专题复习10_建模问题-建立函数模型(含答案)
《数学建模 建立函数模型解决实际问题》试卷及答案_高中数学必修第一册_人教A版
《数学建模建立函数模型解决实际问题》试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、某公司每小时生产零件的数量与时间的关系可以用下面哪个函数模型来表示？每天工作8小时，且生产数量随着工龄增加而增加。
A、f(t) = 100 + 2tB、f(t) = 100 + 2t^2C、f(t) = 100 + 2t^3D、f(t) = 100 + 2e^t2、一个城市为了改善交通状况，计划拓宽一条现有道路。
现有道路的宽度为10米，经过调查发现，道路的宽度每增加1米，道路的日均车流量会减少100辆。
设道路宽度从10米增加到x米，日均车流量减少的辆数为(100(x−10))。
根据上述情况，下列哪个函数模型描述了道路宽度与日均车流量之间的关系？A.(y=1000x)B.(y=1000(10−x))C.(y=1000(x+10))D.(y=1000(10−x))3、已知某工厂生产某种产品，每增加一个工人的工作效率，每天能多生产50个产品。
现有10名工人，每天能生产1000个产品。
设工人人数为x，每天生产的产品数量为y，根据题意可建立函数模型为（）A. y = 50x + 1000B. y = 50x + 100C. y = 50x + 50D. y = 50x - 10004、某次数学建模活动中，参与者需要根据给定的数据建立一个线性函数模型来描述某种商品的销售量与价格之间的关系。
已知当价格为10元时，销售量为200件；当价格为15元时，销售量为150件。
若设销售量为y，价格为x，则建立的线性函数模型为（）。
x)A、(y=200−53x)B、(y=−200+53C、(y=−200+5x)D、(y=−200+10x)5、在研究某种商品的需求关系时，研究人员得到一组数据如下：商品价格（元）为10, 15, 20, 25, 30，商品销售量（件）为500, 450, 400, 350, 300。
为了建立商品价格与销售量之间的关系，最适合采用的数学模型是：A. 二次函数模型B. 线性函数模型C. 几何模型D. 对数函数模型6、在解决实际问题时，以下哪个函数模型最适合描述某城市人口随时间的变化？A、一次函数模型C、对数函数模型D、幂函数模型7、若一家工厂每天生产x件产品，每件产品的成本为c元，售价为p元，每天的固定成本为f元，则该工厂的日利润y与x的关系式为：A)y = x(p - c) - fB)y = x(c - p) - fC)y = x(c - p) + fD)y = x(p - c) + f8、已知某工厂生产一批产品，根据实验数据得出每增加一个工时，产品的合格率增加2%，生产x个工时后，产品的合格率为y%，那么函数模型可以表示为：A、y = 2x + 1B、y = 2x² + 1C、y = x + 2D、y = 2x² + 2(x + 1)二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、以下哪些函数模型可以用来描述现实生活中的实际问题？A. 线性函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型2、一个直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c。
数学建模题目及答案
09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。
由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。
函数模型及其应用Word版含答案
函数模型及其应用【课前回顾】1．几类函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：【课前快练】1．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案：B2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A ．减少7.84%B ．增加7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减解析：选A 设某商品原来价格为a ，依题意得： a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ， 所以(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是____________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞1005.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)． 答案：2 500考点一 一次、二次函数模型及分段函数模型的应用1．解题入口——准确构建函数模型(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．2．解题过程——谨防3种失误(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(3)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．【典型例题】牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．[学审题]①空闲率是指“1－xm ”；②利用(1)的函数关系求羊群年增长量的最大值；③构造一个关于k 的含参数m 的不等式，解不等式后即可求出k 的取值范围．解：(1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为xm ，故空闲率为1－xm ，由此可得y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m (0＜x ＜m )． (2)由(1)知y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m ＝－km (x 2－mx ) ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km4. 即当x ＝m 2时，y 取得最大值km4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0＜x ＋y ＜m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km4，所以0＜m 2＋km4＜m ，解得－2＜k ＜2.又因为k ＞0，所以0＜k ＜2. 故k 的取值范围为(0,2)．【针对训练】为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y 关于x 的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0.解得x ≥2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6. 当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈Z ). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z)， 显然当x ＝6时，y max ＝185.对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z)，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．考点二 函数y ＝ax ＋bx 模型的应用1．应用函数y ＝ax ＋bx模型的2个关键点(1)明确对勾函数是由正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝bx 叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋bx 的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f (x )＝ax ＋bx的形式．2．谨防2种失误(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋bx 求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．【典型例题】某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．[构建模型]因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )元．从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥2300x ·3x ＋357＝417， 当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【针对训练】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝__________米．解析：设横段面的高为h ， 根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )·32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)， y ＝18x ＋3x 2≥218x ·3x2＝63，当且仅当18x ＝3x2，即x ＝23时取等号．故所求防洪堤的腰长为23米． 答案：2 3考点三 指数、对数函数模型的应用1．谨记解决这类问题的2个关键(1)准确理解题意(有时为了叙述背景的需要，这类问题的题干有点长，因而认真审题，准确理解题意显得尤为重要)．(2)根据具体情境确定相关解题策略(如解决给出函数图象的实际应用问题，关键在于准确识图；而对于典题领悟这类指数函数、对数函数模型的实际应用问题，关键在于充分利用幂与对数的运算，以及指数函数、对数函数的图象与性质分析、解决问题)．2．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．【典型例题】候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．【针对训练】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a＝4，得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)． 【课后演练】1．下列函数中，随x 的增大，y 的增大速度最快的是( ) A ．y ＝0.001e x B ．y ＝1 000ln x C ．y ＝x 1 000D ．y ＝1 000·2x解析：选A 在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B 、C ；指数函数中，底数越大，函数增大速度越快，故选A.2．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3米B ．4米C ．6米D ．12米解析：选A 设隔墙的长为x (0＜x ＜6)米，矩形的面积为y 平方米，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 取得最大值．故选A.3．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 将x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；将x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.4．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx ≥2x 10·4 000x －30＝10，当且仅当x 10＝4 000x ，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0<x ≤503. 因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：选D 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．7．(2018·西安八校联考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．答案：208．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：99.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x＝6时，y ＝1909.答案：190910．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，所以2＝e 12k ，所以k ＝2ln 2，所以y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024. 答案：1 02411．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：选C 如x ＝1时，应付费2元， 此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.12．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝⎛⎭⎫12n ，由⎝⎛⎭⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.13.如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.14．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________(元/100 kg)．解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120， 代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80. 答案：(1)120 (2)8015．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．解析：由题意，设利润为y 元，每套房月租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N)．则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22＝204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．答案：3 30016．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7，假设该产品产销平衡，根据上述统计数据规律求：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？ 解：依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，(1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0，解得3＜x ＜10.5. 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内． (2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5， 故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．17．某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450.每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)由题意可得，当0＜x ＜80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x ＋250，当x ≥80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450＋250， 即L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，为950.当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，为1 000.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．18. (2017 ·辽宁抚顺一模)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ 解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， 故f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。
函数建模问题
函数建模问题1.某汽车销售公司到某汽车制造厂选购A，B•两种型号的轿车，用300万元可购进A型轿车10辆，B型轿车15辆，用300万元也可以购进A型轿车8辆，B型轿车18辆．（1）求A，B两种型号的轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元，销售1•辆B•型轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A，B两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？【解答解析】可设A，B两种型号的轿车每辆分别为x万元，y万元，通过列方程组解出（1）问．（1）设A型号的轿车每辆为x万元，B型号的轿车每辆为y万元．根据题意，得1015300, 818300.x yx y+=⎧⎨+=⎩解得15,10 xy=⎧⎨=⎩答：A，B两种型号的轿车每辆分别为10万元，15万元．（2）设购进A种型号轿车a辆，则购进B种型号轿车（30－a）辆．根据题意，得1510(30)400,0.80.5(30)20.4a aa a+-≤⎧⎨+-≥⎩解此不等式组得18≤a≤20．∵a为整数，∴a=18，19，20，∴有三种购车方案．方案1：购进A型号轿车18辆，购进B型号轿车12辆；方案3：购进A型号轿车19辆，•购进B型号轿车11辆；方案3：购进A型号轿车20辆，购进B 型号轿车10辆．汽车销售公司将这些轿车全部售出后：方案1获利18×0.8+12×0.5=20.4（万元）；方案2获利19×0.8+11×0.5=20.7（万元）；方案3获利20×0.8+10×0.5=21（万元）．【解答】有三种购车方案，在这三种购车方案中，汽车销售公司将这些轿车全部售出后分别获利为20.4万元，20.7万元，21万元．【点评】此题通过数学建模能培养同学们应用数学知识解决实际问题的能力．2．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)(n －10)，n>10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0， n≤10，100， 10<n≤15，200， 15<n≤20，300， 20<n≤25，400， n>25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多多少？．答案解析 k(18)＝200(元)，∴f(18)＝200×(18－10)＝1600(元)．3．随着2010年国际经济的复苏，我市某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(x ∈N*)之间的函数关系；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润；(3)如何决定投资可获最大年利润．答案解析 (1)y1＝(10－a)x －20(1≤x≤200，x ∈N*)，y2＝－0.05x2＋10x －40(1≤x≤120，x ∈N*)．(2)∵10－a>0，故y1为关于x 的增函数，∴x ＝200时，y1获得最大年利润S1＝(1980－200a)万美元，y2＝－0.05(x －100)2＋460(1≤x≤120，x ∈N*)．∴x ＝100时，y2获得最大利润，S2＝460万美元．(3)S1－S2＝200(7.6－a)，故当3≤a≤7.6时，S1>S2，投资生产200件甲产品可获较大利润．4．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T(t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．答案解析 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24. (2)当0≤t≤10时，s ＝12·t·3t ＝32t2；当10<t≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t2＋70t －550.综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈，20]，－t2＋70t －550， t ∈，35].(3)∵t ∈[0,10]时，smax ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，smax ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t2＋70t －550＝650.解得t1＝30，t2＝40. ∵20<t≤35，∴t ＝30，所以沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城．5.机械加工需要进行润滑以减少摩擦，•某企业加工一台大型机械设备润滑用油90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36kg ．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲，乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术更新后，•加工一台大型机械设备的实际耗油是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，•同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油量的重复利用率将增加1．6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12kg ．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？（1）由题意，得70×（1－60%）=70×40%=28（kg ）．（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为xkg ．由题意，得：x×[1－（90－x ）×1．6%－60%]=12，整理得x 2－65x －750=0，解得：x 1=75，x 2=－10（舍去）．（90－75）×1.6+60%=84%．答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28kg ．（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75kg ，•用油的重复利用率是84%．6.某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，•经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如表所示：未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1=14t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2=－12t+40（21≤t≤40且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数，反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的函数关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a<4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，•每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．答案解析：（1）将194tm=⎧⎨=⎩和390tm=⎧⎨=⎩代入一次函数m=kt+b中，有94903k bk b=+⎧⎨=+⎩∴296kb=-⎧⎨=⎩∴m=－2t+96．经检验，其他点的坐标均适合以上解析式，故所求函数解析式为m=－2t+96．（2）设前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元．由P1=（－2t+96）（14t+5）=－12t2+14t+480=－12（t－14）2+578，∵1≤t≤20，∴当t=14时，P1有最大值578（元）．由P2=（－2t+96）（－12t+20）=t2－88t+1920=（t－44）2－16，∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P2在21≤t≤40上随t的增大而减小，∴当t=21时，P2有最大值为（21－44）2－16=529－16=513（元）．∵578>513，故第14天时，销售利润最大为578元．（3）P1=（－2t+96）（14t+5－a）=12t2+（14+2a）t+480－96a对称轴为t=(142)12()2a-+⨯-=14+2a．∵1≤t≤20，∴当14+2a≥20，即a≥3时，P1随t的增大而增大．又∵a<4，∴3≤a<4．7.司机在驾驶汽车时，•发现紧急情况到踩下刹车这段时间之后还会继续行驶一段距离．•我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”（如图）．已知汽车的刹车距离s（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间有如下关系：s=tv+kv2．其中t为司机的反应时间（单位：s），k为制动系数．某机构为测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=0.7s．（1）若志愿者未饮酒，且车速为11m/s，则该汽车的刹车距离为______m （精确到0.1m）．（2）当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17m/s的速度驾车行驶，测得刹车距离为46m．假如该志愿者当初是以11m/s的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？（精确到0.1m）（3）假如你驾驶该型号的汽车以11～17m/s的速度行驶，•且与前方车辆的车距保持在40～50m之间．若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”，则你的反应时间应不超过多少秒？（精确到0.01s）答案解析：（1）17.4（2）设志愿者饮酒后的反应时间为t1，则t1×17+0.08×17=46. t≈1.35s．当v=11m/s时，s=t1×11+0.08×112=24.53．∴24.53－17.38≈7.2（m）．答：刹车距离将比未饮酒时增加7.2m．（3）为防止“追尾”，当车速为17m/s时，刹车距离必须小于40m．∴t×17+0.08×172<40，解得t<0.993（s）．答：反应时间不超过0.99s．8.“5·12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，•某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，•现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点．从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B 地运往C处的蔬菜为x吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，•并求总运费最小的调运方案；（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m>0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案．答案解析：（1）填表依题意得：20（240－x）+25（x－40）=15x+18（300－x）．解得：x=200．（2）w与x之间的函数关系为：w=2x+9200．依题意得：2400,400,0, 3000.xxxx-≥⎧⎪-≥⎪⎨≥⎪⎪-≥⎩∴40≤x≤240．在w=2x+9200中，∵2>0，∴w随x的增大而增大．表一故当x=40时，总运费最小．此时调运方案为如表一所示．（3）由题意知w=（2－m）x+9200∴0<m<2时，（2）中调运方案总运费最小；m=2时，在40≤x≤240的前提下调运．表二方案的总运费不变；2<m<15时，x=240总运费最小，其调运方案如表二所示。
(完整版)数学建模复习内容带习题答案
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
第二章 第十节 函数的模型与应用 解析版-备战2022年(新高考)数学一轮复习考点讲解+习题练习
第十节函数模型及其应用知识回顾1．几类函数模型2.三种函数模型的性质1.【2019年浙江丽水高一上学期期末考试数学试卷统测】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，t=________ ．ln2【答案】1λ【解析】【解答】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N= 2N0时，则N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，ln2．解得t=1λ故答案为1λln2．【分析】由题意可得：N =N 0e λt =2N 0≠0，化为：e λt =2，化为对数式即可得出． 【备注】【点评】本题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________． 答案p ＋1q ＋1－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝1＋p1＋q －1.3．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 答案 5解析 由题意得，y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________． 答案 15,12解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A ．6 B ．9 C ．8 D ．7 答案 BC解析 设经过n 次过滤，产品达到市场要求， 则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 由n lg 23≤－lg 20，即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，故选BC.课中讲解考点一.函数图像刻画变化过程例1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.变式1．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A．1B．2C．3 D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．例2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.变式2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知，选择y＝a＋b x最适合．考点二.应用所给的模型解决实际问题例1.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度 v （单位：m ⋅s −1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v =a +blog 3Q10（其中 a 、b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为个 90 单位时，飞行速度为 1m ⋅s −1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于 2m ⋅s −1，求其耗氧量至少要多少个单位． 【答案】270 个单位【解析】由题意，知 {a +blog 33010=0a +blog 39010=1，即 {a +b =0a +2b =1，解得 {a =−1b =1，所以 v =−1+log 3Q 10， 要使飞行速度不能低于 2m ⋅s −1，则有 v ⩾2，即 −1+log 3Q 10⩾2，即 log 3Q10⩾3，解得 Q10⩾27，即 Q10⩾270，所以耗氧量至少要 270 个单位．变式1.数据显示，某 IT 公司 2018 年上半年五个月的收入情况如下表所示：月份 2 3 4 5 6月收入（万元）1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司 2018 年月收入 y （万元）与月份 x 的函数模型时，给出两个函数模型 y =x 12 与 y =2x 3供选择．(1) 你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； 【答案】函数 y =2x 3这一模型较好【解析】画出散点图由图可知点 (2,1.4)；(3,2.56)；(4,5.31)；(5,11)；(6,21.3) 基本上是落在函数 y =2x 3的图像的附近，因此用函数 y =2x 3这一模型较好．(2) 试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元？（参考数据 lg2=0.3010，lg3=0.4771） 【答案】大约从第 9 月份开始 【解析】当2x 3>100 时，2x >300，∴lg2x >lg300即 xlg2>2+lg3∴x >2+lg3lg 2=2+0.47710.3010≈8.23故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元． 当2x 3>100 时，2x >30028=256<300；29=512>300故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．例2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， 解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．变式2.拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． 答案 4.24解析 ∵m ＝6.5，∴[m ]＝6， 则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 考点三.构建函数模型解决实际问题1.二次函数模型例1.某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．[解] (1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数． 又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元． (y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润； 当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．变式1. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8] B ．[6,10] C ．[4%,8%] D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．2. 指对数函数模型例2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年变式2.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时[解析] (1)设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 根据题意得130(1＋12%)n －1＞200， 则lg[130(1＋12%)n －1]＞lg 200， ∴lg 130＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴0.11＋(n －1)×0.05＞0.30，解得n ＞245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C. (2)由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C. [答案] (1)C (2)C3. 对勾函数模型例3 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案 5解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立．∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.变式3.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．4. 分段函数模型例4.某市营业区内住宅电话通话费用为前 3 分钟 0.20 元，以后每分钟 0.10 元（前 3 分钟不足 3 分钟按 3 分钟计，以后不足 1 分钟按 1 分钟计）．(1) 在直角坐标系内，画出一次通话在 6 分钟内（包括 6 分钟）的话费 y （元）关于通话时间 t （分钟）的函数图象； 【答案】见解析 【解析】如下图所示．(2) 如果一次通话t分钟（t>0），写出话费y（元）关于通话时间t（分钟）的函数关系式（可用[t]表示不小于t的最小整数）．【答案】y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3【解析】由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．当0<t⩽3时，话费y为0.2元；当t>3时，话费y应为(0.2+[t−3]×0.1)元．所以y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3．变式4.在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；①该店月销量Q（百件）与销量价格P（元）的关系如图所示；①每月需各种开支2000元．(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；【答案】当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元【解析】设该店月利润余额为L元，则由题设得L=Q(P−14)×100−3600−2000①由销量图易得Q={−2P+50,14⩽P⩽20−32P+40,20<P⩽26，代入①式得L={(−2P+50)(P−14)×100−5600,14⩽P⩽20(−32P+40)(P−14)×100−5000,20<P⩽26当14⩽P⩽20时，L max=450元，此时P=19.5元；当20<P⩽26时，L max=12503元，此时P=613元．故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【答案】最早可望在20年后脱贫【解析】设可在n年后脱贫，依题意有12n×450−50000−58000⩾0，解得n⩾20．即最早可望在20年后脱贫．课后习题一．单选题1．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A．点M B．点NC．点P D．点Q解析：选D假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.2．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是()A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.3．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋xy ×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋xy ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元)．∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( ) A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3 答案 B解析 设这种放射性元素的半衰期是x 年， 则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B. 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3 D ．26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋x －10·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.6.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．二．多选题7．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位：千克)与时间x (单位：小时)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A ．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B ．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C ．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D ．最后两小时内，该车间没有生产该产品 答案 BD解析 由该车间5小时来某种产品的总产量y (千克)与时间x (小时)的函数图象，得前三小时的年产量逐步减少，故A 错误，B 正确；后两小时均没有生产，故C 错误，D 正确．三．填空题 8．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4. 化简得x －6×0.9x ＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点． 故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 答案：49.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]． 答案：[3,4]10．(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________． 答案 3解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h ．(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ＝36v 400＋400v≥236v 400×400v＝12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.四．解答题12.某城市现有人口总数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题： (1) 写出 x 年后该城市的人口总数 y （万人）与年数 x （年）的函数关系式； 【答案】y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗【解析】1 年后该城市人口总数为 y =100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；3 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)3；…； x 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗．(2) 计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万）； 【答案】112.7 万【解析】10 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7（万）．(3) 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万（精确到 1 年）． 【答案】16 年【解析】令 y =120，则有 100×(1+1.2%)x =120，解方程可得 15<x <16． 故大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万．13.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p （千帕）是气球的体积 V （立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位）(1) 写出这个函数的解析式；【答案】p=96V【解析】设p与V的函数的解析式为p=k，把点A(1.5,64)代入，解得k=96．V∴这个函数的解析式为p=96．V(2) 当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？【答案】120千帕【解析】把V=0.8代入p=96，p=120，V当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是120千帕．(3) 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？立方米【答案】气球的体积应不小于23，【解析】由p=144时，V=23∴p⩽144时，V⩾2，3当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于2立方米314.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域．【答案】y=−12x+10，定义域为[4,8]【解析】作PQ⊥AF于Q，∴PQ=(8−y)米，EQ=(x−4)米．又△EPQ∼△EDF，∴EQPQ =EFFD，即x−48−y=42．∴y=−12x+10，定义域为[4,8]．15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=1 2log3O100，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，(1) 当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是多少？【答案】当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)【解析】由题意得v=12log32700100=32(m/s)当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)．(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．【答案】当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100【解析】当一条鱼静止时，即v=0，则0=12log3O100，解得O=100当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100．。
高考一轮复习 函数模型 知识点+例题+练习
自主梳理1．几种常见函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)；(2)反比例函数模型：y ＝kx＋b (k 、b 为常数，k ≠0)；(3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中是最为常见的；(4)指数函数模型：y ＝ka x ＋b (k 、a 、b 为常数，k ≠0，a >0且a ≠1)；(5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (m 、n 、a 为常数，m ≠0，a >0且a ≠1)；(6)幂函数模型：y ＝ax n ＋b (a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠0)；(7)分式函数模型：y ＝x ＋kx(k >0)；(8)分段函数模型．2．解应用题的方法和步骤 用框图表示如下：学生姓名 教师姓名班主任 日期时间段年级课时教学内容 函数模型及其应用教学目标 1.能够应用函数知识构造函数模型，解决简单的实际生活中的优化问题. 2.能利用函数与方程、不等式之间的关系，解决一些简单问题． 重点 函数模型中的最优问题 难点同上自我检测1． 某工厂八年来某种产品总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示，下列四种说法：①前三年中产量增长速度越来越快； ②前三年中产量增长的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是________．(填上正确的序号)2．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．4．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位：千瓦时) 高峰电价 (单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分0.598超过200的部分 0.668低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位：千瓦时) 低谷电价 (单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分0.318超过200的部分 0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？(精确到1小时)探究点一 一次函数、二次函数模型例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？变式迁移1 (2010·江苏启东中学模拟)即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)．探究点二分段函数模型例2据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．变式迁移2某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．探究点三 指数函数模型例3 诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)．(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)变式迁移3 现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)1．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题的意义． 2．考查函数模型的知识表现在以下几个方面： (1)利用函数模型的单调性比较数的大小；(2)比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式； (3)函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．一、填空题1．拟定甲地到乙地通话m 分钟的电话费f (m )＝1.06×(0.5×[m ]＋1)(单位：元)，其中m >0，[m ]表示不大于m 的最大整数(如[3.72])＝3，[4]＝4)，当m ∈[0.5,3.1]时，函数f (m )的值域是_______________．2．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为________元．3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a t ，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,2014年的垃圾量为__________t.5．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．6．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包型号 小包装 大包装 重量 100克 300克 包装费 0.5元 0.7元 销售价格 3.00元8.4元①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．7．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水．则一定正确的论断序号是________．8．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文 已知加密为y ＝a x －2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．二、解答题9．设某企业每月生产电机x 台，根据企业月度报表知，每月总产值m (万元)与总支出n (万元)近似地满足下列关系：m ＝92x －14，n ＝－14x 2＋5x ＋74，当m －n ≥0时，称不亏损企业；当m －n <0时，称亏损企业，且n －m 为亏损额．(1)企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？10．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)11．某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入)．(1)把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；(2)试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？。
2024年中考专题复习++建模思想应用的常见类型归类++同步练++讲义
建模思想应用的常见类型归类点石成金数学建模思想是人类用数学知识探索自然和实际应用的一种最有效的方法，也是数学应用于科技和社会的最基本途径；它是对现象和过程进行合理的抽象和量化，然后用数学知识进行模拟和验证的一种模式化思维；初中数学建模，就是用初中所学的数学知识在数学和实际问题之间构建一个桥梁，便于把实际问题用数学问题表示出来，这个桥梁就是数学模型，构建这个桥梁的思维方法就是数学建模思想.典型例题剖析例．为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为40米，中午12时不能挡光．如图，某旧楼的一楼窗台高1米，要在此楼正南方40米处再建一幢新楼．已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为30°，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高米．（结果精确到1米．√3≈1.732，√2≈1.414）分析：在不违反规定的情况下，需使阳光能照到旧楼的一楼；据此构造Rt△DCE，其中有CE＝30米，∠DCE＝30°，解三角形可得DE的高度，再由DB＝BE+ED可计算出新建楼房的最高高度．解：过点C作CE⊥BD于E．∵AB＝40米，∴CE＝40米，∵阳光入射角为30°，∴∠DCE＝30°，在Rt△DCE中tan∠DCE=DECE．∴DE40=√33，∴DE＝40×√33=40√33米，∵AC＝BE＝1米，∴DB＝BE+ED＝1+40√33=3+40√33≈24米．答：新建楼房最高约为24米．故答案为：24分类训练类型1建立方程模型求几何图形面积1．将两张完全相同的矩形纸片ABCD，矩形纸片FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG．（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若四边形DHBG的面积为15，AD＝3，求AB的长．分析：（1）根据矩形的性质得出∠A＝∠E＝90°，AD＝ED，AB＝EB，根据全等三角形的判定得出△DAB≌△DEB，根据全等三角形的性质得出∠ABD＝∠EBD，求出DH＝BH，再根据菱形的判定推出即可；（2）根据菱形的性质和已知菱形的面积求出BH，求出DH＝BH＝5，根据勾股定理求出AH，再求出答案即可．类型2建立几何模型解释生活中现象2．如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离变化（用“发生”或“不发生”填空）．理由是。
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专题复习10 建模问题-建立函数模型
【简要分析】
函数应用问题是近年中考热点题型，它以函数知识为背景，具有创新性、开放性，针对社会热点，有强烈的时代气息，贴近学生的生活实际.解答这类问题的关键是将实际问题中内在、本质的联系抽象、转化为数学问题，建立函数模型，从而求得实际问题的答案. 【典型考题例析】
例1 小明想为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦(即0.009千瓦)的节能灯，售价是49元/盏；另一种是40瓦(即0.04千瓦)的白炽灯，售价为18元/盏.假设两种灯照明亮度相同，使用寿命都可达2800小时，已知小明家所在地的电价是每千瓦0.5元.⑴设照明时间x 小时，请用含x 的代数式分别表示用一盏节能灯的费用y 1和一盏白炽灯的费用y 2(费用=灯售价+电费).⑵小明想在两种灯中选购一盏，照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？照明时间在什么范围内，选用节能灯合算？
(2005年安徽省六安市中考题改编)
分析与解答 ⑴根据“费用=灯售价
+电费”得 y 1 =49 +0.009⨯0.5x =49 +0.0045x y 2 =18 +0.04⨯0.5x =18 +0.02x
⑵在同一坐标系内画出y 1、y 2的图象如图2-3-1，两条射线的交点坐标为(2000，58).观察图象可知，当照明时间小于2000小时时，y 2的图象在y 1的下方，说明选白炽灯合算，当照明时间超过2000小时时，y 1的图象在y 2的下方，说明选用节能灯合算.
说明 本题是一个通过建立一次函数模型，利用一次函数图象的性质去对经济问题决策的典型考题.
例2 (2006年湖北省十堰市中考题） 市“健益”超市购进一批20元／千克的绿色食品，如果以30元／千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y （千克）与销售单价x
图2-3-2
（元）（x ≥30）存在如图2-3-2所示的一次函数关系.
⑴试求出y 与x 的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
分析与解答 ⑴设y= kx+b ，由图象可知，
⎩
⎨
⎧=+=+200.b 40k 400
b k 30， 解之，得⎩
⎨
⎧==1000.b -20k ，
∴y = -20x +1000 (30≤x ≤50) ⑵ P=(x -20)y =(x -20)(-20x+1000)
= -20x 2 +1400x -20000.
∵a = -20<0，∴P 有最大值.
当 x = -
)
20(21400
-⨯=35时，P 最大 =4500.
即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元.
说明 本例取材于让利销售的市场经济，要求理解题意，在较复杂的数量关系中建立一次函数和二次函数模型，并利用二次函数的性质求出最大利润和决定售价.这类问题在近年中考试卷中出现率极高，同学们在复习时要引起注意. 【提高训练】
1．(2006年江苏省宿迁市中考题）甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同.甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%实收；乙商场规定：凡购买超过500元电器的，超出的金额按95%实收.顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠？
2．(2006年湖北省武汉市中考题)某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品.生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：
煤的价格为400元/吨.生产1吨甲产品除原料费用外，还需其它费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其它费用500元，乙产品每吨售价5500元.现将该矿石原料全部用完.设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元.
⑴写出m与x之间的关系式；
⑵写出y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量的范围)；
⑶若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润
是多少？
3．(2005年宁夏回族自治区灵武市中考题)某商店购进一批单价为18元的商品，如果以单价20元销售，那么一个星期可售出100件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减小，即当销售单价每提高1元，销售量相应减小10件.如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润？最大利润是多少？
4．(2005年湖南省长沙市中考题)某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元.在销售过程中发现，年销售量y(万件)与销售单价(元)之间存在着如图2-3-3所示的一次函数关系.⑴求y与x的函数关系式.⑵试写出该公司销售该种产品的年获利Z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额-年销售产品总进价-年总开支).当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值.⑶若公司希望该种产品一年销售的获利不低于40万元，借助⑵中函数图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
5．(2006年湖北省武汉市中考题)连接着汉口集家咀和汉阳南岸的江汉三桥(晴川桥)，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥.它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观.桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米.以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图2-3-5所示的平面直角坐标系.
⑴求抛物线的解析式；
⑵正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一
半？请说明理由.
图
2-3-4
答案:
1. 当0＜x ≤500或x ＝1500时，可任意选择甲、乙两商场；当500＜x ＜1500时，可选择乙商场；当x ＞1500时，可选择甲商场.
2. ⑴ m=
4
x
10300- ⑵y = -1900x+75000 ⑶∵4x+8⨯
4
x
10300-≤200，∴25≤x ≤30. ∴当生产甲产品25吨时，公司获得的总利润最大，y 最大=-1900⨯25+75000=27500(元) 3. 设提高价为x 元，利润为y 元，则每件所获利润为(20+x -18)元，销售量为(100-10x)件 . 根据题意得y=(20+x -18)(100-10x)=-10(x -4)2+360.
∵-10<0，∴当x=4时，y 的最大值是360.这时，x+20=24，
所以当商店把销售单价提高24元时，一个星期内的获利最大，最大利润是360元 4. ⑴y=-20
1
x+8 ⑵Z=-
20
1
(x -100)2 +60，当x=100时，最大利润为60万元 ⑶销售单位定为80元 5. ⑴y=-
350
1x 2
+56 ⑵当x=0时，-
350
1x 2
+56=56，∴OC=56(米)， 设存在一根系杆的长度是OC 的一半，即这根系杆的长度是28米， 则28=-
350
1x 2
+56，解得x=±702. ∵相邻系杆之间的间距均为5米，最中间系杆OC 在y 轴上，
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数，
∴x= 702与实际不符，
∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半。