人教版八年级上册数学第十五章 《分式》全章教学设计

第十五章 分式

15．1.1 从分数到分式

1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．

2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．

重点:理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．

难点:能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．

一、复习引入

1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？

2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？

①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2

－42x

. 二、探究新知

1．分式的定义

(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？

分析：设江水的流速为v 千米/时．

轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v 小时，所以9030＋v

＝6030－v

. (2)学生完成教材第127页“思考”中的题．

观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s

，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是A B

(即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．

归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B

叫做分式． 巩固练习：教材第129页练习第2题．

2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？

分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式A B 才有意义． 学生自学例1. 例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y

. 解：(1)要使分式23x

有意义，则分母3x≠0，即x≠0； (2)要使分式x x －1

有意义，则分母x －1≠0，即x≠1； (3)要使分式15－3b 有意义，则分母5－3b≠0，即b≠53

； (4)要使分式x ＋y x －y

有意义，则分母x －y≠0，即x≠y. 思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？

巩固练习：教材第129页练习第3题．

3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0?

(1)m m －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2

－1m ＋1

. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？

分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．

答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1.

三、归纳总结

1．分式的概念．

2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．

3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．

四、布置作业

教材第133页习题15.1第2，3题．

在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．

15．1.2 分式的基本性质(2课时)

第1课时 分式的基本性质

1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形．

2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．

重点:理解并掌握分式的基本性质． 难点:灵活运用分式的基本性质进行分式变形．

一、类比引新

1．计算：(1)56×215；(2)45÷815

. 思考：在运算过程中运用了什么性质？

教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质．

2．你能说出分数的基本性质吗？

分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变．

3．尝试用字母表示分数的基本性质：

小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式． a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷c b÷c

.(其中a ，b ，c 是实数，且c≠0) 二、探究新知

1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？

分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．

你能用式子表示这个性质吗？

A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C

.(其中A ，B ，C 是整式，且C≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝ab a 2，你还能举几个例子吗？ 回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程．

学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．

2．想一想

下列等式成立吗？为什么？

－a －b ＝a b ；－a b ＝a －b ＝－a b

. 教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．

例1 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号：

(1)－2a －3a ；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y

. 例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：

(1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1

. 引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则．

例3 填空：

(1)x 3xy ＝（ ）y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y （ ）

； (2)1ab ＝（ ）a 2b ，2a －b a 2＝（ ）a 2b

.(b≠0) 解：(1)因为x 3xy

的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x ，即

x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y

. 同样地，因为3x 2＋3xy 6x 2的分子3x 2＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，即 3x 2＋3xy 6x 2＝（3x 2＋3xy ）÷（3x ）6x 2÷（3x ）＝x ＋y 2x

. 所以，括号中应分别填入x 2和2x.

(2)因为1ab

的分母ab 乘a 才能化为a 2b ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a ，即

1ab ＝1·a ab·a ＝a a 2b

. 同样地，因为2a －b a 2的分母a 2乘b 才能化为a 2b ，所以分子也需乘b ，即 2a －b a 2＝（2a －b ）·b a 2·b ＝2ab －b 2a 2b

. 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2.

在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．