二次函数中的几何最值问题[优质ppt]
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《用二次函数求几何问题中的最值》PPT课件
8．[教材改编题]关于二次函数 y＝(x＋1)(2－x)的最值的说法正
确的是( B ) A．当 x＝－12时，y 有最大值为94 B．当 x＝12时，y 有最大值为94 C．当 x＝－32时，y 有最大值为 2 D．当 x＝32时，y 有最大值为 2
9．已知 y＝－x(x＋3－a)＋1 是关于 x 的二次函数，当 1≤x≤5 时，y 在 x＝1 时取得最大值，则实数 a 的取值情况是( D ) A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5
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1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
高中数学复习课：二次函数的最值优质教学课件PPT
解：f (x) ax2 2x 1, x 1,2, a 0,
当2
2 时，即0 a 1，此时f a
(x)max
f
(0)
1;
当a 1时，f (x)max f 2 4a 3
所以f
(
x)max
1，0 4a
a 3,
a
1
1
变式5：f (x) x2 2ax 1, x 1,2，a ,1的最大值
第三章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高中数学复习课 §3.4 二次函数的最值问题探究
引题： 一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c
在同一坐标系中的图象大致是
（
）
√
思考：参数a,b,c对二次函数图象的影响？
例：f (x) x2 2x 1, x 1,2的最大值与最小值
轴动区间定
1 3
1 3
(－∞，－1)∪23，23
4.若(a＋1) <(3－2a) ，则实数a的取值范围是__________________.
自主演练
3.幂函数f(x)＝x a 2－10 a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
则a等于
A.3
√ B.4 C.5 D.6
解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝x(a－5)2－2 (a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
§3.4 幂函数
特殊探究：当 0时？
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析
y＝xα 的图象特征：
（1）第一象限 （2）第二、三象限
二次函数的最值问题课件
顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有 最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而 找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最 值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值 。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶 点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值 。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点， 再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从 而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景 进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值 求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利 用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是 二次函数在特定条件下的最大值 或最小值。这些条件可能包括函 数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛 物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定 了抛物线的上下位置。
人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(几何面积最值问题)课件
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并 求出这个费用.
解：(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形 面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
.
b 2a
时，二次函数有最小
考点探究 利用二次函数求几何图形的面积的最值
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面 积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场 地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
解： 矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (ห้องสมุดไป่ตู้)
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并 求出这个费用.
解：(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形 面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
.
b 2a
时，二次函数有最小
考点探究 利用二次函数求几何图形的面积的最值
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面 积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场 地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
解： 矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (ห้องสมุดไป่ตู้)
二次函数的最值问题(课件)
二次函数的单调性
探讨二次函数在定义域内的单调性及其应用。
递增
当二次函数在定义域内递增时，函数值随自变量的 增加而增加。
递减
当二次函数在定义域内递减时，函数值随自变量的 增加而减小。
二次函数的最值存在性定理
研究二次函数在定义域内的最值及其实际应用。
1
最大值存在
当二次函数的系数a为负时，函数在定义域内存在最大值。
2
最小值存在
当二次函数的系数a为正时，函数在定义域内存在最小值。
3
应用举例
高空抛物运动和经济生产成本最小化问题。
求解二次函数的最值
介绍三种方法求解二次函数的最值，并提供实例演示。
配方法
通过坐标变换将二次函数转化 为标准形式，再求解最值。
求导数法
求二次函数的导数，找出极值 点，进而量值。
1 常见错误
对最值问题中容易出现的错误进行梳理和解答。
2 纠正方法
针对学生常见错误，提供具体纠正方法和建议。
3 信息搜索
介绍如何搜索最值问题解题思路和方法的有效途径。
联系与拓展
探讨二次函数最值问题与其他数学知识的联系，以及应用在其他领域的延伸。 如与最优化问题的关系，以及在物理、经济等领域中的应用。
2 完全平方公式
利用完全平方公式，将二次函数转化为平方 项相加的形式，求出零点。
二次函数的图像特点
了解二次函数图像的对称轴和开口方向，以及与函数系数之间的关系。
对称轴
二次函数图像关于垂直于x轴 的直线对称。
开口方向
由二次项系数的正负确定开 口的方向。
函数系数
了解函数系数与图像形状的 关系，如变量a的变化。
二次函数的最值问题
本课件介绍了二次函数的最值问题。包括二次函数的定义和特点、求零点的 因式分解法和完全平方公式、二次函数的图像与对称轴、单调性、最值存在 性定理等。
中考数学《二次函数-几何最值问题》课件
两
动
l1
l2
两
M B
平
N A
行
l1
l2
B M N
A
A1
线 逆向 对称 顺向 连接
一、透过“前世”知本源
【造桥选址问题】如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一 座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（取定河的两岸 是平行的直线，桥要与河岸垂直）
知本源 【模型2】
造
类型1：直线l1， l2且l1∥l2 ,点A，B分别在直线l1、
两
动
l1
l2
l1
l2
两
平
A
行
B
N M
B
N M A
线
顺向 连接
知本源 【模型1】
两
类型3：如图已知直线l1 ， l2及两点A ，B，在直线l 2 上作一点N，在l1上作点M.
定 （2）点A ，B在两直线两外侧 使AN+NM+MB最小
两
动
l1
l2
l1
l2
两 平 行
M A
B N
B1 M
A
B N
A1
线
逆向 对称
一、透过“前世”知本源
（2014•重庆中考B卷）如图，已知抛物线 y= -x2 +2x+3 与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C 重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M， 交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求 △BPN的周长； （3）在（2）的条件下，当BCM的面积最 大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得 △CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．
二次函数的应用ppt课件
②根据题意，得绿化区的宽为
= （x-20）（m），
∴y=100×60-4x（x-20）.又 ∵28≤100-2x≤52，∴24≤x≤36. 即 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围为 y=-4x2+80x+6 000 （24≤x≤36）；
-7-
2.4 二次函数的应用
（2）y=-4x2+80x+6 000=-4（x-10）2+6 400. ∵a=-4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x= 10. 当 24≤x≤36 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 x=24 时，y 最大=5 616，即停车场的面积 y 的最大值为 5 616 m2； （3）设费用为 w. 由题意，得 w=100（-4x2+80x+6 000）+50×4x（x- 20）=-200（x-10）2 +620 000， ∴ 当 w=540 000 时，解得 x1=-10，x2=30. ∵24≤x≤36，∴30≤x≤36，且 x 为整数， ∴ 共有 7 种建造方案． 题型解法：本题是确定函数表达式及利用函数的性质设计工程方案的问题. 解题过程中应理解：（1）工程总造价是绿化区造价和停车场造价两部分的和； （2）根据投资额得出方程，结合图象的性质求出完成工程任务的所有方案.
（1）解决此类问题的关键是建立恰当的平面直角坐标系； 注意事项
（2）根据题目特点，设出最容易求解的函数表达式形式
-9-
2.4 二次函数的应用
典题精析 例 1 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系， 其函数的关系式为 y=- x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，水面宽 度 AB 为 （ ） A． -20 m B． 10 m C． 20 m D． -10 m
二次函数的极值问题. ppt课件
26
做一做
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
解: 1.由4y 7x x 15. 得, y 15 7x x .
由(1)知6 x<15
当垂直于墙的边长为7.5米是，花圃
的面积最大为112.5平方米。
（3）由图象知：当6≤X ≤11时，面积 不小于88平方米.
PPT课件
25
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
y（件） 70 50 35
若销售量y是销售价格x的一次函数. (2)若要获得最大的销售利润,每件产品的销售价 格定为多少元？此时每日的销售利润是多少？
设销售利润为W,则 当x 320 160时,
W=(x-120)·y
2
=(x-120)·(-x+200) W=1600
=-x2+320x-2400 PPT课件 则:……
=-2x2+440x+158400
…… =-2(x-110)2+182600
所以,当x…=1…10时,yP有PT课件最大值182600
15
3.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元, 每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查, 如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出 租会减少6间,不考虑其它因素,旅社将每间客房的 日租金提高到多少元时,客房日租金总收入最高？ 比装修前的日租金的总收入增加多少元？
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特征：（两动两定点）
（1）求三条线段之和最短；
P′
（2）有一条固定线段（固
定线段两端点为动点）
解决方法： 利用作“平移”将其转化为一 条线段求之。
变式 训练
变式：如图，M为 y 轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点， 求 PM+MN+NA的最小值.
特征：（两动两定点）
P
（1）求三条线段之和最短；
二次函数中的几何最值
知识 要点
1. 在学过的几何中，有哪些与线段最值相关的定理？
1. 所有两点的连线中，线段最短。
2. 直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短。
2. 如图，已知线段AB，点C 为平面内任一点，比较大小
AC+BC
AB
若求两条（或多条）线
段之和最短时，常将其
A
B
转化为一条线段求之。
（2）无固定线段
解决方法：
对称 + 对称
典型 例题
（4）如图，M为 x 轴上一动点， 求 CM 1 MB的最小值.
2
特征：（一动两定点） （1）求两条线段之和最短； （2）其中有一条为几分之 几的线段
M
解决方法：
Q
构造角 + 垂线
典型 例题
解决方法：
对称 + 垂线
C
Q M
课堂 小结
2个原理，2种手段，1种思想
3. 求几何最值有哪些常见方法呢？ （1）轴对称； （2）平移；
典型 例题
（1）填空：点A、B、C、D、P 的坐标分别为：
y D (1, 4)
(0, 3) C
P (2, 3)
(-1, A0) O
Bx
(3, 0)
典型 例题
（2）如图，M为y轴上一动点， 求BM+DM最小值.
y D'
D (1,4)
CM
M
AO
B (3,0)x
特征：（一动两定点） 求两条线段之和最短；
解决方法： 利用作“对称”将其转化为一 条线段求之。
变式 训练
E
特征：（两动两定点） （1）求三条线段之和最短； （2）有一条固定线段（固 定线段两端点为定点
解决方法： 利用作“对称”将其转化为一 条线段求之。
典型 例题
（3）如图，M为 y轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点， 且MN⊥ y轴，求 PM+MN+NA的最小值.
2个原理： （1）两点之间，线段最短；（2）垂线段最短。 2种手段： （1）轴对称； （2）平移。 一种思想： 转化的思想
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