)9－a 2－a 2－3a ； (3)m 2－7m 49－m 2. 解：(1)－1a ＋2.(2)a －3a .(3)－m m ＋7. 3．通分： (1)12x 与1y ； (2)a2a ＋6与a －1a 2－9； (3)a －1a 2＋2a －3与1－a 2－4a ＋2a 2. 解：(1)12x ＝y 2xy ，1y ＝2x2xy.(2)a2a ＋6＝a (a －3)2(a ＋3)(a －3)＝a 2－3a 2a 2－18，a －1a 2－9＝2(a －1)2(a ＋3)(a －3)＝2a －22a 2－18. (3)a －1a 2＋2a －3＝2(a －1)2(a ＋3)(a －1)＝2a －22a 2＋4a －6，1－a 2－4a ＋2a 2＝1－a 2(a －1)2＝－12(a －1)＝－(a ＋3)2(a ＋3)(a －1)＝－a ＋32a 2＋4a －6.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！15．2分式的运算15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除一、基本目标【知识与技能】理解分式乘除法的运算法则，并能正确进行计算．【过程与方法】经历分析、对比的过程，类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则，利用分式的乘除法法则进行计算，增强对法则的理解与掌握．【情感态度与价值观】通过探索分式的乘除法法则的过程，提高对比、归纳的能力，培养从已学知识中推导新知识的习惯．二、重难点目标【教学重点】分式的乘除法法则．【教学难点】运用分式的乘除法法则进行计算并解决实际问题．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P135～P137的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为a b ·c d ＝a ·c b ·d.2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·db ·c.3．分式的乘除法运算，运算结果应化为最简分式. 环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ； (2)y7x ÷－2x . 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则进行计算时，需要注意什么？【解答】(1)原式＝a 2b 2c 2abc ＝abc .(2)原式＝y 7x ·－x 2＝－xy 14x ＝－y 14. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用分式乘除法法则进行计算，运算结果应化为最简分式．活动2 巩固练习(学生独学)1．计算a 2－1(a ＋1)2÷a －1a ，结果正确的是( D )A.12 B ．a ＋1a ＋2C ．a ＋1aD ．a a ＋12．计算：(1)x 2y x 3·－1y ； (2)a 2－4b 23ab 2·ab a －2b ；(3)x 2－x x －1÷(4－x )； (4)42(x 2－y 2)x ·－x 235(y －x )3.解：(1)原式＝－x 2y x 3y ＝－1x.(2)原式＝(a ＋2b )(a －2b )3ab 2·ab a －2b ＝a ＋2b3b .(3)原式＝x (x －1)x －1·14－x ＝x4－x.(4)原式＝42(x ＋y )(x －y )x ·x 235(x －y )3＝6x (x ＋y )5(x －y )2.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，求4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a 的值．【互动探索】利用已知等式求出a 、b 的值→计算分式的乘法，化简所求式子→代入a 、b 值进行计算．【解答】∵(a ＋b －2)2＋||1－a ＝0，∴ a ＋b －2＝0，1－a ＝0.解得a ＝1，b ＝1.4a 2－ab 16a 2－8ab ＋b 2·2a ＝a (4a －b )(4a －b )2·2a ＝24a －b. 将a ＝1，b ＝1代入上式，得原式＝24a －b ＝24－1＝23.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据非负数的性质求出a 、b 的值后，要代入化简后的式子进行计算．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)请完成本课时对应练习！第2课时分式的乘方及乘除混合运算一、基本目标【知识与技能】理解分式的乘方法则，掌握分式乘方与乘除混合运算的运算顺序．【过程与方法】经历计算、思考、归纳的过程，归纳出分式的乘法法则，通过分式的乘除混合运算和乘方运算，加深对分式乘除法法则和乘方法则的记忆，并了解乘方与乘除法混合运算的运算顺序．【情感态度与价值观】通过归纳分式乘方法则的过程，养成归纳意识，通过运用分式的乘除法法则和乘方法则进行混合运算，提高计算能力．二、重难点目标【教学重点】分式的乘方法则和混合运算顺序．【教学难点】运用分式的乘除法法则和乘方法则正确计算．环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P138～P139的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．教材第138页“思考”：a b 2＝a 2b 2；a b 3＝a 3b 3；a b 10＝a10b 10.2．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．用字母表示：a b n ＝a nb n . 3．分式的乘除法和乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除法．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算：2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·(x ＋3)(x －2)3－x .【互动探索】(引发学生思考)类比整式的乘除混合运算顺序进行分式混合运算．【解答】原式＝2x －64－4x ＋x 2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x＝2(x －3)(2－x )2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)3－x＝2(x －3)(x －2)2·1x ＋3·(x ＋3)(x －2)－(x －3)＝－2x －2【互动总结】(学生总结，老师点评)计算分式的乘除混合运算时，先统一为乘法运算，再依次进行计算．【例2】计算：(1)－2b 2a 33；(2)c 3a 2b 2÷c 4a 3b 2·c a 4. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘方法则进行计算时应该注意什么？当式子里同时有乘除法和乘方时，运算顺序是怎样的？【解答】(1)原式＝(－2b 2)3(a 3)3＝－8b 6a 9.(2)原式＝c 6a 4b 2÷c 8a 6b 2·c 4a 4＝c 6a 4b 2·a 6b 2c 8·c 4a 4 ＝c 2a2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)分式乘方时，注意分子、分母分别乘方，式子中有乘除法与乘方时，先算乘方，再算乘除法．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知x 3y 22÷－x y 32＝6，则x 4y 2的值是( A ) A ．6 B ．36 C ．12 D ．32．计算：(1)3ab 22x 3y ·－8xy 9a 2b ÷3x(－4b )； (2)3(x －y )2(y －x )3·(x －y )4÷9y －x ； (3)c 3a 2b 2÷c 4a 3b 2÷a c 4； (4)a －b ab 2·? ????－a b －a 3·(a 2－b 2)．解：(1)16b 29ax 3.(2)(x －y )43.(3)c 2a 2. (4)a (a ＋b )b 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】许老师讲完了分式的乘除一节后，给同学们出了这样一道题，若x ＝－2018，求代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值．小明通过计算，发现题目中的x ＝－2018是多余的．你认为小明的发现是否正确？【互动探索】先计算分式乘除运算的值→验证分式乘除运算的结果与x 的关系．【解答】x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1 x ＋2＝(x ＋2)(x －2)x 2＋x ＋1·x (x 2＋x ＋1)x (x －2)·1x ＋2＝1.∴代数式x 2－4x 2＋x ＋1÷x 2－2x x 3＋x 2＋x ·1x ＋2的值是一个定值，与x 的取值无关．故小明的发现是正确的．【互动总结】(学生总结，老师点评)将代数式化简后，如果结果是一个常数，那么该代数式的值与其中字母的取值无关．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)。