建立函数模型,解决实际问题
高一数学教案：自建函数模型解决实际问题-精选教育文档
高一数学教案：自建函数模型解决实际问题【】欢迎来到查字典数学网高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。
因此小编在此为您编辑了此文：高一数学教案：自建函数模型解决实际问题希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高一数学教案：自建函数模型解决实际问题第二课时自建函数模型解决实际问题课前预习学案一、预习目标：知道5种基本初等函数及其性质二、预习内容：函数图像定义域值域性质一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数三.提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：能够通过题意，自建模型，解决实际的问题学习重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。
学习难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
二、探究过程：例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。
销售单价与日销售量的关系如图所示:销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶 480[来 440 400 360 320 280 240请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润?探索以下问题：(1)随着销售价格的提升，销售量怎样变化?成一个什么样的函数关系?(2)最大利润怎么表示?润大利润=收入-支出本题的解答过程：解：本题总结例2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表(身高：cm;体重：kg)身高 60 70 80 90 100 110体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50身高 120 130 140 150 160 170体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.051) 根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。
如何根据实际问题建立函数模型
如何根据实际问题建立函数模型建立函数模型是解决实际问题中常用的一种数学工具，它能够将变量之间的关系进行抽象和表达，为问题的分析和求解提供有效的途径。
在本文中，将介绍如何根据实际问题建立函数模型，并通过具体案例加以说明。
一、实际问题的分析在建立函数模型之前，我们首先需要对实际问题进行全面的分析和理解。
这包括确定问题的背景、目标和限制条件，明确需要研究和求解的主要变量，以及它们之间的关系等。
二、确定函数的自变量和因变量在建立函数模型时，需要确定函数的自变量和因变量。
自变量是指在问题中可以独立变化的变量，而因变量是自变量变化所导致的结果。
通过明确自变量和因变量，可以为函数模型的建立提供基础。
三、收集数据和观察现象为了建立准确的函数模型，需要收集数据并观察现象。
通过实验、调查或者观察等手段获取数据，并对数据进行整理和分析，以揭示自变量和因变量之间的关系。
这有助于形成初步的函数模型。
四、选择函数类型和形式根据实际问题的特点和需求，选择合适的函数类型和形式。
常见的函数类型包括线性函数、指数函数、对数函数、多项式函数等。
根据数据和观察结果，选择适当的函数形式，并进行函数参数的估计。
五、建立函数模型在确定函数类型和形式之后，根据问题分析和数据观察结果，可以建立函数模型。
函数模型是问题分析和数据处理的产物，它能够简洁、准确地表达变量之间的关系。
六、模型的验证和修正建立函数模型之后，需要对模型进行验证和修正。
使用模型对新的数据进行拟合和预测，并与实际观测结果进行比较，以评估模型的准确性和适用性。
如果模型存在偏差或误差，可以考虑对模型进行调整和修正，以提高模型的精确度和适应性。
七、模型的应用和分析建立准确的函数模型之后，可以将其应用于实际问题的求解和分析中。
通过模型的分析和计算，可以获得对问题的深入理解和洞察，为问题的解决提供有力的支持和指导。
八、模型的优化和改进建立的函数模型可能存在不足之处，可以根据问题的需求和模型的应用，对模型进行优化和改进。
建立函数模型解决实际问题课件-高一上学期数学人教A版
反式比吗例？函数还可以归写纳成等其价他形形式：
y k x
y kx1 xy k
三、感悟新知、体会运用
2、以同桌为单位，举出一些生活中反比例函数 的实例，与同伴交流，再写出函数关系式。
四、分析例题、培养能力
例 已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6. （1）写出y与x的函数关系式； （2）求当x=4时,求y的值.
请用函数表达式表示下列问题中两个变量之间关系
2、根据贵州省县县通高速的“文件精神”计划从 该县修建一条长为158km的高速公路，完成该项目 的天数a（天）与每天完成量b(km)之间关系。
3、贵州省某银行提供了80000万元的无息贷款 给修建公司，该修建公司的年平均还款额y（万元） 与还款年限x（年）之间的关系。
五、梳理回味
1、通过这节研究反比例函数，你有什么收获和困惑? 2、类比前面学习函数的研究思路，对于反比函数， 还需研究什么内容？
六、作业布置
1.（必做）教科书第3页练习1，习题26.1第1,2题
2、思考：根据我们之前学习的函数图像的画法， 任意写出一个反比例函数，画出它的图像，你有 什么发现？
我相信同学们有一个能够发现问题 的眼光，能够有一个分析问题的头脑， 拥有能够用数学语言来表达实际问题的 能力，那我们的数学必定会一帆风顺！
列出：
(1)s 60t (2)s 70 80t
(4)a 158 b
(5) y 80000 x
问题：
(3)t 180 v
（1）你能将它们进行分类吗？
（2）剩下的函数表达式具有什么共同特征？
（3）类比正比函数，你能设计出一个“一般形式”
来表示以上函数关系式吗？请试给上述函数下定义
反比例函数定义： 一般地、形如 y k (k为常数，k ≠ 0) 的函数，
高中数学同步教学 用函数模型解决实际问题
的强度水平L1表示,它们满足以下关系: L1=10·lg(单位为分
0
-12
2
贝,L1≥0,其中I0=1×10 W/m ).回答以下问题:
(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10
W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8 W/m2,试分别求出它们的
示的曲线.当Leabharlann ∈(0,14]时,曲线是二次函数图像的一部分,当t∈[14,40]
时,曲线是函数f(t)=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图像的一部分.根据专家
研究,当注意力指数P大于等于80时听课效果最佳.
(1)试求P=f(t)的函数关系式.
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?
1
=1,所以1 =10·lg 1=0,则树叶沙沙声的强度水平为 0 分贝;耳语的
0
强度是 I2=1×10-10 W/m2,则 2 =102,所以2 =10·lg 102=20,即耳语声
0
的强度水平为 20 分贝;恬静的无线电广播强度是 I3=1×10-8 W/m2,
3
则 =104,所以3 =10·lg 104=40,即恬静的无线电广播的强度水平为
强度水平;
(2)在某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水
平必须保持在50分贝以下,试求该小区内公共场所的声音强度I的
范围.
分析:(1)正确理解声音的强度I与强度水平L1的区别,将I代入公式,
求出L1;
(2)利用L1的范围确定I的范围.
题型一
题型二
题型三
2024贵阳中考数学二轮中考题型研究 题型十一 建立函数模型解决实际问题 (含答案)
2024贵阳中考数学二轮中考题型研究题型十一建立函数模型解决实际问题典例精讲例甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m.(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；【思维教练】根据已知得到A、B两点的坐标，设出顶点式，代入即可求解．例题图(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处．有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)；【思维教练】根据题干条件得到工人到点O的距离为1m，计算出当x＝1时y的值，将该数值与工人的身高进行比较，即可判断工人的头顶是否会触碰到桥拱．(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．【思维教练】先画出函数图象，结合二次函数的增减性，找到平移的最大距离及最小距离，即可确定m的取值范围．例题图③针对演练1.2022年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况，数据如下表：(表中9～15表示9＜x≤15)时间x(分钟)012345人数y(人)0170320450560650时间x(分钟)67899～15人数y(人)720770800810810(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？2．为进一步缓解城市交通压力，贵阳推出公共自行车．公共自行车在任何一个网店都能实现通租通还，某校学生小明统计了周六校门口停车网点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数(称为存量)情况，表格中x＝1时的y值表示8：00点时的存量，x ＝2时的y值表示9：00点时的存量，…，以此类推，他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图所示的一个二次函数关系.时段x还车数借车数存量y7：00～8：00175158：00～9：00287n……………根据所给图表信息，解决下列问题：(1)m＝________，解释m的实际意义：__________________________________________；第2题图(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；(3)已知10：00～11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．参考答案典例精讲例解：(1)由题意得，水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，结合函数图象可知，顶点B(4，4)，点O(0，0)，设二次函数的表达式为y＝a(x－4)2＋4，将O(0，0)代入函数表达式，解得a＝－1 4，∴二次函数的表达式为y＝－14(x－4)2＋4，即y＝－142＋2x(0≤x≤8)；(3分)(2)工人不会碰到头．理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，由题意得，工人距点O的距离为0.4＋12×1.2＝1，∴将x＝1代入y＝－14x2＋2x，解得y＝74 1.75；∵1.75m＞1.68m，∴此时工人不会碰到头；(7分)(3)∵抛物线y＝－14x2＋2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称，如解图①，新函数图象的对称轴也是直线x＝4，此时，当0≤x≤4或x≥8时，y的值随x值的增大而减小，将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，如解图②，∵平移不改变图形形状和大小，∴平称后函数图象的对称轴是直线x＝4＋m，∴当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小，∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，得m的取值范围是：①m≤8且4＋m≥9，得5≤m≤8，②8＋m≤8，得m≤0，由题意得m＞0，∴m ≤0不符合题意，舍去．综上所述，m 的取值范围是5≤m ≤8.(12分)图①图②例题解图针对演练1.解：(1)由表格中数据的变化趋势可知，①当0≤x ≤9时，y 是x 的二次函数，∵当x ＝0时，y ＝0，∴二次函数的关系式可设为y ＝ax 2＋bx ，＝a ＋b ，＝9a ＋3b ，10，＝180.∴二次函数的关系式为y ＝－10x 2＋180x ；②当9<x ≤15时，y ＝810，∴y 与x 之间的函数关系式为y 10x 2＋180x （0≤x ≤9），（9<x ≤15）；(4分)(2)设第x 分钟时的排队人数是W 人，根据题意，得W ＝y －40x 10x 2＋140x （0≤x ≤9），－40x （9<x ≤15），①当0≤x ≤9时，W ＝－10x 2＋140x ＝－10(x －7)2＋490，∴当x ＝7时，W 最大＝490；②当9＜x ≤15时，W ＝810－40x ，W 随x 的增大而减小，∴210≤W ＜450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得810－40x ＝0，解得x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；(8分)(3)设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得12×20(m ＋2)≥810，解得m ≥118.∵m 是整数，∴m ≥118的最小整数是2，∴从一开始就应该至少增加2个检测点．(12分)2．解：(1)13，7：00时自行车的存量；【解法提示】m ＋7－5＝15，m ＝13，m 的实际意义是7：00时自行车的存量．(2)由题意得，n ＝15＋8－7＝16，设二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把(0，13)、(1，15)和(2，16)＝13，＋b ＋c ＝15，a ＋2b ＋c ＝16，＝－12，＝52，＝13，∴二次函数关系式为y ＝－122＋52x ＋13；(3)当x ＝3时，y ＝－12×32＋52×3＋13＝16，当x ＝4时，y ＝－12×42＋52×4＋13＝15，设10：00～11：00这个时段的借车数为t ，则还车数为2t －4，根据题意得，16＋2t －4－t ＝15，∴t ＝3，∴10：00～11：00这个时段的借车数为3辆．。
构建函数模型解决实际问题
高中数学：构建函数模型解决实际问题角度1 构造一次函数、二次函数模型某创业团队拟生产A ，B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比(如图①)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图②)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润f (x )，g (x )表示为关于投资额x 的函数．(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A ，B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A ，B 两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？解：(1)由A 产品的利润与投资额成正比，可设f (x )＝kx ，将点(1,0.25)代入，得f (x )＝14x (x ≥0)．由B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，可设g (x )＝t x ，将点(4,2.5)代入，得g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为(10－x )万元， 创业团队获得的利润为y 万元，则y ＝g (x )＋f (10－x )＝54x ＋14(10－x )(0≤x ≤10)．令x ＝t ，则y ＝－14t 2＋54t ＋52(0≤t ≤10)， 即y ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)， 当t ＝52，即x ＝6.25时，y 取得最大值4.062 5.答：当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得最大利润，获得的最大利润为4.062 5万元．角度2 构造指数函数、对数函数模型候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．解：(1)设DQ ＝x m(x ＞0)，则AQ ＝(x ＋20)m.∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP ，∴AP ＝30(x ＋20)x. ∴S ＝12AP ·AQ ＝15(x ＋20)2x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋400x ＋40≥1 200， 当且仅当x ＝20时取等号，∴DQ 的长度为20 m 时，S 最小，S 的最小值为1 200 m 2.(2)∵S ≥1 600，∴由(1)整理得3x 2－200x ＋1 200≥0.解得0＜x ≤203或x ≥60，即要使S 不小于1 600 m 2，则DQ 的长度范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，203∪[60，＋∞)． 角度4 构造分段函数模型(2019·湖北孝感八校联考)共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h (x )＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2，0＜x ≤400，80 000，x ＞400，其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润y (单位：元)表示为关于月产量x 的函数．(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？解：(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元，则y ＝⎩⎨⎧ －12x 2＋300x －20 000，0＜x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0＜x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，故当x ＝300时，y max ＝25 000；当x ＞400时，y ＝60 000－100x 是减函数，故y ＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．1.一、二次函数模型问题的2个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．2．指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．3．“y＝x＋ax(a＞0)”型函数模型的求解策略(1)“y＝x＋ax”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型函数模型．(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋ax(a＞0，x＞0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．4．分段函数模型的求解策略(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．(1)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(B) A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．(2)(2019·福建三明第一中学月考)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500)，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．①当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？②该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：①当x ∈[200,300]时，该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200,300]时，S ＜0，因此，该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．②由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x －200＋80 000x ，x ∈[144，500).当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x 取得最小值240.当x ∈[144,500)时，y x ＝12x －200＋80 000x ≥2x 2·80 000x －200＝400－200＝200，当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400时，y x 取得最小值200.∵240＞200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。
解决实际问题的函数模型建立
解决实际问题的函数模型建立在解决实际问题时，建立函数模型是一种常见且有效的方法。
函数模型可以帮助我们从复杂的问题中抽象出数学模型，进而进行定量分析和预测。
本文将介绍解决实际问题时建立函数模型的几个常用方法，并通过具体案例进行说明。
一、线性回归模型线性回归是一种常见的函数模型，用于描述自变量与因变量之间的线性关系。
它的数学形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε其中，y表示因变量，x1、x2、...、xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn是待估参数，ε表示误差项。
举个例子，假设我们想建立一个预测房屋价格的模型，我们可以将房屋的面积、卧室数量、地理位置等作为自变量，房屋价格作为因变量。
通过收集一定数量的房屋数据，并进行线性回归分析，我们可以得到一个线性回归模型来预测房屋价格。
二、非线性回归模型有些实际问题的数据关系并不完全符合线性假设，此时我们可以使用非线性回归模型来更准确地描述数据间的关系。
非线性回归模型可以采用多项式、指数、对数、幂函数等形式。
以生长速度为例，我们可以使用非线性回归模型来建立植物生长的函数模型。
通过观察和实验，我们可以得到不同时间点下植物的生长速度数据，然后采用非线性回归的方法拟合出一个较为准确的生长函数，从而对未来的生长速度进行预测。
三、时间序列模型时间序列模型用于分析和预测时间上连续观测值之间的关系。
它常用于金融、经济、气象等领域的数据分析。
以股票价格预测为例，我们可以使用时间序列模型来建立股票价格的函数模型。
通过收集历史股票价格的数据，我们可以分析价格序列的趋势、周期和季节性变动，并建立相应的时间序列模型，从而对未来的股票价格进行预测。
四、概率模型概率模型是一种基于概率论和统计学原理的模型，用于描述随机事件之间的关系。
它用于分析风险、预测概率等实际问题。
以保险业为例，我们可以使用概率模型来建立保险赔付的函数模型。
通过研究历史赔付数据和相关的风险因素，我们可以基于概率模型计算保险赔付的期望值和方差，从而评估保险产品的风险和合理的保费水平。
数学建模 建立函数模型解决实际问题
18
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
一、固体废物数据的搜集与处理 我们通过技术手段(代码见附件)，在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地 区方圆7 500 m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32 109条，合计月销量267 305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135 655份月销量，并按照一 个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：
1
课前预习
课堂互动
建模选题
教材知识探究
@《创新设计》
数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的 几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现 在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模 课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力 开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年 在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美 国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以 说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.
数学建模 建立函数模型解决实际问题
@《创新设计》
课标要求
素养要求
收集、阅读一些现实生活、生产实际或者 通过生活中具体的数学模型，进行提出问
经济领域中的数学模型，体会人们是如何 题、分析数据、建立模型、检验模型来发
借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中 展数据分析、数学抽象及数学建模素养.
参数的现实意义.
15
课前预习
课堂互动
建模选题
@《创新设计》
[求解模型] 所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米 处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深 入沙漠65千米. [检验结果] 从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米 可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
建立函数模型，解决实际问题
建立函数模型解决实际决策型问题是实践性，创新性很强的命题亮点，其解题步骤一般如下：
由实际问题⋅⋅−−−−−→分析抽象转化数学模型（如函数等）−−−→−推理演算
解答数学问题
−−→−校验回归实际问题。
一、建立一次函数模型
例1．鞋子的“鞋码”y 与鞋长x （cm ）存在一次函数的关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值： 鞋长（cm ） 16 19 24 27 鞋码
22 28 38 44 （1）请根据表格中的数值，求出y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果你需要的鞋长为26cm ，那么应该买多大码的鞋？
【命题意图】本题旨在考查根据表格提供的数据，利用待定系数法建立一次函数（模型）关系，然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】可先设一次函数解析式为：y ＝k x ＋b ，根据表中所提供的数据，取两组值分别代入解析式中的x 与y 得到方程组，解方程组即可求出函数解析式
解：（1）设y ＝k x ＋b ，则由题意，得
⎩⎨⎧+=+=b k b k 19281622，解得：⎩
⎨⎧-==102b k ， ∴ y ＝2x －10；
（2）当x ＝26时，y ＝2×26－10＝42
答：应该买42码的鞋。
二、建立反比例函数模型
例2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气球体积V （米3
）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不少于多少立方米？
【命题意图】本题旨在考查根据图象（点的坐标），利用待定系数法确定反比例函数关系（模型），然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】由图象中A 点的坐标求得反比例函数解析式；对于（3），可利用反比例函数的性质，先求出气压是144千帕时对应的体积，再分析出气球的体积应不小于多少．
解：（1）设此反比例函数为)0(≠=k V k p ． 由图象知反比例函数的图象经过点A （1.5，64），
∴5
.164k =，∴k=96． 故此函数的解析式为V
p 96=
； （2）当V=0．8时，1208.09696===V p （千帕）；
（3）当p=144时，V
96144=
， ∴3
214496==V （3米）． 由图象可知，该反比例函数p 随V 的增大而减小，故为安全起见，气球的体积应不小于332m ． 【解题心得】在解题时，要充分利用图象、表格中信息和文字信息，把实际问题转化为数学问题，进一步体会数与形的统一．。